Помоги проекту - поделись книгой:
Чит пришёл от стихов в восторг, и ему захотелось узнать о нуле подробнее. Оказалось, родина нуля — Индия: именно там надумали ставить кружок в пустом разряде числа. Но некоторые учёные считают, что нуль появился раньше, вместе с вавилонской позиционной системой счёта. Только сначала он был невидимкой. Желая показать, что в разряде пусто, вавилоняне делали пропуск между цифрами соседних с ним разрядов. Вот как это выглядит в вавилонском числе 3604:
— А когда появилось слово «нуль»? — полюбопытствовал Чит.
— Гораздо позже, — сказала Ари. — Оно происходит от латинского «nullum» — «ничто». Но, как ни странно, «ничто» — самая важная цифра нашей счётной системы! Казалось бы, пустота, воздух — а какая сила! Нуль только тогда ничего не значит, когда стоит слева от числа. Но стоит ему стать справа — и число тут же увеличивается в 10 раз. Да и слева от числа нуль ничего не значит только до тех пор, пока справа от него не поставят запятой. А чуть запятая поставлена — и число сразу уменьшилось…
— …вдесятеро? — предположил Чит.
— Как когда, — возразила Ари. — В зависимости от того, сколько в числе знаков. Нуль с запятой перед однозначным числом уменьшит его в 10 раз. Вот, например, 01 — что это такое?
— Телефон пожарной команды.
— Да нет, что это за число?
— Просто единица.
— А 0,1 это уже одна десятая, то есть дробь. Только такие дроби называются десятичными, а не простыми. Нуль с запятой перед двузначным числом 11 уменьшит его уже в 100 раз, то есть превратит в одиннадцать сотых: 0,11. А 0,111 — это уже сто одиннадцать тысячных…
— Выходит, влево от запятой каждый следующий разряд вдесятеро больше предыдущего, а вправо — вдесятеро меньше, — подытожил Чит. — Значит, если мне вздумается уменьшить единицу сразу в 100 раз, придётся…
— Придётся вклинить между запятой и единицей ещё один нуль. Вот так: 0,01. Вот какая могущественная цифра нуль! А уж число нуль и совсем особенное. Да и опасное! Нуль со знаком умножения запросто уничтожает какое угодно большое число. Ведь всякое число, помноженное на нуль, тоже превращается в нуль! Делить на нуль и того рискованней. При этом непременно придётся иметь дело с числами-великанами из бесконечности. А с бесконечностью шутки плохи! Вот почему деление на нуль строжайше запрещено. Зато сам нуль ничего не боится! Его на что ни умножай, на сколько частей ни дели — он так нулём и останется.
— Круглый он, да не дурак! — сострил Чит. — А как ведёт себя нуль при возведении в степень?
— А ты сам подумай! Чему равен нуль в первой степени?
— Если рассуждать логически, — заважничал он, — нуль в данном случае число, а всякое число в первой степени равно самому себе. Значит, нуль в первой степени тоже равен нулю.
— Верно. Подумай теперь, чему равно любое число в нулевой степени. Вот хоть 5.
— Ммм… Наверное, тоже нулю. Ведь 5 при этом надо помножить само на себя нуль раз или попросту ни разу.
— А вот тут подвела тебя логика. Каким образом? Сейчас поймёшь. Но сперва познакомься с правилами умножения и деления степеней. Реши для начала такой пример: 23 × 22.
Чит взял блокнот и написал: «23 × 22 = 8 × 4 = 32».
— Правильно, — похвалила Ари, — но можно иначе. Взгляни на результат 32. Что это такое? Это 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25. Отсюда 23 × 22 = 25. Но 5 — это же сумма показателей перемножаемых степеней: 3 + 2 = 5. Значит, для перемножения степеней с одинаковыми основаниями достаточно сложить их показатели и возвести одно из оснований во вновь полученную степень: 23 × 22 = 25 = 32.
После этого Чит сам сообразил, что при делении степеней с одинаковыми основаниями надо вычислить разность показателей: 23 : 22 = 23–2 = 21 = 2.
— Вот теперь нетрудно понять, отчего любое число в нулевой степени равно не нулю, а единице, — сказала Ари. — Чему, по-твоему, равно 53 : 53? Ясно, что единице, поскольку единице равно всякое число, делённое само на себя. Но 53 : 53 = 53–3 = 50. А две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Отсюда 50 = 1.
Вслед за этим, «рассуждая логически», Чит заключил было, что если единице равно всякое число в нулевой степени, то единице равен и нуль в нулевой степени. Но Ари снова напомнила ему, что нуль хоть и число, да не всякое: у него своя логика! И потому 00, так же как 0 : 0, равны не единице, а совсем другому числу. В математике оно называется неопределённостью, потому что у него может оказаться любое числовое значение. Да, таков уж нуль! От этого товарища всегда жди каких-нибудь фокусов. Недаром в лабиринте чисел про него поют ещё и такую песенку:
— Помнится, на балете «Знаки арифметические» ты интересовался, какие такие отрицательные числа поминал Минус, — сказала Ари. — Пора открыть тебе эту страшную тайну.
И вдруг они непонятным образом опять очутились в знакомом театре. Только на сцене шёл уже другой балет: «Отрицательные и Положительные числа». Чит увидел два бесконечных, развёрнутых по одной прямой, ряда натуральных чисел, которые на первый взгляд отличались только направлением. Один из них протянулся вправо от единицы, другой — влево от неё. Правда, все числа левого ряда были помечены наверху знаком минус. Но оказалось, что как раз из-за этого несчастного минуса натуральными их никак не назовёшь. К натуральным относятся только числа правого ряда, где минусом и не пахнет. Это числа со знаком плюс, хотя пишется он лишь тогда, когда не мешает об этом особо напомнить.
Стало быть, несмотря на обманчивое сходство, ряды разные. Хотя есть между ними и кое-что общее. Числа их одинаково величают Целыми. Только в правом ряду это Целые Положительные числа, а в левом — Целые Отрицательные.
И тут обнаружилось, что на границе двух рядов, между Положительной и Отрицательной Единицами стоит ещё одно число: Нуль!
Чит спросил: а сам-то нуль к каким числам относится — к положительным или отрицательным?
— Ни к тем, ни к другим, — отвечала Ари, — хотя и к целым.
Тогда Чит разразился новым вопросом: а зачем вообще нужны отрицательные числа?
— Чтобы можно было вычесть из меньшего числа большее.
— Но какой болван станет вычитать из меньшего большее?
— Ты! — засмеялась Ари. — Допустим, уличный градусник показывает 6 градусов выше нуля. Между тем по радио сообщили, что к ночи температура воздуха понизится на 10 градусов. Какая температура будет ночью?
— Четыре градуса мороза.
— Иначе говоря, четыре градуса ниже нуля, или просто минус четыре. Вот ты и вычел из шести десять, то бишь из меньшего числа большее, и получил отрицательное число «–4», которое, как и все отрицательные числа, меньше нуля.
Чит пренебрежительно хмыкнул. Выходит, отрицательные числа только для того и придуманы, чтобы измерять температуру? Но Ари сказала, что не только. Есть в математике такие задачи, где без отрицательных чисел не обойтись, и о них Чит узнает когда следует. А пока не пора ли ему перестать болтать языком и посмотреть наконец на сцену, где как раз начинаются действия с положительными и отрицательными числами.
Вот когда Чит убедился, какие строптивые эти отрицательные числа! Пожалуй, почище нуля. Всё-то у них не так, как у положительных. Начать с того, что положительное число чем дальше от нуля, тем больше, а отрицательное чем дальше от нуля, тем меньше. И вот почему сумма положительных чисел больше каждого из слагаемых, а сумма отрицательных меньше: 2+ + 3+ = 5+; 2– + 3– = 5–. Ведь число 5 отстоит дальше от нуля, чем 2– и 3–. Значит, оно меньше их.
То же и при вычитании. Когда из положительного числа вычитается положительное, разность меньше уменьшаемого: 8+ – 3+ = 5+. Когда же из положительного числа вычитается отрицательное, разность больше уменьшаемого: 8+ – 3– = 11+. То же и при вычитании из отрицательных чисел. Когда из отрицательного числа вычитается положительное, разность меньше уменьшаемого: 8– – 3– = 5–. А когда из отрицательного числа вычитается отрицательное, разность больше уменьшаемого: 8+ – 3+ = 5+.
Ещё более странные вещи происходят при умножении и делении. Ну, в том, что при перемножении и делении двух положительных чисел произведение получается тоже положительное, ничего удивительного нет: 3+ × 5+ = 15+; 15+ : 5+ = 3+. То, что произведение и частное положительного числа и отрицательного есть число отрицательное, тоже понять можно. Потому что умножение — это ведь просто сложение одинаковых слагаемых: 3– × 5+ = 3– + 3– + 3– + 3– + 3– = 15–, а деление — действие, обратное умножению: 15+ : 5– = 3–. Но каким образом при перемножении и делении двух отрицательных чисел произведение и частное оказываются вдруг положительными: 3– × 5– = 15+; 15– : 3– = 5+? Этого Чит так и не понял! Ари, правда, сказала, что тут он не одинок, поскольку объяснить это и впрямь очень не просто. Так что пусть уж пока поверит ей на слово.
Чит так и сделал, тем более что на сцене в это время происходило нечто из ряда вон выходящее. Две Пятёрки — Положительная и Отрицательная — вышли из своих рядов и медленно двинулись навстречу друг другу под зловещий треск барабанов. Вот они уже почти у пограничной черты… Вот между ними появился знакомый толстый Плюс… Трррах! Раздался оглушительный взрыв. Зрители дружно ахнули… А когда дым от взрыва рассеялся, оказалось, что вместе с ним испарились и обе Пятёрки. Чит спросил: куда они подевались?
— Взаимно уничтожились, — вздохнула Ари. — Так всегда бывает при сложении отрицательных и положительных чисел, которые находятся на одинаковом расстоянии от нуля: 5+ + 5– = 0.
Они вышли из театра и снова очутились на площади с балаганами. Здесь было по-прежнему шумно и весело. На лотках и в киосках громоздились всевозможные лакомства. Чего тут только не было! Конфеты, пирожные, фрукты. Особенно выделялся гигантский полосатый арбуз. Чит долго смотрел на него, а потом не выдержал и спросил, нельзя ли ему получить хоть кусочек?
— Пожалуйста, — любезно ответила Ари. — Но вместо кусочка проси один процент. Так уж здесь принято.
«Процент» оказался таким солидным, что Чит ушёл в него по уши. А когда вышел обратно, лицо его было сплошь перемазано арбузным соком. Это не помешало ему попросить ещё один процентик дыни. Но странное дело: вместо большого, толстого куска ему достался тонкий, как папиросная бумага. Чит так расстроился, что и есть не стал. Как же так: процент — один, а куски почему-то разные? Ари объяснила, что процент — одна сотая доля целого, принятого за сто единиц. А целое может быть всяким. И большим, и вовсе небольшим. Арбуз — громадный, дыня — маленькая. Не удивительно, что одна сотая арбуза не чета одной сотой дыни.
— А нельзя ли мне всё-таки получить кусок дыни побольше? — спросил Чит неприятным голосом.
— Можно. Но проси тогда, по крайней мере, 25 процентов. То есть четверть дыни.
— Отчего же так прямо и не попросить одну четверть?
— Твоя воля. Но вообще-то проценты иной раз удобнее, чем простые дроби. Вот, например, в одном классе успевающих учеников 3/4, а в другом 8/10. В каком классе успеваемость больше? Не знаешь? Конечно. Ведь знаменатели-то у них разные! А в процентах знаменатель всегда общий: 100. И сразу видно, что в одном классе успеваемость 75 процентов, а в другом — 80. Но оставим в покое успеваемость, — сказала Ари, указывая на лоток с пирожками. — Тут есть кое-что поинтересней.
Пирожки были и впрямь до того симпатичные, что Чит сразу слопал четыре и потянулся за пятым. Но Ари сказала, что он уже съел 20 процентов всех пирожков, и пятый достанется ему не прежде, чем он ответит, сколько пирожков осталось после его набега. Чит начал было пересчитывать их пальцем, но Ари повернула его спиной к лотку и потребовала, чтобы он решал задачу в уме. Тогда он стал «рассуждать логически» и пришёл к выводу, что если 20 процентов — это 4 пирожка, то 100 процентов в 5 раз больше. Иначе говоря, сперва на лотке было 20 пирожков: 4 × 5 = 20.
— И значит, теперь их осталось 16, — закончила Ари.
— Нет, пятнадцать, — засмеялся Чит и сунул в рот пятый пирожок.
Покончив с ним, он облизнулся и сказал, что проценты вообще-то штука вкусная, но название у них всё-таки непонятное. Пришлось Ари объяснить, что слово «процент» происходит от латинского «про центо» — «от ста». Слова эти вначале писали полностью: «pro cento». Потом их стали писать сокращённо: «procto». Затем «pro» отпало, но и «cto» писцы второпях писали так небрежно, что оно в конце концов превратилось в два кружка, разделённых косой палочкой. То есть в тот самый знак, которым обозначают проценты по сию пору: %.
— Подкрепился — пора и за работу! — сказала Ари и достала из кармана кубик. — Что это такое?
Чит снисходительно пояснил, что из таких кубиков он строил крепости в те давние времена, когда был маленьким.
— Надо понимать, теперь ты уже взрослый, — усмехнулась она. — Но коли так, пора тебе усвоить, что куб — геометрическое тело, все грани которого — квадраты. Не мешает также запомнить, что в кубе 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин, а объём куба равен кубу его ребра.
— Могу и запомнить. Но зачем?
— Чтобы построить куб вдвое большего объёма.
Чит деловито поискал глазами: из чего строить-то? Из фанеры? Или из картона? Но Ари посоветовала ему, перед тем как приступать к строительству, хорошенько подумать, каковы должны быть размеры нового куба.
— Что ж тут думать? — легкомысленно отмахнулся он. — Взять да удвоить ребро прежнего. Вот тебе и удвоение!
— Ты полагаешь? Что ж, проверим, — покорно вздохнула она. — Если принять ребро нашего куба за единицу, то объём его также равен единице. Потому что 13 = 1 × 1 × 1 = 1. Стало быть, объём нового куба должен быть равен двум. Но если удвоить ребро куба, как ты предлагаешь, то объём его будет равен двум в кубе. А 23 — это, к сожалению, 8, а не 2. 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
Чит недовольно поморгал белёсыми ресницами. Как ни странно, он очень не любил попадать впросак. Но тут ему пришло в голову, что если объём нового куба должен быть равен двум, то найти длину его ребра сущие пустяки: стоит лишь извлечь корень третьей степени или, как говорят, корень кубический из двух!
— Совсем другое дело, — расцвела Ари. — Но…
— Какие могут быть «но»? — зарычал он.
— Но в том-то и беда, что
— Выходит, удвоить объём куба вообще невозможно?
— Разумеется! — засмеялась она. — Это знали ещё древние греки.
— Что ж ты сразу не сказала! — окончательно рассвирепел Чит.
— Чтобы ты убедился в этом на собственном опыте, а заодно познакомился с совсем особыми числами. С такими, значение которых нельзя выразить никаким целым и никаким дробным числом. Эти числа представляют длины таких отрезков, которые несоизмеримы ни с одной единицей измерения. К ним относятся известные уже тебе
Последнее слово привело Чита в восторг: он узнал любимое выражение своего папы. Только и слышишь от него: «Воспитывать ребёнка надо рационально!.. Когда мы научимся рационально использовать время?.. В нашем доме понятия не имеют о рациональном питании…» Вот только при чём тут соизмеримость? Но Ари сказала, что ни при чём. Слово «рациональный» происходит от латинского «рацио» — «разум». Но одно и то же слово нередко имеет несколько значений. Вот и слово «рациональный» в обычном смысле означает «разумный», а в математическом — «соизмеримый»…
«Любопытно, знает ли об этом папа? — призадумался Чит. — Обязательно спрошу у него при случае».
На эту остановку они попали совсем не так, как на другие. Долго петляли по коридорам, пока не подошли к стене, густо увитой диким виноградом. Ари достала из кармана ключ, нащупала под листьями замочную скважину… Прозвенела нежная, короткая песенка замка… Потом потайная дверца в стене отворилась и впустила их в сад. Но какой! Такие бывают только во сне. Чит даже ущипнул себя, чтобы проверить, не спит ли он на самом деле.
— Что значит эта таинственность? — полюбопытствовал он.
— Только то, что мы попали к самым загадочным числам на свете, — ответила Ари. — К совершенным.
— Так вот почему здесь так красиво! — сообразил он. — Но чем эти числа отличаются от других?
— Тем, что равны сумме своих младших делителей. Вот хоть самое маленькое совершенное число 6. Какие у него делители?
— Один, два, три и шесть.
— Верно. Впрочем, 6 здесь не младший делитель. Младшие — те, что меньше самогó числа. Сложи их — и получишь сумму, равную шести, иначе говоря, самомý числу: 1 + 2 + 3 = 6.
— Как просто! — удивился Чит. — Не понимаю, отчего ты называешь совершенные числа загадочными?
— Где совершенство, там и загадки. Отыскать совершенное число — настоящий подвиг! К IV веку до нашей эры их знали два: 6 и 28. Следующие два — 496 и 8128 — обнаружил Эвклид. Этот выдающийся древнегреческий учёный очень интересовался совершенными числами и даже указал, каким способом их отыскивать. Но сам при этом вычислил всего два. Следующее, пятое совершенное число — восьмизначное — нашлось только через восемнадцать столетий после Эвклида, в XV веке нашей эры; шестое и седьмое — в XVII… При этом с каждым вновь найденным числом значность их поднималась как на дрожжах. Восемнадцатое совершенное число содержит уже около двух тысяч знаков! Между прочим, число это получено в 1957 году с помощью электронно-вычислительной машины. И даже ей потребовалось для этого пять часов. А ведь такие машины считают молниеносно. Иная тратит полтора десятка секунд на то, что опытный математик вычисляет за год.
— Ого! — изумился Чит. — Теперь небось совершенных чисел пруд пруди, раз их отыскивают машины?
— Всего-навсего 24,— сокрушённо вздохнула Ари. — И это при том, что возможности вычислительных машин постоянно растут.
Поделиться книгой: