Величайшие математические задачи

Итак, стабильна ли Солнечная система?

Может, да, а может, и нет.

Продолжая исследовать великое озарение Пуанкаре — возможность существования хаоса, — мы сегодня гораздо лучше разбираемся в теоретических вопросах, связанных с достижением стабильности. Оказалось, что это тонкая и сложная задача. К тому же она, как ни смешно, практически никак не связана с существованием или отсутствием решений в виде рядов. Работа Юргена Мозера и Владимира Арнольда позволила доказать, что различные упрощенные модели Солнечной системы стабильны почти при любых начальных состояниях, за исключением, возможно, эффекта диффузии Арнольда, который не допускает более сильных форм стабильности почти во всех задачах такого рода. В 1961 г. Арнольд доказал, что идеализированная модель Солнечной системы стабильна в этом смысле, но только при допущении, что планеты обладают чрезвычайно малыми массами по сравнению с массой центральной звезды, что их орбиты очень близки к круговым и находятся почти в одной плоскости. Если говорить о строгом доказательстве, то «почти» и «очень близки» здесь означает «различаются не более чем на 10−43 долю», и даже в этом случае точная формулировка гласит, что вероятность нестабильности равна нулю. Там, где речь идет о возмущениях, результаты часто бывают гораздо шире, чем то, что удается строго доказать, так что из всего этого следует, что планетная система, в разумной степени близкая к идеальной, вероятно, стабильна. Однако в нашей Солнечной системе допуски составляют 10−3 по массе и 10−2 по степени приближения к окружности и наклонению. Понятно, что это несколько больше, чем 10−43, так что о применимости результатов Арнольда речь может идти лишь чисто теоретически. Тем не менее приятно, что в этом вопросе хоть о чем-то можно говорить определенно.

Практические стороны подобных задач тоже прояснились благодаря развитию мощных численных методов приближенного решения уравнений при помощи компьютера. Вообще-то это тонкий вопрос, ведь у хаоса есть одно важное свойство: маленькие ошибки способны очень быстро вырасти и погубить все решение целиком. Наши теоретические представления о хаосе и об уравнениях, подобных уравнениям Солнечной системы, в которой отсутствует трение, привели к развитию численных методов, свободных от многих наиболее неприятных свойств хаоса. Их называют симплектическими интеграторами. С их помощью удалось выяснить, что орбита Плутона хаотична. Однако это не означает, что Плутон беспорядочно носится по всей Солнечной системе, разрушая все вокруг себя. Это означает, что через 200 млн лет Плутон по-прежнему будет находиться где-то поблизости от своей нынешней орбиты, но где именно — мы не имеем ни малейшего представления.

В 1982 г. в рамках проекта Longstop под руководством Арчи Роя на суперкомпьютере проводилось моделирование внешних планет (начиная с Юпитера). В них не обнаружилось крупных нестабильностей, хотя некоторые планеты получали энергию за счет других планет странными путями. С тех пор две исследовательские группы занимаются развитием использовавшихся в проекте вычислительных методов и применением их к различным задачам, касающимся нашей Солнечной системы. Руководят этими группами Джек Уиздом и Жак Ласкар. В 1984 г. группа Уиздома предсказала, что спутник Сатурна Гиперион, вместо того чтобы вращаться честь по чести, должен беспорядочно кувыркаться, и последующие наблюдения подтвердили этот факт. В 1988 г. эта же группа в сотрудничестве с Джерри Сассменом построила собственный компьютер, спроектированный специально для работы с уравнениями небесной механики. В сущности, это цифровая модель Солнечной системы (в отличие от обычной механической модели, где движение планет — шариков на палочках — имитируется при помощи штырьков и шестеренок). Первый же расчет, смоделировавший следующие 845 млн лет Солнечной системы, вскрыл хаотичную природу Плутона. На данный момент группа Уиздома и ее последователи успели смоделировать динамику Солнечной системы на следующие несколько миллиардов лет.

Группа Ласкара опубликовала первые результаты по долгосрочному поведению Солнечной системы в 1989 г. При этом в расчетах использовалась усредненная форма уравнений, восходящих еще к Лагранжу. Понятно, что в таком расчете некоторые мелкие подробности размываются и исключаются из рассмотрения. Расчеты группы показали, что положение Земли на орбите хаотично, почти как у Плутона: если мы измерим сегодняшнее положение нашей планеты и ошибемся на 15 м, то ее положение на орбите через 100 млн лет невозможно будет предсказать сколько-нибудь определенно.

Единственный способ снизить влияние хаоса состоит в многократном моделировании с чуть разными начальными данными. Это позволяет получить спектр возможных вариантов вместе с вероятностью каждого из них. В 2009 г. Ласкар и Микаэль Гастино применили эту методику к Солнечной системе, рассмотрев 2500 различных сценариев. Различия между ними чрезвычайно малы — к примеру, это может быть сдвиг положения Меркурия на 1 м. Примерно в 1 % вариантов будущего Меркурий становится нестабильным: он сталкивается с Венерой, рушится на Солнце или выбрасывается за пределы системы.

В 1999 г. Норман Мюррей и Мэтью Холман исследовали несоответствие результатов Арнольда и др., указывающих на стабильность, и моделирования, указывающего на нестабильность. «В чем дело? — спрашивали они. — Может быть, неверны численные результаты, а может быть, классические расчеты здесь неприменимы?» Воспользовавшись аналитическими, а не численными методами, они продемонстрировали, что классические расчеты применять нельзя. Возмущения, необходимые для отражения реальности, слишком велики. Главный источник хаоса в Солнечной системе — близкое к резонансному состояние системы Юпитера, Сатурна и Урана и еще одной системы — Сатурна, Урана и Нептуна, хотя ее близость к резонансу не столь важна. Для проверки этого положения они использовали численные методы; получилось, что горизонт предсказания — мера времени, за которое небольшие ошибки приобретут достаточные масштабы, чтобы вызвать серьезные последствия, — составляет приблизительно 10 млн лет{28}. Их моделирование показывает, что Уран иногда опасно сближается с Сатурном, поскольку эксцентриситет его орбиты меняется хаотически и существует вероятность, что когда-нибудь он будет вообще выброшен прочь из Солнечной системы. Однако вероятное время такого события наступит через 1018 лет. Солнце взорвется и превратится в красный гигант гораздо раньше, примерно через 5 млрд лет. Это событие, естественно, скажется на всех планетах, не в последнюю очередь потому, что само Солнце при этом потеряет 30 % массы. Земля отодвинется прочь от Солнца и, возможно, сумеет избежать захвата необычайно расширившимся светилом. Однако в настоящее время считается, что приливные взаимодействия со временем все же затянут Землю внутрь Солнца, а океаны нашей планеты вскипят и испарятся задолго до этого. Но поскольку типичная продолжительность жизни вида, с эволюционной точки зрения, не превышает 5 млн лет, нам вряд ли стоит беспокоиться обо всех этих потенциальных катастрофах. Мы погибнем гораздо раньше от каких-нибудь других причин.

При помощи этих же методов можно исследовать прошлое Солнечной системы: берем те же уравнения и пускаем время назад — простой математический фокус. До недавнего времени астрономы склонны были считать, что планеты всегда находились примерно на нынешних своих орбитах, — с тех самых пор, как сконденсировались из газопылевого облака, окружавшего зарождающееся Солнце. Более того, на основании их состава и формы орбит делались выводы о размерах и составе того самого первичного газопылевого облака. Сегодня же ученые склоняются к мнению, что планеты начинали свое существование вовсе не на нынешних орбитах. По мере того как из пылевого облака под действием внутреннего тяготения образовывались планеты, Юпитер — самая массивная из них — начал выстраивать остальные тела, да и сами они постоянно влияли друг на друга. Такую гипотезу предложили в 1984 г. Хулио Фернандес и Винг-Хуен Ип, но какое-то время их работу рассматривали скорее как любопытную, но незначительную диковинку. В 1993 г. Рену Малхотра всерьез задумался о том, как изменения в орбите Нептуна могли влиять на остальные планеты-гиганты. К нему присоединились другие исследователи, и постепенно проявилась картина чрезвычайно динамичной юности нашей Солнечной системы.

Планеты продолжали формироваться, и пришло время, когда Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун были уже почти готовы, но между ними циркулировало громадное количество скальных и ледяных планетезималей — небольших тел около 10 км в поперечнике. После этого эволюция Солнечной системы шла путем миграции и столкновения планетезималей. Многие из них были выброшены в пространство, что снизило суммарную энергию и момент импульса четырех планет-гигантов. Поскольку все эти миры обладали разными массами и находились на разных расстояниях от Солнца, то и реагировали они по-разному. Нептун стал одним из победителей в орбитальной схватке за энергию и в результате отошел подальше от светила. Уран и Сатурн сделали то же самое, но в меньшей степени. Юпитер же в смысле энергии остался в проигравших и сместился внутрь системы. Но он был столь массивен, что далеко не ушел.

Остальные, меньшие тела Солнечной системы, тоже испытали на себе действие этих перемен. Текущее состояние системы, вроде бы стабильное, возникло в результате затейливого танца гигантов, в ходе которого разыгравшийся хаос бросил мельчайшие тела навстречу друг другу. Так стабильна ли Солнечная система? Вероятно, нет, но человечеству не удастся убедиться в этом на практике.

9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана

В главе 2 мы рассматривали индивидуальные свойства простых чисел, и я сравнил их с зачастую непоследовательным и непредсказуемым поведением людей. Но люди обладают свободой воли, они могут принимать решения, исходя из своих соображений. А простые числа делают то, что подсказывает им логика арифметики, хотя нередко создается впечатление, что они тоже обладают собственной волей. Их поведение управляется странными совпадениями и часто лишено какой бы то ни было разумной структуры.

Тем не менее в мире простых чисел не правит анархия. В 1835 г. Адольф Кетле поразил современников, обнаружив математические закономерности в мире социальных явлений, которые зависят от сознательных решений разных людей или вмешательства судьбы: в мире рождений, свадеб, смертей, самоубийств. Закономерности были статистическими и касались не отдельных людей, а усредненного поведения больших человеческих масс. Именно так статистики извлекают порядок из индивидуальной свободы воли. Примерно в то же время математики начали осознавать, что такой фокус можно проделать и с простыми числами. Пусть каждое из них в отдельности — ярый индивидуалист, все вместе они подчиняются закону. Существуют скрытые закономерности.

Статистические закономерности проявляются тогда, когда мы рассматриваем сразу все множество простых чисел. К примеру: сколько простых чисел содержится в натуральном ряду до некоего определенного предела? На этот вопрос очень сложно ответить точно, но существуют прекрасные аппроксимации, и чем выше предел, тем точнее становятся приближенные значения. Иногда можно добиться, чтобы разница между приближенным и точным ответами была очень мала, но, как правило, это означало бы хотеть слишком многого. Большинство приближений в этой области являются асимптотическими. Это означает, что отношение приближенного значения к точному можно сделать очень близким к 1. При этом, хотя ошибка в процентах стремится к нулю, абсолютная ошибка может быть сколь угодно велика.

Если вы пытаетесь понять, как такое может быть, представим последовательность чисел — для некоего трудного для понимания свойства простых чисел — состоящую из степеней 100:

100, 10 000, 1 000 000, 100 000 000.

Но реальные числа при этом таковы:

101, 10 010, 1 000 100, 100 001 000,

т. е. лишняя единица сдвигается на каждом шаге влево на одну позицию. В этом случае отношение соответствующих чисел, чем дальше, тем ближе подходит к 1, а вот разность между ними приобретает вид:

1, 10, 100, 1000

и может достигать сколь угодно больших значений. Подобное поведение наблюдается в тех случаях, когда ошибка — разность между точным и приближенным ответом — беспредельно растет, но медленнее, чем растут сами числа.

Поиск асимптотических формул, имеющих отношение к простым числам, вдохновил математиков на создание новых методов теории чисел, основанных не на целых числах, а на комплексном анализе. Анализ — это строгое описание дифференциального и интегрального исчисления, включающего, как явствует из названия, два ключевых аспекта. В первом из них — дифференциальном исчислении — речь идет о скорости, с которой некая величина, называемая функцией, растет по отношению к другой величине. К примеру, положение тела зависит от времени, и скорость, с которой это положение изменяется со временем, представляет собой мгновенную скорость тела. Второй аспект — интегральное исчисление — имеет дело с расчетом площадей, объемов и тому подобных величин путем складывания большого числа очень маленьких кусочков. Процесс этот называется интегрированием. Примечательно, что интегрирование — это операция, обратная дифференцированию. Первоначальные формулировки Ньютона и Готфрида Лейбница требовали некоторых маневров с бесконечно малыми величинами, в связи с чем возникали вопросы о логической обоснованности этой теории. Со временем ученые разобрались с этими концептуальными вопросами, определив понятие предела — величины, к которой можно приблизиться на сколь угодно малое расстояние, но которой зачастую невозможно достичь. Именно в таком виде, в более строгих формулировках, метод получил название анализа.

