Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Поэтому мы поехали к нам домой. Тогда у нас уже было двое детей и мы жили в довольно маленькой двухкомнатной квартире, но как-то разместились. И Боря мне говорит, что почему я сижу в Хабаровске, что уже другие времена и доктору физмат. наук, даже еврею, можно найти работу в физических институтах. Он был руководителем теоргруппы в Лаборатории Ядерной Физики в Дубне и сказал, что постарается меня туда взять. Меня поразило, что для него не было проблемы взять такси (для нас это было дорого), но больше всего поразило, что когда приехали в аэропорт, то он поменял 2 доллара и купил билет Хабаровск-Москва. Тогда билет стоил 135 руб., а курс доллара был 90 рублей за доллар, т.е., цена билета была 1 доллар и 50 центов. Он сказал, что перед отлетом из Сан Франциско купил в аэропорту кофе с булочкой за 4 доллара.

Боря действительно устроил то что меня взяли в Дубну и мы переехали туда в мае 1992 г. Эта история показывает, что жизнь часто зависит от совершенно непредсказуемых обстоятельств. Если бы не встретил Борю в аэропорту, то наша жизнь сложилась бы совсем по-другому, ясно, что мы бы не поехали в Дубну и, наверное, не поехали бы в Америку. Переезд из Хабаровска в Америку был для нас нереальным т.к. надо было всем лететь в Москву на интервью в американском консульстве, надо было где-то снимать гостиницу и т.д. Сейчас мои дети рады, что переехали в Америку и, конечно, больше всего они обязаны Боре.

Глава 8. Мои впечатления о школе Ландау

Все физики моего поколения, наверное, знают о взаимной нелюбви школ Ландау и Боголюбова, но более молодые, наверное, не знают. Я был в среде тех, кто считал себя последователем Ландау, но чувствовал себя некомфортно как тот, который приходит со своей религией в чужой монастырь. Боголюбовцев не любили из нескольких соображений. Среди ландаувцев было много евреев, а среди боголюбовцев их почти не было. Поэтому было подозрение, что боголюбовцы антисемиты. Есть косвенные подтверждения, что это так. Но, с точки зрения науки, принципиальное расхождение было такое. Ландаувцы считали, что т. к. физика – экспериментальная наука, то любые теоретические результаты имеют значение только для того, чтобы правильно описать эксперимент. В частности, математика считалась только техническим аппаратом и считалось, что незачем наводить здесь строгость. Того, кто пытался работать с более строгой математикой, в ИТЭФе называли патолог или онанист.

В то же время, боголюбовцы занимались, в основном, тем, что считается математической физикой. Т. е., рассматривались разные математические задачи, которые, как предполагалось, рано или поздно будут использованы в физике. При этом, как правило, никакого сравнения с экспериментом не проводилось. Мое впечатление о людях, считающих себя последователями Ландау такое, что абсолютное большинство из них никак не были доброжелательными людьми. Они были очень самоуверенными и считали, что только они понимают, где наука, а где псевдонаука.

Как-то я был на семинаре, где парень из МИАНа рассказывал свои результаты в модели Тирринга. И между Иоффе и Тер-Мартиросяном возник спор. Один из них (не помню кто) говорил, что этим вообще нельзя заниматься, а другой говорил, что можно, но только в свободное от работы время. На что парень ответил, что главное – не чем человек занимается, а за сколько он это продает. А т. к. он продает недорого, то может этим заниматься.

В ИТЭФе была очень жесткая система защиты докторских диссертаций. Если кто-то хотел защищаться, то вначале надо было получить одобрение четырех главных теоретиков: Л.Б. Окуня, К.А. Тер-Мартиросяна, Б.Л. Иоффе и Ю.А. Симонова. Каждого из них надо было попросить прочитать диссертацию. Я знаю о случае, когда мой знакомый попросил Иоффе прочитать, а тот сказал, что сейчас у него нет времени. На естественный вопрос, когда можно надеяться, был ответ, что пока ничего неизвестно. Т.е., было ясно, что шансов нет.

В частности, я понимал, что у меня в ИТЭФе нет никаких шансов, да и Л.А. Кондратюк не котировался там как большой теоретик. А с И.С. Шапиро у некоторых больших теоретиков была большая вражда, и это вынудило И.С. Шапиро уйти из ИТЭФа. Иоффе был одним из главных противников И.С. Шапиро. Мне рассказали, что когда И.С. Шапиро умер и у Иоффе спросили, подпишет ли он некролог, он ответил: с удовольствием.

Выше я писал, что Иоффе не дал мне рекомендацию в аспирантуру даже зная, что она нужна мне для Ужгорода. До сих пор не могу понять, что было основным мотивом такого решения. Ясно, что институт в Ужгороде, который принадлежал школе Боголюбова, он презирал (и поэтому сказал, что они занимаются онанизмом). Но, будучи евреем, он хорошо знал и о том, что евреям очень трудно найти работу. Если бы я был в Ужгороде, то что, это было бы в противоречии с его принципами? А может все более прозаично и он просто меня не любил и не хотел ничего делать для меня?

Вспоминая все это, я не испытываю к нему ненависти и даже думаю, что, может быть, я должен быть ему благодарен? Ведь если бы он дал мне рекомендацию, моя жизнь сложилась бы совсем по другому, я бы не поехал в Хабаровск, не встретил бы свою будущую жену Наташу, наверное, у меня была бы другая жена и другие дети, я не встретил бы тех людей, которые сыграли большую роль в моем понимании квантовой теории и т. д. Так что все как в известном анекдоте про корову, кошку и воробья, что не знаешь кто твой друг и кто твой враг.

Я писал, что Л.П. Горьков помог мне дважды: он мог сразу отвергнуть меня т. к. я решил не все задачи и мог не взять меня окончательно т. к. сдал ему экзамен по статфизике не без проблем. С другой стороны, для студентов он был довольно неприступным т. к. сразу сказал, что никакой помощи от него ждать не надо. т. е. в этом он отнесся ко мне не так как В.Л. Гинзбург. Л.П. Горьков был одним из четырех авторов так наз. GLAG theory, по именам авторов: Гинзбург, Ландау, Абрикосов, Горьков. Я эту теорию никогда не учил и ничего сказать о ней не могу. Но возникает такой естественный вопрос. Ландау получил Нобелевскую премию раньше их всех, а Гинзбург и Абрикосов получили позже и как раз с формулировкой, что за эту теорию. А почему не дали премию Горькову? Он был в этой компании самым молодым и наверняка сделал не меньше остальных. Откуда нобелевский комитет знает кто какой вклад внес? Это не первый случай, когда комитет присуждает премию не из четких научных соображений. Например, пульсары открыла Bell, но премию за открытие дали руководителю ее диссертации Hewish.

Общий вывод от моих впечатлений о представителях школы Ландау такой. Они не принимают, что разные подходы имеют право на существование и правильная философия науки (например, важно или нет, чтобы математика, используемая в физике была строгой) может быть не такой как они думают. Только будущее развитие науки покажет правильна ли их философия (и, как следствие, их подход к физике) или нет. В следующем разделе хочу привести аргументы в пользу того, что, фундаментально новая физика будет построена, исходя из совершенно других представлений.

Глава 9. Мои соображения о фундаментальной физике

9.1. О классической электродинамике

Как я писал, выше, одно время меня волновал вопрос об обосновании классической электродинамики. Этот вопрос обсуждается, например, в «Теории Поля» Ландау и Лифшица и во многих других публикациях. Основная проблема здесь заключается в следующем. Т. к. принимается, что элементарные частицы существуют, то на классическом уровне такие частицы могут быть только точечными. Тогда возникает проблема, что у точечной заряженной частицы бесконечная энергия, возникают проблемы с торможением излучением и т. д. Произносятся слова, что, например, для электрона, классическая электродинамика работает только до расстояний порядка его классического радиуса, а на меньших расстояний надо уже применять квантовую теорию.

Мне кажется, что проблемы здесь вообще нет т. к. в классической теории не может быть точечного заряда. В уравнениях Максвелла вообще нет понятия заряда, есть только плотность заряда и плотность тока. Формально заряд можно определить как интеграл от плотности заряда по объему и объем не может быть нулевым т.к. интеграл по множеству меры ноль равен нулю. Когда заряд формально пишут как дельта функцию и говорят, что интеграл от нее по точечному объему конечен, то, как хорошо известно из теории обобщенных функций, такая операция определена некорректно.

Так что классическая электродинамика сама по себе не содержит никаких внутренних противоречий. Проблемы обоснования возникают искусственно, когда вводим точечные заряды и дельта функции, с которыми делаются незаконные операции. Просто надо сказать, что, как хорошо известно, классическая электродинамика не описывает все экспериментальные данные; она может быть лишь хорошим приближением в некоторых задачах.

9.2. Об ОТО

Другая знаменитая классическая (т.е., не квантовая) теория – общая теория относительности (ОТО). В своем Курсе Теоретической Физики, Ландау и Лифшиц пишут, что ОТО "является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий". Т.е., хотя ОТО является чисто классической теорией, они считают ее красивее чем квантовая теория. В своей градации великих ученых Ландау ставит Эйнштейна на бесспорное первое место, т.е., выше ученых создавших квантовую теорию. А уж в популярной литературе Эйнштейн изображается чуть ли не богом. Это выглядит естественно т.к. то, что сделали Гайзенберг, Дирак, Паули и другие квантовые физики, писатели, пишущие популярную литературу, не знают, а черные дыры и Биг Бэнг кажутся фундаментальными достижениями науки на фоне примитивности обычной жизни. Нет сомнения, что Эйнштейн – действительно великий ученый, который внес большой вклад в разные разделы физики. Но из литературы может создаться впечатление, что создание ОТО по значению намного превосходит все остальное.

Стандартная фраза – что ОТО трактует гравитацию как искривление пространства-времени. А что такое пространство и время? В математике можно придумывать разные пространства, но в физике говорить о пространствах можно только если есть принципиальная возможность измерять координаты этого пространства т.к. один из принципов физики гласит, что определение физической величины – это задание способа ее измерения. Этот принцип явно положен в основу копенгагенской трактовки квантовой теории, а неявно он используется во всей физике.

Одно из явных физических противоречий ОТО такое. Кривизна пространства – это формальный аппарат, чтобы описать движение тел. Поэтому, если тел нет (пустое пространство), то кривизна не имеет физического смысла, хотя математически можно рассматривать любые пространства. Левая часть уравнений Эйнштейна содержит тензор Риччи, который характеризует кривизну пространства-времени, а правая часть – тензор энергии-импульса материи. Казалось бы, в пределе когда материя исчезает (формально это происходит когда тензор энергии-импульса в правой части уравнений Эйнштейна становится равным нулю), то понятие пространства должно терять смысл т. к., с точки зрения физики, пространство без материи – бессмыслица. Но в ОТО пространство в этом пределе не исчезает: левая часть остается и описывает плоское пространство Минковского, если космологическая константа Λ равна нулю, пространство де Ситтера, если Λ>0 и пространство анти-де Ситтера, если Λ<0. И т.к. пустые пространства нефизические, то предел ОТО когда материя исчезает тоже не имеет физического смысла.

Думаю, что следующее замечание является важным. Пока еще не существует теории которая работает при всех условиях. Например, классическая механика хорошо работает при скоростях намного меньших скорости света, но ее нельзя экстраполировать туда где скорости сравнимы со скоростью света. Другой пример, что классическую механику нельзя экстраполировать для описания уровней атома водорода. ОТО является теорией, которая хорошо описывает некоторые явления на макроскопическом уровне где есть большие массы (звезды или планеты), но ниоткуда не следует, что ОТО можно экстраполировать к пределу когда материя исчезает. Между тем, этот предел используется в так наз. проблеме темной энергии (см. ниже).

Кроме того, с точки зрения физики, бессмысленно говорить о пустом пространстве, т.к. нельзя измерить координаты пространства, которое существует только в нашем воображении. В частности, в ОТО координаты и время могут характеризовать только измеряемые величины для реальных частиц. Проблема в том как их измерять. Ландау и Лифшиц определяют систему отсчета в ОТО как совокупность невесомых тел, снабженных тремя числами (координатами) и на каждом из этих тел есть (невесомые) часы. Конечно, с точки зрения наших представлений, невесомые тела не имеют смысла. Но т. к. ОТО – чисто классическая наука, то может быть, с какой-то точностью и можно говорить о системе невесомых тел, хотя это выглядит довольно искусственно. Считается, во всех имеющихся экспериментах ОТО подтверждается с очень большой точностью. Типичная работа в mainstream литературе – когда проводятся большие расчеты и делается вывод, что ОТО правильная и это еще одно подтверждение, что Эйнштейн великий. В такой литературе никаких сомнений в ОТО не допускается; единственное, что можно обсуждать (есть даже статьи с таким названием) – был ли Эйнштейн прав на все 100 % или только на 99 %.

Считается, что есть два типа экспериментов, которые подтверждают ОТО: три или четыре классических теста, в которых поправки ОТО очень маленькие (мой друг, который не захотел, чтобы я назвал его имя, назвал это ловлей блох) и эксперименты, в которых эффекты ОТО сильные.

Эксперимент по красному смещению заключается в том, что с поверхности Земли посылается свет какой-то частоты, а потом измеряют его частоту на некоторой высоте. Считается, что знаменитый эксперимент Паунда и Ребки хорошо подтверждает ОТО. Но интерпретация эксперимента далеко не однозначная. Обычно считается, что фотон теряет энергию как камень, брошенный с земли вверх. Но Окунь предлагает совсем другое объяснение, что фотон энергию не теряет, а эффект объясняется тем, что атомные уровни на поверхности земли и на некоторой высоте разные. При этом у него получается тот же ответ, что в стандартной трактовке и он тоже делает вывод, что здесь ОТО верна. Он пишет, что фотон нельзя сравнивать с камнем. Он пишет для фотона волновое уравнение Вайнберга и заключает, что фотон энергию не теряет. Но фотон и камень – просто разные частицы, камень нерелятивисткий а фотон релятивисткий. Так что непонятно почему фотон не должен терять энергию. С другой стороны, наблюдение Окуня, что энергии атомных уровней на земле и высоте H разные – тоже кажется очевидным. Видимо, оба эффекта играют роль, так что вопрос о подтверждении ОТО зависит от того какой эффект более важен – потеря энергии фотоном или изменение уровней на высоте H. Что самое странное: даже в учебниках и последних больших обзорах посвященных столетию ОТО вопрос о том, что атомные уровни на земле и высоте H разные даже не обсуждается, как будто бы нет этого вопроса, и эффект объясняется только тем, что фотон теряет энергию.

Второй знаменитый эффект – отклонение фотона в поле Солнца. Эффект заключается в том, что свет от далекой звезды, который проходит мимо края Солнца, отклоняется от прямолинейной траектории. Первый результат по отклонению – 0.875 секунды получил von Soldner в 1801м году и этот результат был подтвержден Эйнштейном в 1911м году. Но в 1915м, когда Эйнштейн создавал ОТО, он получил результат в два раза больший. В 1919м Эддингтон организовал несколько экспедиций для измерения полного солнечного затмения. Хотя точность экспериментов была небольшая, он заключил, что результат больше согласуется с последним расчетом Эйнштейна. Это сразу сделало Эйнштейна намного более знаменитым. После этого было проведено много экспериментов, и, хотя их точность в оптическом диапазоне не очень высокая, был сделан вывод, что результат ОТО правильный. Теперь считается, что этот результат подтверждается с точностью лучше чем 0.11 % в так наз. эксперименте, основанном на Very Long Based Interferometry (VLBI) в радиодиапазоне. Есть квазар, радиолуч от которого каждый год в октябре проходит мимо края Солнца и он регистрируется двумя радиотелескопами, один из которых в Массачузетсе, а второй в Калифорнии. Когда публике сообщают, что обработка экспериментальных данных этих двух радиотелескопов подтверждает ОТО с точностью лучше чем 0.1 %, то проверить это практически невозможно (т. к. единственный способ проверки – самому проверить как были получены экспериментальные данные и самому провести численные расчеты этих данных) и остается только верить.

В этой проблеме возникает такой вопрос. Солнечная корона очень плотная, а стандартный результат описанный в учебниках получается из задачи двух тел – Солнца и фотона, и корона не учитывается. Представляется довольно странным думать, что фотон проходит через солнечную корону практически не взаимодействуя с ней. Наверное, в учебниках упоминать о короне необязательно, но даже в последних больших обзорах о короне ничего не говорится, как будто бы нет ее.

Обычная практика для учета короны – измерять отклонение в двух радиодиапазонах. Но это еще не гарантирует правильный учет. Авторы экспериментов по VLBI пишут, что они проводили эксперименты, когда активность короны небольшая. Но даже при этом они пишут, что "The confirmation of the result γ=1 in VLBI experiments is very difficult because corrections to the simple geometric picture of deflection should be investigated. For example, the density of the Solar atmosphere near the Solar surface is rather high and the assumption that the photon passes this atmosphere practically without interaction with the particles of the atmosphere seems to be problematic”.

Далее авторы статьи Lebach et. al. (1995) пишут: " In Ref. [109] the following corrections have been investigated at different radio-wave frequencies: the brightness distribution of the observed source, the Solar plasma correction, the Earth's atmosphere, the receiver instrumentation, and the difference in the atomic-clock readings at the two sites. All these corrections are essentially model dependent”. Т.е., авторы признают, что ответ сильно зависит от модели. Дальше они описывают модель для учета задержки луча в плазме короны.

Итак, получается странная ситуация. С одной стороны, авторы признают, что фундаментальный вопрос о правильности ОТО в данном случае является сильно модельно зависимым. А с другой стороны, они говорят, что можно так выбрать модели для разных эффектов, что результат ОТО будет подтверждаться с точностью 0.11 %. Можно ли при этом считать эксперимент сильным подтверждением ОТО? Ясно, что в mainstream литературе можно печатать только статьи с утверждением, что это сильное подтверждение ОТО. А не в mainstream литературе есть статьи, где авторы утверждают полностью противоположное. Но эти статьи почти не признаются.

Третий классический эффект ОТО – смещение перигелия Меркурия. Обычно проблему описывают так, что он смещается на 43 секунды за сто лет, классическая теория это не может объяснить, а ОТО как раз дает поправку равную этим 43 секундам. Здесь есть такой момент, что Le Verrier утверждал, что результаты наблюдений с 1697-го до 1848-го года дали значение 38 секунд, но потом решили, что 43 секунды более правильная цифра чем 38 секунд. В действительности реальное отклонение – 5600 секунд, но его основная часть возникает из-за того, что Земля – неинерциальная система отсчета. Если учесть этот эффект, то остается примерно 574 секунды. Расчеты небесной механики дают, что из-за взаимодействия Меркурия с другими планетами возникает поправка примерно 531 секунда, а остальные эффекты малы. Так что оставшиеся 43 секунды – это меньше одного процента от полного смещения. Некоторые авторы утверждают, что эта проблема 43х секунд содержит как экспериментальные, так и теоретические неопределенности. Однако, в mainstream литературе все что может быть воспринято как попытка бросить тень на авторитет Эйнштейна не пропускается.

Как я уже отмечал, в трех классических тестах ОТО речь идет об очень малых поправках. В добавление к ним есть эффекты, которые трактуются так, что в них эффекты ОТО сильные. Один из таких известных эффектов – так наз. гравитационное излучение двойного пульсара. Проблема заключается в следующем. Объекты, называемые пульсарами, трактуются как нейтронные звезды с массой порядка солнечной и радиусом порядка 10 км. Ясно, что такие объекты нельзя наблюдать, например, как планеты. Здесь можно только регистрировать некоторое излучение и изучать какие модели его лучше всего описывают. В некоторых случаях наилучшие модели указывают, что мы имеем дело не с одним пульсаром, а с двойной системой, в которой один из объектов – пульсар, а другой – обычная звезда. Эти два объекта вращаются вокруг общего центра и, согласно ОТО, такая система должна излучать гравитационные волны. Если они находятся достаточно близко к другу, то вращаются с большими ускорениями и есть надежда, что гравитационное излучение такой системы может быть зарегистрировано.

Наиболее известный случай такой двойной системы: пульсар PSR B1913+16, который открыли Halse и Taylor в 1974м году. Общепринятая модель этой системы содержит 18 фитируемых параметров. Кроме того, нужно учесть поправки, которые зависят от величин, известных с низкой точностью. Если взять для этих величин значения, которые считаются наиболее реалистичными, то данные наблюдений в такой модели показывают, что двойная система излучает гравитационные волны, которые описываются квадрупольной формулой Эйнштейна с точностью лучше чем 1 %. Из-за этого система теряет энергию, и скорость уменьшения орбитального периода равна 76.5 микросекунд за год, т.е., одна секунда за 14000 лет.

Итак, при помощи многих фитируемых (а точнее подгоночных) параметров можно подогнать описание данных так, что, якобы, мы наблюдаем гравитационное излучение и это считается очередным триумфом ОТО. Даже авторы модели пишут, что в ней ясно далеко не все. Возникает также следующий естественный вопрос. Результат о потерях энергии на гравитационное излучение получен в приближении когда рассматривается задача двух точечных тел. Но эти тела движутся не в пустом пространстве, а в межзвездной среде, причем движутся быстро, так что они могут терять энергию из-за торможения в межзвездной среде. Но произносятся слова, что т.к. радиусы объектов маленькие, то такое приближение законно. Halse и Taylor получили Нобелевскую премию в 1993 м году и формально формулировка была такая, что за наблюдение двойного пульсара. Но все понимают, что неявно имеется в виду, что их наблюдения трактуются как косвенное подтверждение существования гравитационных волн.

Следующий шаг такой. Говорится, что данные по двойным пульсарам – это косвенное подтверждение существования гравитационного излучения, а хорошо бы обнаружить его непосредственно т. к. ОТО предсказывает, что оно неизбежно существует. Поэтому построили многокилометровые установки для прямого детектирования гравитационных волн. После того как прошло более 10 лет после обещанного обнаружения и ничего не было обнаружено, это пытались объяснить так, что излучение есть, но из-за разных причин оно ненаблюдаемо. Ясно, что при этом никаких сомнений в непогрешимости ОТО не допускалось.

Но вот 11 февраля 2016 г. LIGO объявила, что 14 сентября 2015 г. две ее установки – в штате Луизиана и штате Вашингтон обнаружили гравитационные волны непосредственно. На самом деле эти установки зарегистрировали какие-то колебания. Если взять эти две кривые и совместить, то они похожие, но не совсем совпадают. Разность по времени такая, что похоже, что шла волна со скоростью света, т. е. например, сейсмическая причина, наверное, исключается. Т.е., действительно что-то нашли. Теперь как понять что. Берут модель, что есть две черные дыры, массы которых 35 солнечных масс и 29 солнечных масс. Они быстро вращаются друг вокруг друга и за 0.2 секунды сливаются, образуя одну дыру с массой 62 солнечных масс. То есть, за эти 0.2 секунды, три солнечные массы переходят в гравитационное излучение. Расчеты можно провести только численно т.к. скорости порядка 0.5c, и постньютоновское приближение не работает. В этой статье в Physical Review Letters они ссылаются на расчеты, но явно не говорят сколько подгоночных параметров в задаче и какие параметры. Люди в интернете гадают, то ли 11, то ли больше.

То, что за 0.2 секунды три солнечные массы превратились в энергию гравитационных волн – это, конечно, грандиозное событие. Один из основателей LIGO Thorne говорит: "It is by far the most powerful explosion humans have ever detected except for the big bang," а Allen, the director of the Max Planck Institute for Gravitational Physics and leader of the Einstein@Home project for the LIGO Scientific Collaboration говорит: "For a tenth of a second the collision shines brighter than all of the stars in all the galaxies. But only in gravitational waves". Т.е., произошло нечто сверхграндиозное, а единственный наблюдаемый эффект от этого – что путь лазерного луча изменился на величину меньшую радиуса протона.

Здесь возникает сразу несколько вопросов. Во-первых, нигде в литературе я не нашел толкового объяснения о том из чего состоит черная дыра. Говорят, что когда гравитация сжимает звезду, то вначале из-за реакции p+e →n+ν образуется нейтронная звезда. Это приемлимо т. к. эта реакция хорошо известна. Но говорят, что если масса больше чем 1.6 солнечных масс, то даже этот пакет нейтронов не может устоять против гравитации. Т.е., черная дыра уже не состоит из нейтронов, а тогда из чего? Ядерная физика не может сказать, что происходит с пакетом нейтронов при такой гравитации, т.е., это какой-то неизвестный вид вещества (произносятся слова, что кварк-глюонная плазма или что-то другое необычное). И есть модели, что черная дыра может иметь электрический заряд, что вообще непонятно.

То есть, мы имеем непонятно какое вещество, которое имеет громадную плотность и аномально маленький размер. Ясно, что стандартная классическая теория при таких условиях не работает, и проблему может решить только квантовая теория, которая для таких условий не построена. Но понятие черной дыры получается из решения Шварцшильда в ОТО, т.е., это понятие получается из чисто классической теории, которая при этих условиях не работает. А модельные расчеты, которые, якобы, подтверждают, что произошло слияние черных дыр, сделаны в рамках чисто классической ОТО.

Стандартная догма такая, что гравитация – это четвертое взаимодействие, которое надо объединить с сильным, электромагнитным и слабым. Сильное взаимодействие – обмен виртуальными глюонами, электромагнитное – обмен виртуальными фотонами, слабые – обмен виртуальными W и Z бозонами, а гравитация – обмен виртуальными гравитонами. Но тогда непонятно вот что. Никакие реальные частицы, в том числе и гравитоны не могут выйти из радиуса Шварцшильда. Но на расстояниях много больше радиуса Шварцшильда гравитационное поле черной дыры такое же как у обычной звезды с такими же массой и спином. Значит виртуальные гравитоны без проблем уходят из радиуса Шварцшильда на очень большие расстояния. Разница между реальными и виртуальными гравитонами только в том, что у реальных квадрат 4-импульса равен квадрату массы гравитона, а для виртуальных он может быть любой. Но может быть и очень близким к квадрату массы гравитона (и иметь большое время жизни). Так что непонятно.

Итак, получается, что три солнечные массы какого-то непонятного вещества проаннигилировали и вся энергия аннигиляции ушла только в гравитационные волны. Никаких фотонов и других частиц нет. Ведь даже, скажем, нейтрон, хотя он электрически нейтральный, но имеет магнитный момент и, якобы, состоит из заряженных кварков. Поэтому при таких ускорениях он будет излучать фотоны. Т. к. есть только две установки LIGO, то они не могут определить откуда пришел сигнал. Говорят, что когда построят третью в Индии, то по трем точкам определят. Но Ферми гамма-телескоп одновременно видит 70 % неба. После этого сообщения LIGO люди из Ферми написали статью, что 14 сентября был какой-то слабый сигнал через 0.4 секунды после LIGO. Но при таком грандиозном событии слабый сигнал выглядит странно. Кроме того, 0.4 секунды эквивалентно 120000 км., а телескоп находится на орбите высотой 500 км., т.е., не согласуется.

Мы знаем энерговыделение Солнца и оно от нас на расстоянии 8 световых минут. А это событие (якобы) было на расстоянии миллиард световых лет. Поэтому легко оценить, что за эти 0.2 секунды к нам пришло энергии в 1000000 раз меньше чем от Солнца. Если для оценки взять, что энерговыделение Сириуса в 10 раз больше чем у Солнца, то к нам пришло энергии в 100000 раз больше чем от Сириуса. Но никто ничего не видел и никаких следов. А даже если бы все действительно ушло только в гравитационное волны, то, что, такое сверхграндиозное событие ни на что бы не повлияло?

Я спрашивал у физиков, верят ли они в то, что такое могло произойти. Ответ зависел от того как отвечающий относился к ОТО. Сторонники ОТО верят, что почти вся энергия действительно ушла в гравитационные волны, а другие сомневаются. Но т.к. это нельзя ни доказать ни опровергнуть, то любая точка зрения имеет право на существование.

Ну и, наконец, такое замечание. Допустим даже что такое объяснение эксперимента правильное. Значит следующее событие можно будет зарегистрировать только если оно по масштабам такое же грандиозное как и то, что (якобы) было. Сколько времени ждать этого события? Никто точно не знает. На LIGO уже потратили около миллиарда долларов и будет потрачено еще больше. А если оно не произойдет?

Но уже объявили о втором событии, которое произошло 26 декабря 2015 г. и тоже на расстоянии от нас примерно 1 миллиард световых лет. Здесь масштаб несколько бледнее: массы черных дыр примерно 14.2 и 7.5 масс Солнца, и за одну секунду в энергию гравитационных волн ушла «всего» одна масса Солнца. Ну и, конечно, опять все ушло только в гравитационные волны и никто ничего не увидел. И опять-таки, хотя модель зависит от (непонятного числа) подгоночных параметров, тоже объявлено, что из всех теорий гравитации лучше всего событие описывается в рамках ОТО. Это естественно т. к. подгоночные параметры выбираются, исходя из ОТО. Так что, скорее всего, вырисовывается такой сценарий, что время от времени LIGO будет объявлять об очередном обнаружении гравитационных волн.

Пока что этот сценарий подтверждается и в 2017 г. LIGO получила Нобелевскую премию а эти эксперименты. Наверное, с технической точки зрения эти эксперименты действительно очень сложные. Но, вроде бы, Нобелевскую премию по физике должны давать не за техническую сложность, а за фундаментальные открытия. Обычная практика была такая, что после объявления о фундаментальных открытиях ждали много лет когда открытие будет общепризнанным. А здесь ждали чуть больше года, хотя вера в то, что это фундаментальное открытие далеко не всеобщее.

Думаю, что эта история с Нобелевской премией за эксперименты, в которых много неопределенностей и неясностей – один из показателей сегодняшнего состояния науки, когда признается не то что явно является фундаментально новым (т.е., имеющим большое значение для развития науки), а то, что поддерживает establishment, получающий за это позиции, гранты и т.д.

9.3. О проблеме темной энергии

Проблема темной энергии возникает, если в ОТО сделать дополнительное предположение, что Λ=0. Об «обосновании» этого предположения я писал в предыдущем разделе. Если исходить из стандартного подхода ОТО, что лагранжиан линеен по скалярной кривизне, то получаемые уравнения Эйнштейна зависят от двух произвольных констант: гравитационной константы G и космологической константы Λ. В рамках ОТО эти константы нельзя вычислить, они имеют статус феноменологических констант, которые должны быть выбраны из условия наилучшего описания эксперимента. Наличие члена с Λ приводит к так называемой космологической силе, которая, в отличие от гравитационной, прямо пропорциональна расстоянию. Если формально положить Λ=0, то в нерелятивистском приближении и в линейном приближении по G уравнения Эйнштейна дают закон всемирного тяготения Ньютона, который хорошо описывает наблюдаемые данные в Солнечной системе. Поэтому естественно думать, что величина Λ достаточно мала так что в рамках Солнечной системы космологическая сила тоже мала. Однако, нельзя исключить, что на намного больших расстояниях эта сила не мала. С чисто математической точки зрения, если решение зависит от двух произвольных констант, то нет причин считать, что одна из них равна нулю. Некоторые авторы задают вопрос, что раз мы принимаем теорию с одной произвольной константой G, то почему мы не можем принять теорию с двумя произвольными константами – G и Λ.

Однако, здесь вступает в игру общепринятая философия ОТО, согласно которой кривизна пространства создается материей. Поэтому в отсутствие материи пустое пространство должно быть плоским и поэтому Λ должна быть равной нулю. Этот вопрос был предметом спора между Эйнштейном и де Ситтером, который рассматривал сценарии развития Вселенной в предположении, что Λ не равна нулю и ввел пространства, которые теперь называют пространствами де Ситтера. Хорошо известный исторический факт, что вначале Эйнштейн написал свои уравнения без Λ, но тогда, как следует из решения Фридмана, Вселенная нестационарная. Думая, что она должна быть стационарной, Эйнштейн ввел Λ. Но когда Hubble обнаружил, что галактики разбегаются, то Эйнштейн сказал, что введение Λ было самой большой ошибкой его жизни.

Общепринятая философия ОТО принимается почти во всех учебниках по ОТО, написанных до 1998 года. Например, Ландау и Лифшиц пишут в "Теории Поля": "Введение в плотность лагранжевой функции постоянного члена, вообще не зависящего от состояния поля, означало бы приписывание пространству-времени неустранимой кривизны, не связанной ни с материей ни с гравитационными волнами". Однако, в 1998 году были получены данные, которые интерпретируются так, что Λ не равна нулю. В результате дальнейших наблюдений был сделан вывод, что Λ положительна и определяется с точностью лучшей чем 1 %. Этот результат поставил перед специалистами по ОТО проблему выбора:

1) Признать неправильными предыдущие утверждения о том, что только Λ=0 является физическим выбором (и, в частности, признать, что утверждение Эйнштейна о том, что введение Λ было самой большой ошибкой его жизни тоже ошибочно.

2) Попытаться объяснить данные, исходя из предыдущих догм, что только Λ=0 допустимо.

Ввиду сказанного выше и даже исходя из человеческой психологии, можно не удивляться тому, что выбор был сделан в пользу 2). Было предложено такое «объяснение». Член с Λ в уравнениях Эйнштейна перенесли из левой части (описывающую кривизну пространства) в правую (описывающую материю) и объявили, что этот член описывают некую невидимую материю, которую назвали dark energy. Тогда, исходя из наблюдаемых данных, получается, что dark energy содержит около 70 % всей энергии Вселенной. После этого появляется большое поле деятельности для исследований разных моделей dark energy, проводятся конференции, даются гранты, готовятся эксперименты по будущему обнаружению и и даже даются Нобелевские премии.

В физике общепринято, что когда появляются новые экспериментальные данные, то вначале надо пытаться объяснить их, исходя из существующих теорий, и только когда стало ясно, что это не удается, то можно искать экзотические объяснения. Но в этой истории с dark energy ситуация была (и остается) полностью противоположной: абсолютное большинство establishment'а сразу поддержало dark energy, quintessence и другую экзотику, а попыток объяснить данные в рамках известных неэкзотических теорий почти не было. И самое печальное даже не в этом, а в том, что в литературе никакие другие мнения не допускаются. Как я отметил выше, одна из причин такой ситуации понятна – раз Эйнштейн сказал, что пустое пространство должно быть плоским, то отклонения от этого не допускаются (а на то что пустое пространство – физическая бессмыслица можно не обращать внимание). Ну а другая причина – что такая экзотика открывает большое поле деятельности для новых экспериментов, грантов и т.д.

По аналогии с Нобелевской премией 1993-го года, Нобелевскую премию в 2011м году формально дали с формулировкой, что за экспериментальные исследования, но все понимают, что неявно ее дали за то, что данные трактуются как открытие dark energy. А в 2019 году Нобелевскую премию дали J. Peebles. Как говорили члены Нобелевского комитета, он раскрыл нам глаза, что мы знаем только 5 % вещества во вселенной потому что примерно 70 % – dark energy, а 25 % – dark matter.

Как показано в моих работах, космологическое расширение ясно объясняется, исходя из общеизвестных теоретических результатов, без привлечения каких-либо предположений и/или моделей (например, dark energy или quintessence), которые однозначно не подтверждены. Поэтому, dark energy – это полная ахинея и, даже из принципов квантовой теории, следует, что Λ не должна быть равной нулю. Как подробно объяснено ниже, эти 70 % притянуты за уши, их просто нет. Некоторые мои работы, где dark energy не была главной темой, опубликовали даже в mainstream журналах (например, даже в Phys. Rev. D). Но когда я написал статьи, где рассматривается только проблема dark energy, то их удалось опубликовать только в тех журналах, которые не относятся к mainstream. Более подробно об этом – ниже.

Что же касается dark matter, то здесь вопрос более сложный. Понятие dark matter возникло из-за того, что поведение галактик не могут объяснить при помощи обычных понятий, и объяснение получается, если предположить, что в этих галактиках есть какое-то неизвестное вещество, которое и назвали dark matter.

Сейчас многие теоретики и экспериментаторы исследуют как можно найти частицы из dark matter. Это очень серьезная деятельность и, конечно, если dark matter найдут, то это будет фундаментальный прогресс в нашем понимании природы. С другой стороны, что происходит в галактиках – вопрос сложный и вряд ли мы здесь все понимаем. Так что посмотрим к чему придет наука.

Думаю, что обсуждение в разделах 9.2 и 9.4 показывает, что ОТО стало чуть ли не религией и тот кто в ОТО сомневается не имеет шансов попасть в mainstream community. И это несмотря на то, что ОТО – чисто классическая теория, предложенная 100 лет тому назад, когда о квантовой теории ничего не знали, а когда узнали, то Эйнштейн стал ее большим противником. В одном из своих писем Гайзенбергу Паули писал, что каждый раз когда Эйнштейн говорит о квантовой теории, то "it’s a disaster" (это перевод т. к. ясно, что Паули писал Гайзенбергу на немецком).

Один из моих друзей объясняет эту ситуацию так: дело не в том, что они сильно любят Эйнштейна, а в том, что для тех у кого нет своих идей ОТО дает возможность жить, т.к. можно бесконечно улучшать ОТО и ставить эксперименты по ее проверке.

Вспоминаю себя в молодости Я все время был среди тех для кого авторитет Эйнштейна был непререкаем. Ходил на семинары Гинзбурга и Зельдовича как раз в то время, когда Логунов с соавторами предложили свой альтернативный вариант теории гравитации. Они писали, что, как и классическая электродинамика, такая теория должна быть в духе Фарадея и Максвелла. На этих семинарах работы Логунова все время высмеивали. Как-то я посмотрел статью Логунова, где была такая фраза: "Эти два великих ученых (имеется в виду Эйнштейн и Гильберт) затянули многие поколения физиков в дебри римановой геометрии". Я подумал, что как это, что какой-то Логунов тянет на самого Эйнштейна. Но теперь я думаю, что такое мнение совсем не обязательно является крамолой. Лично мне философия Логунова не нравится, но эту фразу считаю абсолютно правильной.

9.4. Почему квантовая теория более реалистична чем классическая

Обычное объяснение необходимости квантовой теории такое, что некоторые эксперименты нельзя объяснить в рамках классической теории, а квантовая теория их объясняет. Но я думаю, что главное даже не это, а то, что квантовая теория более естественная чем классическая.

Философия классической теории такая. Мы исходим из стандартной непрерывной математики и неявно предполагаем, что все значки, которыми мы описываем физику (например, x, t, dx/dt и др.) относятся к физическим величинам, которые в принципе могут быть измерены с любой точностью. Существующая квантовая теория тоже далеко не идеальна, в ней есть проблема интерпретации и другие проблемы. Но, по крайней мере, квантовая теория пытается как-то ответить на вопрос, что является физической величиной и с какой точностью величина может быть измерена. В частности, только те величины являются физическими, которым соответствуют самосопряженные операторы. Однако, хотя квантовая теория существует уже почти сто лет, есть проблемы в ее преподавании, и многие из тех кто формально в квантовой теории, ее не понимают. Думаю, что ситуация хорошо характеризуется таким наблюдением Гелл-Манна. Он преподавал квантовую механику в Caltech и по его наблюдениям, в ее изучении есть три этапа:

1) Студент решает уравнения Шредингера, находит уровни энергии и чувствует себя хорошо. Этот этап длится примерно полгода.

2) Начинает думать какой смысл всего этого и мучается, что не может понять. Этот этап тоже длится примерно полгода.

3) В одно прекрасное утро он просыпается и удивляется зачем он мучился т.к. все ясно и никаких проблем нет. Объяснение такое, что он пытался понять квантовую теорию с точки зрения классической, а это невозможно. Но постепенно у него выработалось квантовое мышление.

Мне кажется, что это наблюдение относится не только к студентам, но и ко многим ученым, которые формально считаются квантовыми физиками. Когда читаю тысячи статей по квантовой теории, то впечатление такое, что у многих авторов даже второго этапа не было.

Один из примеров – современные теории большого взрыва (Big Bang). Здесь задача заключается в том, чтобы объяснить несколько параметров, характеризующих современную Вселенную. Для этого создаются модели, где не только много параметров, но и предполагается, что за инфляцию ответственно инфлатонное поле, частицы которого никто никогда не наблюдал. Тогда современное состояние Вселенной объясняется тем, что когда-то была инфляция, т.е., Вселенная очень быстро расширилась. Например, в одном из известных сценариев, который предложил знаменитый космолог Guth, размер Вселенной изменился с 10-26m до 1m и это произошло за 10-35s. Для описания этого сценария используется квантовая теория инфлатонного поля и ОТО. Т.е., считается, что хотя ОТО – чисто классическая теория, ее можно применять на расстояниях 10-26m и временах 10-35s. Т. е. в духе классической физики, что когда мы пишем x=10-26m или t=10-35s, то думаем, что эти выражения имеют смысл. Однако, понятия координат и времени возникли из классической физики. Это величины, которые могут быть измерены с точностью не лучше чем размер атома и 10-18s соответственно.

Считается, что наилучшая точность в измерении времени 10-15s получается при использовании перехода в атоме Цезия133, и есть утверждения, что точность может быть улучшена до 10-18s. В инфляционных моделях Вселенной считается, что инфляция происходила когда во Вселенной не было не только атомов, но и даже ядер, а тогда непонятно, имеет ли смысл время в таких ситуациях. В квантовой теории бессмысленно говорить, что "на самом деле" некоторая физическая величина существует, но не может быть измерена.

С точки зрения квантовой теории говорить о координатах 10-26m и временах 10-35s бессмысленно т.к. неизвестно есть ли оператор координаты на таких масштабах и проблема времени – одна из фундаментальных нерешенных проблем квантовой теории. Более того, например, в копенгагенской интерпретации квантовой теории, измерение – это взаимодействие с классическим объектом, а на этом этапе Вселенной никаких классических объектов быть не может. Но в теории инфляционной Вселенной эти проблемы даже не обсуждаются.

Например, произносятся слова, что на инфляционной стадии вселенной важны квантовые эффекты. Но как их учесть, если квантовой теории при таких условиях нет? Например, А. Старобинский добавляет к классическому лагранжиану ОТО новый член, который он называет квантовой поправкой. Но то, что к классическому лагранжиану добавили какой-то член, не означает, что теория стала квантовой. Она осталась полностью классической т.к. в ней остались классические пространство и время и классический принцип наименьшего действия.

Другой пример – теория струн или M-теория, которая провозглашается как theory of everything. Здесь считается, что вся физика будет выведена из топологии гладких многообразий на планковских длинах 10-35m. Но в физике частиц расстояния не измеряются непосредственно. Когда говорят, что какой-то процесс происходит на расстояниях l, то имеют в виду, что переданные импульсы в этом процессе – порядка ћ/l. Тогда планковским длинам соответствуют импульсы порядка 1019 Gev/c, которые, наверное, никогда не будут достижимы на ускорителях. Кроме того, при этом предполагается, что координатные и импульсные представления связаны преобразованием Фурье, а, как показано в моих работах, это предположение не основано ни на имеющихся данных ни на надежных физических принципах. Между тем, теория струн и М-теория строятся, исходя из координатного представления, хотя опыт квантовой теории показывает, что понятие непрерывных координат становится проблематичным уже на расстояниях намного больших планковских.

Я также думаю, что теории Big Bang и струн не могут быть правильными, исходя из известной фразы Бора. Как-то на обсуждении доклада на семинаре, где он присутствовал, кто-то сказал, что теория автора не может быть правильной т.к. она слишком сумасшедшая. На что Бор возразил, что эта теория не может быть правильной потому, что она недостаточно сумасшедшая. Теории Big Bang и струн явно недостаточно сумасшедшие т.к. в них предполагается, что существующие понятия работают при энергиях намного больших чем те которые мы знаем.

А в целом, мне кажется, что ситуация с инфляционной Вселенной и теорией струн, как и рассмотренные выше ситуации с так наз. обнаружением гравитационных волн и dark energy, характеризуют деградацию современной физики когда establishment поддерживает не те теории, которые доказали свою фундаментальность, а нечто экзотическое, что имеет шанс получить (при существующей системе) позиции, гранты и т.д. Правда, насколько я знаю, за инфляционную Вселенную и теорию струн (пока?) не дали Нобелевскую премию, но зато дают другие премии. Например, премия Мильнера в 3 млн. долларов больше нобелевской. Но здесь никаких возражений быть не может: Мильнер может давать из своего кармана любые премии кому захочет.

9.5. О математике в квантовой теории

Заглавие знаменитой статьи Вигнера [2] такое: “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, и статья заканчивается так:

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.

Таким образом, Wigner рассматривает математику не как абстрактную науку, а как аппарат для описания природы. Так как почти всю свою жизнь я общался с физиками, то тоже так думал. Но недавно, когда готовил статью для Open Mathematics и общался с некоторыми математиками, то увидел, что они считают математику как чисто абстрактную науку для которой неважно, имеет ли она применения для описания природы.

В принципе, такой подход тоже имеет право на существование, и история показывает, что многие математические результаты, которые одно время считались чисто абстрактными, в конце концов находили свое применение в физике. Но даже если какие-то результаты не будут иметь применения, то они могут иметь чисто эстетическое значение. Ведь мы не требуем, чтобы поэзия или музыка имели какие-то приложения для описания природы.

В поэзии и музыке, главное – красота, которая словами не передается. В математике, как говорил Дирак, тоже главное – красота формул. Но здесь есть какие-то критерии. Под влиянием лекций М.А. Наймарка, я думал, что строгость математических доказательств – для математиков святое, и этим они никогда не пожертвуют. Но так ли это?

Классическая математика использует понятия бесконечно больших и бесконечно малых, которые впервые предложили Ньютон и Лейбниц более 300 лет тому назад. Тогда люди не знали об атомах и элементарных частицах и, исходя из повседневного опыта, думали, что любое тело можно разделить на сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но из самого факта существования элементарных частиц следует, что обычное деление имеет ограниченную применимость. Мы можем разделить любое макроскопическое тело на десять, тысячу, миллион, но когда мы доходим до атомов и элементарных частиц, дальнейшее деление теряет смысл. Например, энергии электронов на ускорителях в миллионы раз больше чем их энергия покоя, и такие электроны испытывают много столкновений с разными частицами. Если бы электрон можно было разделить, то это уже давно заметили бы.

Из этого простого и хорошо известного соображения казалось бы, сразу следует, что применять классическую математику в квантовой теории по крайней мере неестественно. Поэтому возникает естественный вопрос, не должна ли квантовая теория строиться, исходя из другой математики. Можно сказать, что эта проблема возникает, если считать, что математика должна описывать природу, но если считать математику чисто абстрактной наукой (как считают многие математики), то эта проблема не имеет значения, а главное – чтобы все было строго.

В таком подходе к математике (назовем его подходом Гильберта) цель математики – найти полную и самосогласованную систему аксиом в которой можно будет заключить является ли каждое математическое утверждение правильным или нет. Эта проблема формулируется как проблема Entscheidungsproblem в которой рассматриваются утверждения и ответы "Да" или "Нет" в зависимости от того является ли данное утверждение законным в любой структуре удовлетворяющей аксиомам. Можно ли найти такую систему аксиом?

Классическая математика содержит факты, которые, казалось бы, противоречат здравому смыслу. Например, функция tgx является взаимно-однозначным отображением интервала (-π/2,π/2) на (-∞,∞). Поэтому часть имеет столько же элементов сколько целое. Другой пример – парадокс Grand Hotel Гильберта. Но в подходе Гильберта эти примеры не считаются противоречивыми. Классическая математика исходит из аксиом, которые принимаются на веру, без доказательства. Казалось бы, раз наука – не религия, то в ней не должно быть утверждений принимаемых на веру. Более того, как следует из теорем Гёделя, любая математика, основанная на множестве всех натуральных чисел, содержит утверждения, которые не могут быть доказаны и такая математика не может доказать, что она самосогласованна.

Я спрашивал у математиков, что раз они утверждают, что исходят из строгой науки, то тогда как же быть с теоремами Гёделя, которые говорят, что стандартная математика нестрогая? Но обычный ответ такой что раз теория, исходящая из аксиом стандартной математики хорошо описывает природу, то такой подход допустим, и вся история человечества считается подтверждением утверждения, что классическая математика в принципе может описать любые природные явления. То есть здесь математики уже отказываются от подхода Гильберта и считают, что математика – это не просто абстрактная наука в духе подхода Гильберта, а наука, которая описывает природу. И, как я уже писал, философия многих физиков еще более дубоголовая. Хотя существующая квантовая физика основана на классической математике, они считают, что даже общепринятая строгость в этой математике необязательна, а главное, чтобы теория описывала эксперимент.

Я спрашивал у физиков и математиков, что раз в природе нет бесконечно малых, то тогда выходит, что производная – нестрогое понятие. Некоторые математики отвечают, что рано или поздно электрон разделят и докажут, что бесконечно малые существуют. Физики обычно согласны, что бесконечно малых в природе нет. Они говорят, что dx/dt надо понимать как Δx/Δt где Δx и Δt – малые, но не бесконечно малые. Я им говорю: но ведь ты используешь математику с dx/dt, а не с Δx/Δt. А они говорят, что раз математика с производными хорошо работает, то незачем философствовать и придумывать что-то другое (а другой математики они не знают).

История физики показывает, что рано или поздно аргумент, что если что-то хорошо работает, то нечего философствовать, оказывается неправильным. Например, нерелятивистская механика хорошо работает в 99.9…% случаев. Но теперь мы знаем, что это потому что в этих случаях скорости намного меньше скорости света. А в случаях когда скорости сравнимы со скоростью света, нерелятивистская механика не работает. И раз в природе нет бесконечно малых, то рано или поздно проявятся случаи когда классическая математика не работает. Ниже я обсуждаю такие случаи.

Из того факта, что природа состоит из атомов, следует, что стандартные геометрические понятия (например, непрерывные кривые и поверхности) могут работать только в приближении когда размерами атомов пренебрегается. Например, если мы нарисуем на бумаге якобы непрерывную кривую и посмотрим на нее в микроскоп, то увидим, что кривая сильно разрывная так как состоит из атомов.

Исторически сложилось так, что основатели квантовой теории и физики, внесшие большой вклад в эту теорию, хотя и были высококвалифицированными учеными, но их мышление было основано на классической математике, а, скажем, дискретная и конечная математика не входили (и до сих пор не входят) в программу стандартного физического образования.

Если бы классическая математика правильно описывала все эксперименты, то, наверное, можно было примириться с тем что есть теоремы Гёделя и надеяться, что рано или поздно их можно будет обойти и выполнить программу Гильберта. Но развитие квантовой теории показало, что в рамках классической математики возникают большие проблемы в построении того что называют ultimate quantum theory. Главная проблема – что в теории возникают бесконечные выражения. В перенормируемых теориях (например, в квантовой электродинамике, квантовой хромодинамике и электрослабой теории) бесконечности можно устранить, умножая одну сингулярность на другую. Но, например, квантовая гравитация, основанная на квантовой теории поля является неперенормируемой теорией и в ней бесконечности устранить нельзя.

Как пишет знаменитый физик и лауреат Нобелевской премии Weinberg о проблеме бесконечностей в своем учебнике [3]: “Disappointingly this problem appeared with even greater severity in the early days of quantum theory, and although greatly ameliorated by subsequent improvements in the theory, it remains with us to the present day". Название статьи Weinberg [4]: "Living with infinities".

9.6. О квантовой теории поля

Квантовая теория поля (которую в литературе называют QFT – quantum field theory) не имеет аналогов в истории науки т.к., с одной стороны, она описывает некоторые данные с поразительной точностью, а с другой основана на некорректной математике. Эта теория основана на двух главных принципах: 1) она исходит из классической математики; 2) она исходит из понятия квантованного поля на пространстве-времени. В предыдущем разделе я приводил аргументы, что самая фундаментальная квантовая теория не может исходить из 1). А сейчас приведу аргументы, что такая теория также не может исходить из 2).

Что такое классическая теория поля? Рассмотрим, например, классическую электродинамику. Она описывает классическое электромагнитное поле функциями

E(t,x) и B(t,x), где (t,x), – координаты пространства Минковского. В природе никаких пространств нет; есть только частицы и когда их много, то возникает иллюзия, что они в каком-то пространстве. В частности, пространство Минковского – только чисто математическое понятие. Мы знаем, что электромагнитное поле состоит из фотонов. В приближении когда оператор координаты работает, каждый фотон имеет свои координаты. Но в классической электродинамике каждый фотон по отдельности не рассматривается, а все фотоны вместе описываются функциями E(t,x) и B(t,x). Это аналогично тому, что статистическая физика не рассматривает каждую частицу в отдельности, а описывает ансамбли из многих частиц функциями (температурой, давлением и др.) которые не имеют смысл для каждой частицы. Ясно, что такое описание может быть лишь приближенным.

Теперь обсудим QFT. В квантовой теории есть информация о каждой отдельной частице. В частности, в приближении когда оператор координаты работает с хорошей точностью, каждая частица описывается своей координатой. В этом приближении волновая функция системы N частиц описывается волновой функцией ψ(x₁, x₂…x_N) и нет координаты x общей для всех частиц.