Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

В учебниках по QFT логика такая: т.к. специальная теория относительности сделана на пространстве Минковского, а группа Пуанкаре является группой преобразований этого пространства, то в квантовой теории преобразования должны описываться представлениями группы Пуанкаре, а значит генераторы таких преобразований должны удовлетворять коммутационным соотношениям алгебры Ли группы Пуанкаре. Такой подход в духе Эрлангенской Программы Феликса Кляйна (Felix Klein).

Здесь есть такая аналогия с ситуацией ОТО. Эрлангенская Программа была предложена еще раньше чем ОТО – в 1872 г., когда квантовой теории не было и в помине. Но, как отмечено выше, с точки зрения квантовой теории, понятие background space не имеет смысла так как нет координаты x общей для всех частиц. Но это понятие по-прежнему широко используется в так наз. фундаментальных квантовых теориях – QFT и string theory.

Мой научный руководитель Леонид Авксентьевич Кондратюк объяснил мне, что логика должна быть противоположная той, которая применяется в духе Эрлангенской Программы. То, что обычно называют генераторами – это как раз и есть основные физические операторы – энергия, импульс, операторы угловых и Лоренцевых угловых моментов. Симметрия Пуанкаре не потому, что есть пространство Минковского (которое является чисто классическим понятием), а потому, что основные физические операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре и поэтому на классическом уровне (и только на этом уровне) возникают преобразования и пространство Минковского.

Т.е., на фундаментальном квантовом уровне симметрия задается не пространством, а алгеброй коммутационных соотношений и на этом уровне никаких пространств и его преобразований нет. Они возникают только в классическом приближении т.к. в этом приближении пространство появляется не как абстрактное пустое пространство, а как пространство событий для тел. Может быть, эта идея неявно есть в статье Дирака [5], но там она не сформулирована так явно как у Леонида Авксентьевича. Когда позже я познакомился со Скиффом Николаевичем Соколовым, то он тоже сказал, что пришел к такой идее.

В QFT элементарные частицы описываются неприводимыми представлениями алгебры Пуанкаре. В таком описании, координат и пространства Минковского вообще нет, а есть только импульсы, угловые моменты и спины. При этом, имеется вероятностная интерпретация так как операторы физических величин являются самосопряженными операторами. Но, как доказано в теории представлений, с математической точки зрения часто имеется соответствие между представлениями некоторой алгебры Ли самосопряженными операторами и унитарными представлениями группы Ли соответствующей этой алгебре.

Но в QFT рассматривается также описание частиц при помощи полевых функций Ψ(x)= Ψ(t,x) удовлетворяющих ковариантным уравнениям (Дирака, Клейна-Гордона и др.) на пространстве Минковского. Такие функции возникают из неунитарных представлений группы Пуанкаре индуцированных из неунитарных представлений группы Лоренца, а зависимость таких функций от (t,x) возникает из-за того, что пространство Минковского является фактор-пространством группы Пуанкаре по группе Лоренца. В связи с тем, что такие представления неунитарны, возникает проблема с их вероятностной интерпретацией.

Паули показал, что для уравнений, описывающих поля с полуцелым спином, нет инвариантных подпространств в которых для всех состояний знак энергии одинаковый, а для уравнений, описывающих поля с целым спином нет инвариантных подпространств в которых для всех состояний знак заряда одинаковый. Поэтому неквантованные поля описывающие частицы не имеют физического смысла. Кроме того, так как для полей Ψ(x) нет вероятностной интерпретации, то координаты x не являются операторами каких-либо физических величин. Большой успех уравнения Дирака в том, что в приближении (v/c)2 уравнение описывает с большой точностью тонкие уровни атома водорода. Но, в более высоких приближениях оно не работает. Например, оно не может описать Лэмбовский сдвиг.

Большим событием в физике частиц был результат Дирака, что его уравнение имеет решение как с положительными так и с отрицательными энергиями. Этот факт интерпретировался как существование античастиц и действительно, вскоре был найден позитрон. Но здесь возникают такие противоречия.

Если m – масса частицы, а p – ее импульс, то энергия определяется как ω(p)=(m2+p2)1/2, причем, с чисто формальной точки зрения, знак корня может быть как положительным так и отрицательным. Но этот знак должен быть одинаковым для всех частиц. Действительно, рассмотрим систему двух частиц, у которых массы одинаковые, а импульсы p₁ и p₂ такие, что p₁+p₂=0. Тогда, если для одной частицы корень взят со знаком плюс, а для другой со знаком минус, то полный 4-импульс системы будет равен нулю, что противоречит эксперименту.

Другим противоречием является следующее. Так как уравнение Дирака линейное, то суперпозиция решений с положительными и отрицательными энергиями тоже является решением, и это соответствует принципу суперпозиции в квантовой теории. Но из требования сохранения заряда, следует, что суперпозиция электронных и позитронных состояний запрещена.

Эти противоречия решают при помощи вторичного квантования. Но тогда возникает такая проблема. Квантованное поле Ψ(x) является оператором в Фоковском пространстве состоящим из бесконечного числа частиц. Каждая частица имеют свои координаты (в приближении когда операторы таких координат существуют). Поэтому аргумент функции Ψ(x) не относится ни к какой частице, это просто чисто формальный параметр возникший из вторичного квантования неквантованного поля Ψ(x). Поэтому аргумент даже нельзя назвать координатой, это просто параметр интегрирования когда лагранжиан записывается как интеграл от полей. То есть в квантовом случае аргумент не имеет физического смысла. Но все равно физики думают, что аргумент имеет смысл координаты (правда, непонятно чего).

В QFT, полевые функции Ψ(x) входят только в интегралы от Лагранжиана по d4x для S-матрицы, то есть x – это только параметр интегрирования и нет физических величин зависящих от x. Цель QFT – вычислить S-матрицу в импульсном представлении, и все наблюдаемые величины в QFT определяются S-матрицей. Когда S-матрица вычислена, мы можем забыть про x. Это соответствует S-матричной программе Гайзенберга, что в квантовой теории нельзя описывать состояния в каждый момент времени t, а смысл имеет только описание преобразования от бесконечно далекого прошлого t→-∞ до бесконечно далекого будущего t→+∞. Тот факт, что S-матрица вычисляется в импульсном представлении, не означает, что в QFT не может быть координатного описания. Оно имеется в приближении когда для каждой частицы имеется оператор координаты в импульсном представлении.

Суммируя обсуждение в этом и предыдущем параграфах, отметим следующее. QFT покоится на двух китах указанных в 1) и 2). То что 1) не является фундаментальным физическим требованием, отмечено в предыдущем параграфе, а в этом параграфе объяснено, что понятие квантованных полей на background space тоже не является фундаментальным. Понятие background space возникло из классической теории поля, а для квантованных полей оно не имеет физического смысла так как аргумент x в квантованных полях не относится к какой-либо частице и поэтому не имеет физического смысла. Нет физического закона, что S-матрица обязательно должна определяться интегралами по d4x от квантованных полей Ψ(x). Исторически сложилось так, что QFT с такими интегралами хорошо описывает многие экспериментальные данные, но, как описано ниже, такая теория также имеет фундаментальные проблемы. Поэтому нет причин думать, что ultimate quantum theory будет основана на QFT. Этот вопрос обсуждается в следующем параграфе.

9.7. Успехи и проблемы QFT

Как объяснено выше, теория основанная на 1) и 2) не может быть фундаментальной. Но, кроме этой проблемы, в QFT возникает следующая. Теория основана на локальных квантованных полях, которые перемножаются в одной точке. Как правило, физиков не волнует то, что, как отмечено, например, в книге Боголюбова с соавторами [6], Ψ(x) является обобщенной функцией, а, как известно из теории таких функций, их нельзя перемножать в одной точке. Но многие физики об этом даже не задумываются и перемножают, чтобы, как они думают, сохранить локальность, хотя, как отмечено выше, x не относится к какой-либо частице и поэтому не имеет физического смысла. В результате получаются плохо определенные выражения, аномалии и расходимости с которыми борются. То есть, сами создали проблемы и теперь с ними борются.

Можно сказать, что идеальная наука не должна исходить из такой математики. Но здесь возникает убийственный аргумент: с такой математикой теоретический результат для магнитных моментов электрона и мюона согласуется с экспериментом с точностью 8 знаков, Лэмбовский сдвиг – с точностью 5 знаков и т.д. Ни в какой области науки такого согласия теории и эксперимента нет.

Эти результаты были получены в квантовой электродинамике (которую в физической литературе называют QED – quantum electrodynamics) в конце 40х годов, и те, кто ее сделали (Feynman, Schwinger, Tomonaga, Bethe, Karplus, Klein, Kroll, Sommerfield и др.) производят впечатление даже не людей, а сверхчеловеков. Но все же, хотя история не знает сослагательного наклонения, позволю себе задать крамольный вопрос: то, что эти потрясающие результаты были получены оказалось хорошо для науки или нет? Во-первых, эти результаты сразу убедили многих, что строгая математика ни к чему, а главное – чтобы хорошо описывался эксперимент. Во-вторых, многие решили, что теперь вся релятивистская квантовая теория может быть сделана по аналогии с QED. Однако, несмотря на потрясающее согласие с экспериментом, эти результаты вряд ли можно считать фундаментальными. Они получены, исходя из того, что постоянная тонкой структуры α мала (она примерно равна 1/137). Поэтому можно применять теорию возмущений по α. Результат для аномальных моментов электрона и мюона получается при учете поправок вплоть до α3 включительно. Но в теориях, где константа взаимодействия большая, надо или работать без теории возмущений или вычислять весь ряд теории возмущений, что нереалистично (и к тому же непонятно, сходится ряд или нет).

После такого триумфа физики пытались рассмотреть другие теории по аналогии. В предыдущем параграфе я отметил проблемы с классическим и квантовым полем Ψ(x), с интерпретацией аргумента этой функции, с уравнением Дирака и т.д. К концу 60х годов возникло мнение, что надо что-то менять. Weiskopf написал, что квантовая теория поля должна быть похоронена со всеми почестями. В 1968 г. вышел 4й том Курса Теоретической Физики, который написали Берестецкий, Лифшиц и Питаевский. В вводной главе они объяснили, что, если объединить квантовую теорию с релятивизмом, то даже координата сама по себе не может быть точно измерена, а в главе II написали: "Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия поля свободных частиц".

Но, несмотря на эти проблемы, QFT восстала из пепла: в 70х годах создали квантовую хромодинамику, в 1981м нашли W и Z бозоны и, наконец, создали Стандартную Модель. В ней, исходя из 20 параметров, описывают многие экспериментальные данные из физики частиц. Модель не решила ни одной принципиальной проблемы QFT. Она по-прежнему исходит из лагранжиана, в котором поля перемножаются в одной точке. Еще когда я учился в ИТЭФе, все знали крылатую фразу К. А. Тер-Мартиросяна, что если теория содержит 25 свободных параметров и описывает 1000 экспериментальных данных, то это хорошая теория. Так что в такой философии Стандартная Модель – большое достижение.

Теперь на дворе 2023й год и можно ли сказать, что есть какой-то прогресс в создании единой теории? Мне кажется, что, опять настал такой период когда, по аналогии с концом 60х, стало ясно, что единая теория не может быть построена на идеях QFT. Была большая шумиха, что теория струн станет TOE. Выше я приводил аргументы, что это очень сомнительно. В духе приведенной выше фразы Бора можно сказать, что теория струн не является достаточно сумасшедшим обобщением QFT. Одна из ее идей такая, что т. к. струнные поля перемножаются не в точке (нульмерный объект), а на струне (одномерный объект), то есть надежда, что сингулярности «размажутся» и с ними можно будет работать. Однако, с точки зрения математики, перемножение на струне тоже не является корректной операцией и в теории струн проблема бесконечностей тоже не решена.

В связи с теорией струн вспоминается известная фраза, что можно обманывать много людей в течение короткого времени или мало людей в течение длительного времени, но нельзя обманывать много людей в течение длительного времени. Мне кажется, что теория струн опровергла это утверждение т.к. ей удалось обманывать много людей в течении длительного времени. Во многие кафедрах физики стало невозможно получить работу, если не занимаешься струнами. Как сказал Dyson, если раньше, чтобы показать, что кафедра занимается фундаментальными проблемами, надо было делать дорогостоящие эксперименты, то теперь вместо этого достаточно взять одного-двух струнщиков.

Мой опыт подтверждает эту точку зрения. В 2004 г. один из профессоров в университете Berkeley организовал мой семинар. После семинара я спросил его мнение, есть ли у меня шансы найти работу в университете, и он сказал, что нет, потому что я не в теории струн. Я сказал, что не имею в виду престижные университеты типа Berkeley и др., а буду рад получить работу даже в захудалом университете. Он ответил, что захудалый университет тем более не может позволить себе роскошь потратить ставку на того кто не в теории струн.

Сторонники теории струн могут сказать, что она уже показала свою важность т. к. в ней уже получено много сильных математических результатов. Может быть это так, не могу судить. В эту теорию пошло много математиков по топологии, гладким многообразиям и т. д. Если математики нашли для себя много интересных задач в этом, то, как говорится, на здоровье. Математикам незачем думать над тем, имеют ли гладкие многообразия на планковских длинах какой-то физический смысл. Но тогда это только математика и незачем провозглашать, что это будет TOE.

Кроме теории струн, были и другие попытки обобщить стандартную QFT, например в подходе noncommutative geometry и в loop quantum gravity (LQG). Во всех этих попытках, background space – обязательный атрибут. Как я уже отмечал, это чисто классическое понятие. История квантовой теории говорит, что сюда не надо тащить понятия из классической теории. Например, даже в нерелятивистской теории нельзя измерить импульс и координату независимо, а в релятивистской нельзя измерить точно координату даже саму по себе.

Многие физики, которые строят квантовые теории гравитации думают, что background space в квантовой теории должен быть таким, чтобы в классическом пределе он переходил в background space в ОТО. Например, LQG основана на такой философии. Но мой результат по космологическому ускорению (см. главу 12) показывает, что результат ОТО в квазиклассическом приближении получается без какого-либо background space в квантовой теории.

Как я писал, среди физиков много сторонников “ландаувской” философии, что строгая математика ни к чему и главное – описать эксперимент. Но здесь я бы сделал такое замечание. Имеется много воспоминаний о Ландау, где он описывается далеко не как личность приятная во всех отношениях. Не могу судить т.к. общался только с его учениками. Многие из них, наверное, переняли такие его черты как безапелляционность и нетерпимость к другим подходам. Но нет сомнения, что Ландау был честным и писал то, что думает независимо от конюнктуры. Например, исследуя так называемую проблему нуля-заряда, Ландау и Померанчук сделали вывод, что QED не может быть самосогласованной теорией, а это противоречит философии многих теперешних “ландаувцев” (и многие из них даже не знают, что в связи с проблемой нуль-заряда Ландау сделал такой вывод).

Наверное, Стандартная Модель – вершина "ландаувского" подхода, но никакого дальнейшего прогресса здесь не просматривается. А теория струн в каком-то смысле противоположность этого подхода т.к. она не имеет ни одного экспериментального подтверждения и более того, даже неясно в каких экспериментах она может быть проверена.

Глава 10. Замечания о развитии науки

Как сказал Weinberg, новая теория может быть "centuries away" (т.е., в очень отдаленном будущем). Такая точка зрения отличается от утверждений «струнщиков» (которые, впрочем, в последнее время сильно поутихли), что теория струн будет TOE. Скорее всего, Weinberg прав. Действительно, все громкие успехи фундаментальной квантовой теории (например, аномальные магнитные моменты электрона и мюона, Лэмбовский сдвиг и др.) получены в теории возмущений. А там, где она не работает (например, для вычисления масс элементарных частиц), ситуация выглядит как полная безнадега.

Казалось бы, раз такая ситуация существует уже в течении многих десятилетий, то что-то неладно в королевстве датском и надо искать принципиально новые подходы. То, что что-то неладно, очевидно, например, из замечаний в разделе 9.5 о том, что описание квантовых явлений при помощи непрерывной математики по меньшей мере неестественно.

Многие физики, принадлежащие к establishment признают, что что-то неладно. Например, Weinberg в своем трехтомнике по QFT пишет, что ее надо рассматривать “in the way it is”, но в тоже время она может быть “a low energy approximation to a deeper theory that may not even be a field theory, but something different like a string theory”. Но из этой цитаты ясно, что Weinberg думает, что что-то более фундаментальное будет сделано в рамках той же непрерывной математики. И так думает почти весь establishment.

Т.е., establishment думает, что в общем и в целом все идет хорошо и фундаментальная физика должна развиваться по эволюционному пути, а не революционному. И основные деньги, выделяемые на так наз. фундаментальную физику идут на многочисленные эксперименты, которые на самом деле никакого отношения к фундаментальной физике не имеют.

Например, ОТО существует уже 100 лет, ее все время проверяют и обсуждают является ли она лучшей (классической) теорией гравитации или нет. Допустим, что еще через 100 лет после многочисленных экспериментов будет установлено, что она действительно лучшая и ответ на вопрос был ли Эйнштейн прав на 100 % или только на 99 % будет такой: на 100 %. Что это даст для развития фундаментальной физики?

Когда ОТО была создана, квантовой теории еще не было, но теперь мы знаем, что представления классической физики выглядят по меньшей мере наивно. Например, с точки зрения квантовой теории, обсуждение вопроса о кривизне пространства выглядит весьма странным. Поэтому было бы как раз интересно, если бы выяснилось, что даже на классическом уровне природа гравитации не такая, как это представляется в ОТО. Но т. к. все усилия establishment’a направлены на доказательство правильности ОТО, то вряд ли что-то другое здесь пробьется.

Другой пример – из квантовой физики. Основными целями ускорителя LHC были объявлены поиск суперсимметрии и Хиггс бозона. Суперсимметрию не нашли, а вокруг предполагаемого открытия Хиггс бозона идут большие споры и будет проведено еще много экспериментов. Но как бы не решился вопрос с Хиггс бозоном, это не имеет значения для понимания того, почему в теории есть расходимости и как выйти за рамки теории возмущений.

Итак, при существующем подходе establishment’a к фундаментальной физике не просматривается никаких перспектив, что какие-то фундаментальные открытия будут сделаны. Поэтому, по аналогии с российскими политическими дискуссиями, возникают два ключевых вопроса: кто виноват и что делать?

Казалось бы, естественно думать, что, для того чтобы наука развивалась, у ученых должны быть возможности для занятия наукой, т.е., по крайней мере, за занятия наукой ученым надо платить деньги. Сразу ясно, что нельзя платить всем кто сказал, что он ученый и хочет заниматься наукой, т.е., должна быть какая-то система отбора. Кто должен решать, кому платить а кому нет? Люди, которые судят о науке, исходя только из того, что они читали в популярной литературе, наверное, думают, что эти вопросы решают признанные ученые с высокими моральными качествами и что ученые, как правило, являются порядочными людьми. Например, один из знаменитых примеров – как Эйнштейн и Бор спорили о квантовой теории, как спорили на Сольвеевских конгрессах и т.д.

Казалось бы, принцип, что "в спорах рождается истина" является для науки очевидным и что в науке не должно быть ситуации как в бывшем СССР, где только коммунистическая идеология имела право на существование. Если посмотреть на то, что делается в науке с чисто формальной точки зрения, то можно подумать, что здесь все высокие моральные критерии соблюдены. Формально важные решения принимаются на научных советах, где могут быть разные точки зрения, есть много научных журналов, которые в своих editorial policy клянутся, что все будет рассмотрено честно и т.д. В связи с этим напрашивается сравнение, что сталинская конституция 1936 г. была очень демократичной, там были свобода слова, собраний и т.д. Но все понимали, что это означает на самом деле.

Наверное, суждение каждого ученого об этих вопросах, в основном, определяется тем как сложилась его жизнь, каких людей он встретил, кто ему помог, кто помешал и т.д. Может быть, у многих действительно все сложилось как должно быть в теории, и в их случае система сработала по высшим моральным стандартам.

В своей научной карьере я встречался со многими учеными и многие из них действительно были людьми с самыми высокими моральными стандартами. Например, как я писал, большое влияние на меня оказали Леонид Авксентьевич Кондратюк и Скифф Николаевич Соколов. Но, как я показываю ниже на многих примерах, в моем случае абсолютное большинство людей из establishment, от которых я зависел, оказались людьми без больших моральных принципов, т.е., попросту очень непорядочными. И оказалось, что то, что написано в editorial policy так наз. престижных журналов очень часто – просто вранье и эти editorial policy никто не собирается выполнять. И еще оказалось, что так наз. больших ученых из establishment, которые совершают непорядочные поступки, совершенно не волнует то, что об этих поступках узнают, пострадает их репутация и т.д. В главах 12–16 мои отношения с этими людьми и с так наз. престижными журналами подробно описаны и читатель сам сможет судить верны мои заключения или нет.

Казалось бы, те кому предлагают быть рецензентами, вначале должны посмотреть editorial policy и решить смогут ли они написать рецензию в соответствии с этой policy. Но, судя по всему, для абсолютного большинства рецензентов, editorial policy не имеет большого значения, и они думают, что знают лучше какие статьи можно публиковать. И проблема еще в том, что в чистой науке (например, в теоретической физике или математике) нет четких критериев какие статьи можно публиковать. Поэтому все зависит от того на какого рецензента попадешь.

Я писал отрицательные отзывы только тогда когда явно показывал где ошибка в математике и результаты статьи зависели от этих ошибок. Но даже и в этих случаях статьи иногда публиковались т. к., видимо, автор "имел блат", т.е., за ним стоял кто-то влиятельный. А когда я стал работать в программистской компании, то увидел, что здесь критерии совсем другие и очень простые: если твои программы продаются, то они хорошие, и не важно красивая ли программа, на каком языке она написана и т.д.

Я думаю, что главная причина такой тупиковой ситуации в современной квантовой теории как сейчас – даже не то, что новые идеи даются трудно, а то, что при такой деградации моральных принципов как сейчас новые идеи практически не имеют шансов как-то пробиться. Большие люди из establishment, которые получили свои позиции и решают кому давать или не давать позиции и гранты, стоят насмерть, чтобы не пропустить хоть что-то, что (как они думают) может бросить хоть какую-то тень на те догмы на которых они добились своего положения. Поэтому я думаю, что ответ на первый вопрос в заглавии этого раздела такой: виновата система в которой сейчас существует наука. Соответственно, ответ на второй вопрос такой: менять систему. Но возникает естественный вопрос: как?

Система должна быть такой, что люди, совершающие непорядочные поступки должны знать, что это будет известно, пострадает их репутация и им от этого станет хуже. Но сейчас репутация почти не имеет никакого значения. Проблема еще в том, что с такой ситуацией мирятся абсолютное большинство ученых. Общепринятая система такая, что если ты не считаешься больших ученым, то должен заниматься какими-то частными задачами и не лезть в высокие материи. Если это неписанное правило не выполняешь, то тебя не включат в грант, не дадут позицию и т.д.

Мне казалось, что если кто-то получил Нобелевскую или другую престижную премию, то после этого он может позволить себе роскошь не делать непорядочные поступки. Но, как показано в главах 12–16, это происходит далеко не всегда. Может быть, дело в том, что эти люди получили свои премии внутри системы, где высокие моральные качества не котируются. Кроме того, возникает крамольный вопрос, действительно ли они получили свои премии за большие научные достижения. Прошло уже более 30 лет после открытия W и Z бозонов и с тех пор никакие базовые догмы не изменились. Все также все крутится вокруг ОТО и QFT, а теории, которые их обобщают или объединяют пока не построены. Мне кажется, что единственная надежда в этой ситуации – если какое-то фундаментальное открытие все же пробьется и те, которые это сделают, окажутся приличными людьми.

План дальнейшего изложения такой. В главе 11 опишу основные идеи, на которых основаны мои работы. Надеюсь, что тот, который захочет разобраться, согласится, что идеи разумные и кардинально новые. Поэтому, казалось бы, развитие подходов, основанных на этих идеях имеет право на существование. В главах 12–16 опишу свои попытки опубликовать результаты, основанные на этих идеях и эта история подтверждает сказанное выше.

Глава 11. Основные идеи на которых основаны мои работы

11.1. Алгебра первична, а пространство вторично

В главе 7 я писал о том как Леонид Авксентьевич Кондратюк и Скифф Николаевич Соколов помогли мне в жизни. А теперь опишу почему их влияние определило мою дальнейшую жизнь в науке. Я писал как начал работать с Леонидом Авксентьевичем. Он был известным теоретиком в ИТЭФе, но в то же время не считалось, что он занимается большой наукой. В ИТЭФе большой наукой была только QFT и считалось, что И.С. Шапиро и его лаборатория занимаются какими-то прикладными задачами, которые не являются фундаментальными. Л.А. предложил мне заниматься тем, что потом стало моей кандидатской с названием "Процессы упругого рассеяния на дейтроне с большими переданными импульсами". Мне кажется, что там получились интересные результаты, но их описывать не буду. А после кандидатской возник вопрос чем заниматься дальше и он предложил мне заниматься теорией прямых взаимодействий. Вкратце, основная идея такая.

В нерелятивистской физике взаимодействия частиц описываются при помощи потенциала. Хорошо известные примеры потенциалов – кулоновский потенциал для электрического взаимодействия и гравитационный потенциал для гравитационного. Но с точки зрения QFT считается, что потенциальное описание не может быть правильным в релятивистском случае. Один из аргументов такой. Если взаимодействие между частицами описывается потенциалом, зависящим только от расстояния, то, если одну частицу даже слегка сдвинуть, то вторая должна почувствовать это сразу. Но это противоречит принципу, что никакое взаимодействие не может передаваться со скоростью быстрее скорости света.

С точки зрения QFT, любая теория с взаимодействием автоматически становится теорией с бесконечным числом частиц т.к. при взаимодействиях может происходить обмен с любым числом виртуальных частиц, а при высоких энергиях уже может рождаться любое количество реальных частиц. Но в так наз. few-body community занимались подходом, когда система с фиксированным числом взаимодействующих частиц рассматривается релятивистски. Оправдание такое, что в некоторых ситуациях при не очень высоких энергиях чисто кинематические релятивистские эффекты важнее чем рождение (реальное или виртуальное) других частиц.

В этом подходе возникает такая проблема. Допустим, у нас есть три частицы, H₀ – их свободный гамильтониан, V₁₂ – оператор энергии взаимодействия частиц (1,2) и аналогично, V₁₃ и V₂₃ – операторы энергии взаимодействия частиц (1,3) и (2,3) соответственно. Тогда нельзя, по аналогии с нерелятивистской теорией, считать, что полный гамильтониан равен H=H₀+ V₁₂+V₁₃+V₂₃, потому, что это нарушит релятивистские коммутационные соотношения. И Леонид Авксентьевич рассказал, что в ИФВЭ есть такой Соколов, который придумал метод пакующих операторов, который эту проблему решает. Я занялся этой проблемой и познакомился со Скиффом Николаевичем.

И для моей работы, важным оказалось то что, как описано в параграфе 9.6, на фундаментальном квантовом уровне симметрия задается не пространством, а алгеброй коммутационных соотношений и на этом уровне никаких пространств и его преобразований нет. Из дальнейшего будет ясно, почему эта идея фундаментальная.

11.2. Симметрия де Ситтера

Еще одна история, которая оказала на меня влияние была такая. У моего тогдашнего завлаба Н.В. Кузнецова была распечатанная статья Дайсона (Dyson) “Missed Opportunities”, название которой было переведено на русский как "Упущенные Возможности". Эта статья была обернута бумагой, на которой была фотография симпатичной девушки в бикини, и Н.В. Кузнецов шутил, что фотография хорошо иллюстрирует название статьи. Насколько я понял, основная идея статьи такая. Dyson занимался и физическими и математическими задачами. Он пишет, что когда он занимался математическими задачами, то у него мозги работали как у математика и он проходил мимо важных физических идей и аналогично когда он занимался физическими задачами, то проходил мимо важных математических идей.

Например, релятивистская теория более общая чем нерелятивистская не только из физических соображений, а просто потому, что группа Галилея – частный случай группы Пуанкаре: группа Галилея получается из группы Пуанкаре контракцией. А группа де Ситтера более общая чем группа Пуанкаре т. к. группа Пуанкаре получается из группы де Ситтера контракцией. А т.к. группа де Ситтера полупростая, то ее уже нельзя обобщить дальше. Казалось бы, из этого должно сразу следовать, что теории претендующие на то, чтобы считаться фундаментальными (например QFT) должны строится на де Ситтер симметрии, а не на Пуанкаре симметрии. Какие-то попытки в этом направлении были. Например, помню, что был на лекции В.Г. Кадышевского в Политехническом Музее, где он говорил, что для де Ситтера расходимости устраняются лучше. Сейчас многие занимаются де Ситтер теорией, но как? Об этом ниже. Но статья Дайсона появилась в 1972 г., т. е. прошло уже более 50 лет, а учебники по QFT по-прежнему исходят из релятивистской инвариантности (т.е., Пуанкаре симметрии) и все самые громкие проекты основаны на этой инвариантности.

Из моих обсуждений с физиками, работающими в частицах, у меня сложилось такое впечатление о вероятной причине. Многие из них знают, что де Ситтер симметрия формально более общая чем Пуанкаре симметрия, и что вторая получается из первой в формальном пределе R→∞, где R – это как бы радиус Вселенной. И т. к. этот радиус намного больше размеров элементарных частиц, то они думают, что де Ситтер симметрия может иметь смысл в космологии, а применять ее к частицам совершенно незачем. Однако, более общая теория может пролить совсем другой свет на стандартные понятия и, как описано ниже, в случае с де Ситтер симметрией это действительно так даже в частицах.

Много лет спустя я написал Дайсону, что его статья произвела на меня впечатление, и, в духе этой статьи, конечная математика более фундаментальна чем классическая. Еще, в частности, написал: "Most physicists and mathematicians believe that standard continuum math is fundamental while finite math is something inferior. They do not care much that standard math has foundational problems and even such beautiful minds as Cantor, Gödel, Hilbert, Zermelo and many others could not solve them.

I give simple arguments that the situation is the opposite: standard math is only a special case of finite one in the formal limit when the characteristic of the ring or field in finite math goes to infinity. So the foundational problems of standard math are not fundamental. Maybe this is not politically correct to say but I believe that by introducing infinities people created a headache for themselves and now heroic efforts are needed to get rid of this headache”.

Надеялся, что он меня поддержит. Но его ответ был такой: "No useful comments. Whether you prefer Galois fields or a continuum is a matter of taste. To my taste, Galois fields are beautiful but the continuum is even more beautiful. Yours, Freeman Dyson. " Что ж, и на этом спасибо. Во всяком случае он не сказал, что я написал бессмыслицу, покушаюсь на святое и т.д. Но я был разочарован тем, что даже такой образованный физик и математик не признает, как мне кажется, очевидное. Что тогда можно ожидать от других? Я вернусь к этому вопросу ниже.

Сейчас пытаюсь вспомнить когда читал эту статью Дайсона. Кажется, это было приблизительно в 1977 г. Эта оценка основана на том, что статью читал в квартире Н.В. Кузнецова в Хабаровске, где он просил пожить на время его отъезда. Я стал жить в Хабаровске после защиты кандидатской в конце 1976 г., а в начале 1978 г. институт дал мне какое-то жилье, так что мне незачем было у кого-то жить. И тогда может возникнуть такой вопрос. Я критикую физиков за то, что они сразу после статьи не перешли с Пуанкаре на де Ситтера, а почему я сам сразу не перешел? Попробую как-то оправдаться.

Раньше думал, что после защиты кандидатской даже не буду пытаться сделать докторскую. а буду заниматься чем хочу. Когда кандидат наук получал должность старшего научного сотрудника (с.н.с), его зарплата в Хабаровске была 360 рублей в месяц т.к. базовая зарплата была 300 и дальневосточный коэффициент был 1.2. На такие деньги вполне можно было хорошо жить и ни о чем не думать. Но Н. В. Кузнецов не хотел давать мне с.н.с и, кроме того, жизнь стала ухудшаться. Поэтому стал думать о том, что докторскую делать придется. И т. к. жил далеко от Москвы, то возможности контактов с учеными были ограничены, и я решил, что единственной реальной возможностью для меня сделать докторскую была теория релятивистских прямых взаимодействий, о которой писал выше. На это уходило почти все время и поэтому серьезно заниматься чем-то другим не получалось.

Но дополнительный толчок к де Ситтеру дал разговор с моим родственником и тогдашним начальником Эдиком Мирмовичем. Как-то он рассказал мне о своей идее, что фундаментальными физическими величинами являются угловые моменты. Я пытался понять, что он имел в виду. Помню я ему сказал, что в группе Пуанкаре 10 генераторов, из них 6 описывают обычные и Лоренцевские вращения, но остальные 4 – энергия и импульс – уже не вращения. Спросил, имел ли он в виду де Ситтера. Здесь все 10 генераторов – угловые моменты. Из них 6 – такие же как в Пуанкаре, а остальные 4 при контракции де Ситтера в Пуанкаре переходят в энергию и импульс. Так что на квантовом уровне эта идея – как раз то, что написано в статье Дайсона.

После этого разговора, у меня появилась надежда, что удастся заниматься де Ситтером не только в свободное от работы время, но и в рабочее время. Увы, это оказалось только надеждой и не буду описывать почему. Но удалось опубликовать несколько статей в журнале Journal of Physics A: Mathematical and General, который тогда был очень приличным, а теперь стал кондовым (см. ниже). Пожалуй, наиболее важный результат такой. В духе знаменитой работы Вигнера, элементарные частицы описываются неприводимыми представлениями группы симметрии. Т.е., в Пуанкаре инвариантной теории это представления группы Пуанкаре, а в де Ситтер инвариантной теории – представления группы де Ситтера. Еще более точно, в духе идеи Л.А. Кондратюка, надо рассматривать не представления групп, а представления соответствующих алгебр Ли.

В представлениях алгебры Пуанкаре спектр оператора энергии либо строго положителен либо строго отрицателен. Первые представления ассоциируют с частицами, а вторые – с античастицами. Но в so(1,4) алгебре де Ситтера одно неприводимое представление содержит состояния как с положительными так и с отрицательными энергиями. В предельном переходе R→∞ одно неприводимое представление алгебры so(1,4) разбивается на два неприводимых представления алгебры Пуанкаре для частицы и ее античастицы. Поэтому, с точки зрения симметрии де Ситтера, сами понятия частицы и античастицы только приближенные. И законы сохранения электрического заряда, барионного и лептонных квантовых чисел могут быть только приближенными. Сейчас они хорошо работают потому что на данном этапе эволюции Вселенной величина R очень большая. Но если Вселенная произошла из чего-то малого, то на ее ранних стадиях R не было большим и все эти законы сохранения не имели места. Возможно, что объяснение так наз. проблемы барионной асимметрии Вселенной как раз такое. В любом случае, этот пример показывает, что, всегда когда можно, надо иметь дело с более общей теорией, даже если кажется, что менее общая теория является достаточным приближением.

11.3. О размерностях

Прежде чем описывать мой подход основанный на конечной математике, сделаю такое замечание. В физике, основанной на конечной математике, все физические величины могут быть только дискретными. В такой ситуации непонятно, имеют ли смысл размерности физических величин и связь между различными единицами измерения. Размерности существуют уже 300 лет или больше и о них по-прежнему много говорят. Но квантовая теория и релятивизм явно намекают (хотя даже в учебниках это не пишут), что на размерности может быть другой взгляд. Например, квантовая теория говорит, что угловой момент может быть только целым или полуцелым в единицах ћ. Исторически сложилось так, что угловой момент измеряют в единицах m·kg/sec. Но это необязательно. На фундаментальном уровне угловой момент – просто целое или полуцелое число. Т.е., можно вообще забыть про ћ. Многие пишут, что работают в системе единиц, где ћ=1. Это затуманивает т.к. создает впечатление, что мы пересчитываем из одних единиц в другие. А на самом деле это означает, что про ћ можно забыть. Т.е., переход от квантовой теории к классической – это не ћ→0, а просто когда угловые моменты очень большие. Этот пример поучителен еще тем, что показывает, что когда дискретная величина большая, то она кажется непрерывной.

Другой пример – релятивизм говорит, что c – фундаментальная константа и что никакая скорость v не может быть больше c (если не учитывать тахионы). Но это означает, что в непрерывной релятивистской теории скорости можно считать безразмерными. Грубо говоря, их можно измерять в единицах v/c. Но на самом деле это означает, что в такой теории скорости должны измеряться величинами меньшими единицы, а про c можно забыть вообще. Тогда переход к нерелятивизму – это не когда c→∞, а частный случай ситуации когда все v<<1.

Наконец, в де Ситтер инвариантной теории есть только угловые моменты и там все операторы имеют одинаковые размерности – все они безразмерны и массы безразмерны. Де Ситтеровская масса μ и стандартная масса m связаны соотношением (неявно предполагая, что c=ћ=1) μ =mR, где R – параметр контракции от алгебры де Ситтера в алгебру Пуанкаре. Этот параметр можно назвать радиус де Ситтера (радиус мира), но в общем случае этот параметр не имеет никакого отношения к радиусу пространства де Ситтера; как показано в моих работах, это имеет место только в квазиклассическом приближении. Говорят, что де Ситтер переходит в Пуанкаре в формальном пределе R→∞. Но на самом это означает, что про параметр длины R можно забыть и формальный переход от де Ситтера к Пуанкаре получается когда де Ситтеровские аналоги обычной энергии и обычного импульса очень большие.

Итак в самом общем подходе, когда мы имеем квантовую теорию с симметрией де Ситтера, никаких размерностей нет вообще, а все физические величины измеряются просто числами.

Обычно считается, что в классической теории нет никаких параметров, в релятивизме появляется c, в квантовой теории ћ, а в гравитации G, и это три фундаментальные константы. Окунь написал статью про куб физических теорий, где есть куб, вершины которого имеют координаты, определяемые величинами (0,c,ћ,G) и теория тем более общая чем от больших ненулевых констант она зависит. А самая общая теория – в самой последней вершине куба с координатами (c,ћ,G). А на самом деле ситуация обратная. В общей теории нет никаких параметров, а в классике есть три параметра – (kg, m, sec). Эти параметры придумали люди много лет тому назад и назвали это системой единиц. Никакого фундаментального смысла в этих параметрах нет, просто так сложилось исторически.

Вывод – понятие единиц измерения – надуманное, оно возникло только в силу исторических причин. Например, можно спросить, почему c=300000km/sec, а не 100000km/sec. Ответ – потому, что мы так выбрали km и sec. Аналогично, не имеет смысл вопрос о том почему (ћ,R) такие как они есть. Поэтому в рассуждениях о важности той или другой единицы измерения не вижу большого смысла.

Как одно из следствий указанных результатов, отмечу следующее. Как показано в моих работах, в квазиклассическом приближении, результаты квантовой теории с симметрией де Ситтера для космологического расширения формально такие же как и результаты OTO, если Λ=3/R^2. Как объяснено выше, вопрос о том почему R такое, а не другое, не стоит т.к. ответ такой: R такое потому что мы хотим измерять расстояния в метрах. Поэтому, в моем подходе, результат для космологического расширения получается без всяких модельных предположений и вопрос о том почему Λ такое, а не другое не стоит. Мой подход к космологическому расширению более общий чем подход ОТО т.к. ОТО – чисто классическая теория, а любая классическая теория должна быть следствием квантовой в квазиклассическом приближении. Кроме того, если в ОТО, R – модельно зависимый параметр, то моем подходе нет свободы в выборе R. Поэтому, в моем подходе, космологическое расширение объясняется без всяких модельных предположений и модельных параметров, и, для этого объяснения, dark energy, quintessence и прочая экзотика не нужны.

11.4. Почему конечная математика самая фундаментальная и фундаментальная квантовая теория будет основана на конечной математике

В воздухе всегда была идея, что избежать расходимостей в квантовой теории можно будет только если теория будет основана на конечной математике. Какие-то попытки в этом направлении были, но они не были популярны у физиков. Наверное, одна из основных причин та, что, как правило, физики не знают даже самых азов конечной математики. Математическое образование на физических факультетах исходит из того, что математика нужна физикам только для приложений. А т.к. вся физика, в том числе и квантовая, основана на стандартной классической математике, то и незачем преподавать физикам конечную математику.

Как я отмечал в разделе 9.5, из самого факта существования атомов и элементарных частиц сразу становится очевидным, что стандартное деление не может быть фундаментальным понятием. А значит понятия бесконечно малых, бесконечно больших, непрерывности, дифференцируемости и т.д. могут быть только приближенными, и фундаментальная квантовая теория не должна быть на них основана. Я спрашивал у физиков, согласны ли они с этим. Философия абсолютного большинства физиков такая, что раз стандартная математика работает, но незачем философствовать и придумывать что-то другое, тем более, что ничего другого они не знают.

Такая философия общепринята несмотря даже на то, что проблема расходимостей как возникла в 40х годах 20-го века, так и существует до сих пор. В так наз. перенормируемых теориях эту проблему можно как-то обойти, но в квантовой гравитации и это не удается. Тем не менее, большинство физиков не считают проблему расходимостей серьезной. По их мнению, раз теория дает 8 правильных знаков для аномальных магнитных моментов электрона и мюона, 5 правильных знаков для Лэмбовского сдвига и т.д., то рано или поздно все остальные проблемы тоже решатся при помощи стандартной математики.

Например, Weinberg, который внес большой вклад в QFT, пишет что QFT должна рассматриваться "in the way it is," но в то же время она является "low energy approximation to a deeper theory that may not even be a field theory, but something different like a string theory". Т. е. он признает, что проблемы существуют и думает, что они будет решены в какой-то теории обобщающей QFT, но которая опять-таки будет основана на стандартной непрерывной математике.

Таким образом, получается странная ситуация: все, вроде бы, согласны, что природа дискретна и об этом говорит даже термин "квантовая теория". Но все проблемы теории пытаются решить при помощи непрерывной математики. Т.е., все получается как в анекдоте, который рассказал мне мой друг Толя Штилькинд: "Группа обезьян получила задание достичь Луну. После этого все обезьяны начали карабкаться на деревья. Та обезьяна, которая залезла выше всех, думает, что у нее самый большой прогресс, и она ближе к цели чем остальные обезьяны". Этот анекдот я привел даже в своей монографии [7]. Этот анекдот также содержит мораль, что, чтобы достичь Луну, надо вначале слезть с деревьев. Эту мораль я не привел, считая ее очевидной.

Из сказанного ясно, что у физиков необходимость в конечной математике может возникнуть только в двух случаях: а) они убедятся, что при помощи только стандартной математики проблемы решить нельзя (т.е., пока гром не грянет, мужик не перекрестится); 2) при помощи конечной математики будут получены важные физические результаты, которые не могут быть получены в непрерывной математике.

Как и большинство физиков, я не знал самых основ конечной математики. Чисто случайно, когда мне было около 40, наткнулся на книгу (уже не помню какую), которая показалась мне интересной. Из нее узнал про поля Галуа и удивился, что физики их не знают, хотя их можно преподавать уже в первом или втором классе (например, после того как прошли деление).

Простой пример поля Галуа – множество F₅ из пяти элементов (0, 1, 2, 3, 4), в котором действия определяются так. Сложение определяется как обычно, но по модулю 5. Например, 1+1=2, 2+2=4 как обычно, но 2+3=0 или 4+4=3. Если a – элемент множества F₅, то противоположный элемент b=-a определяется так, что в a+b=0 в F₅. Например, – 1=4, – 2=3 и т. д. Так что мы имеем сложение и вычитание. Произведение определяется как обычно, но по модулю 5. Например, 2·2=4, но 2·4=3. Наконец, противоположный элемент

b=1/a определяется так, что a·b=1 в F₅. Например, 1/2=3, 1/4=4 и т.д.

Более общий пример поля Галуа – множество F_p из p элементов (0,1,2,… p-1), где действия определяются по модулю p. Тогда, если p – простое, то в F_p возможны все 4 арифметических действия.

Читатель может сказать, что пример с F₅ не имеет никакого отношения к реальной жизни, где, например 3+2=5, а не 3+2=0. Но допустим, что физика в нашем мире определяется математикой с полем Галуа F_p, где p – очень большое. Т.к. операции в F_p определяются по модулю p, то мы можем обозначать элементы из F_p не только как (0,1,2,…p-1), но и, например, как (-(p-1)/2,-(p-3)/2,… —1,0,1,…(p-3)/2,(p-1)/2). Этот набор называется набором минимальных вычетов. Тогда все будет как обычно до тех пор пока будем складывать, вычитать и умножать числа, которые по модулю намного меньше p, т.е., при этом существование p не будет чувствоваться, а отличие от обычной математики будет чувствоваться только когда мы имеем дело с числами не намного меньшими чем p.

Но читатель может сказать, что пример с F_p тоже нереалистический т.к. здесь деление совсем не такое как обычно. Например, 1/2 в F_p – это очень большое число (p+1)/2, что, казалось бы, противоречит здравому смыслу. На это возражение можно ответить следующим образом. Во-первых, как я отмечаю в своих работах, противоречия нет т.к. в квантовой теории пространства состояний проективные. А во-вторых, как отмечено выше, стандартное деление тоже проблематично и поэтому возникает вопрос, будет ли будущая квантовая теория основана не на конечном поле, а на конечном кольце, где есть только три действия – сложение, вычитание и умножение.

Вторая возможность представляется очень привлекательной даже из эстетических соображений. История физики говорит, что желательно вводить наименьшее возможное число понятий и не вводить понятия, которые не имеют фундаментального смысла. В своих первых работах я исходил из того, что конечная квантовая теория должна быть основана на конечном поле, но Metod Saniga написал мне, что случай кольца еще более интересный.

Т.к. в течении многих лет моя жизнь проходила среди физиков, то вначале я не связывал физику над конечной математикой с какой-то философией, и думал, что конечная математика должна рассматриваться только с точки зрения приложений к физике. Первая идея применения конечной математики была такая. Рассмотрим квантовую электродинамику с симметрией де Ситтера и над конечной математикой. Тогда в базисе угловых моментов, неприводимые представления для электрона, позитрона и фотона будут конечными т.к. угловой момент не может превосходить характеристику конечного поля. Это приведет к естественной регуляризации вместо регуляризации Паули-Вилларса и теория автоматически не будет содержать расходимостей.

Однако, потом выяснилось, что такая наивная идея не проходит в связи со следующим. В теории над конечным полем или кольцом частица и ее античастица автоматически принадлежат одному и тому же представлению, и нет представлений для нейтральных частиц. Так что в таком подходе даже фотон не может быть элементарной частицей. Зная менталитет физиков, думаю, что большинство из них сразу скажут, что раз фотон – не элементарная частица, то теория нефизическая.

Выше я описывал пример, когда в стандартной теории (над комплексными числами) с алгеброй де Ситтера so(1,4) понятия частицы и античастицы кардинально меняются. Но в случае алгебры де Ситтера so(2,3) мы по-прежнему имеем представления с положительными и отрицательными энергиями, т.е. можно по-прежнему говорить о частицах и античастицах. Но в случае представлений над конечным кольцом или полем ситуация аналогична той, что получается для so(1,4) и здесь само понятие элементарной частицы кардинально меняется для любых представлений.

Например, раз частица и ее античастица принадлежат одному неприводимому представлению, то переходы частица↔античастица не запрещены, но вероятность таких переходов мала, если характеристика поля или кольца большая. Так что, строго говоря, сами понятия частицы и античастицы являются приближенными, и законы сохранения электрического заряда, барионного и лептонного квантовых чисел тоже приближенные. Эти законы хорошо работают потому что в настоящее время характеристика поля или кольца очень большая. Естественно предположить, что на ранних стадиях мира она была намного меньше. Тогда переходы частица↔античастица были намного более вероятными и это дает еще одно естественное объяснение так наз. барионной асимметрии мира.

В такой теории нет проблемы бесконечной энергии вакуума и связь между спином и статистикой имеет естественное объяснение. Здесь естественной элементарной частицей может быть Дираковский синглетон. Как показали Flato and Fronsdal, безмассовая частица (например, фотон) может быть построена из двух синглетонов. И еще один интересный момент, который ставит под сомнение существующее понятие элементарной частицы. Даже для симметрии де Ситтера без конечного кольца или поля (а с ними подавно) масса частицы – не размерная величина, а безразмерная. Если для оценки принять, что радиус мира – величина порядка 1026m, то даже масса электрона будет порядка 1039, т.е., громадная величина. Трудно поверить, что частица с такой массой является элементарной.

Все эти свойства физики над конечной математикой описаны в моих работах. Но я думаю, что рано или поздно фундаментальная квантовая физика будет над конечной математикой не только потому, что такая физика будет лучше, а и потому, что сама конечная математика более фундаментальна чем стандартная непрерывная математика. Как показано в моих работах, даже с чисто математической точки зрения, непрерывная математика – это частный вырожденный случай конечной в формальном пределе, когда характеристика поля или кольца в конечной математике стремится к бесконечности. Почему вырожденный? Как показано в моих работах, любой результат стандартной математики в квантовой теории может быть воспроизведен с любой точностью в конечной математике для всех p больших некоторого значения. С другой стороны, когда мы перешли к пределу p→∞, то все операции по модулю числа потеряны, и стандартная математика не может воспроизвести все результаты конечной математики. Она может воспроизвести только те результаты в которых все числа намного меньше p. Здесь есть аналогия с тем, что нерелятивистская теория является частным вырожденным случаем релятивистской в формальном пределе c→∞: релятивистская теория может воспроизвести все результаты нерелятивист нерелятивистской с любой заданной точностью при каком-то выборе c. С другой стороны, нерелятивисткая теория может воспроизвести только те результаты релятивисткой в которых все скорости намного меньше c.

В разделе 9.5 я отмечал, что стандартная математика имеет проблемы с обоснованием и, несмотря на попытки многих знаменитых людей, эти проблемы не решены. Теоремы Гёделя о неполноте тоже говорят о том, что стандартная математика несамосогласованна. Но если посмотреть на стандартную математику с точки зрения, что она является частным случаем конечной, то проблем нет. С этой точки зрения стандартная математика может рассматриваться только как аппарат, который во многих случаях (но не всех) дает хорошее приближенное описание, поэтому нет нужды такую математику обосновывать т.к. в конечной математике проблем с обоснованием нет.

Подход основанный на конечной математике является более естественным и с точки зрения, что здесь любые утверждения проверяемы, по крайней мере в принципе. Более того, здесь работает принцип, что любое утверждение является правильным или нет, если есть способ это проверить.

Например, мы хотим проверить, утверждение 10+20=30 правильное или нет. Например, хотим проверить это на компьютере или счетах. Любое счетное устройство может вычислять только по модулю какого-то числа p, которое зависит от объема памяти этого устройства. Например, если p=40, то мы действительно получим, что 10+20=30, но если p=25, то мы получим, что 10+20=5. Отсюда ясно, что любые математические операции (даже 2·2=4) проверяемы только если они по модулю какого-то числа. Стандартная математика – идеализируемый частный случай конечной, в формальном пределе, когда p→∞.

Хотя стандартная математика – часть нашей повседневной жизни, но большинство людей не осознает, что в ней есть неявное предположение, что ресурсы неограниченны. И в стандартной математике нет принципа, что для любого утверждения его правильность может быть проверена. Например, нельзя проверить, что a+b=b+a для любых натуральных чисел a и b.

То, что любое утверждение должно быть проверяемо – часть Венской школы позитивистской философии, в которой неформальным руководителем был Moritz Schlick. С другой стороны, в философии, которую развивал Karl Popper есть “The Falsification Principle”, и, как говорил Popper, “science is more concerned with falsification of hypothesis than with the verification.” Здесь утверждение, что всегда a+b=b+a считается условно верным до тех пор, пока не найдены такие числа a и b, что a+b≠b+a. Ясно, что квантовая теория ближе по духу к Венской школе, а классическая – к философии Popper. Поэтому неудивительно, что в споре Эйнштейна и Бора о квантовой теории Popper был полностью на стороне Эйнштейна.

У некоторых моих читателей возникло впечатление, что конечная математика отменяет, например, π, e, уравнения Максвелла, теорему Пифагора, и т. д. В связи с этим, напомню, что, как уже отмечалось, более общая теория не отменяет менее общую, но говорит, что менее общая теория является хорошим приближением только при каких-то условиях.