Во времена Ньютона и Лейбница величины, о которых шла речь, представляли собой действительные числа, и результатом их работы, соответственно, стал действительный анализ. Когда же комплексные числа завоевали признание математиков, методы анализа естественным образом распространили и на них. Получился комплексный анализ, оказавшийся необычайно красивым и мощным инструментом. Вообще, когда дело доходит до анализа, комплексные функции ведут себя намного лучше, чем действительные. У них, конечно, есть свои особенности, но преимущества работы с комплексными функциями многократно перевешивают все их недостатки.

В какой-то момент математики с удивлением обнаружили, что арифметические свойства целых чисел можно с большой пользой переформулировать в терминах комплексных функций. До этого две системы ставили перед учеными очень разные вопросы и требовали использования очень разных методов. Но сегодня при помощи комплексного анализа — мощнейшего набора методик — можно открывать особые свойства функций теории чисел, а из них, в свою очередь, можно извлекать асимптотические формулы и многое другое.

В 1859 г. немецкий математик Бернхард Риман взял давнюю идею Эйлера и развил ее совершенно по-новому, определив так называемую дзета-функцию. Одним из результатов этой работы стала точная формула для количества простых чисел до заданного предела. Формула представляла собой бесконечную сумму, но специалистам по анализу к этому не привыкать. И это не было бесполезной игрой ума: благодаря этой формуле удалось получить новые подлинные знания о мире простых чисел. Мешала только одна маленькая неувязка. Хотя Риман мог доказать, что его формула точна, самые важные потенциальные следствия из нее полностью зависели от одного простого утверждения, касающегося дзета-функции, и вот это-то простое утверждение Риман никак не мог доказать. И сегодня, полтора столетия спустя, мы все еще не сумели сделать это. Сегодня это утверждение называется гипотезой Римана и представляет собой, по сути, священный Грааль чистой математики.

В главе 2 мы видели, что простые числа обыкновенно встречаются тем реже, чем они больше. Поскольку казалось, что точных формул для их распределения наверняка не существует, возникало естественное желание поискать статистические закономерности. В 1797–1798 гг. Лежандр подсчитал, сколько простых чисел помещается в натуральном ряду вплоть до различных пределов. Для этого он воспользовался таблицами простых чисел, которые незадолго до того составили Георг Вега и Антон Фелькель. Веге, судя по всему, вообще нравились сложные расчеты: он составил таблицы логарифмов и в 1789 г. стал обладателем мирового рекорда по вычислению числа π, которое он посчитал до 140-го десятичного знака (из них 126 были посчитаны верно). А Фелькелю просто нравилось искать простые числа. Его главная работа вышла в 1776 г. и называлась «Таблица всех простых делителей чисел до 10 000 000, за исключением тех, что делятся на 2, 3 или 5». Для проверки делимости на 2, 3 и 5 есть простые способы, упомянутые в главе 2, и он сэкономил в книге много места, опустив эти числа. Лежандр открыл эмпирическую приближенную формулу для количества простых чисел, меньших заданного числа x, и обозначил это количество π(x). Если вы привыкли воспринимать π только как символ для обозначения числа 3,14159, это потребует привыкания, но в любом контексте несложно понять, что именно имелось в виду, даже если вы не заметили, что символы даны в несколько разном начертании. В 1808 г. в тексте Лежандра по теории чисел утверждалось, что значение π(x), судя по всему, очень близко к значению выражения x/(log x − 1,08366).

В 1849 г. в письме к астроному Иоганну Энке Гаусс сообщил, что в свое время, лет в 15, сделал на полях таблицы логарифмов запись, в которой утверждалось количество простых чисел, меньших или равных x, составляет x/log x для больших x. Гаусс не опубликовал это наблюдение (как и многие другие свои открытия), возможно, потому, что не имел доказательства. В 1838 г. Дирихле сообщил Гауссу об аналогичной приближенной формуле, найденной им самим. По существу, эта формула сводится к логарифмической интегральной функции{29}

По мере того как x становится большим, отношение Li(x) к x/log x стремится к 1; это означает, что если одно из них асимптотически равно π(x), то асимптотически равно и второе, но рис. 34 позволяет предположить (совершенно верно), что Li(x) — лучшее приближение, чем x/log x. Точность Li(x) впечатляет. К примеру,

π(1 000 000 000) = 50 847 534,

Li(1 000 000 000) = 50 849 234,9.

Аппроксимация в виде x/log x хуже: в данном случае ее значение 48 254 942,4.

Приближенная формула с использованием Li(x) или x/log x стала известна как теорема о распределении простых чисел, где слово «теорема» использовалось в смысле «предположение». Поиск доказательства того, что эти формулы асимптотичны к π(x), стал одной из ключевых открытых задач теории чисел. Многие математики пытались одолеть ее при помощи традиционных методов этой области науки, и некоторые подошли к ответу достаточно близко, однако всегда оставалась какая-то хитрая посылка, которую никак не удавалось доказать. Нужны были новые методы. Они появились в результате любопытного переформулирования двух древних, еще евклидовых, теорем о простых числах.

Теорема о распределении простых чисел была ответом на евклидову теорему о том, что простые числа уходят в бесконечность и могут быть сколь угодно большими. Другая фундаментальная евклидова теорема говорит о единственности разложения на простые множители: каждое положительное целое число есть произведение простых чисел, причем только одного их набора. В 1737 г. Эйлер понял, что первую теорему можно переформулировать в виде поразительной формулы из действительного анализа, и тогда второе утверждение становится простым следствием этой формулы. Для начала я представлю формулу, а затем попытаюсь разобраться в ней. Вот она:

Здесь p принимает все простые значения, а s — константа. Эйлера интересовал в основном случай, при котором s — целое число, но его формула работает и для действительных чисел, в случае если s больше единицы. Это условие необходимо для того, чтобы ряд в правой части сошелся, т. е., будучи продолжен до бесконечности, принял бы осмысленное значение.

Это необыкновенная формула. В левой части мы перемножаем бесконечно много выражений, которые зависят только от простых чисел. В правой — складываем бесконечное число выражений, которые зависят от всех положительных целых чисел. Эта формула выражает, на языке анализа, некоторое отношение между целыми и простыми числами. Главное отношение такого рода — это единственность разложения на простые множители, именно она оправдывает существование формулы.

Я кратко опишу основной этап, чтобы показать, что за всем этим стоит разумная идея. Воспользовавшись школьной алгеброй, мы можем разложить выражение в ряд по p. Этот ряд напоминает правую часть формулы, но включает только степени p. А именно:

Когда мы перемножим все эти ряды, для всех простых p, и раскроем все скобки, мы получим комбинации с любыми степенями простых чисел, т. е. с любыми целыми положительными степенями. Все они выглядят как величины, обратные (т. е. единица, деленная на) s-й степени данного числа, и все возникают лишь единожды в связи с единственностью разложения на простые множители. Таким образом, получаем ряд в правой части.

Никому до сих пор не удалось найти простой алгебраической формулы для суммы этого ряда, хотя формул с интегралами немало. Поэтому мы присвоили ей особый символ — греческую букву дзета (ζ) — и определили новую функцию:

Вообще говоря, Эйлер не использовал символ ζ и рассматривал только положительные целые значения s, но я буду и дальше называть приведенный выше ряд эйлеровой дзета-функцией. Воспользовавшись своей формулой, Эйлер заключил, что существует бесконечно много простых чисел (для этого он рассматривал значения s, близкие к единице). Главной его целью было получить формулы вроде ζ (2) = π²/6 и найти сумму ряда для четных целых s. Развивать свою революционную идею дальше он не стал.

Другие математики заметили упущение Эйлера и рассмотрели нецелые значения s. В двух работах 1848 и 1850 гг. русский математик Пафнутий Чебышев предложил великолепную идею: попытаться доказать теорему о распределении простых чисел при помощи анализа. Начал он со связи между простыми числами и математическим анализом, обеспечиваемой эйлеровой дзета-функцией. Он не добился полного успеха, поскольку считал s действительным числом, а аналитические возможности действительного анализа весьма ограничены. Зато он сумел доказать, что для больших x отношение π(x) к x/log x лежит между двумя константами, одна из которых чуть больше единицы, а вторая — чуть меньше. Это был уже реальный результат, хотя пока еще не такой, как хотелось. Он позволил Чебышеву доказать постулат Бертрана, предложенный в 1845 г.: если взять любое натуральное число (≥2) и удвоить его, то между двумя этими числами обязательно найдется простое число.

Вот теперь сцена была готова к появлению Римана. Он тоже понял, что дзета-функция — это ключ к теореме о распределении простых чисел, но для реализации этого подхода ему пришлось предложить смелое расширение: определить дзета-функцию не только действительной, но и комплексной переменной. А начать можно с ряда Эйлера. Он сходится для любых действительных s больше единицы, и если использовать для комплексного s в точности ту же формулу, то ряд будет сходиться при любых s, у которых действительная часть больше 1. Однако Риман обнаружил, что можно сделать и лучше. Применив процедуру так называемого аналитического продолжения, он расширил определение ζ (s) на все комплексные числа, за исключением 1. Это значение s исключено потому, что при s = 1 значение дзета-функции становится бесконечным{30}.

В 1859 г. Риман собрал все свои мысли о дзета-функции в одну статью, заголовок которой можно перевести как «О количестве простых чисел, не превышающих заданной величины». В ней он привел полную и точную формулу π(x){31}. Я опишу более простую формулу, эквивалентную римановой, чтобы показать, как появляются нули дзета-функции. Идея заключается в том, чтобы подсчитать, сколько простых чисел, или степеней простых чисел, укладывается до любого заданного предела. Однако вместо того чтобы сосчитать каждое число по одному разу, как функция π(x) делает с простыми числами, мы придаем большим простым числам дополнительный вес. Более того, любая степень простого числа учитывается в соответствии с логарифмом этого простого числа. Так, для предела 12 мы имеем следующие степени простых чисел:

2, 3, 4 = 2², 5, 7, 8 = 2³, 9 = 3², 11,

поэтому взвешенный подсчет дает

log 2 + log 3 + log 2 + log 5 + log 7 + log 2 + log 3 + log 11,

что составляет примерно 10,23.

Воспользовавшись методами анализа, информацию об этом более хитроумном способе подсчета простых чисел можно превратить в информацию об обычном способе. Однако этот метод приводит к более простым формулам, и присутствие логарифма — не слишком дорогая цена за это. В этих терминах точная формула Римана говорит о том, что взвешенный подсчет до предела x эквивалентен

где Σ обозначает сумму по всем числам ρ, для которых ζ(ρ) равна нулю, исключая отрицательные четные целые числа. Эти значения называются нетривиальными нулями дзета-функции. Тривиальные нули — это отрицательные четные целые числа −2, −4, −6… Во всех этих точках дзета-функция равняется нулю из-за формулы, которая используется в определении аналитического продолжения, но, как выяснилось, для римановой формулы эти нули несущественны (как и почти везде в других местах).

На случай, если формула вас немного пугает, я укажу главное: хитрый способ подсчета простых чисел до заданного предела x, который при помощи кое-каких аналитических фокусов можно превратить в обычный способ, в точности эквивалентен сумме по всем нетривиальным нулям дзета-функции простого выражения xρ/ρ плюс некая несложная функция от x. Если вы специалист по комплексному анализу, вы сразу увидите, что доказательство теоремы о распределении простых чисел эквивалентно доказательству того, что взвешенный подсчет до предела x асимптотически сходится к x. Воспользовавшись комплексным анализом, получим: это утверждение верно, если у всех нетривиальных нулей дзета-функции действительная часть лежит между 0 и 1. Чебышев не смог этого доказать, но подошел достаточно близко, чтобы извлечь полезную информацию.

Почему нули дзета-функции так важны? Одна из базовых теорем комплексного анализа утверждает, что при некоторых формальных условиях функция комплексной переменной полностью определяется значениями переменной, при которых функция равна нулю или бесконечности, плюс некоторая дополнительная информация о поведении функции в этих точках. Эти особые точки известны как нули и полюсы функции. В действительном анализе эта теорема не работает — и это одна из причин, по которым комплексный анализ завоевал такую популярность, несмотря на необходимость извлекать корень квадратный из −1. У дзета-функции один полюс (при s = 1), так что все ее характеристики определяются нулями (если, конечно, не забывать о существовании этого единственного полюса).

Для удобства Риман работал в основном с зависимой кси-функцией ξ (x), которая тесно связана с дзета-функцией и получается из метода аналитического продолжения. Он заметил:

«Весьма вероятно, что все [нули кси-функции] действительны. Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования».

Это заявление о кси-функции эквивалентно аналогичному заявлению о зависимой от нее дзета-функции. А именно: все нетривиальные нули дзета-функции представляют собой комплексные числа вида: они лежат на критической линии «действительная часть равна 1/2» (см. рис. 35). Эта версия замечания и есть знаменитая гипотеза Римана.

Замечание Римана звучит достаточно небрежно, как будто высказано между делом и эта гипотеза не имеет особого значения. И это действительно так, если говорить только о программе Римана по доказательству теоремы о распределении простых чисел. Но во многих других вопросах верно обратное. Многие считают гипотезу Римана важнейшим из остающихся на сегодняшний день открытыми математических вопросов.

Чтобы понять, почему это так, мы должны последовать за рассуждениями Римана чуть дальше. В тот момент ученый был нацелен на теорему о распределении простых чисел. Его точная формула предлагала верный путь к этому достижению: нужно было разобраться в нулях дзета-функции или эквивалентной ей кси-функции. Полная риманова гипотеза для этого не нужна, достаточно доказать, что у всех нетривиальных нулей дзета-функции действительная часть лежит в промежутке от 0 до 1, т. е. что сами комплексные корни лежат на расстоянии не более 1/2 от римановой критической линии — в так называемой критической полосе. Это свойство нулей подразумевает, что сумма по всем нулям дзета-функции, фигурирующая в приведенной выше точной формуле, представляет собой конечную константу. Асимптотически для больших x она вообще может потеряться. Единственный член формулы, который сохранит свое значение при очень больших x, это сам x. Все остальные сложные слагаемые асимптотически пропадают в сравнении с x. Следовательно, взвешенная сумма асимптотически стремится к x, и это доказывает теорему о распределении простых чисел. Так что, по иронии судьбы, роль нулей дзета-функции заключается в том, чтобы доказать, что они не вносят существенного вклада в точную формулу.

Риман так и не довел свою программу до логического конца. Более того, он никогда больше ничего не писал по этому вопросу. Но два других математика, приняв у него эстафету, показали, что догадка Римана верна. В 1896 г. Жак Адамар и Шарль-Жан де ла Валле Пуссен независимо друг от друга вывели теорему о распределении простых чисел, доказав, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат в пределах критической полосы. Доказательства у обоих получились очень сложными и техничными, но тем не менее свою задачу они выполнили. Возникла новая мощная область математики — аналитическая теория чисел. Применение ей нашлось в самых разных уголках теории чисел: с ее помощью решали давние задачи и выявляли новые закономерности. Другие математики позже нашли несколько более простых доказательств теоремы о числе простых, а Атле Сельберг и Пал Эрдеш открыли даже очень сложное доказательство, вовсе не требовавшее применения комплексного анализа. Но к тому моменту при помощи идеи Римана было доказано бесчисленное множество важных теорем, включая аппроксимации многих функций теории чисел. Так что это новое доказательство хоть и добавило в эту историю каплю иронии, но ни на что, в сущности, не повлияло. В 1980 г. Дональд Ньюман нашел гораздо более простое доказательство, для которого достаточно оказалось всего лишь одной из самых базовых теорем комплексного анализа — теоремы Коши.

Хотя Риман объявил свою гипотезу ненужной для достижения ближайших целей, оказалось, что она жизненно необходима для разрешения многих других вопросов теории чисел. Прежде чем обсуждать гипотезу Римана, нам стоит взглянуть на некоторые теоремы, которые — если бы гипотеза была доказана — из нее следуют.

Одно из важнейших следствий — это величина погрешности в теореме о распределении простых чисел. Теорема, как вы помните, утверждает, что для большого x отношение π(x) к Li(x) приближается к 1, причем чем дальше, тем сильнее. Иными словами, разница между двумя функциями снижается до нуля относительно величины x{32}. Однако реальная разница при этом может расти (и растет). Просто она делает это медленнее, чем растет сам x. Компьютерные расчеты позволяют предположить, что величина погрешности примерно пропорциональна √xlogx. Если гипотеза Римана верна, это утверждение можно доказать. В 1901 г. Хельге фон Кох доказал, что гипотеза Римана логически эквивалентна оценке

для всех x ≥ 2657. Здесь вертикальными линиями обозначена абсолютная величина: разность, умноженная на ±1, чтобы сделать ее положительной. Эта формула дает наилучшие возможные ограничения для разницы между π(x) и Li(x).

Из гипотезы Римана можно получить немало других оценок для функций теории чисел. К примеру, из нее прямо следует, что сумма делителей n меньше

eγn log log n

для всех n ≥ 5040, где γ — постоянная Эйлера (γ = 0,57721){33}. Эти утверждения могут показаться случайными и странными фактами, но хорошая оценка для важной функции жизненно важна во многих приложениях, и большинство специалистов по теории чисел отдали бы свою правую руку ради того, чтобы доказать любую из них.

Кроме того, гипотеза Римана говорит нам, насколько велико может быть расстояние между последовательными простыми числами. Типичный размер промежутка между ними можно вывести на основании теоремы о распределении простых чисел: в среднем промежуток между простым числом p и следующим простым числом сравним с log p. Некоторые промежутки могут быть меньше, некоторые больше, но математикам жилось бы легче, если бы можно было сказать наверняка, насколько велики могут быть самые большие из них. Харальд Крамер доказал в 1936 г., что если гипотеза Римана верна, то промежуток при простом числе p не может превышать величины √plog p, домноженной на некую константу.

Но подлинное значение гипотезы Римана куда глубже. Существуют далеко идущие обобщения и сильное подозрение, что тот, кто сумеет доказать гипотезу Римана, сможет, вероятно, доказать и связанную с ней обобщенную гипотезу Римана. А это, в свою очередь, даст математикам власть над обширными областями теории чисел.

Обобщенная гипотеза Римана вырастает из более подробного описания простых чисел. Все простые числа, кроме двойки, нечетные, и в главе 2 мы видели, что все нечетные простые можно разделить на два типа: те, что на 1 больше числа, кратного 4, и те, что на 3 больше числа, кратного 4. Говорят, что это числа вида 4k + 1 или 4k + 3, где k — число, на которое вы умножаете 4, чтобы получить данное простое число. Приведем короткий список первых нескольких простых чисел того и другого типа, вместе с соответствующими числами, кратными 4:

Прочерки указывают на то, что соответствующее число не простое.

Сколько существует простых чисел того и другого типа? Как они распределены среди всех простых чисел или среди всех целых чисел? Евклидово доказательство того факта, что простых чисел существует бесконечно много, можно без больших усилий модифицировать, доказав при этом, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 3. Доказать, что простых чисел вида 4k + 1 тоже бесконечно много, гораздо сложнее, — это можно сделать, но лишь при помощи некоторых достаточно сложных теорем. Разница в подходах обусловлена тем, что любое число вида 4k + 3 имеет делитель того же вида, а в отношении чисел вида 4k + 1 это не всегда верно.

В числах этих двух видов нет ничего чудесного или священного. Все простые числа, кроме 2 и 3, имеют вид 6k + 1 или 6k + 5, и мы можем задать в отношении них аналогичные вопросы. Если уж на то пошло, все простые числа, кроме 5, имеют вид 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4. Мы оставляем в стороне числа вида 5k, поскольку они кратны 5 и, соответственно, все, кроме 5, не являются простыми.

Кстати говоря, на любой из подобных вопросов нетрудно выдвинуть разумное предположение — простые числа в арифметической последовательности. Случай с 5k достаточно типичен. Эксперимент быстро показывает, что числа приведенных выше четырех видов имеют примерно равные шансы оказаться простыми. Вот похожая таблица: