В лабиринте чисел

Хитрые рассуждения Зенона

— Завернём на минутку в Древнюю Грецию? — предложила Ари.

— Пошли! — сказал Чит.

И вот они в прохладном греческом дворике с каменной надписью на воротах: «Зенóн из Элéи». Здесь, в тени оливкового дерева, стоял древний грек среднего возраста. У ног его лежал деревянный шар, который он пинал деревянным же молотком. Но шар почему-то оставался на месте, как приклеенный. Чит спросил, в чём дело, и Зенон (а это был именно он) заявил, что шар нипочём не покатится.

— Да почему же? — недоумевал Чит.

— Потому что всякое движущееся тело непременно должно преодолеть середину пути, прежде чем достигнет его конца.

— Ну и что же?

— А то, что середина — это половина пути, а у этой половины есть своя половина, то есть четверть пути. Так ведь? А у четверти — своя половина: восьмая пути. У восьмой, в свою очередь, своя: одна шестнадцатая…

— Я вижу, конца этим половинам не предвидится, — перебил Чит.

— В том-то и дело! — обрадовался Зенон. — И стало быть, шар никогда не достигнет следующей половины, так как не преодолел предыдущей. Из чего следует, что никакого движения в природе попросту нет.

— Вы это серьёзно? — удивился Чит.

— Серьёзней некуда, — подтвердил тот. — Разве я не доказал это строго логически?

— Странная у вас логика, — съязвил Чит, вспомнив любимое выражение своей мамы, и несколько раз обежал вокруг Зенона. — Может, и теперь скажете, что движения нет?

— И скажу, — упёрся Зенон. — Недаром это вытекает из моей знаменитой апории.

Чит, конечно, немедленно спросил, что такое апория? Оказалось по-гречески — это «непреодолимое препятствие», и таких «препятствий» у Зенона четыре. В самой своей известной апории он доказывает, что быстроногому Ахиллéсу ни за что не догнать медлительной черепахи. Остальных апорий Чит не запомнил, но с него было довольно и двух.

Под конец он выхватил у Зенона молоток, хорошенько наподдал шар, и тот благополучно врезался в противоположную стену дворика, единым духом преодолев всё бесконечное множество середин.

— Не понимаю! — сказал Чит, когда они покинули Древнюю Грецию и двинулись к следующей остановке. — Кажется, умный человек, а занимается глупостями…

— Ты хочешь сказать, ошибается, — мягко поправила Ари. — Да, Зенон, конечно, ошибался. А скорее всего, увлекался хитроумными логическими построениями, основанными на трудно уловимом противоречии. Такие построения, между прочим, называются софизмами… Но так или иначе, он был первым учёным, представившим себе бесконечно малую величину — то есть такую, которая непрерывно стремится к нулю. Выходит, он предвосхитил появление нового понятия, утвердившегося много столетий спустя, в XVII веке. Открытие бесконечно малых величин вызвало целый переворот в науке. Оно помогло решить многие, до тех пор неразрешимые задачи. При этом практическое применение математики очень расширилось.

— Оказывается, полезными бывают и ошибки, — пошутил Чит. — Но в чём, кстати, ошибка Зенона? Этого я так и не понял.

— Видишь ли, рассуждение Зенона построено на том, что сумма бесконечного ряда дробей, которыми записаны отрезки пути, и сама бесконечна. На самом деле бесконечно здесь лишь число слагаемых, а не их сумма: 1/₂ + 1/₄ + 1/₈ + 1/₁₆ + 1/₃₂ + 1/₆₄… И в то время как слагаемые ряда стремятся к нулю, сумма их стремится к единице, то есть к величине всего пути. Ясно?

— Не очень, — честно признался Чит.

— Что делать! Поймёшь в своё время.

Цифровые (счётные) устройства

Прямо из Древней Греции — страны муз — Чит попал в музей. Но вместо картин и статуй тут были собраны счётные приборы и машины. Самым древним прибором оказались… пальцы.

Чит увидел чёрную бархатную ширму — как в кукольном театре. Но вместо кукол над ширмой двигались руки с растопыренными пальцами. Пальцы считали вовсю, но чаще всего действовали разом: одна пятерня — 5, две —10. Когда рук не хватало, над ширмой выскакивала нога, а то и две. Две руки и одна нога — 15, две руки и две ноги — 20…

Да, устройство человеческих конечностей сыграло немалую роль в истории счёта! Иные учёные полагают, что римская буква V, которая служит также цифрой 5, имеет форму пятерни с оттопыренным пальцем. А буква X — она же цифра 10 — не что иное, как две соединённые пятерни.

Следы счёта на пальцах сохранились во многих странах. В Китае и Японии предметы домашнего обихода (чашки, тарелки и т. д.) считают не дюжинами и полудюжинами, как в России, а пяткáми и десятками. Во Франции и в Англии поныне в ходу счёт двадцатками (вспомним двадцатеричную нумерацию племени майя!). Но десятку повезло больше всех: он стал основой десятичной позиционной системы счёта, а ею пользуются почти во всём мире.

Целый зал занимали счёты разных времён и народов. Деревянные, костяные, бронзовые. Затейливые и неприхотливые. Богатые и бедные, грубо сработанные. Но, несмотря на такое разнообразие, Чит вышел отсюда с твёрдым убеждением, что счёты — это обычно рама со стерженьками, на которые нанизаны бусины. Каждая бусина — цифра, числовое значение которой зависит от того, на какой перекладине, то бишь в каком числовом разряде она находится. Как правило, счёты предназначены для вычислений в десятичной нумерации. Но более древние китайские счёты рассчитаны на счёт пяткáми, который старше счёта десятками.

В давние времена считали также на счётных досках. Счётная доска абáк (нередко она имела форму столика) была разделена на полоски-разряды, которые дужками объединялись в классы, по три разряда в каждом. Считали на абаке, выкладывая на доску бобы, косточки, камешки.

Потом Чит увидел табличку «Зал имени Паскаля» и очень обрадовался знакомой фамилии, связанной для него теперь с числом сочетаний и, как это ни смешно, с хоккеем. Выяснилось, однако, что Блез Паскаль не только математик, но и физик, механик, изобретатель первой счётной машины, к тому же одарённый писатель и человек сильного характера. Подумать только: хилый, болезненный юноша сделал свою машину чуть ли не собственными руками!

Чит подумал было, что у Паскаля не было денег на хороших мастеров. Но деньги-то как раз были. Просто затея Паскаля требовала такой точности исполнения, какой мастера того времени ещё не владели. Не было тогда и подходящих материалов. Блез перепробовал самые дорогие: медь, слоновую кость, драгоценное эбéновое дерево… Он создал свыше пятидесяти моделей, но все они были дороги, сложны в работе, часто ломались. Лишь в воображении изобретателя машина была легка, прочна, считала безотказно. Но и это, если вдуматься, не так уж мало! Дело ведь не в том, насколько удалось или не удалось Паскалю претворить свой замысел в жизнь. Дело в самом замысле — а он, особенно по тем временам, был и нов, и плодотворен. Об этом можно судить по тому, как много последователей появилось у изобретателя и у его машины уже в том же XVII столетии.

Паскаль отказался от прямолинейного движения, на котором основаны обыкновенные счёты, и обратился к вращательному, круговому. Он использовал принцип часового механизма с его зубчатой передачей. Колёса в машине были с десятью зубцами — по числу цифр в каждом разряде, и вот почему Паскаль признан прародителем большинства счётных устройств, которые применяются и в наши дни. Всевозможные кассовые аппараты, арифмометры, электросчётчики, счётчики такси — все они работают на паскалевом принципе. Хотя по качеству и по конструкции ни в какое сравнение со своими далёкими предшественниками не идут. Техника XX века — не техника XVII! Чит убедился в этом, миновав ряд комнат, уставленных счётными экспонатами самого разного назначения. Но вот они достигли зала с табличкой «ЭВМ», и Чит оказался с глазу на глаз с громадным элегантным красавцем. Впрочем, глаз у красавца было много. Они вспыхивали, гасли. Казалось, машина подмигивает Читу: «Что, брат, здóрово? Это тебе не арифмометр!»

Да, электронно-вычислительная машина и впрямь не арифмометр. Это механизм нового типа, быстродействующий, основанный на электронике, на кибернетике. За несколько часов он делает то, на что человеку и целой жизни не хватит. Работать на таких машинах не просто. Надо уметь давать им толковые задания, точную программу действий. Программируют их на условном, цифровом языке, который очень похож на игру в «да — нет». Причём роль «да» исполняет единица, а роль «нет» — нуль. Чит засомневался: неужто двух цифр достаточно, чтобы разговаривать с таким гигантом? Оказывается, вполне. Ведь что делает машина? Выбирает правильный вариант ответа. А выбрать один вариант из двух небось проще, чем один из нескольких. Вот почему цифровая беседа с ЭВМ ведётся в двоичной системе счисления.

Двоичная система? Чит о такой и не слыхивал! Но Ари сказала, что системы счисления могут быть всякие. Троичная. Семеричная. Даже единичная… В общем, в зависимости от того, какое число принято за основу. Основа двоичной системы — число 2, поэтому участвуют в ней, как уже сказано, только первые две цифры: 0 и 1. Это такая же позиционная система счёта, как десятичная и шестидесятеричная. Только каждый последующий разряд здесь больше предыдущего не в 10 и не в 60, а в 2 раза. Например, запись 101 в двоичной системе расшифровывается так: 101 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 5.

Чит, как водится, немедленно забыл об ЭВМ и захотел поупражняться в расшифровке. Но Ари оставила это до «Щ», после чего они ещё немножко походили по музею и отправились дальше.

Числа именованные

Что может быть лучше смешной, весёлой «мультипликашки»? Чит запрыгал от радости, когда узнал, что они идут в кино. Он очень рассчитывал посмотреть новую серию «Ну, погоди, заяц!» и не просчитался. Правда, картина называлась «Ну, погоди, лодырь!», но это мало что меняло: ведь главными действующими лицами там были всё равно Волк и Заяц. Вернее, Зайчонок младшего школьного возраста.

Зайчонок бездельничал, то и дело прогуливал уроки и потому вечно ничего не знал. Учитель Волк так и спрашивал его у доски: «Ну-с, чего ты не знаешь сегодня?» И Зайчонок всегда честно говорил, чего он не знает: таблицы умножения или там ещё чего.

— И не стыдно тебе? — спрашивал Волк.

— Не-а! — так же честно отвечал Зайчонок.

Так он благополучно проходил… то есть прогуливал школьную программу. Но вот в один далеко не прекрасный день он не знал, что такое именованные числа и как с ними обращаться. Другие зверюшки давно уже усвоили, что именованными называются числа, которыми записывают количество каких-либо предметов: лампочек, апельсинов, шкафов… Словом, чего угодно. Ещё они усвоили, что складывать и вычитать разноименованные числа строго воспрещается. Лампочки, например, можно складывать с лампочками, шкафы со шкафами, а уж лампочки со шкафами — ни-ни! Разумеется, ленивый Зайчонок всё это пропустил мимо ушей. А тут ещё, как на грех, стало ему стыдно. Никогда не было, а теперь вдруг стало!

— Ничего-то я не умею, ни умножать, ни делить, — пригорюнился он. — Научусь хоть складывать, что ли…

И пошёл в лесной склад. А там чего только нет! И животные со всех концов света, и одежда, и лакомства, и всякие игрушки… В общем, что угодно для души!

«Что бы мне такое сложить? — задумался Зайчонок. — Ботинки с ножницами? Или морковки с черепахами? А, да что там! Сложу что придётся!»

И давай трудиться! Складывает, складывает, по сторонам и не смотрит. Наконец умаялся, утёр лоб… Поднял глаза — и обмер: это что же за чудища вокруг? Он таких сроду не видывал. Одни вроде бы на ослов смахивают, да вместо ушей у них лыжи. Другие — на быков, только сплющенных, выгнутых куполом и надетых на палки от зонтиков. У слонов не хоботы, а шланги от пылесосов. У журавлей не крылья — носовые платки. Машут ими, а взлететь не могут. У чайников вместо носиков гусиные шеи, из клювов раскрытых пар валит…

Зайчонок за голову схватился. Неужто всё это его работа, его «сложение»? А чудища наступают на него, ревут, гогочут — вот-вот, разорвут на куски! Зайчонок плачет, прощенья просит. Никогда, мол, больше не буду складывать гусей с чайниками и слонов с пылесосами…

Но жертвы неправильного сложения слезам не верят. Пусть Зайчонок вернёт им нормальный вид, не то… ну, погоди, лодырь! К счастью, тут подоспел учитель Волк (он же завскладом по совместительству), сказал: «Шурýм-бурýм!» — и всё уладилось. Слоны получили свои хоботы, ослы — уши. Журавли поднялись в воздух; быки, избавившись от ненавистных палок, брякнулись нáземь. А Зайчонок поблагодарил своего спасителя Волка и обещал исправиться.

Тут все герои фильма пустились в пляс и запели песенку, очень, надо сказать, поучительную:

Сложенье — вещь отличная И, право же, простая. Его мы вычитанию Не зря предпочитаем. Но не ищи в сложении Ни радости, ни смысла, Коль складываешь разно- Именованные числа. Различные животные И разные предметы, Слагаясь, превращаются В ни то, ни сё, ни это. На свете появляются Ужасные гибриды, И нам сносить приходится Ужасные обиды. Всю ночь гиппопотапочки Топочут по квартире, А утром ноги всовывай В литые сапогири, Воюй с кенгурубашкою. Что не даётся в руки, И укрощай строптивые, Брыкливые зебрюки. Вокруг тебя беснуются. Теснятся ближе, ближе Свирепые бизонтики, Упрямые ослыжи, Носкильки и чермыльницы. Худые книгалоши, Кусачие пчеластики И хрупкая стеклошадь. Нет, не ищи в сложении Ни радости, ни смысла, Коль складываешь разно- Именованные числа!

Читу песенка понравилась, и он запомнил её от слова до слова. Зайчонок, надо надеяться, тоже.

Шифр

Едва история с зайцем благополучно закончилась, как выяснилось, что пропал кролик. После долгих поисков Чит нашёл его в цветнике перед зданием кинотеатра. Кролик безмятежно поедал дорогие декоративные колючки. Испугавшись, что у кролика будет аппендицит, Чит великодушно отказался от своей премии и вернул её на ферму имени Фибоначчи. Ари тоже не сомневалась, что в привычной обстановке кролику будет лучше, но всё-таки не удержалась и сказала довольно ядовито, что, судя по всему, кроликовода из Чита не выйдет. Тот, впрочем, и ухом не повёл: не выйдет — и не надо. Он вовсе писателем хочет стать.

Ари насмешливо прищурилась.

— Думаешь, писать книги легче, чем ухаживать за кроликами? Ничуть не бывало. Даже самое простое предложение «Я хочу стать писателем!» может прозвучать совершенно по-разному — стоит только поменять слова местами!

Чит, конечно, сейчас же пустился проверять. И странное дело: с каждой новой перестановкой фраза и впрямь неуловимо менялась. «Хочу я стать писателем!» звучало мечтательно и задушевно, а «Стать писателем я хочу…» — неуверенно, словно бы за этим последует: «Но вот удастся ли?» «Хочу писателем я стать!» смахивало на строчку из развесёлого детского стихотворения, а «Стать писателем хочу я!» — на признание напыщенного индюка. Выходит, от порядка слов зависит не только характер фразы, но и характер того, кто её произносит?

Тут было над чем поразмыслить, и Чит хотел продолжать, но Ари спросила: уж не собирается ли он перепробовать все 24 перестановки?

— Почём ты знаешь, что их 24? — подозрительно спросил он.

— Потому что в этом предложении четыре слова. А вычислить число перестановок, или, как это называется, факториáл четырёх, — сущие пустяки. Надо перемножить натуральные числа от единицы до четвёрки. Факториал, кстати, обозначается восклицательным знаком. И выглядит это так: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

— А если в предложении десять слов?

— Тогда надо найти факториал десяти, то есть перемножить все числа от единицы до десяти. Причём получится… — Ари пошевелила губами, — получится три миллиона шестьсот двадцать восемь тысяч восемьсот перестановок.

После этого становиться писателем Читу вдруг расхотелось. Лучше уж быть математиком! Как-никак перемножить числа от единицы до десяти легче, чем отобрать один вариант предложения из трёх с половиной миллионов…

— Математиком так математиком, — согласилась Ари. — Но тогда надо тебе знать, что перестановки, так же как и сочетания, с которыми ты уже знаком, — один из видов соединений, которыми ведает комбинаторика. Только, в отличие от сочетаний, в каждой перестановке участвуют все элементы разом — будь то числа, предметы или слова. И обязательно в новом, ином порядке.

Чит подумал было, что перестановки используются главным образом в писательском деле. Но Ари лишь посмеялась. По её словам, перестановки играют не последнюю роль в теории вероятностей: ведь её с комбинаторикой водой не разольёшь! Но здесь, пожалуй, самое время поговорить о шифре.

— Наконец-то! — ликовал Чит. — Сейчас пойдут шпионские истории.

Но Ари сказала, что шпионских историй он, поди, и так слышал больше, чем следует. Наверняка знает он и о том, что шифр — условный, чаще всего цифровой язык, которым пользуются тогда, когда хотят что-нибудь основательно засекретить. О том, что придумать шифр всё-таки легче, чем расшифровать, можно тоже не упоминать…

— Зачем тогда вообще было приходить на эту станцию, если про шифр я и так всё знаю? — вскипел Чит.

— Только затем, что поиски ключа к шифру нередко связаны с перестановками, — спокойно объяснила Ари и подвела его к двери, на которой было шесть клавиш с цифрами от единицы до шестёрки.

Дверь, как выяснилось, ведёт на следующую остановку и откроется лишь в том случае, если Чит нажмёт все шесть клавиш в определённом, зашифрованном порядке. Конечно же, ничего из этого не вышло: Чит быстренько вычислил факториал шести (6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720) и, узнав, что ему предстоит сделать 720 перестановок, сдался без боя.

Но тут ему пришла в голову гениальная идея. Теперь он знает, что сделает, если Галка Трёпикова снова вздумает клянчить у него номер телефона. Назовёт ей семь цифр своего номера, да не в том порядке. Пусть ищет правильный!

— Но ведь это же 5040 перестановок и 35 280 поворотов диска! — ужаснулась Ари.

— Тем лучше, — сказал Чит непреклонно. — По крайней мере отучится трещать по телефону часами.

Решение задач

Как и надо было ожидать, дверь на следующую остановку открылась и без вмешательства Чита — недаром тут была Ари! Но ничего интересного за ней не оказалось, если не считать классной доски. Впрочем, для решения задач, отложенных до «Щ», больше ничего и не требовалось!

— Начнём с начала, — сказала Ари и напомнила условие первой задачи. — По плану на остановке «Дробные числа» мы должны были пробыть полчаса, а пробыли 5/₆ этого времени. Сколько времени осталось у тебя на решение этой задачи?

— Не знаю, — хмуро пробурчал Чит.