Величайшие математические задачи

Муравей быстро замечает, что две последовательные поездки на автобусе № 1, по существу, эквивалентны одной поездке на № 2, а три поездки на № 1 — одной поездке на № 3. Аналогично, следующие одна за другой поездки на автобусах № 5 и № 8 соответствуют одной поездке на автобусе № 13. Более того, для любых двух положительных номеров поездка на автобусе с первым номером плюс следующая за ней поездка на автобусе со вторым номером сводится к поездке на автобусе с номером, соответствующим их сумме.

Следующий шаг тоньше. Примерно то же соотношение сохраняется для автобусов с отрицательными номерами и для № 0. Поездка на № 0 плюс поездка на № 1 очень похожа на поездку на № 1. Однако есть и небольшая разница. В поездке 0 + 1 автобус № 0 некоторое время стоит на остановке, отрабатывая свой маршрут, а в поездке только на № 1 ничего подобного не происходит. Поэтому мы вводим понятие со странным названием гомотопия («то же место» по-гречески). Две петли гомотопичны, если одна из них может быть непрерывно преобразована в другую. Если мы позволим гомотопиям менять расписание автобусов, можно будет постепенно снизить время, которое муравей проводит в стоящем на остановке автобусе № 0, и, в конце концов, период сидения на месте просто исчезнет. Теперь между поездкой 0 + 1 и поездкой 1 нет никакой разницы, так что «с точностью до гомотопии» результат — это просто поездка на автобусе № 1. Иными словами, уравнение для автобусных номеров 0 + 1 = 1 остается верным не для поездок, а для гомотопических классов поездок.

А если за поездкой на автобусе № 1 последует поездка на автобусе № −1? Нам хотелось бы, чтобы в ответе стояла поездка № 0, но это не так. Автобус в этом случае проезжает весь путь сначала против часовой стрелки, а потом — обратно. Это далеко не то же самое, что провести все время поездки в стоящем на остановке автобусе. Поэтому 1 + (−1), т. е. 1−1, не равно 0. На помощь опять же приходит гомотопия. Комбинация автобусов 1 и −1 в целом гомотопна поездке на автобусе 0. Чтобы понять, почему, представьте, что муравей следует по суммарному маршруту автобусов 1 и −1 на автомобиле, но, чуть-чуть не доехав до остановки, разворачивается и едет назад. Такая поездка очень близка к двойной поездке на автобусе: пропущен всего лишь крохотный кусочек маршрута. Таким образом, первоначальное двойное путешествие непрерывно уменьшилось и превратилось в немного более короткую поездку на машине. Теперь муравей может снова чуть-чуть укоротить поездку, повернув назад чуть раньше. Он может таким образом укорачивать поездку, разворачивая автомобиль все раньше и раньше, пока не окажется просто сидящим на остановке. Процесс сжимания поездки — тоже гомотопия. Она показывает, что поездка 1 плюс поездка −1 гомотопна поездке на автобусе № 0. Иными словами, 1 + (−1) = 0 для гомотопических классов поездок.

Теперь любой алгебраист без труда сможет доказать, что поездка на автобусе любого маршрута плюс вторая поездка на каком-нибудь автобусе гомотопна поездке на автобусе, номер которого получается сложением двух автобусных номеров. Это верно для положительных автобусов, для отрицательных автобусов и для автобуса № 0. Так что если мы складываем поездки — или, вернее, гомотопические классы поездок, — то получаем группу. Более того, очень знакомую группу. Ее элементами являются целые числа (номера автобусов), а ее операцией — сложение. Такая группа традиционно обозначается символом Z от немецкого слова Zahl (“целый”).

Гораздо труднее, но все же можно доказать, что в кольцевой вселенной любая кольцевая автомобильная поездка — даже если она предусматривает множество возвратов, отступлений или метаний взад-вперед на одном и том же участке дороги — гомотопична одной из стандартных автобусных поездок. Более того, автобусные поездки с разными номерами не гомотопичны. Доказательство требует некоторых теоретических познаний. Его основа — гауссов порядок кривой, или число вращения. Это число полных обходов окружности против часовой стрелки, которое совершает муравей за всю поездку{36}, и это номер маршрута, которому гомотопична ваша конкретная поездка.

Если заполнить все пробелы и расставить все точки над i, это описание доказывает, что фундаментальная группа окружности совпадает с группой целых чисел Z по операции сложения. Чтобы складывать поездки, нужно просто складывать соответствующие им числа вращения. При помощи этого топологического инварианта муравей может отличить свою кольцевую вселенную от, скажем, бесконечной прямой линии. На прямой любая поездка, как ни мечись, в какой-то момент должна достичь максимально удаленной от дома точки. Тогда мы можем непрерывно сжать поездку, постепенно уменьшая все расстояния от дома в одной и той же пропорции — сначала до 99 %, затем до 98 % и т. д. Поэтому на прямой любая поездка гомотопна нулю: можно просто остаться дома. Фундаментальная группа прямой содержит только один элемент: 0. Ее алгебраические свойства тривиальны: 0 + 0 = 0, и называется она тривиальной группой. А поскольку тривиальная группа не совпадает с группой целых чисел, муравей может понять, живет ли он на прямой или на окружности.

Как я уже говорил, существуют и другие методы, но именно так муравей может заметить разницу при помощи фундаментальной группы Пуанкаре.

А теперь предположим, что наш муравей живет на поверхности и это опять же вся его вселенная. Он не может отойти в сторону и посмотреть, какая именно поверхность является его домом. Может ли он разобраться в топологии своей вселенной? В частности, сможет ли он различить сферу и тор? Ответ по-прежнему «да», а метод тот же, при помощи которого мы исследовали вселенную-окружность: сесть в автобус и совершать круговые поездки, которые начинаются и заканчиваются в одной точке — дома. Чтобы сложить такие поездки, их нужно проделать по очереди — одну за другой. Нулевая поездка — это остаться дома; поездка с обратным знаком — это точно такая же поездка в противоположном направлении. Работая с гомотопическими классами поездок, мы получим группу. Это фундаментальная группа поверхности. По сравнению с вселенной-окружностью здесь куда больше свободы в выборе маршрутов поездок и непрерывном преобразовании их в другие поездки; тем не менее основная идея та же.

Фундаментальная группа здесь тоже является топологическим инвариантом, и муравей может воспользоваться ею, чтобы выяснить, живет ли он на сфере или на торе. Если его вселенная — сфера, то любая поездка, совершенная муравьем, может быть постепенно преобразована в нулевую поездку — пребывание дома. Однако в случае, если вселенная — тор, это не так. Некоторые поездки могут быть преобразованы в нуль, но с поездкой, которая хотя бы раз обойдет вокруг центрального отверстия (см. рис. 39 слева), ничего подобного проделать нельзя. Это утверждение нуждается в доказательстве, но это не проблема. На торе тоже есть стандартные поездки, но теперь номера автобусов представляют собой пары целых чисел (m, n). Первое число m указывает, сколько раз маршрут проходит сквозь центральное отверстие. Второе число n указывает, сколько раз маршрут обвивается вокруг тора. На рис. 39 справа показан маршрут (5, 2), который пять раз проходит сквозь отверстие и дважды обвивается вокруг тора. Чтобы сложить поездки, нужно сложить соответствующие числа маршрутов, к примеру: (3, 6) + (2, 4) = (5, 10). Фундаментальная группа тора — группа пар целых чисел.

Любое топологическое пространство имеет фундаментальную группу, определенную в точности так же, с использованием поездок — или, точнее, петель, — которые начинаются и заканчиваются в одной точке. Пуанкаре придумал фундаментальную группу, чтобы доказать, что его додекаэдрическое пространство не является трехмерной сферой, хотя и имеет те же гомологические инварианты. Его первоначальный метод прекрасно приспособлен к вычислению фундаментальной группы. Более современный метод «скручивания и склеивания» приспособлен к нему еще лучше. Ответом оказывается группа из 120 элементов, связанная с додекаэдром. А вот фундаментальная группа трехмерной сферы, напротив, состоит лишь из одного элемента: нулевой петли. Так что додекаэдрическое пространство топологически не эквивалентно сфере, несмотря на одинаковые группы гомологий, и Пуанкаре доказал, что утверждение, сделанное им в 1900 г., ошибочно.

Пуанкаре продолжал рассуждать о своем новом инварианте: может быть, это и есть недостающий ингредиент топологической характеристики трехмерной сферы? А может, любое трехмерное пространство с той же фундаментальной группой, как у трехмерной сферы, т. е. с тривиальной группой, должно на самом деле быть трехмерной сферой? Он сформулировал это предположение как отрицание в виде вопроса: «Рассмотрим компактное трехмерное многообразие [топологическое пространство] V, не имеющее границы. Возможно ли, чтобы фундаментальная группа многообразия V была тривиальной, хотя V не есть трехмерная сфера [топологически не эквивалентно ей]?» Он оставил вопрос открытым, но очень правдоподобно мнение, что ответ при такой постановке вопроса очевиден — «нет». И вскоре это предположение получило известность как гипотеза Пуанкаре. И столь же быстро стало одним из самых знаменитых открытых вопросов топологии.

Фраза «тривиальная фундаментальная группа» означает, в сущности, что «любая петля может быть непрерывно преобразована в точку». Таким свойством обладает не только трехмерная сфера, но и любая аналогичная ей n-мерная сфера любой размерности n. Так что мы можем выдвинуть точно такое же предположение для сферы любой размерности. Такое утверждение известно как n-мерная гипотеза Пуанкаре. Это верно для n = 2, согласно теореме классификации для поверхностей. И это все, чего удалось достичь математикам за 50 с лишним лет.

В 1961 г. Стивен Смейл взял прием классификации поверхностей и применил его к более высоким измерениям. Один из способов представить себе тор с g отверстиями заключается в том, чтобы взять сферу и приделать к ней мысленно g ручек — точно таких, какие бывают у чайной чашки или кружки. Смейл обобщил это построение для любой размерности и назвал процесс разложением на ручки. Он проанализировал, как могут изменяться ручки при неизменной топологии пространства, и вывел гипотезу Пуанкаре во всех размерностях, больших или равных 7. Для более низких размерностей его доказательство не работало, но другие математики нашли способы с этим справиться: Джон Столлингс провел доказательство для размерности 6, а Кристофер Зиман — для 5. Однако один из существенных этапов доказательства, известный как трюк Уитни, упрямо отказывался работать в размерностях 3 и 4, потому что в таких пространствах просто не хватает места для необходимых маневров, и никто не мог найти эффективной замены этому приему. Постепенно сформировалось мнение о том, что топология пространств для этих двух размерностей может оказаться весьма необычной.

Это мнение, однако, было поколеблено в 1982 г., когда Майкл Фридман получил доказательство четырехмерной гипотезы Пуанкаре, для которого не требовался трюк Уитни. Доказательство было чрезвычайно сложным, но работало. Итак, после 50 лет топтания на месте и 20 лет лихорадочной активности топологи расправились наконец с гипотезой Пуанкаре для всех размерностей, кроме той, о которой, собственно, и шла речь изначально. Успехи впечатляли, но методы, при помощи которых они были достигнуты, не позволяли сказать почти ничего о трехмерном случае. Требовался новый подход.

Перечень того, что позволило, наконец, сдвинуться с мертвой точки, отчасти напоминает традиционный список подарков к свадьбе: что-то старинное, антикварное, что-то новенькое, что-то взятое взаймы и, наконец, если немного выходить за рамки, что-то из даров небес. Старинная идея заключалась в обращении к той области топологии, которая на фоне активной работы с пространствами более высоких размерностей представлялась почти исчерпанной: в топологию поверхностей. Новая идея была в том, чтобы заново рассмотреть классификацию поверхностей с позиции, на первый взгляд, совершенно чуждой: с позиции классической геометрии. Одолженной идеей можно считать поток Риччи, источником вдохновения для которого послужил математический аппарат общей теории относительности Эйнштейна. Ну а к дарам небес можно отнести нечто вроде попадания «пальцем в небо»: далеко идущие предположения, опирающиеся отчасти на интуицию, но куда больше — на надежду.

Вспомним, что ориентируемые поверхности без границы можно проклассифицировать: каждая из них топологически эквивалентна тору с некоторым числом отверстий. Это число — род поверхности, и когда род равен нулю, поверхность представляет собой сферу без ручек, т. е. просто сферу. Это слово сразу же напоминает нам о том, что среди всех топологических сфер одна поверхность стоит особняком и является архетипом. Конкретно речь идет о единичной сфере в евклидовом пространстве. Забудьте на мгновение все разговоры о резиновом листе — пока отложим это в сторону. Сосредоточьтесь на старой доброй евклидовой сфере. У нее много разных дополнительных математических свойств, проистекающих из жесткости и однозначности евклидовой геометрии. Важнейшее из этих свойств — кривизна. Кривизну можно квантифицировать: для каждой точки геометрической поверхности существует число, говорящее о том, насколько изогнута поверхность вблизи этой точки. Сфера — единственная в евклидовом пространстве замкнутая поверхность, кривизна которой во всех точках одинакова и положительна.

Это странно, потому что постоянная кривизна — не топологическое свойство. Еще загадочнее то, что сфера не одинока. Существует еще одна стандартная геометрическая поверхность, которая стоит особняком и представляет собой архетипический тор. А именно: начнем с квадрата на плоскости и отождествим противоположные его стороны (см. рис. 12 из главы 4). Результат в трехмерном пространстве после скатывания рулона и соединения тождественных сторон выглядит изогнутым. Однако, по существу, мы можем работать непосредственно с квадратом, применив дополнительно правила склеивания. Квадрат имеет естественную геометрическую структуру: это участок на евклидовой плоскости. Плоскость, кстати говоря, тоже имеет постоянную кривизну, на этот раз нулевую. Тор с данной конкретной геометрией тоже имеет нулевую кривизну и называется плоским тором. Возможно, название звучит как оксюморон, но для муравья, живущего на плоском торе и пользующегося линейкой и транспортиром для измерения расстояний и углов, местная геометрия вполне соответствовала бы плоской геометрии.

Геометры XVIII в., стараясь разобраться в аксиоме Евклида о существовании параллельных линий, пытались вывести ее из остальных евклидовых постулатов, но раз за разом терпели поражение. В конце концов пришло понимание, что такой вывод невозможен. Существует три различных типа геометрии, в каждом из которых выполняются все условия и требования Евклида, за исключением аксиомы о параллельных прямых. В настоящее время эти геометрии известны как евклидова (это плоскость, на которой аксиома о параллельных прямых верна), эллиптическая (геометрия на поверхности сферы с некоторыми финтифлюшками: здесь две прямые всегда пересекаются, а параллельной прямой не существует) и гиперболическая геометрия (где некоторые прямые не пересекаются, а параллельная прямая не единственна). Более того, классические математики интерпретируют эти геометрии как геометрии искривленных пространств. Евклидова геометрия соответствует нулевой кривизне, эллиптическая/сферическая геометрия — постоянной положительной кривизне, а гиперболическая геометрия — постоянной отрицательной кривизне.

Мы только что видели, как можно получить две из трех перечисленных геометрий: они возникают на сфере и на плоском торе. В терминах теоремы классификации это торы рода g для g = 0 и 1. Единственное, чего у нас пока не хватает, это гиперболической геометрии. Может быть, каждый тор с g дырками обладает естественной геометрической структурой, основанной на том, что в гиперболическом пространстве взяли некий многоугольник и отождествили у него некоторые стороны? Ответ поразителен: «да» для любой величины g, большей или равной 2. На рис. 40 показан пример для g = 2 на основе восьмиугольника. Я опущу гиперболическую геометрию и идентификацию этой поверхности как двумерного тора, но скажу, что разобраться в этом можно. Различные g возникают, если мы берем разные многоугольники, но исключений нет — можно получить любой g. Используя профессиональную лексику, скажем, что тор с двумя и более дырками имеет естественную гиперболическую структуру. Теперь можно пересмотреть список стандартных поверхностей:

• сфера: g = 0 — эллиптическая геометрия;

• тор: g = 1 — евклидова геометрия;

• тор с g дырками: g = 2, 3, 4… — гиперболическая геометрия.

Может показаться, что мы выплеснули с водой и ребенка, ведь топология должна иметь дело с геометрией на резиновом листе, а не с жесткой геометрией. Но теперь мы легко можем вернуть резину на место. Жесткая геометрия используется здесь только для того, чтобы определить стандартные поверхности. Она позволяет дать простые описания, которые оказываются еще более жесткими. А теперь ослабим жесткость, т. е. позволим пространству стать резиновым и разрешим деформироваться, что невозможно при жесткой структуре. При этом мы получим поверхности, топологически эквивалентные стандартным, но не получаемые из них путем жестких сдвигов. Согласно теореме о классификации, таким образом можно получить любую топологическую поверхность.

Топологи знали о существовании такой связи между геометрией и теоремой о классификации поверхностей, но в то время она представлялась забавным совпадением, дающим, несомненно, весьма ограниченные возможности в двух измерениях. Все понимали, что трехмерный случай намного богаче и, в частности, пространствами постоянной кривизны его возможности не исчерпываются. Но понять, что жесткая геометрия может оказаться полезной при рассмотрении трехмерной топологии, сумел лишь Уильям Терстон — один из лучших геометров мира. Несколько указаний на это уже имелось: трехмерная сфера Пуанкаре, исходя из ее определения, обладает естественной эллиптической/сферической геометрией. Хотя стандартный додекаэдр обитает в евклидовом пространстве, угол между его смежными гранями меньше 120°, так что три таких угла не образуют полной окружности. Чтобы исправить это, нам придется слегка надуть додекаэдр, чтобы его грани стали немного выпуклыми: это сразу превращает естественную геометрию фигуры из евклидовой в сферическую. Аналогично, треугольники на сфере тоже становятся выпуклыми. Трехмерный тор, полученный путем отождествления противоположных граней куба, обладает плоской, т. е. евклидовой, геометрией, в точности так же, как его двумерный аналог. Макс Ден и другие исследователи открыли несколько трехмерных топологических пространств, обладающих естественной гиперболической геометрией.

У Терстона появились первые подозрения о возможности существования общей теории, но, чтобы она обрела хотя бы относительную правдоподобность, требовались два нововведения. Во-первых, необходимо было расширить диапазон трехмерных геометрий. Исходя из здравого смысла, Терстон сформулировал некоторые условия и выяснил, что им удовлетворяет ровным счетом восемь геометрий. Три из них — это классика: сферическая, евклидова и гиперболическая геометрия. Еще две напоминают цилиндры: плоские в одном направлении, изогнутые в двух других. Изогнутая часть имеет либо положительную кривизну, как у двумерной сферы, либо отрицательную, как у гиперболической плоскости. Наконец, есть еще три, достаточно формальные, геометрии.

Во-вторых, было ясно, что некоторые трехмерные пространства не поддерживают ни одну из восьми геометрий. Но нашелся и выход: разрезать пространство на куски. Один кусок, возможно, обладает сферической геометрической структурой, другой — гиперболической и т. д. Чтобы разрезание было полезным, его надо проводить по очень строгим правилам, чтобы обратный процесс — собирание кусков в единое целое — позволил получить полезную информацию. Хорошей новостью стало то, что во многих случаях это возможно. В 1982 г. Терстон в приступе вдохновения сформулировал гипотезу о геометризации: любое трехмерное пространство может быть разрезано на куски, каждый из которых обладает естественной геометрической структурой, соответствующей одной из восьми возможных геометрий. Он доказал также, что если его гипотеза о геометризации верна, то гипотеза Пуанкаре окажется простым ее следствием.

Тем временем появилось и второе направление атаки, тоже геометрическое и тоже основанное на кривизне, но исходящее из совершенно иной области: математической физики. Гаусс, Риман и целая школа итальянских геометров создали общую теорию искривленных пространств, получивших название многообразий, причем концепция расстояния у них необыкновенно расширила и евклидову, и классическую неевклидову геометрию. Кривизна уже не обязана быть постоянной: она может плавно меняться от одного конца к другому. К примеру, фигура, напоминающая собачью косточку, имеет положительную кривизну на концах, но отрицательную посередине, и величина кривизны изменяется плавно от одного участка к другому. Кривизна квантифицируется при помощи математических инструментов, известных как тензоры. Около 1915 г. Альберт Эйнштейн понял, что тензоры кривизны — это именно то, чего ему не хватало для расширения специальной теории относительности, описывающей пространственно-временные отношения, до общей теории относительности, включающей также и гравитацию. В этой теории гравитационное поле представлено как кривизна пространства, а эйнштейновы уравнения поля описывают, как соответствующая мера кривизны — тензор кривизны — изменяется в зависимости от распределения материи. В результате кривизна пространства плывет со временем; вселенная или некая ее часть спонтанно меняет форму.

Ричард Гамильтон, специалист по римановой геометрии, понял, что тот же фокус можно применить в более общем плане и что результатом этого может стать доказательство гипотезы Пуанкаре. Идея состояла в том, чтобы работать с одной из простейших мер кривизны, именуемой кривизной Риччи в честь итальянского геометра Грегорио Риччи-Курбастро. Гамильтон записал уравнение, определявшее, как кривизна Риччи должна изменяться со временем: уравнение потока Риччи. Согласно этому уравнению, кривизна должна была постепенно перераспределиться и стать как можно более равномерной. Картина немного напоминает кошку под ковром из главы 4, но теперь кошка, хотя и не может сбежать, способна растечься по полу ровным слоем. (Говоря иначе, кошка здесь должна быть топологической.)

К примеру, в двумерном случае начнем с грушевидной поверхности (см. рис. 41). На одном конце она имеет область сильной положительной кривизны. Область на другом, более толстом конце тоже положительно искривлена, но не так сильно, а в промежутке грушу опоясывает область с отрицательной кривизной. По существу, поток Риччи переносит кривизну с сильно искривленного конца (и в меньшей степени с другого конца) в отрицательно искривленную область до тех пор, пока вся отрицательная кривизна не будет поглощена. На этой стадии результат — бугристая поверхность с повсеместно положительной кривизной. Поток Риччи продолжает перераспределять кривизну, забирая ее из сильно искривленных областей и перенося в менее искривленные. Время идет, и поверхность становится все ближе и ближе к той единственной форме, что имеет постоянную положительную кривизну, т. е. к евклидовой сфере. Топология остается прежней, хотя форма, если посмотреть подробнее, меняется. Следуя потоку Риччи, можно доказать что первоначальная грушевидная поверхность топологически эквивалентна сфере.

В этом примере топологический тип поверхности был очевиден с самого начала, однако та же общая стратегия действует для любого многообразия. Начните со сложной формы и следуйте за потоком Риччи. Со временем кривизна перераспределяется более равномерно, и форма упрощается. В конце концов вы должны получить простейшую форму с той же топологией, что и у первоначального многообразия, какой бы эта топология ни была. В 1981 г. Гамильтон доказал, что такая стратегия работает в двух измерениях, обеспечивая новое доказательство теоремы о классификации для поверхностей.

Кроме того, он добился значительного прогресса в аналогичной стратегии для трехмерных многообразий, но здесь возникло серьезное препятствие. В двух измерениях любая поверхность автоматически упрощается, следуя потоку Риччи. Это верно и в трех измерениях, если первоначальное многообразие во всех точках имеет строго положительную кривизну и нигде — нулевую или отрицательную. К несчастью, если в многообразии есть точки с нулевой кривизной — а они часто есть, — пространство, двигаясь в потоке, может запутаться. При этом возникают сингулярности — места, где многообразие перестает быть гладким. В таких точках уравнение потока Риччи не работает, и перераспределение кривизны прекращается. Естественный способ обойти это препятствие заключается в том, чтобы понять, что представляют собой сингулярности, и изменить многообразие — может быть, разрезать его на куски, чтобы можно было дать стартовый толчок потоку Риччи. Такая стратегия может оказаться успешной, если вы в достаточной степени контролируете связь топологии измененного многообразия к первоначальной. К несчастью, Гамильтон понял также, что для трехмерных пространств сингулярности потока Риччи могут быть чрезвычайно сложными — судя по всему, слишком сложными, чтобы применять подобные уловки. В общем, поток Риччи быстро стал в геометрии стандартным методом, но для доказательства гипотезы Пуанкаре его не хватило.

К 2000 г. гипотеза по-прежнему оставалась не доказанной; после вхождения в число семи проблем тысячелетия она приобрела еще более широкую известность и признание. К тому моменту стало ясно, что если каким-то образом удастся все же добиться, чтобы идея Гамильтона сработала, то тем самым будет доказана не только гипотеза Пуанкаре, но и гипотеза Терстона о геометризации. Приз был соблазнителен и близок, но в руки не давался.

В математике, как и в остальных отраслях науки, работа, чтобы ее признали, должна быть опубликована, а для этого — пройти рецензирование. Специалисты в соответствующей области должны внимательно прочитать работу, проверить логические выкладки и убедиться в безошибочности вычислений. Для сложной и значительной математической работы этот процесс может занять немало времени. Как упоминалось в главе 4, раньше выходом в каких-то ситуациях становился препринт, но сегодня существует стандартный веб-сайт arXiv.org, своеобразный архив, где после частичного рассмотрения и утверждения (чтобы отсечь всякие глупости) разрешается размещать электронные препринты. В настоящее время большинство исследователей знакомится с новыми результатами на сайте arXiv или на собственном сайте автора.

В 2002 г. Григорий Перельман разместил на сайте arXiv препринт о потоке Риччи. В работе было сделано замечательное утверждение: поток Риччи градиентоподобен. Иными словами, существует вполне определенное направление вниз — единственная числовая величина, связанная с формой многообразия, и многообразие всегда течет вниз в том смысле, что эта величина всегда уменьшается со временем. Она чем-то напоминает высоту в ландшафте и позволяет количественно оценить «упрощение» многообразия. Градиентоподобные потоки имеют немало ограничений: к примеру, они не могут ходить кругами или вести себя хаотично. Никто, похоже, не подозревал, что поток Риччи окажется таким ручным. Но Перельман не просто выдвинул предположение: он доказал это. В конце он наметил цепочку рассуждений, которые должны были бы доказать гипотезу Терстона о геометризации — а она, если помните, подразумевает гипотезу Пуанкаре, но заходит на самом деле гораздо дальше, — и пообещал подробнее изложить все это в следующих статьях на сайте arXiv. В течение следующих восьми месяцев он разместил там две статьи, содержавшие большую часть обещанных подробностей.

Первая статья вызвала немалый переполох. Перельман утверждал, что ему удалось реализовать всю программу Гамильтона — использовать поток Риччи для упрощения трехмерного многообразия и доказать, что результат получился в точности таким, как предсказывал Терстон. Две другие статьи добавили рассуждениям Перельмана убедительности: у математиков возникло чувство, что это человек знает, о чем говорит, и что его идеи — не просто очередная правдоподобная стратегия с неизменной логической прорехой или недоказанным допущением. Обычный скепсис математического сообщества по отношению к любым заявлениям о решении одной из великих задач слегка поутих. Возникло ощущение, что его попытка вполне может увенчаться успехом.

Однако дьявол, как всегда, кроется в деталях, а в математике детали бывают дьявольски непокорными! Работу необходимо было проверить, не спеша и на полную глубину, причем сделать это должны были те, кто разбирается в соответствующих областях и в состоянии распознать потенциальные ловушки. А это было непросто, поскольку Перельман в своей работе свел воедино по крайней мере четыре очень разные области математики и математической физики, а мало кто из математиков может похвастать знаниями более чем в одной-двух областях. Анализ корректности его доказательства потребовал бы много усилий и командной работы. Более того, в препринтах на сайте arXiv не было всех подробностей, необходимых в публикуемой статье. Для препринтов они были написаны довольно ясно, но точки над i там были расставлены не все. Так что экспертам нужно было реконструировать часть рассуждений Перельмана — при том, что сам-то он занимался этой работой несколько лет!

На все это требовалось время. Перельман читал лекции по своему доказательству и отвечал по электронной почте на вопросы, касавшиеся различных его этапов. Всякий раз, как кто-нибудь находил кажущуюся прореху, он быстро откликался, объяснял необходимое и заполнял пробелы. Все выглядело обнадеживающе. Однако никто не собирался рисковать репутацией и заявлять публично, что Перельман доказал гипотезу Пуанкаре и, тем паче, еще более сложную гипотезу о геометризации. Нужна была полная уверенность в том, что доказательство безошибочно. Поэтому, несмотря на общее благосклонное отношение к работе Перельмана, публичного признания она поначалу не получила. Это было ожидаемо, но время шло, и Перельмана все больше охватывало раздражение, потому что, как ему казалось, он впустую тратил время. Он-то знал, что его доказательство верно, и не мог понять, почему у остальных возникают такие сложности. Он отказался написать о своей работе подробнее или представить статью в какой-нибудь журнал. С его точки зрения, дело было сделано, а препринты на arXiv содержали всю необходимую информацию. Он перестал отвечать на вопросы, касавшиеся недостающих вроде бы деталей. Для него все было очевидно. Да ладно, ребята, вы и сами можете разобраться в этом, без моей помощи. Это не так уж сложно.

Некоторые писали, что математическое сообщество было несправедливо к Перельману. Но те, кто так говорят, просто не понимают, как принято действовать, когда появляется заявка на решение одной из великих задач. Было бы безответственно просто похлопать автора по плечу, сказать: «Отлично! Молодец!» — и забыть о том, чего не хватает в его препринтах. Вполне справедливо было попросить его подготовить более подробное изложение доказательства, пригодное для публикации. Когда речь идет о столь важной задаче, спешить нельзя. Специалисты из кожи вон лезли, тратили кучу времени на доказательство Перельмана и больше обычного старались сдержать свой естественный скептицизм. Сказать по правде, к автору отнеслись даже более благожелательно, чем обычно. И со временем, когда процесс проверки был завершен, его работу приняли и признали.

К этому моменту, однако, Перельман успел потерять терпение. Возможно, сказалось и то, что решенная им задача была настолько значительной, что ничто, по существу, уже не могло с ней сравниться. Он был как альпинист, сумевший подняться на Эверест в одиночку и без кислорода. Сравнимых вызовов просто не осталось. Успех в средствах массовой информации его не прельщал: он ждал признания со стороны равных, а не со стороны телеведущих всех сортов. Потому можно понять, почему, когда коллеги наконец признали, что он прав и предложили ему Филдсовскую медаль и премию Института Клэя, он не захотел принять эти награды.

Доказательство Перельмана отличается глубиной и элегантностью и открывает перед исследователями целый новый мир топологии. Автор сумел реализовать план Гамильтона по потоку Риччи, придумав хитрые способы обойти существование сингулярностей. Один из таких способов заключается в том, чтобы изменить масштабы пространства и времени и таким образом избавиться от сингулярности. Когда такой подход не работает, говорят, что сингулярность схлопывается. В подобных случаях Перельман анализирует геометрию потока Риччи в подробностях и разбирает, как именно может произойти схлопывание. По существу, пространство как бы выпускает бесконечно тонкие щупальца, иногда во множестве, как ветви дерева. Если какая-то ветка близка к схлопыванию, ее можно срезать и заменить гладкой крышечкой. Перед некоторыми из этих щупальцев поток Риччи буксует: если так, оставляем их в покое. Если же нет, поток Риччи можно запустить заново. В итоге некоторые щупальца заменяются гладкими крышками, а другие временно прерываются, но поток продолжает работать.

Процедура срезания и замазывания щупалец рубит пространство примерно так же, как терстоново рассечение на куски, каждый со своей геометрией (одной из восьми). Оказывается, что обе процедуры приводят к более или менее одинаковым результатам. Но есть один принципиально важный технический момент: операция обрезки не должна бесконечно ускоряться, так чтобы за конечное время проводилось бесконечное число операций. Это часть доказательства — одна из сложнейших.

Некоторые комментаторы критикуют математическое сообщество за несправедливое отношение к Перельману. Конечно, никто не должен быть закрыт для критики, да и инциденты, в которых, в принципе, можно разглядеть несправедливость или по крайней мере необдуманность, действительно имели место, но в целом математическое сообщество отреагировало на работу Перельмана быстро и положительно. Кроме того, реакция была осторожной, что абсолютно естественно в математике и науке вообще, и не без причин. Неизбежная публичность и слава, еще более яркая благодаря премии в миллион долларов, сказалась бы на любом человеке, и Перельман не исключение.

С момента размещения первой статьи Перельмана на arXiv в ноябре 2002 г. до объявления в марте 2010 г. о присуждении ему премии Института Клэя прошло восемь лет. Кажется, что это серьезная и, возможно, безосновательная задержка. Однако та, первая, публикация содержала лишь часть доказательства. Остальное по большей части было размещено на сайте в марте 2003 г. К сентябрю 2004 г., полтора года спустя после этой второй публикации, сообщество специалистов по потоку Риччи и топологии успело проработать доказательство — следует отметить, что этот процесс начался всего через несколько дней после первой публикации, — и ведущие эксперты объявили, что «поняли его». Они нашли в нем ошибки, нашли пробелы, но выразили уверенность в том, что все это можно исправить. Полтора года — совсем немного, когда речь идет о таком важном вопросе.

В конце 2005 г. Международный математический союз связался с Перельманом и предложил ему Филдсовскую премию, высшую математическую награду. Присудить ее предполагалось на Международном математическом конгрессе в 2006 г. Конгресс проводится раз в четыре года, так что это была бы первая возможность почтить ученого за серьезное достижение. Поскольку в полноте доказательства гипотезы Пуанкаре оставались некоторые сомнения — в нем все еще время от времени обнаруживались ошибки, — премия официально присуждалась за успехи в понимании потока Риччи (эта часть препринтов Перельмана к тому моменту уже считалась свободной от ошибок).

Условия присуждения премии за решение проблем тысячелетия размещены на сайте Института Клэя. В частности, предлагаемое решение должно быть опубликовано в рецензируемом журнале и принято математическим сообществом, причем отношение к нему не должно измениться за два года после публикации. После этого специальный консультативный комитет должен рассмотреть вопрос и выдать рекомендацию: присуждать автору премию или нет. Перельман не выполнил первого условия и, судя по всему, никогда уже этого не сделает. С его точки зрения, препринтов на сайте arXiv достаточно. Тем не менее Институт Клэя махнул на это рукой и объявил о начале уставного двухлетнего срока: требовалось посмотреть, не всплывут ли еще какие-нибудь ошибки или вопросы. Срок истек в 2008 г.; теперь нужно было следовать строгой (чтобы, не дай бог, не выдать премию преждевременно) процедуре.

Это правда, что некоторые эксперты не спешили выражать свою уверенность в корректности доказательства Перельмана. Причина понятна: они действительно не были в ней уверены. Не будет преувеличением сказать, что единственным человеком, способным быстро разобраться в доказательстве Перельмана, мог бы быть только второй Перельман. Невозможно читать математическое доказательство с листа, как музыканты читают ноты. Необходимо убедить самого себя в том, что здесь все разумно и имеет смысл. Всякий раз, когда аргументация усложняется, ты понимаешь, что возрастает и вероятность ошибки. То же можно сказать и о ситуации, когда излагаемые идеи становятся слишком простыми: многие перспективные доказательства споткнулись на утверждениях настолько очевидных, что ничего доказывать, казалось бы, вообще не требовалось. До тех пор, пока эксперты не убедились окончательно в том, что доказательство верно в своей основе — а именно в этот момент они признали достижение Перельмана, несмотря на оставшиеся пробелы и ошибки, — разумно было воздержаться от суждений. Вспомните, к примеру, шумиху вокруг холодного синтеза, данные о котором через некоторое время были опровергнуты. Осторожность — верная профессиональная реакция, и в данном случае вполне применимо известное изречение: чрезвычайные заявления требуют чрезвычайных доказательств.

Почему же Перельман отверг Филдсовскую премию и отказался от награды Института Клэя? Это известно лишь ему самому, но вообще-то его никогда не интересовало признание такого рода, и он не раз говорил об этом. Он и раньше отказывался от премий и призов, правда, не таких престижных и крупных. Перельман с самого начала дал понять, что не хочет преждевременной известности. По иронии судьбы, именно это стало одной из причин, по которым специалисты не спешили высказывать свое мнение. Но, по правде говоря, не было ни единого шанса на то, что средства массовой информации не заметят его работу. Много лет математическое сообщество всеми силами старалось заинтересовать этой темой газеты, радио и телевидение, и нет смысла жаловаться на то, что эти усилия увенчались успехом, или ждать, что СМИ пропустят самую громкую математическую сенсацию со времен Великой теоремы Ферма. Но Перельман смотрел на все это иначе и спрятался в раковину. Поступило предложение — и оно остается в силе — использовать премиальные деньги на образовательные или иные цели, если он согласится. До сих пор ответа на это предложение нет.

11. Не могут они все быть легкими. Задача P/NP

В настоящее время математики используют компьютеры для решения самых разных задач, даже великих, и не считают это чем-то из ряда вон выходящим. Компьютеры хороши в числовых расчетах, но математика — это далеко не только «суммирование», так что ввести задачу в компьютер, как правило, очень непросто. Часто самое сложное — это преобразовать ее в такой вид, в каком ее можно решить путем компьютерных расчетов, и даже в этом случае компьютер иногда сопротивляется. Поэтому и в наше время решения многих великих задач находятся без или почти без участия компьютеров. Примерами тому — Великая теорема Ферма и гипотеза Пуанкаре.

В тех случаях, когда компьютеры использовались при решении великих задач (к примеру, теоремы о четырех красках или гипотезы Кеплера), они эффективно выступали в роли прислуги или помощников. Но иногда роли меняются, и математика становится служанкой компьютерной науки. Большая часть работы по первоначальному проектированию компьютеров шла в математическом ключе. Значительную роль в ней сыграла связь между булевой алгеброй — алгебраическим выражением формальной логики — и коммутационными схемами, разработанными, в частности, инженером Клодом Шенноном, создателем теории информации. Сегодня компьютеры и в практическом, и в теоретическом аспекте опираются на широкое использование многих самых разных областей математики.

Одна из задач тысячелетия по версии Института Клэя лежит в пограничной области между математикой и информатикой. В данном случае ситуацию можно рассматривать двояко: то ли информатика находится на службе у математики, то ли наоборот. На самом же деле требуется, да и развивается нечто другое, более сбалансированное, — партнерство. Задача касается компьютерных алгоритмов — математических скелетов, из которых вырастают компьютерные программы. Принципиальное значение здесь имеет концепция эффективности алгоритма: за сколько вычислительных шагов будет получен результат при определенном количестве входных данных. Практически эффективность говорит о том, сколько времени потребуется компьютеру на решение задачи заданного размера.

Слово «алгоритм» восходит к Средним векам, когда Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми написал один из первых трудов по алгебре. Еще раньше Диофант ввел в обращение элементы, которые мы сегодня прочно связываем с алгеброй: символы. У него они, однако, использовались как сокращения, а методы решения уравнений были представлены при помощи конкретных — хотя и типичных — примеров. Там, где мы сегодня написали бы что-нибудь вроде «x + a = y, следовательно, x = y — a», Диофант написал бы: «Положим x + 3 = 10, тогда x = 10 − 3 = 7» — и считал бы, что читатели должны сами сообразить, что эта идея будет работать и для любых других чисел вместо 3 и 10. Он готов был объяснить свой иллюстративный пример с применением символов, но никогда не стал бы оперировать символами как таковыми. Аль-Хорезми подробно разработал эту общую рекомендацию. Он сделал это при помощи слов, а не символов, но общая идея была верной, и именно он считается отцом алгебры. Более того, сам этот термин образован из названия его книги: она называлась «Краткая книга о вычислении посредством восполнения и противопоставления» («Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джебр ва-ль-мукабала»). Слово «аль-джебр», от которого и пошла алгебра, при этом означало «восполнение» и имело отношение к решению уравнений. А слово «алгоритм» произошло от средневековой латинизированной версии прозвища аль-Хорезми (т. е. «из Хорезма») — Алгорисмус — и означает в настоящее время специализированный математический процесс решения задачи, который при достаточно длительном ожидании гарантирует нахождение ответа на нее.

Традиционно в математике задача считалась решенной, если для нее в принципе можно было записать алгоритм, ведущий к ответу. Слово «алгоритм» использовалось редко: математики предпочитали представлять, скажем, формулу решения — частный случай алгоритма на языке символов. При этом было не слишком важно, может ли эта формула быть применена на практике: она сама по себе являлась решением. Но появление компьютеров изменило эту ситуацию. Формула, слишком сложная для ручных вычислений, вполне могла оказаться применимой, если привлечь на помощь компьютер. Зато ситуации, когда формула оказывалась слишком сложной даже для компьютера, стали вызывать раздражение, а такое тоже иногда случалось: конечно, любой алгоритм можно было попытаться просчитать на компьютере, но иногда расчет шел слишком медленно и не позволял получить ответ. Поэтому внимание ученых сместилось к поиску эффективных алгоритмов. И математики, и компьютерщики были кровно заинтересованы в получении алгоритмов, которые действительно позволяли бы за разумный промежуток времени получить ответ.

Если алгоритм имеется, относительно несложно оценить, сколько времени (измеряемого числом необходимых вычислительных операций) потребуется на решение задачи при определенном количестве входных данных. Это может требовать усилий и технических навыков, но зато вам известно, о каком именно процессе идет речь и, по крайней мере в общих чертах, что он делает. Гораздо сложнее разработать эффективный алгоритм, если тот, с которого вы начали, неэффективен. Еще сложнее решить, насколько плохим или хорошим может быть наилучший с точки зрения эффективности алгоритм для данной задачи, — ведь для этого нужно рассмотреть все возможные варианты, а вам неизвестно, что они собой представляют.

Первые работы по этому вопросу привели к грубому, но удобному разделению алгоритмов на эффективные (в простом, но неточном смысле) и неэффективные. Если продолжительность расчетов с увеличением количества входных данных растет относительно медленно, данный алгоритм эффективен, а задача проста. Если же продолжительность расчетов с увеличением количества входных данных растет очень быстро, то данный алгоритм неэффективен, а задача сложна. Опыт подсказывает, что, хотя встречаются задачи, которые в этом смысле можно назвать простыми, большинство задач к таковым не относятся и являются сложными. В самом деле, если бы все математические задачи были простыми, математики остались бы без работы. Соответствующая задача тысячелетия заключается в том, чтобы строго доказать, что существует по крайней мере одна сложная задача или что, вопреки нашему опыту, все задачи являются простыми. Эта задача известна как задача P/NP, и никто пока не представляет, как ее нужно решать.

В главе 2 мы уже сталкивались с приближенной оценкой эффективности. Алгоритм относится к классу P, если он имеет полиномиальное время работы. Иными словами, если число шагов, которые необходимо сделать для получения ответа, пропорционально количеству входных данных в какой-либо постоянной степени (скажем, в квадрате или кубе). Такие алгоритмы эффективны в самом широком смысле. Если входные данные представлены числом, то их количество — это не само число, а количество знаков в нем. Причина в том, что количество информации, необходимой для представления числа, соответствует месту, которое оно занимает в памяти компьютера, а это место пропорционально количеству цифр. Задача относится к классу P, если существует алгоритм класса P, который ее решает.

Любой другой алгоритм (или задача) принадлежит к классу не-P, и большинство таких алгоритмов неэффективны. Среди них есть алгоритмы, время работы которых экспоненциально по отношению к входным данным, т. е. примерно равно некоему фиксированному числу в степени, соответствующей размеру входных данных. Такие алгоритмы относятся к классу E и определенно неэффективны.

Некоторые алгоритмы настолько эффективны, что выполняют работу намного быстрее, чем за полиномиальное время. К примеру, чтобы определить четность или нечетность числа, достаточно посмотреть на его последнюю цифру. Если (в десятичной записи) это цифра 0, 2, 4, 6 или 8, число — четное, в противном случае — нечетное. Весь алгоритм включает в себя не более шести шагов:

Последняя цифра — 0? Если да, то СТОП. Число четное.

Последняя цифра — 2? Если да, то СТОП. Число четное.

Последняя цифра — 4? Если да, то СТОП. Число четное.

Последняя цифра — 6? Если да, то СТОП. Число четное.

Последняя цифра — 8? Если да, то СТОП. Число четное.

СТОП. Число нечетное.

Итак, время выполнения программы ограничено шестью шагами, вне зависимости от размера входных данных. Такой алгоритм относится к классу алгоритмов «постоянного времени».

Расстановка слов в списке в алфавитном порядке представляет собой задачу класса P. Простейший способ выполнить эту задачу — это так называемый «пузырьковый» метод, получивший название потому, что слова, находящиеся ниже по списку, чем следует, при этом «всплывают» вверх, как пузырьки в стакане газировки. Алгоритм раз за разом просматривает список, сравнивает соседние слова и меняет их местами, если порядок не соответствует алфавитному. Пусть, к примеру, список вначале выглядит так:

РОГ ДОМ БОТ АКТ

Сначала происходит следующее:

ДОМ РОГ БОТ АКТ

ДОМ БОТ РОГ АКТ

ДОМ БОТ АКТ РОГ

Полужирным шрифтом выделены те слова, сравнение которых проводилось только что и которые были (или не были) переставлены. При втором проходе получаем:

БОТ ДОМ АКТ РОГ

БОТ АКТ ДОМ РОГ

БОТ АКТ ДОМ РОГ

Третий проход: