Помоги проекту - поделись книгой:
— В чём же дело?
— Ты забываешь, что попутно с возможностями машин возрастает и значность совершенных чисел, а следовательно, и сложность их проверки. Последнее из найденных, двадцать четвёртое совершенное число содержит свыше двенадцати тысяч знаков.
Ух ты! Чит прямо за голову схватился. Можно себе представить, сколько знаков окажется в двадцать пятом! Но Ари сказала, что как раз это представить себе нельзя. Да и только ли это? Кто, например, скажет, конечно или бесконечно множество совершенных чисел? И есть ли на свете нечётные совершенные числа? И каково, в свою очередь, их множество: конечно оно или бесконечно? Этого не знает никто.
— Даже ты? — не поверил Чит.
— Даже я, — спокойно призналась она. — Поистине, совершенные числа — самые загадочные, самые неуловимые. Наверное, потому их так чтили в старину. В Древней Греции самый уважаемый гость на пиру непременно находился на шестом месте от хозяина. Особый, божественный смысл придавали шестёрке пифагорейцы. Много размышлял о ней древнегреческий философ Платóн. Таинственный смысл придавали древние и числу 28. Не случайно в академии поздних пифагорейцев было 28 членов. И заседали они в большом зале, окружённом двадцатью восемью отдельными комнатами… Как видишь, совершенные числа повлияли и на обычаи, и на верования, и на философию, и на архитектуру. А знаменитый средневековый учёный Алкуин связывал с ними даже судьбы человечества. На земле, говорил он, потому так много горя и зла, что после всемирного потопа род людской пошёл заново от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а число 8, увы, к совершенным не относится. Чрезвычайно уважали совершенные числа и служители христианской церкви. Долгое время считалось, что для спасения души достаточно изучать совершенные числа. А счастливцу, который найдёт новое совершенное число, обеспечено вечное блаженство на небесах…
— Ну, это уж чепуха на постном масле! — не выдержал Чит.
— Вот и я так полагаю, — согласилась Ари.
— А зачем же рассказываешь?
— Затем, что так думали люди прошлого. А не зная прошлого, не построишь и будущего. И ещё затем, чтобы ты понял, как много значат числа в жизни людей. Хотя в разные времена это и проявляется по-разному.
Что было! Чит попал на хоккей.
Играли команды с непонятными названиями: «Паскáлики» и «Фермáтики». Ребята отличные! Но правила у них все-таки чудные. В обычном хоккее как? Там есть постоянные тройки нападающих, и меняются они по указанию тренера. Не то в команде «Паскаликов»! Здесь почему-то тройка каждый раз выбирается заново из восьми нападающих под номерами 1,2,3,4,5,6,7,8.
Чит, ясное дело, спросил, почему такой непорядок? Оказалось, тренер готовит «Паскаликов» к международному матчу и проверяет, какое сочетание игроков самое боеспособное. Для этого ему, видите ли, необходимо перепробовать все возможные сочетания из восьми пó три. Таких сочетаний оказалось немало, но Чит их, конечно, не запомнил, потому что следил за игрой. А тут ещё тренер «Ферматиков» тоже искал наилучшее сочетание. Но уже не нападающих, а защитников. Их в команде было шесть, а на поле, как и положено, постоянно находилась одна пара, зато каждый раз составленная из других номеров.
Когда матч окончился, Читу загорелось узнать, сколько раз сменялись нападающие у паскаликов и защитники у ферматиков.
Он ринулся было вслед за хоккеистами, чтобы расспросить их, а заодно получить автографы, но Ари сказала, что брать автографы не обязательно, а сосчитать, сколько было перемен, можно и самому. Чит стал перебирать варианты троек нападающих, но скоро запутался, разворчался и заявил, что у него от сочетаний голова распухла. Но Ари опять-таки сказала, что это не от сочетаний, а оттого, что он не знает правила, и нарисовала в блокноте ряд из восьми хоккеистов с номерами от единицы до восьмёрки.
— Нам нужно получить все возможные сочетания из восьми по три, — начала она. — Для этого отсчитаем три номера слева (1,2,3) и три справа (8,7,6). Теперь перемножим числа каждой тройки и разделим произведение правой на произведение левой: (8 × 7 × 6)/(1 × 2 × 3) = 56. Вот тебе и число сочетаний из восьми пó три.
Это было так просто, что с числом сочетаний из шести по два Чит сладил сам. Он нарисовал шесть хоккеистов с номерами от единицы до шестёрки, отсчитал два номера слева (1,2), два справа (6,5), перемножил и разделил, что положено, и получил вот что: (6 × 5)/(1 × 2) = 15.
Совершив этот подвиг, он пожелал узнать, кто придумал такое расчудесное правило? Оказалось, сразу двое. Два французских математика: Блез Паскáль и Пьер Фермá. Причём каждый сам по себе и в одно и то же время.
Теперь стало ясно, отчего команды называются «Паскаликами» и «Ферматиками». Куда труднее было понять, каким образом одно и то же правило пришло в голову одновременно двум незнакомым людям. Но Ари сказала, что не такие уж они незнакомые. Положим, встречаться им и впрямь не приходилось. Но жили они в одни и те же годы XVII века, интересовались одними и теми же математическими вопросами и не раз обменивались мнениями в письмах. Долго ли тут додуматься до одного и того же? Так что случайностью это не назовёшь! Хотя занимались Ферма и Паскаль именно наукой о случайностях…
— Теорией вероятностей? — вспомнил Чит.
— Да, той самой, с которой ты познакомился на остановке «Жребий».
— А сочетания при чём?
— Видишь ли, сочетаниями занимается комбинаторика — есть такой важный раздел математики. А комбинаторика в тесной дружбе с теорией вероятностей. Ведь если разобраться, чего добивались тренеры в нынешнем матче? Искали наиболее, удачное сочетание нападающих и защитников. А для чего? Чтобы повысить вероятность выигрыша. Следовательно, вероятность удачи зависит от того, насколько удачно скомбинированы игроки. Улавливаешь связь?
Чит важно кивнул. Он чувствовал себя необыкновенно образованным! Теперь ему ничего не стоит вычислить любое число сочетаний… Но Ари — ох уж эта Ари! — неожиданно объявила, что всё уже вычислено заранее, и достала из кармана листок с числами, выстроенными треугольником.
— Видишь этот числовой треугольник? Так вот, любое число в нём есть какое-нибудь число сочетаний.
— Но ведь в этом треугольнике всего десять строк, — сказал Чит, взглянув на номер нижней строки.
— Одиннадцать, — поправила Ари. — Первая строчка нулевая, так же как и первый слева наклонный ряд единиц.
— Пусть нулевая, — упрямо боднул головой Чит. — Но самое большое число здесь 252. А если мне понадобится большее?
— Подумаешь! Возьмёшь да продолжишь треугольник на столько строк, сколько потребуется. Это совсем не трудно: каждое число в строке равно сумме двух чисел предыдущей строки, между которыми оно расположено. Так, число 21 в строке № 7 равно сумме чисел 6 и 15 из строки № 6. Ясно?
— Ясно. Но ты не сказала, как искать нужное число сочетаний в этом треугольнике.
— Спасибо, что напомнил. Возьмём, к примеру, всё то же число сочетаний из восьми пó три. Чтобы найти его, достаточно заглянуть в строку № 8 и отсчитать четвёртое число слева (помня, что первое число слева нулевое). А это, как видишь, и есть 56.
— Любопытно.
— Это что! В треугольнике Паскаля любопытных свойств много. А я познакомила тебя только с одним, хотя и самым главным…
— А почему ты называешь этот треугольник именем Паскаля?
— Потому что именно Блез Паскаль исследовал его свойства. Но на подробное знакомство с ними в первом маршруте, к сожалению, времени не отпущено. Так что потерпи до другого раза.
так называлась следующая остановка, и Чит всё гадал, что там уравнивают? Паркет? Асфальт? Или песок на дорожках? Но то, что здесь тянут канат, ему и в голову не приходило.
На ярко-зелёном газоне собрались две стайки чисел — одни в белых, другие в пёстрых, полосатых майках, за что Чит немедленно окрестил их белопузиками и полосатиками. Тут же околачивалось несколько Плюсов и двое судей: знак Равенства и знак Больше-Меньше, очень, кстати, похожий на рогатку без ручки.
Сперва мерялись силами белопузики Тройка и Пятёрка и полосатики Двойка и Семёрка. Перетянули полосатики, после чего участники состязания выстроились в ряд и вместе с Плюсами и судьёй Больше-Меньше образовали такое выражение: 2 + 7 > 3 + 5.
Потом тянули кота… то есть канат за хвост целая куча белопузиков — Единица, Двойка, Тройка, Четвёрка, Пятёрка и Шестёрка и один-единственный полосатик Двадцать Пять, который тем не менее пересилил. На сей раз Больше-Меньше услужливо поворотил свою рогатку вправо, раструбом к победителю; и Чит, подсчитав сумму белопузиков, с удовольствием отметил, что судья честен и справедлив: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 < 25.
Следующий результат был ничейным, потому что сумма белопузиков и сумма полосатиков оказались одинаковыми. Наверное, поэтому игру судил не Больше-Меньше, а знак Равенства, который весьма убедительно доказал, что 3 + 7 + 5 = 6 + 9.
— Так это и есть уравнение? — спросил Чит.
— Пока что только равенство, — возразила Ари.
— Можно подумать, равенство и уравнение — не одно и то же!
— Уж конечно. Всякое уравнение — равенство, да не всякое равенство — уравнение. В уравнении непременно есть какое-нибудь неизвестное, которое надо сделать известным. Это и значит решить уравнение…
— Погоди, Ари, — возбуждённо перебил Чит, указывая на новую группу соревнующихся, — что тут делает буква «ха»?
Но оказалось, что никакое это не «ха», а латинское «икс» — одна из тех букв, которыми принято обозначать неизвестное число в уравнении.
«Эге! Стало быть, уравнение не за горами», — подумал Чит.
Теперь за канат ухватились с одной стороны белопузики Икс и Пятёрка, с другой — солидное полосатое Двенадцать. Тянули они, надо сказать, на совесть, даже покраснели от натуги. Только зря: партия всё равно окончилась вничью. Но с этой минуты всё пошло не так, как прежде. Кто-то из полосатиков крикнул:
— Пятёрку с поля долой!
— Долой, долой! — подхватили остальные полосатики.
Но белопузики заявили, что уберут Пятёрку только в том случае, если и полосатики выставят бойца на пять единиц меньше.
После недолгого совещания судьи решили вопрос в пользу белопузиков. И вот один конец каната держит Икс, а другой — Семёрка. Канат, впрочем, с места не сдвинулся, и все поняли, что
Чит хлопал так, что чуть ладони не отбил. Очень уж ему понравилось, как просто решаются уравнения. Но Ари сказала, что в этом вопросе не мешает разобраться получше, и отвела его в сторонку. Потом она вынула блокнот, написала «
— Перед нами уравнение с одним неизвестным. Как его решить? Прежде всего, оставим икс в одиночестве или, как говорят математики, уединим его по одну сторону равенства. В нашем уравнении для этого достаточно уменьшить обе части равенства на 5, отчего равенство, естественно, не нарушится. Итак, что же у нас получится?
— А есть и второй?
— И второй, и выше. Но говорить о них пока рано.
— Вечная история! — надулся Чит. — А о том, что такое вообще уравнение, говорить не рано?
— В самый раз. Уравнение — математическая запись любой словесной задачи, в которой надо вычислить неизвестное.
— Выходит, прежде чем решать уравнение, надо его ещё и составить?
— Непременно. Иначе нечего будет решать. Возьмём такую задачу. Команда белопузиков вдвое больше команды полосатиков. Если число белопузиков уменьшить на десять, а число полосатиков увеличить на пять, численность обеих команд станет одинаковой. Сколько участников в каждой команде?
Ари взглянула на Чита, но так как никаких сообщений от него, судя по всему, не ожидалось, продолжала:
— Прежде всего что примем за икс? Какое из двух неизвестных: число белопузиков или полосатиков? Удобнее, пожалуй, полосатиков — их меньше. Тогда белопузиков —
— Нет, нет, я сам! — расхрабрился Чит. — Прежде всего уединим иксы. Для этого икс из правой части перенесём в левую с обратным знаком, то есть с минусом, а минус 10 из левой части в правую со знаком плюс. Выходит,
— Скажу — молодец! — растрогалась Ари. — По-моему, ты заслужил поощрительную премию. Что тебе подарить?
— Кролика! — не задумываясь брякнул Чит. — Я уже давно прошу, а дома не позволяют.
— Будь по-твоему, — сказала она, и глаза её лукаво блеснули.
Чит получил свою длинноухую премию. Собственно, он мог бы получить не одного кролика, а много больше: ферма, куда привела его Ари, просто кишела ими! Кролики то и дело подворачивались ему под ноги, падали на голову — словом, сыпались отовсюду, как какая-нибудь гречневая крупа; и Чит вдруг подумал, что кролики симпатичные ребята, но не тогда, когда их так много!
Но тут он заметил вывеску: «Кроличья ферма имени Фибоначчи». Странная фамилия так насмешила Чита, что он забыл про кроликов. Он повторял её на все лады и даже сочинил что-то вроде песенки: «Фибоначчи, Фибоначчи, как зовут тебя иначе?» И надо же! Оказалось, у Фибоначчи и вправду есть другое имя — Леонáрдо, и он вовсе не кроликовод, а итальянский математик, живший в XIII веке в городе Пизе. А Фибоначчи не фамилия его, а прозвище, которое в переводе на русский означает «Сын добряка». Леонардо унаследовал его от отца, которого звали просто Бонáччи, без «фи», то есть без «сына», потому что «фи» — это сокращённое итальянское «филио» — «сын».
Пизанский купец Боначчи был и в самом деле человеком не злым, да и не глупым. Он хотел, чтобы его «филио» тоже пошёл по торговой части. А так как торговому человеку надо хорошо считать, Боначчи отправил Леонардо учиться счётному делу на Восток.
В те глухие времена европейская наука чахла под властью христианской церкви. На Востоке зато было чему поучиться! Именно туда бежали от преследований христианских церковников греческие учёные — представители великой древнегреческой науки. Там бережно хранились уцелевшие труды греческих мыслителей, воспреемниками которых стали арабские учёные…
Много стран повидал Леонардо: Египет, Вавилон, Сирию, Грецию, возможно, даже Индию… Вернулся он в родной город бывалым, образованным человеком. Купца, впрочем, из него не вышло: он стал математиком. Но жалеть об этом не приходится! Леонардо написал несколько замечательных научных сочинений, в том числе знаменитую «Либер абáчи» — книгу о счёте. Он не только впитал всё самое ценное из восточной математики, но и обогатил науку собственными изысканиями. Много стараний приложил он и к тому, чтобы в Европе, взамен шестидесятеричной системы счисления, утвердилась наконец более удобная десятичная. Это был поистине самый крупный европейский математик средневековья…
— Любопытно, — привычно изрёк Чит, когда Ари умолкла. — Но одного я всё-таки в толк не возьму: при чём тут кролики?
— В самом деле, — улыбнулась она, — пора бы в этом разобраться. Понимаешь, есть у Леонардо одна задача, где спрашивается, сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если по условию в первый месяц своей жизни пара таких кроликов всегда бездетна, новая пара от них появляется в конце второго месяца, а затем уже ежемесячно. То же происходит с каждой вновь народившейся парой. Так вот, если изобразить всё это в числах, получится интересный числовой ряд, где каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… И так далее, до бесконечности.
Чит недоуменно пожал плечами. Ряд как ряд! Что в нём интересного?
— Не скажи, — живо возразила Ари. — У чисел Фибоначчи (так их теперь называют) куча удивительных свойств. Взять, например, дерево — из тех, что ветвятся ежегодно. Если на втором году жизни у него два ответвления, то на третьем их уже будет три, на четвёртом — пять, на пятом — восемь, на шестом — тринадцать и так далее. А ведь всё это числа Фибоначчи! С тем же рядом связано и расположение листьев на ветке, и количество завитков, образованных семечками подсолнуха, чешуйками сосновой шишки или ананаса… Как видишь, природа широко пользуется числами Фибоначчи.
— А люди? — неожиданно выпалил Чит. — Они-то ими пользуются?
— Где людям угнаться за природой! Долгое время о числах Фибоначчи просто не знали. Но и потом они оставались безработными много столетий. И только в нынешнем, двадцатом веке им нашлось наконец дело. Во-первых, подобно булевой алгебре и теории множеств, числа Фибоначчи используются в вычислительных и думающих машинах. Во-вторых, с их помощью были решены некоторые математические задачи. Ну да о них ты узнаешь в своё время. Как ещё сработает этот удивительный числовой ряд, сказать трудно. Ясно одно: бесполезных открытий не бывает.
Поделиться книгой: