Величайшие математические задачи

Так что должно существовать бесконечное количество простых чисел каждого вида, и в среднем к каждому виду должна относиться четверть всех простых чисел до заданного предела.

Для некоторых видов доказать, что простых чисел такого вида существует бесконечно много, совсем несложно. Для других видов требуются более изощренные рассуждения. Но до середины XIX в. никому не удавалось доказать, что существует бесконечно много простых чисел каждого возможного вида, не говоря уже о том, чтобы доказать их более или менее равномерное распределение. Лагранж в 1785 г. в работе, посвященной закону квадратичной взаимности — глубокому свойству квадратов простых модулей, — принимал этот факт без доказательства. Результаты дали очевидно полезные следствия, и пора было кому-нибудь это доказать. В 1837 г. Дирихле выяснил, как применить идеи Эйлера, связанные с теоремой о распределении простых чисел, для доказательства обоих этих утверждений. Первым делом следовало определить аналоги дзета-функции для этих типов простых чисел. То, что получилось, называется L-функциями Дирихле. К примеру, в случае 4k + 1/4k + 3 возникает следующая функция:

L (s, χ) = 1 − 3−s + 5−s − 7−s + 9−s − …,

где коэффициенты равны +1 для чисел вида 4k + 1, −1 для чисел вида 4k + 3 и 0 для остальных. Греческую букву χ называют характером Дирихле, и это напоминает нам о том, какие именно знаки следует использовать.

Для римановой дзета-функции важен не только ряд, но и его аналитическое продолжение, придающее функции значения во всех комплексных точках. То же относится и к L-функции, и Дирихле определил подходящее аналитическое продолжение. Приспособив к случаю идеи, которые использовались для доказательства теоремы о распределении простых чисел, он сумел доказать аналогичную теорему о простых числах особых видов. К примеру, число простых чисел вида 5k + 1, меньших или равных x, асимптотически приближается к Li(x)/4; то же относится и к остальным трем случаям 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4. Это означает, что простых чисел каждого вида бесконечно много.

Риманова дзета-функция — это особый случай L-функции Дирихле для простых чисел вида 1k + 0, т. е. для всех простых чисел. Обобщенная гипотеза Римана представляет собой очевидное обобщение оригинальной гипотезы: нули любой L-функции Дирихле либо имеют действительную часть, равную 1/2, либо являются тривиальными нулями, действительная часть которых отрицательна или больше единицы.

Если обобщенная гипотеза Римана верна, то верна и обычная его гипотеза. Многие следствия обобщенной гипотезы Римана аналогичны следствиям обычной. К примеру, схожие границы ошибки можно доказать для аналогичных версий теоремы о распределении простых чисел в применении к простым числам любого конкретного вида. Однако обобщенная гипотеза Римана подразумевает много такого, что совершенно отличается от всего, что мы можем вывести из обычной гипотезы Римана. Так, в 1917 г. Годфри Харди и Джон Литтлвуд доказали, что из обобщенной гипотезы Римана следует гипотеза Чебышева, в том смысле, что (буквально) простые числа вида 4k + 3 встречаются чаще, чем числа вида 4k + 1. Согласно теореме Дирихле, оба вида равновероятны в конечном итоге, но это не мешает простым числам вида 4k + 3 выигрывать у чисел 4k + 1, конечно, в правильной игре.

У обобщенной гипотезы Римана есть также важные следствия, имеющие отношение к проверке на простоту, такие как тест Миллера 1976 г., упомянутый в главе 2. Если обобщенная гипотеза Римана верна, то тест Миллера дает нам эффективный алгоритм проверки. Оценка эффективности более поздних тестов тоже зависит от обобщенной гипотезы Римана. Существуют и важные приложения для алгебраической теории чисел. Помните, в главе 7 говорилось, что новое определение идеальных чисел Куммера, данное Дедекиндом, привело к рождению новой фундаментальной концепции — понятия идеала. Разложение на простые множители в кольцах алгебраических целых чисел существует, но может не быть единственным. Разложение идеалов на простые множители работает много лучше: и существование, и единственность гарантированы. Так что имеет смысл заново рассмотреть все вопросы о множителях в терминах идеалов. В частности, существует понятие «простого идеала» — разумной и удобной аналогии простого числа.

Зная это, естественно спросить, есть ли у эйлеровой связи между обычными простыми числами и дзета-функцией аналог для простых идеалов. Если да, то весь мощный аппарат аналитической теории чисел применим к алгебраическим числам. Оказывается, это можно сделать, с глубокими и очень серьезными последствиями. Результат — дзета-функция Дедекинда — по одной такой функции на каждую систему алгебраических чисел. Существует глубокая связь между комплексными аналитическими свойствами дедекиндовой дзета-функции и арифметикой простых чисел в соответствующей системе алгебраических целых чисел. И, разумеется, существует аналог гипотезы Римана: все нетривиальные нули дедекиндовой дзета-функции лежат на критической линии. Понятие «обобщенная гипотеза Римана» теперь включает в себя и это утверждение.

Даже генерализация — еще не конец истории дзета-функции. Она вдохновила ученых на определение аналогичных функций в нескольких других областях математики — от абстрактной алгебры до теории динамических систем. Во всех этих областях существуют еще более масштабные аналоги гипотезы Римана. Некоторые из них даже доказаны. В 1974 г. Пьер Делинь доказал такой аналог для многообразий над конечными полями. Обобщения, известные как дзета-функции Сельберга, тоже удовлетворяют аналогу гипотезы Римана. То же можно сказать о дзета-функции Госса. Однако существуют другие обобщения — дзета-функции Эпштейна, для которых аналог гипотезы Римана неверен. Здесь бесконечное множество нетривиальных нулей лежит на критической линии, но некоторые — нет, что продемонстрировал Эдвард Титчмарш. С другой стороны, эти дзета-функции не имеют эйлеровой формулы в виде произведения и потому не похожи на римановы дзета-функции в аспекте, который вполне может оказаться принципиально важным.

Имеется множество косвенных свидетельств того, что гипотеза Римана — как оригинальная, так и обобщенная — справедлива. Много хорошего следовало бы из истинности этих гипотез. Ни одно из этих следствий за все время не удалось опровергнуть, а ведь сделать это — то же самое, что опровергнуть гипотезу Римана. Но ни доказательства, ни опровержения пока нет. Широко распространено мнение, что доказательство оригинальной гипотезы Римана открыло бы дорогу и к доказательству обобщенного ее варианта. Но на самом деле, возможно, лучше было бы атаковать сразу обобщенную гипотезу Римана во всей ее грозной красе — воспользоваться всем арсеналом доступных на сегодняшний день методов, доказать, а затем вывести оригинальную гипотезу Римана как ее частный случай.

В пользу гипотезы Римана имеется также огромное количество экспериментальных данных — по крайней мере огромное на первый взгляд, пока кто-нибудь не плеснет холодной воды, чтобы остудить горячие головы. По данным Карла Людвига Зигеля, Риман вычислил несколько первых нулей своей дзета-функции, но не стал публиковать результат. Они находятся в точках

Нетривиальные нули всегда располагаются парами, как здесь. Я написал в них, а не 0,5, потому что действительная часть в этих случаях известна точно, выяснена при помощи общих результатов комплексного анализа и известных свойств дзета-функции. То же можно сказать и о компьютерных расчетах, о которых речь пойдет ниже. Они не просто показывают, что нули находятся очень близко к критической линии; они действительно находятся на ней.

В 1903 г. Йорген Грам продемонстрировал численно, что первые десять нулей (т. е. ±-пар) лежат на критической линии. К 1935 г. Титчмарш увеличил число таких нулей до 195. В 1936 г. Титчмарш и Лесли Комри доказали, что первая 1041 пара нулей лежит на критической линии. Это был последний раз, когда подобные расчеты проводились вручную.

Алан Тьюринг больше всего известен тем, что во время войны работал в Блетчли-парке, где участвовал в разгадывании германского кода «Энигма», а также своими работами, заложившими фундамент компьютерных вычислений и искусственного интеллекта. Но, помимо всего этого, Тьюринг интересовался и аналитической теорией чисел. В 1953 г. он открыл более эффективный способ вычисления нулей дзета-функции и определил при помощи компьютера, что первые 1104 пары нулей лежат на критической линии. Свидетельства того, что все нули до некоторого предела лежат на критической линии, множились и множились. Нынешний рекорд, полученный Янником Саутером и Патриком Демишелем в 2004 г., составляет 10 трлн (10¹³). Тем временем математики и компьютерщики проверяли другие диапазоны нулей. На сегодня все без исключения нетривиальные нули, когда-либо кем-либо рассчитанные, лежат на критической линии.

Все это может показаться исчерпывающим доказательством, но математики не спешат принимать его на веру, и не без причины. Может показаться, что 10 трлн — это очень много, но в теории чисел часто значение имеет не само число, а его логарифм, а он пропорционален числу знаков в числе. Натуральный логарифм от 10 трлн чуть меньше 30. Мало того, во многих задачах фигурирует логарифм от логарифма или даже логарифм от логарифма от логарифма. В этих терминах 10 трлн — это крохотная величина, так что численное доказательство до 10 трлн включительно почти ничего не значит.

Существуют и кое-какие обобщенные аналитические доказательства, к которым эта критика не относится. Харди и Литтлвуд доказали, что на критической линии лежит бесконечное число нулей. Другие математики показали в точном смысле, что почти все нули лежат очень близко к критической линии. Сельберг доказал, что ненулевая доля нулей лежит непосредственно на критической линии. Норманн Левинсон доказал, что эта доля — по крайней мере треть и теперь она увеличена по крайней мере до 40 %. Все эти результаты позволяют предположить, что если гипотеза Римана неверна, то нули, не лежащие на критической линии, очень велики и встречаются очень редко. К несчастью, главное следствие из всего этого заключается в том, что если такие исключения существуют, то найти их будет необычайно трудно.

Но зачем волноваться? Ведь численных свидетельств должно быть достаточно, чтобы убедить любого разумного человека? К несчастью, нет. Численные свидетельства не убеждают математиков, и в данном случае это не просто педантизм и придирки: они действуют разумно. В математике в целом, а особенно в теории чисел, обширные, на первый взгляд, «экспериментальные» данные часто имеют гораздо меньший вес, чем может показаться.

Наглядным примером служит гипотеза Пойа, которую в 1919 г. выдвинул венгерский математик Дьердь Пойа. Он предположил, что по крайней мере половина всех целых чисел вплоть до заданной величины имеет нечетное число простых множителей. Повторяющиеся множители в данном случае учитываются отдельно, а начинаем мы с 2. К примеру, число простых множителей для предела 20 приведено в табл. 2, где последняя колонка отражает процент чисел до данного предела с нечетным числом простых множителей.

Все значения в последней колонке выше 50 %, а более обширные расчеты позволяют предположить, что это всегда так. В 1919 г., без всяких компьютеров, исследователи не смогли найти чисел, которые опровергли бы эту гипотезу. Но в 1958 г. Брайан Хазелгроув доказал при помощи аналитической теории чисел, что гипотеза Пойа неверна для некоего числа — числа, не превосходящего 1,845 × 10361, если быть точным. Как только на сцене появились компьютеры, Шерман Леман показал, что гипотеза неверна для 906 180 359. К 1980 г. Минору Танака доказал, что минимальное из таких чисел 906 150 257. Так что вы могли бы собрать экспериментальные данные по всем числам почти до миллиарда и не понять, что гипотеза неверна.

Тем не менее приятно знать, что число 906 150 257 необычайно интересно.

Разумеется, сегодняшние компьютеры, если их как следует запрограммировать, опровергли бы гипотезу Пойа в несколько секунд. Но иногда не помогают даже они. Классический пример — число Скьюза, где первоначально громадное количество численных данных указывало на то, что некая знаменитая гипотеза верна, но на самом деле она неверна. Это гигантское число появилось в задаче, тесно связанной с гипотезой Римана: аппроксимацией π(x) функции Li(x). Как мы только что видели, теорема о распределении простых чисел утверждает, что, когда x становится большим, отношение этих двух величин стремится к 1. Численные расчеты указывают на более сильное утверждение: это отношение всегда меньше 1, т. е. π(x) меньше Li(x). В 2008 г. численные расчеты Тадея Котника показали, что это верно для x меньше 1014. К 2012 г. Дуглас Столл и Демишель повысили этот предел до 1018, и такой же результат независимо от них получил Андрей Кульша. А расчеты Томаша Оливейра-и-Сильва позволяют предположить, что предел может быть увеличен до 1020.

Таблица 2. Процент чисел до заданного предела, имеющих нечетное число простых множителей

Звучит, кажется, исчерпывающе. Данные здесь сильнее, чем лучшие численные результаты, полученные до сих пор для гипотезы Римана. Но в 1914 г. Литтлвуд доказал, что эта гипотеза неверна — и как доказал! По мере того как x проходит через положительные действительные значения, разность π(x) — Li(x) меняет знак (с отрицательного на положительный или наоборот) бесконечно часто. В частности, π(x) больше Li(x) для некоторых достаточно больших значений x. Однако доказательство Литтлвуда ничего не говорило о конкретных значениях x.

В 1933 г. его ученик, южноафриканский математик Стенли Скьюз, оценил, насколько большим должен быть x: не более 10∧10∧10∧34, где знак ∧ обозначает «возвести в степень». Это настолько гигантское число, что если все его цифры напечатать в книге — довольно скучной книге, состоящей из 1 с бесконечными нулями, — то Вселенная не вместила бы этой книги, даже если бы каждая цифра была размером с элементарную частицу. Более того, чтобы доказательство работало, Скьюзу пришлось принять на веру истинность гипотезы Римана. К 1955 г. он нашел способ обойтись без гипотезы Римана, но не бесплатно: его оценка увеличилась до 10∧10∧10∧963.

Эти числа слишком велики даже для прилагательного «астрономический», но дальнейшие исследования помогли снизить их до величин, которые уже можно охарактеризовать как космологические. В 1966 г. Леман заменил числа Скьюза на 101165. Те Риеле в 1987 г. понизил эту оценку до 7 × 10370, а в 2000 г. Картер Бейз и Ричард Хадсон свели ее к 1,39822 × 10316. Затем Чжоу Куок Фай и Роджер Плаймен срезали еще немножко и довели ограничение до 1,39801 × 10316. Это изменение может показаться несущественным, но на самом деле данная оценка меньше предыдущей на 2 × 10312. А Саутер и Демишель еще улучшили этот результат, сведя его к 1,3971667 × 10316.

Но пока суд да дело, в 1941 г. Аурел Уинтнер доказал, что маленькая, но ненулевая доля целых чисел удовлетворяет неравенству π(x) > Li(x). В 2011 г. Столл и Демишель просчитали первые 200 млрд нулей дзета-функции, что позволяет судить о π(x) для всех x вплоть до 1010 000 000 000 000, и нашли доказательство того, что если x меньше, чем 3,17 × 10114, то π(x) меньше Li(x). Так что для данной конкретной проблемы все свидетельства по крайней мере до 1018, а очень может быть, что и до 10114 или даже больше, только вводят в заблуждение. Переменчивые боги теории чисел любят пошутить за счет людей.

Было предпринято немало попыток доказать или опровергнуть гипотезу Римана. На сайте Мэттью Уоткинса «Предлагавшиеся доказательства гипотезы Римана» перечислены около 50 таких попыток, сделанных уже после 2000 г. Во многих доказательствах найдены ошибки, и ни одно из них профессиональное сообщество не признало верным.

Одной из самых разрекламированных в последние годы стала попытка Луи де Бранжа, предпринятая в 2002 г. Он распространил среди математиков рукопись, в которой попытался доказать гипотезу Римана при помощи области анализа, имеющей дело с преобразованиями на пространствах бесконечной размерности и известной как функциональный анализ. У специалистов были основания принять попытку де Бранжа всерьез. Незадолго до того он так же распространил доказательство гипотезы Бибербаха о разложении в ряд комплексных функций. В первоначальном доказательстве обнаружились ошибки, но со временем было установлено, что основная его идея работает. Однако в данном случае казалось, что предложенный де Бранжем метод доказательства гипотезы Римана не имеет шансов на успех. Брайан Конри и Ли Сяньцзинь указали на некоторые непреодолимые, как пока представляется, препятствия.

Возможно, самая серьезная надежда на доказательство гипотезы Римана заключается в новых методах или радикально новых подходах к задаче. Как мы неоднократно видели, прорывы в работе по великим математическим задачам происходят, как правило, тогда, когда кому-нибудь удается связать давно известную задачу с совершенно другой, далекой от нее областью математики. Прекрасный пример — Великая теорема Ферма: как только ее удалось интерпретировать как вопрос об эллиптических кривых, прогресс не заставил себя ждать.

Сегодня тактика де Бранжа вызывает вопросы, но сам его подход стратегически вполне оправдан. Своими корнями он уходит в устное предположение, сделанное около 1912 г. Давидом Гильбертом и независимо от него Дьердем Пойа. Эдмунд Ландау тогда спросил у Пойа, по каким таким физическим причинам должна быть верна гипотеза Римана. В 1982 г. Пойа вспоминал, что нашел-таки тогда ответ: нули дзета-функции следует связать с собственными значениями так называемого самосопряженного оператора. Речь идет о характеристических числах, связанных с особым типом преобразования. В квантовой физике — одной из важнейших областей применения — эти числа определяют энергетические уровни системы, и существует стандартная несложная теорема о том, что собственные числа этого особого типа преобразования всегда действительны. Если бы собственные числа некоего самосопряженного оператора совпадали с нулями кси-функции, то гипотеза Римана была бы несложным следствием этого факта. Пойа не стал публиковать эту идею — он не мог привести пример такого оператора, а пока примера нет — все это журавль в небе. Но в 1950 г. Сельберг доказал свою «формулу следа», которая связывает геометрию поверхности с собственными числами соответствующего оператора. Это сделало идею чуть более правдоподобной.

В 1972 г. Хью Монтгомери побывал в Институте перспективных исследований в Принстоне. В разговоре с физиком Фрименом Дайсоном он упомянул замеченные им некоторое время назад удивительные статистические свойства нетривиальных нулей дзета-функции. Дайсон сразу же отметил их сходство со статистическими свойствами случайных эрмитовых матриц — еще одного частного случая оператора, который используется для описания квантовых систем, таких как атомное ядро. В 1999 г. Ален Конн предложил формулу следа, аналогичную формуле Сельберга. Подтвердить ее — означало бы доказать обобщенную гипотезу Римана. В том же 1999 г. физики Майкл Берри и Йон Китинг предположили, что требуемый оператор может быть получен при квантовании одного хорошо известного понятия из классической физики, имеющего отношение к импульсу. Получившуюся в результате гипотезу Берри можно рассматривать как частную версию гипотезы Гильберта — Пойа.

Эти идеи, помогающие соотнести гипотезу Римана с глубинными областями математической физики, очень интересны. Они показывают, что решение может прийти из, казалось бы, никак не связанных с ней областей математики, и внушают надежду на то, что когда-нибудь вопрос с гипотезой Римана будет закрыт. Однако до сих пор они не привели к окончательному прорыву, и у нас нет оснований считать, что решение уже близко. Гипотеза Римана остается одной из самых запутанных и волнующих загадок во всей математике.

Сегодня у исследователей появился новый стимул к борьбе за доказательство гипотезы Римана: крупный приз.

В математике не существует Нобелевской премии. Самой престижной наградой в этой области является Филдсовская премия за выдающиеся открытия, вместе с которой вручается медаль. Эта премия названа в честь канадского математика Джона Филдса, который и завещал на нее средства. Раз в четыре года на Международном конгрессе математиков двум, трем или четырем молодым ученым не старше 40 лет вручают золотую медаль и денежную премию (в настоящее время это $15 000).

Многие представители математической науки считают правильным, что в их области не присуждается Нобелевская премия. В настоящее время она составляет чуть больше миллиона долларов, а такая сумма легко может исказить цели исследователей и породить споры о приоритетах. Однако отсутствие крупной математической премии также может исказить представления общества о значимости и полезности этой науки. Можно подумать, что открытия, за которые никто не хочет платить, не так уж важны. Возможно, поэтому не так давно появились две очень престижные новые математические премии. Одна из них — Абелевская — присуждается ежегодно Норвежской академией науки и словесности и названа в честь великого норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Вторая награда — это премии за решение семи «проблем тысячелетия», объявленные Математическим институтом Клэя. Этот институт основали в 1998 г. в Кембридже (штат Массачусетс) американский бизнесмен Лэндон Клэй и его жена Лавиния. Лэндон Клэй активно занимается паевыми инвестиционными фондами и при этом любит и уважает математику. Его организация проводит встречи, выделяет гранты на исследования, организует публичные лекции и присуждает ежегодную премию за математические исследования.

В 2000 г. сэр Майкл Атья и Джон Тейт, ведущие математики Великобритании и США, объявили, что Математический институт Клэя учредил новую премию, которая должна будет стимулировать работу над семью важнейшими нерешенными задачами математики. Эти задачи будут известны как «проблемы тысячелетия», а надлежащим образом опубликованное и отреферированное решение любой из них будет вознаграждено денежной суммой в $1 млн. Все вместе эти задачи призваны привлечь внимание к некоторым центральным для математики вопросам, до сих пор не имеющим ответов. Вопросы эти были тщательно отобраны лучшими математиками мира. Немалый приз должен ясно показать обществу: математика имеет огромную ценность. Всякий, кто имеет отношение к науке, прекрасно знает, что интеллектуальная ценность вполне может быть выше любых денег, но все же деньги помогают сосредоточиться. Самой известной и давней из задач тысячелетия является гипотеза Римана. Это единственный вопрос, который вошел одновременно и в список Гильберта (1900), и в список задач тысячелетия. Остальные шесть проблем тысячелетия обсуждаются далее в главах 10–15. Тем не менее математики не особенно гонятся за призами, и работа над гипотезой Римана продолжалась бы и без обещанной премии. Все, что для этого нужно, — новая перспективная идея.

Стоит также помнить о том, что гипотезы, даже освященные временем, иногда оказываются ошибочными. Сегодня большинство математиков, судя по всему, считает, что когда-нибудь гипотеза Римана будет доказана. Некоторые, однако, думают, что она, возможно, все-таки неверна, и где-то в дебрях очень больших чисел может скрываться нуль дзета-функции, который не лежит на критической линии. Если такой «контрпример» существует, то он, скорее всего, окажется очень-очень большим.

Однако на переднем крае математики просто мнение стоит немного. Интуиция зачастую очень помогает ученым, но известно немало случаев, когда это замечательное чувство ошибалось. Житейский здравый смысл может лгать, оставаясь при этом и общепризнанным, и здравым. Литтлвуд, один из лучших знатоков комплексного анализа, выразился вполне однозначно: в 1962 г. он сказал, что уверен в ошибочности гипотезы Римана, и добавил, что нет никаких мыслимых причин, по которым она была бы верна. Кто прав? Поживем, увидим.

10. Какой формы сфера? Гипотеза Пуанкаре

Анри Пуанкаре был одним из величайших математиков конца XIX в., слегка эксцентричным, но исключительно прозорливым ученым. Он был членом французского Бюро долгот — организации, созданной для решения астрономических задач для целей навигации, слежения за временем и измерения Земли и других планет. Членство в ней привело Пуанкаре к мысли об установлении международной системы временны`х зон. Кроме того, оно вдохновило ученого на размышления о времени и, в частности, на предвосхищение некоторых открытий Эйнштейна в области теории относительности. Вклад Пуанкаре виден в математике всюду, от теории чисел до математической физики. В частности, он был одним из основателей топологии, математики непрерывных преобразований.

В 1904 г. Пуанкаре наткнулся на простой, казалось бы, вопрос и вдруг понял, что ответ на него, который он прежде использовал в работе как нечто очевидное, доказать не в состоянии. «Этот вопрос увел бы нас далеко в сторону», — написал он, погрешив против истины: на самом деле, этот вопрос упрямо отказывался вести его куда бы то ни было. Хотя сам Пуанкаре сформулировал задачу в виде вопроса, известность она приобрела как гипотеза Пуанкаре — все были уверены в том, что ответом на вопрос должно быть «да». Это еще одна из семи «проблем тысячелетия» по версии Института Клэя, что вполне справедливо, поскольку несложная на вид задача оказалась одной из самых сложных во всей топологии. Ответ на вопрос Пуанкаре дал в 2002 г. молодой русский математик Григорий Перельман. Его решение привнесло в науку массу новых идей и методов — так много, что математическому сообществу потребовалось несколько лет, чтобы «переварить» представленное доказательство и признать его верным.

За свое достижение Перельман был удостоен самой престижной в математике Филдсовской премии, но отказался от нее. Он избегает всякой публичности. Ему предложили миллион долларов — премию Института Клэя, — но и ее Перельман не принял. Деньги ему тоже не нужны. Он хотел лишь, чтобы его труд был принят математическим сообществом. Со временем так и произошло, но, к несчастью, процесс занял немало времени. Да и вообще, наивно было ожидать признания без публичности и премий. Но склонная к затворничеству натура Перельмана не смогла принять эти неизбежные следствия успеха.

Мы уже встречались с топологией в связи с теоремой о четырех красках, и я прибегал тогда к расхожему сравнению: «геометрия на резиновом листе». Евклидова геометрия имеет дело с прямыми линиями, окружностями, длинами и углами. Она разворачивается на плоскости или в пространстве трех измерений, где становится более сложной. Плоскость похожа на бесконечный лист бумаги, и у нее с бумагой есть одна общая черта: она не растягивается, не сжимается и не сгибается. Бумагу можно скатать в трубочку, и она может слегка съежиться или растянуться — особенно если пролить на нее кофе. Но невозможно обернуть бумагой шар так, чтобы на листе не образовалось складок. Математически евклидова плоскость — штука жесткая. В геометрии Евклида две фигуры — два треугольника, квадрата или круга — равны, если один из них получен из другого посредством жесткого перемещения. А «жесткость» перемещения означает, что расстояния при этом не меняются.

Но что если использовать вместо бумаги эластичный резиновый лист? Он, в отличие от бумаги, растягивается и сгибается, при некотором желании его можно даже сжать. Длины и углы на эластичном листе не имеют фиксированных значений. Более того, если лист достаточно эластичен, треугольников, квадратов и кругов на нем тоже нет. Можно деформировать треугольник на резиновом листе так, что у него появится дополнительный угол. Можно даже превратить его в круг (см. рис. 36). Какими бы понятиями ни оперировала геометрия на резиновом листе, ясно, что традиционным евклидовым концепциям в ней места нет.

Может показаться, что «геометрия на резиновом листе» будет настолько гибкой, что в ней вообще не найдется места для сколько-нибудь постоянных смыслов, а значит, и доказать ничего невозможно. Но это не так. Нарисуйте, к примеру, треугольник и поставьте внутри него точку. Если вы начнете растягивать и деформировать лист, превращая треугольник в круг, то одно свойство вашего чертежа все же сохранится: точка останется внутри. Согласен, теперь она находится внутри круга, а не треугольника, но это не важно: она же все равно не снаружи. Чтобы переместить точку наружу, вам придется разорвать лист, а это будет означать нарушение правил игры.

И еще одно свойство не изменяется при искажении. Треугольник — это простая замкнутая кривая. Это линия, замкнутая сама на себя, без свободных концов и самопересечений. Восьмерка — тоже замкнутая кривая, но уже не простая — у нее есть самопересечение. При деформировании резинового листа треугольник может изменить форму, но обязательно останется простой замкнутой кривой. Невозможно, к примеру, превратить его в восьмерку, не разорвав листа.

В трехмерной топологии все пространство становится эластичным. Не так, как куб из резины, который, если снять давление, возвращается к первоначальной форме, а как гель, форму которого можно менять без всякого сопротивления. Топологическое пространство бесконечно эластично: можно взять участок размером с рисовое зернышко и раздуть его до размеров Солнца. Можно тянуть из него щупальца, пока он не начнет напоминать формой осьминога. Единственное, чего делать не разрешается, — это каким бы то ни было образом нарушать непрерывность. Не следует допускать разрывов пространства и вообще проделывать любые операции, способные разделить соседние точки.

Какие свойства пространственных фигур сохраняются при всех непрерывных деформациях? Не длина, не площадь, не объем… А вот заузленность сохраняется. Если завязать кривую узлом и соединить концы, создав замкнутую петлю, то узел уже никуда не денется. Как бы вы ни деформировали пространство, кривая останется завязанной. Таким образом, мы имеем дело с геометрией нового типа, где важные и осмысленные концепции кажутся, на первый взгляд, несколько расплывчатыми: «внутри», «замкнутый», «простой», «завязанный». Называется эта новая геометрия весьма респектабельно: топологией. Нематематику она может показаться странной или даже абсурдной, но на поверку это одна из основных областей математики ХХ в., и свое значение она сохраняет и в XXI в. А Пуанкаре — один из тех, кого мы в первую очередь должны за это благодарить.

История топологии началась почти за столетие до Пуанкаре — в 1813 г. Симон Люилье, швейцарский математик, при жизни не снискал громкой славы, но отверг крупную сумму денег, которую кто-то из его родственников предлагал ему за принятие церковного сана. Люилье предпочел карьеру в математике. Работал он в основном в тихой математической заводи: занимался теоремой Эйлера о многогранниках. В главе 4 мы упоминали один занятный и вроде бы ни с чем не связанный факт: если у многогранника F граней, V вершин и E ребер, то F — E + V = 2. Люилье большую часть жизни исследовал варианты этой формулы, и с высоты сегодняшнего дня ясно, что он сделал важнейший шаг в направлении топологии, когда обнаружил, что формула Эйлера не всегда верна. Ее применимость зависит от качественных характеристик многогранника.

Формула верна для многогранников без отверстий, которые можно нарисовать на поверхности сферы или на поверхности, полученной из сферы непрерывным преобразованием. Но если в многограннике есть отверстия, формула перестает работать. К примеру, рамка для картины, изготовленная из прямоугольного в сечении деревянного бруска имеет 16 граней, 32 ребра и 16 вершин; здесь F — E + V = 0. Люилье доработал формулу Эйлера для подобных экзотических многогранников: если в многограннике g отверстий, то F — E + V = 2 − 2g. Так был открыт первый важный топологический инвариант: величина, которая связана с пространством и не меняется при любых непрерывных преобразованиях пространства. Инвариант Люилье позволяет точно подсчитать, сколько отверстий имеет та или иная поверхность, не определяя строго, что такое «отверстие». Это полезно, поскольку «отверстие» — понятие достаточно сложное. Отверстие — не часть поверхности и не область вне поверхности. Очевидно, это свойство того, как поверхность располагается в окружающем пространстве. Но открытие Люилье показывает, что то, что мы интерпретируем как количество отверстий, есть свойство, изначально присущее поверхности и не зависящее от окружающего пространства. Нет необходимости определять отверстия, а затем считать их; лучше вообще не делать этого.

После Люилье следующей ключевой фигурой в предыстории топологии стал Гаусс. Работая в различных областях математики, он столкнулся с несколькими другими топологическими инвариантами. Работа в комплексном анализе, особенно над доказательством того, что каждое полиномиальное уравнение имеет по крайней мере одно решение в комплексных числах, заставила его рассмотреть порядок кривой на плоскости: сколько оборотов она делает относительно заданной точки. Задачи из области электричества и магнетизма подсказали коэффициент зацепления двух замкнутых кривых: сколько раз одна из них проходит сквозь другую. Эти и другие примеры привели Гаусса к мысли о существовании некоего пока не открытого раздела математики, в котором предлагался бы последовательный взгляд на качественные свойства геометрических фигур. Он ничего не публиковал по этой теме, но упоминал ее в письмах и рукописях.

Кроме того, он сообщил эти соображения своему ученику Иоганну Листингу и своему сотруднику Августу Мёбиусу. Я уже упоминал ленту Мёбиуса — поверхность, у которой есть лишь одна сторона и один край. Статью о ней он опубликовал в 1865 г., а саму ее можно увидеть на рис. 9 в главе 4. Мёбиус указал, что определение «имеющая одну сторону» интуитивно понятно, но тем не менее не точно, и предложил вместо него близкое свойство, которое можно определить совершенно строго. Это свойство — ориентируемость. Поверхность ориентируема, если ее можно покрыть сетью треугольников со стрелками вдоль сторон таким образом, что всюду, где два треугольника имеют общую сторону, стрелки указывают в противоположных направлениях. Если вы разместите такую сеть на плоскости и направите все стрелки в треугольниках, к примеру, по часовой стрелке, то именно так и произойдет. А вот на ленте Мёбиуса такая сеть невозможна.

Первая публикация Листинга по топологии появилась раньше, в 1847 г. Называлась она «Лекции по топологии», и это был первый текст, в котором использовалось это слово. Неформально Листинг пользовался им уже около 10 лет. Кроме того, тогда для той же цели использовалась латинская фраза analysis situs, т. е. «анализ размещения», но со временем она вышла из употребления. Книга Листинга не содержит ничего особенно значительного, но дает одно фундаментальное понятие: покрытие поверхности сетью треугольников. В 1861 г., за четыре года до Мёбиуса, Листинг описал ленту Мёбиуса и исследовал связность — вопрос о том, можно ли разбить пространство на две или более несвязанных областей. На основе работы Листинга другие математики, в том числе Вальтер фон Дик, провели полную топологическую классификацию поверхностей, считая их замкнутыми (не имеющими краев) и компактными (конечной протяженности). Оказалось, что любая ориентируемая поверхность топологически эквивалентна сфере с конечным числом g ручек (см. рис. 11 в середине и справа, глава 4). Число g называют родом поверхности, и именно его определяет инвариант Люилье. Если g = 0, это сфера, а если g > 0, мы имеем тор с g отверстиями. Аналогичный ряд поверхностей, начиная с простейшей неориентируемой поверхности — проективной плоскости, — образуют и неориентируемые поверхности. Этот метод был расширен и на поверхности с краями. Каждый край — это замкнутая петля, и единственное, что нужно знать дополнительно, это количество таких петель.

Гипотезу Пуанкаре легче понять, если рассмотреть для начала один из базовых методов, используемых при классификации поверхностей. Ранее я сравнил топологию с деформированием объекта, изготовленного из резины или геля, и подчеркнул, что преобразование обязательно должно быть непрерывным. По иронии судьбы, один из центральных методов топологии включает операцию, которая, на первый взгляд, нарушает непрерывность: разрезание объекта на кусочки. Однако непрерывность восстанавливается при помощи серии правил, описывающих, какие куски соединены друг с другом и как именно. Примером может служить то, как мы определили тор, отождествив противоположные стороны квадрата (см. рис. 12, глава 4).

Отождествление четко различимых точек позволяет нам представлять сложные топологические пространства при помощи простых составляющих. Квадрат — это всего лишь квадрат, и ничего больше, но с правилами отождествления квадрат может быть тором, бутылкой Клейна, цилиндром, лентой Мёбиуса или проективной плоскостью, в зависимости от характера правил (см. рис. 37). Так что когда я, объясняя непрерывное преобразование, сравнил его с растягиванием и сгибанием резинового листа, я, строго говоря, требовал больше необходимого. Нам разрешено также разрезать лист на промежуточной стадии при условии, что, в конце концов, мы либо соединим куски в точности так же, как было вначале, либо обозначим правила, которые позволят это сделать. С точки зрения тополога, сформулировать правило склеивания краев — это то же самое, что склеить их. Если, конечно, не забывать это правило в ходе дальнейших операций.

Классический метод классификации поверхностей начинается с рисования на поверхности сети треугольников. Затем мы делаем достаточно много разрезов вдоль сторон треугольника так, чтобы фигура развернулась в плоский многоугольник. Правила склеивания, определяемые тем, как мы делаем разрезы, подскажут нам, как отождествить разные края многоугольника, восстанавливая первоначальную поверхность. В этот момент вся интересующая нас топология заключена в правилах склеивания. Эта классификация доказывается алгебраической обработкой правил и превращением их в правила, определяющие тор с g отверстиями или одну из аналогичных ему неориентируемых поверхностей. У современной топологии есть и другие способы добиться того же самого, но и она часто пользуется техникой «разрезания и склеивания». Этот метод легко обобщается на пространства любой размерности, но он слишком ограничен, чтобы дать возможность классифицировать многоразмерные топологические пространства без дополнительной помощи.

Около 1900 г. Пуанкаре занимался тем, что развивал более раннюю свою работу по топологии поверхностей и разрабатывал значительно более общую методику, применимую к пространствам с любым числом измерений. Основной идеей его исследования был поиск топологических инвариантов: чисел или алгебраических формул, связанных с пространствами, которые при непрерывной деформации остаются неизменными. Если топологические инварианты двух пространств различны, то одно из них невозможно преобразовать в другое и, значит, они топологически различны.

Начал он с обобщения топологического инварианта Люилье F — E + V на многомерные пространства, сделанного итальянским математиком Энрико Бетти в 1870 г. Сейчас оно, отчасти несправедливо, известно как эйлерова характеристика. Бетти заметил, что наибольшее число замкнутых кривых, которые можно нарисовать на поверхности рода g, не поделив ее при этом на несвязные куски, равняется g − 1. Это еще один способ топологически охарактеризовать поверхность. Бетти обобщил эту идею на «числа связности» любой размерности, которые Пуанкаре назвал числами Бетти, и этот термин используется до сих пор. Так, k-мерное число Бетти означает число k-мерных отверстий в пространстве.

Пуанкаре определил на основе чисел Бетти более чувствительный инвариант, получивший название гомологии. Для него характерна гораздо более четкая алгебраическая структура. Подробнее мы поговорим о гомологии в главе 15. Пока же достаточно сказать, что гомология анализирует наборы многомерных «граней» в подобной сети и задается вопросом о том, какие из них образуют границу топологического диска. Диск не имеет отверстий, в отличие от тора, так что мы можем быть уверены, что в пределах любого набора граней, образующего границу, отверстий нет. Напротив, мы можем обнаруживать отверстия путем разделения наборов граней на те, что образуют границу, и на те, что границы не образуют. Таким образом мы можем построить серию инвариантов пространства, известных как его гомологические группы. Слово «группа» здесь используется как термин из абстрактной алгебры, означающий, что из любых двух объектов группы при помощи операции, для которой выполняются несколько соответствующих алгебраических правил, может быть получен объект той же группы. Позже, когда нам потребуется это понятие, я расскажу о нем немного больше. Для каждого измерения от 0 до n существует одна такая группа, и для каждого пространства мы получаем серию топологических инвариантов со всевозможными интереснейшими алгебраическими свойствами.

Листинг классифицировал все топологические поверхности — пространства размерности 2. Очевидным следующим шагом было посмотреть на пространства размерности 3. И простейшим пространством для начала стала сфера, т. е. бесконечно тонкая поверхность шара. Внутренняя часть шара не считается частью сферы: это всего лишь особенность, возникающая вследствие вложения сферической поверхности в пространство. По существу, у нас есть только поверхность, топологически эквивалентная поверхности шара. Можно представить ее себе как пустотелый мяч с бесконечно тонкой оболочкой.

«Правильный» трехмерный аналог сферы, называемой трехмерной, — это не шар. Шар, конечно, трехмерен, но у него есть граница — его поверхность, сфера. Сама сфера границы не имеет, не должен иметь ее и трехмерный ее аналог. Простейший способ определить трехмерную сферу состоит в том, чтобы в точности воспроизвести координатную геометрию обычной сферы. При этом возникает пространство, которое довольно трудно зрительно представить: я не могу показать вам модель в трех измерениях, поскольку трехмерная сфера хотя и имеет всего три измерения, не вкладывается в обычное трехмерное пространство. Для нее необходимо четырехмерное пространство.

Традиционная единичная сфера в трехмерном пространстве включает в себя все точки, расположенные на расстоянии 1 от заданной точки — центра сферы. Аналогично, единичная трехмерная сфера в четырехмерном пространстве включает в себя все точки, расположенные на единичном расстоянии от ее центра. В системе координат мы можем записать формулу для этих точек, воспользовавшись для определения расстояния обобщением теоремы Пифагора{34}. В более общем случае трехмерная сфера представляет собой любое пространство, топологически эквивалентное единичной трехмерной сфере, в точности так же, как всевозможные выпуклые версии единичной двумерной сферы топологически являются двумерными сферами. Разумеется, то же относится и к более высоким размерностям.

Если этого вам недостаточно и нужен более геометрический образ, попробуйте вот что: трехмерную сферу можно представить как заполненный шар, вся поверхность которого отождествляется с точкой. Это еще один пример применения правила склеивания. В данном случае процесс аналогичен одному из способов превращения круглого диска в двумерную сферу. Если протянуть нитку вдоль края тканевого диска, а затем туго стянуть ее, как будто затягивая торбу, то результат будет топологически идентичен двумерной сфере. А теперь проведите аналогичную операцию с шаром, но не пытайтесь зрительно представить себе результат: просто представьте шар и как бы приложите к нему правила склеивания.

В любом случае Пуанкаре очень интересовался трехмерной сферой, потому что это, предположительно, простейшее трехмерное топологическое пространство конечной протяженности, не имеющее границы. В 1900 г. он опубликовал статью, в которой объявил, что группы гомологий представляют собой достаточно мощный инвариант, чтобы топологически охарактеризовать трехмерную сферу. А именно, если трехмерное топологическое пространство обладает теми же группами гомологий, что и трехмерная сфера, то оно топологически эквивалентно трехмерной сфере (т. е. может непрерывно в нее преобразовываться). К 1904 г., однако, он обнаружил, что это заявление ошибочно. Существует по крайней мере одно трехмерное пространство, которое не является трехмерной сферой, но имеет те же группы гомологий, что и она. Это пространство стало настоящим триумфом подхода, связанного с правилами склеивания, а доказательство того, что это не трехмерная сфера, привело к созданию нового инварианта, заведомо более мощного, чем гомология.

Сначала о пространстве. Оно известно как додекаэдрическое пространство Пуанкаре, потому что в современном построении используется именно заполненный додекаэдр. Пуанкаре не подозревал о родстве своего пространства с додекаэдром. Сам он поступил иначе: склеил два заполненных тора весьма неочевидным способом. Додекаэдрическую интерпретацию опубликовали в 1933 г., через 21 год после смерти Пуанкаре, Герберт Зейферт и Константин Вебер, и она намного проще для понимания. Аналогия, которую здесь следует помнить, это получение тора путем склеивания противоположных сторон квадрата. Как всегда, не нужно пытаться действительно что-то склеить, — достаточно просто помнить, что соответствующие точки рассматриваются именно таким образом. Теперь мы проведем ту же операцию, но возьмем для этого противоположные грани додекаэдра (см. рис. 38).

Пифагорейцы знали о додекаэдре еще 2500 лет назад. Граница додекаэдра состоит из 12 правильных пятиугольников, соединенных в приблизительно сферическую решетку. В каждой его вершине встречаются три пятиугольника. А теперь склеим каждую грань с противоположной… Только для этого их нужно перекрутить. Буквально. Каждую грань, чтобы она совпала с противоположной, нужно повернуть на подходящий угол. Угол берем наименьший из тех, что позволяют совместить соответствующие грани, т. е. 36°. Можно считать это правило своеобразной версией правила изготовления ленты Мёбиуса: конец ленты нужно повернуть на 180°, а затем склеить с противоположным.

Так, пространство получено. А теперь посмотрим на инвариант. Нет, я не растекаюсь мыслью по древу: все это нам потребуется для понимания гипотезы Пуанкаре.

Пуанкаре назвал свой новый инвариант фундаментальной группой. Мы до сих пор пользуемся этим термином, но иногда называем его и иначе: первой гомотопической группой. Гомотопия — это геометрическая конструкция, которая целиком размещается внутри пространства и несет в себе информацию о топологическом типе этого пространства. Она делает это при помощи абстрактной алгебраической структуры, известной как группа. Группа — это набор математических объектов, таких, что комбинация любых двух подобных объектов дает еще один объект той же группы. Для закона комбинирования — его часто называют сложением или умножением, даже если это не те простые операции, которые мы знаем из арифметики — должны выполняться несколько простых и естественных условий. Если мы называем операцию сложением, основные условия такие:

• группа содержит элемент, который ведет себя как нуль: при добавлении к любому другому элементу группы ничего не меняется;

• каждый элемент имеет в группе соответствующий ему элемент с противоположным знаком: при сложении такой пары получается нуль;

• при сложении трех элементов группы не имеет значения, какие два вы складываете первыми. Иными словами, (a + b) + c = a + (b + c). Это называется законом ассоциативности.

Единственный алгебраический закон, который не считается обязательным (хотя иногда и выполняется), — это закон коммутативности{35} a + b = b + a.

Фундаментальная группа Пуанкаре представляет собой своего рода упрощенный скелет пространства. Это топологический инвариант: топологически эквивалентные пространства имеют одну и ту же фундаментальную группу. Чтобы лучше разобраться в этом полезном понятии и, очень может быть, отчасти восстановить мотивы Пуанкаре, посмотрим, как это работает, на примере окружности. Воспользуемся образом, который восходит еще к Гауссу: представьте себе муравья, вся вселенная которого ограничена окружностью. Как он может определить, какой формы его вселенная? Сумеет ли он отличить окружность от, скажем, прямой линии? Не забывайте, что муравей не может выйти за пределы своей вселенной, не может взглянуть на нее со стороны и понять, что она круглая. Он может лишь бродить по вселенной, что бы она собой ни представляла. В частности, муравей не в состоянии понять, что его вселенная изогнута, потому что и свет в ней движется только по кругу. И не обращайте, пожалуйста, внимания на практические сложности, к примеру, на то, что объектам придется, встречаясь, проходить сквозь друг друга, — в любом случае наша аналогия достаточно свободна.

Муравей может определить форму вселенной несколькими способами. Я сосредоточусь на методе, который можно обобщить на любые топологические пространства. Для целей данного обсуждения муравей — точка. Он живет на автобусной остановке, которая тоже представляет собой точку. Каждый день муравей выходит из домика, садится в автобус (который, конечно, тоже точка), а вечером возвращается обратно. Самый простой маршрут — № 0: он просто стоит на остановке и никуда не едет. Для более интересной экскурсии муравей садится в автобус № 1, который объезжает вселенную ровно один раз против часовой стрелки и останавливается, вернувшись домой. Автобус № 2 объезжает вселенную дважды, № 3 — трижды и т. д.; один автобус, движущийся против часовой стрелки, для каждого положительного целого числа. Есть и отрицательные автобусы, которые ездят в противоположном направлении. Автобус № −1 объезжает вселенную один раз по часовой стрелке, № −2 — два раза и т. д.