В лабиринте чисел

Сперва он был тройкой и возводился в первую степень, то есть просто поднялся на третью перекладину. Потому что всякое число в первой степени равно самому себе, а значит и 31 = 3. Затем Ари велела тройке возвестись в третью степень. Здесь пришлось вскарабкаться уже на двадцать седьмую перекладину: ведь 33 = 3 × 3 × 3 = 27. Потом Чит стал четвёркой и возводился в квадрат, для чего преодолел 16 перекладин. Но в третью степень он возводиться наотрез отказался. Не лезть же ему, в самом деле, на шестьдесят четвёртый этаж!

— Так и быть, — сжалилась Ари. — Возьмём игру полегче. Давай извлекать корни.

— Из земли?

— Нет, из чисел. Ты где сейчас? На шестнадцатой перекладине? Отлично. Извлечём из шестнадцати корень квадратный, то бишь корень второй степени.

Чит спросил, как это делается. Оказалось, очень просто. Надо с шестнадцатой перекладины спуститься на четвёртую, то есть найти число, которое при возведении в квадрат даёт 16.

— Значит, извлечение корня — действие обратное возведению в степень, — смекнул Чит.

И тут он сразу догадался, что корень третьей степени из двадцати семи равен трём. Но как это записать? Добрая Ари охотно нацарапала веточкой на земле «», попутно объяснив, что  — знак извлечения корня, маленькое 3 над ним — показатель корня, а 27 — подкоренное число. Чит напомнил ей, что она забыла про тройку в ответе, но Ари сказала, что тройка и есть сам корень!

После этого Чит захотел поупражняться в записях. Он взял веточку, лихо нацарапал «» и, надо сказать, попал в цель сразу, хотя и не без маленькой ошибки. Как выяснилось, показатель корня 2 никогда не пишется. Почему? Да так уж условились. А потому писать следует просто .

Тут Ари предложила Читу возвести в пятую степень число 4 и извлечь корень третьей степени из числа 125. Решение, правда, было отложено до «Щ», и они пошли на следующую остановку.

Логика

Нельзя сказать, что Чит не слышал этого слова прежде: дома его упоминали постоянно! Мама, например, когда сердится на Чита, говорит, что у него странная логика. Папа, сердясь на маму, всегда повторяет, что логика у неё женская. А бабушка при этом поджимает губы и ворчит себе под нос, что у папы зато логика железная.

Неудивительно, что Чит поинтересовался, о какой логике пойдёт речь: о странной, женской или железной? Оказалось, ни об одной из трёх, а вовсе о четвёртой. О логике — науке правильно рассуждать.

— Да разве такая существует? — изумился он.

— Ещё бы! — воскликнула Ари. — Правильно рассуждать необходимо всем. И едва ли не более всего — математикам.

Чит спросил, с какой стати такое предпочтение математике? Разве она не такая же наука, как все?

— В том-то и дело, что не такая же, — сказала Ари. — Это остроумно доказывает венгерский математик Рéньи в книге, написанной в духе древнегреческих диалогов, то есть бесед. Греки — великие мастера по части рассуждений и доказательств, и, следуя им, Реньи выявляет особенности математики при помощи искусно поставленных вопросов. Познакомлю тебя с ними вкратце. Как ты думаешь, что такое медицина?

— Наука о болезнях, — ответил Чит.

— Сойдёт. А астрономия?

— Наука о звёздах, о планетах…

— Сойдёт и это. А как ты назовёшь человека, который ищет месторождения нефти, угля, руды?

— Геологом.

— Верно. Теперь скажи: если бы не было врачей, были бы болезни?

— Что за вопрос! Даже, наверно, ещё больше.

— А звёзды? Были бы звёзды, если бы не было астрономов?

— Ясное дело, были бы.

— А нефть, уголь, руда, были бы они, если бы не было геологов?

— Конечно. Как лежали в земле, так бы там и остались.

— Отлично! — Ари даже руки потёрла от удовольствия. — Можем мы теперь сказать, что и болезни, и звёзды, и природные ископаемые существуют на самом деле?

— Тут и спрашивать нечего.

— Выходит, учёные, которые ими занимаются, имеют дело с вещами действительно существующими. А с чем имеют дело математики?

— С числами.

— Но можешь ты сказать, что числа — ну, хотя бы натуральные — существуют на самом деле? Так же, как звёзды, болезни, ископаемые?

— Ммм… Наверное, могу, — замялся Чит. — Если бы натуральных чисел не было, как бы мы с тобой о них говорили?

— Ну, а дробные числа? — допытывалась Ари. — Если бы не было на свете математиков, были бы дробные числа?

— Не знаю, — растерялся он.

— Так и быть, помогу тебе, — сжалилась она и написала на бумажке дробь 4/₅. — Видишь ты эту дробь?

— Вижу.

— Можешь её потрогать?

— Могу.

— Значит ли это, что она существует?

— Ты что, смеёшься? Мало ли что я нарисую! Может, Бабу-Ягу или Змея Горыныча. Но разве они существуют на самом деле?

— Стало быть, если число можно изобразить, это ещё не значит, что оно существует на самом деле. Где же, в таком случае, находятся дробные числа? Может быть, только в воображении математиков, которые их придумали?

— Ты хочешь сказать, что математика имеет дело с вещами воображаемыми, а другие науки — с действительно существующими?

— Именно! В самую точку! И вот в чём состоит главная особенность математики, главное отличие её от других, естественных наук. Заметь: Реньи доказал это с помощью логических рассуждений. Рассуждение и доказательство — главное оружие логики. Но рассуждение и доказательство также главное оружие математики. Понимаешь теперь, почему математика так нуждается в логике? Впрочем, с некоторых пор и логика без математики не обходится.

— Это как же? — удивился Чит.

— Сейчас объясню. Видишь ли, среди прочих удивительных свойств есть у математики и то, что она легко переводит любые понятия на свой язык. А язык чисел — самый точный и самый краткий на свете. И вот отчего им так охотно пользуются самые разные науки. Даже такие, казалось бы, далёкие от математики, как наука о литературе — литературоведение. В наши дни математика стала международным языком, на котором изъясняются самые разные отрасли знаний, в том числе и логика.

— Хотел бы я знать, кому это пришло в голову перевести логику на язык математики? — полюбопытствовал Чит.

— Как тебе сказать… Первую попытку применить математику в логике сделал итальянский монах Лýллий в XIII веке. В XVII веке этим вопросом занимался великий немец Лéйбниц. Но окончательно это удалось англичанину Бýлю только в XIX веке. Правда, открытие его дожидалось признания около ста лет. Зато теперь булева алгебра пользуется всеобщим уважением. Достаточно сказать, что она играет не последнюю роль в устройстве так называемых думающих машин. А это, пожалуй, самые сложные машины на свете!

Множества

Теперь они очутились на цветущем солнечном лугу. Здесь мирно пощипывали сочную зелёную траву коровы и овцы, резвились длинногривые лошади и тонконогие жеребята. Чит смотрел на них, но никак не мог понять, при чём тут множества? Да и вообще, что это такое?

Как ни странно, всезнающая Ари долго думала, прежде чем ему ответить, а потом сказала, что точного определения множеству, пожалуй, не подберёшь. Впрочем, представление о множестве всё-таки дать можно, и лучше всего на примерах.

— Погляди вокруг, — предложила она. — Что ты видишь?

— Коров. Лошадей. Овец.

— Все они вместе образуют множество домашних животных на этом лугу. В то же время лошади образуют своё, самостоятельное множество: множество лошадей. Овцы также образуют множество овец, коровы — множество коров. И все эти отдельные множества входят в множество домашних животных. Стало быть, мы имеем право сказать, что каждое из этих трёх множеств есть подмножество множества домашних животных, которые пасутся на этом лугу. Теперь взгляни на лошадей. Одинаковые они или разные?

— Разные. Белые, гнедые, вороные.

— Лошади каждой масти образуют своё множество, которое тоже есть подмножество множества лошадей. А вот дерево, подле которого бродит табун, — входит оно в множество лошадей?

— Пожалуй, нет. Я думаю, дерево входит в множество деревьев.

— Верно. Но можно сказать, что дерево входит в множество всего, что находится на этом лугу. Потому что в множества объединяются не только однородные, но и самые разнородные предметы.

— Хо-хо-хо! — закатился Чит. — Тогда всё, что лежит у меня в кармане, тоже множество?

— Конечно. Хотя представляю себе, что там лежит… А теперь скажи, сколько лошадей в этом табуне… то есть в этом множестве?

Чит насчитал 25 лошадей, и Ари сказала, что, стало быть, в этом множестве 25 элементов. А вот коров — 18. Значит, множество коров состоит из восемнадцати элементов. Множества, где число элементов ограничено, называются конечными.

— А есть и бесконечные? — сейчас же прицепился Чит.

— Есть.

— Небось число элементов в них сосчитать нельзя?

— У иных нельзя, у иных можно. Вот, например, множество чётных чисел бесконечное, но всё-таки счётное.

— Сомневаюсь, — сказал Чит. — Чётным числам, как и всем другим, конца нет. Как же их сосчитать?

— На деле, разумеется, не сосчитаешь. Но умозрительно, чисто теоретически, перенумеровать их можно:

А вот множество точек на отрезке прямой или окружности перенумеровать нельзя. Даже теоретически. Это множество бесконечное и несчётное. Ведь точка в геометрии не имеет никаких размеров. Это понятие воображаемое. И даже на самом крохотном участке прямой умещается такое же множество точек, как и на прямой, соединяющей Землю, скажем, с Луной.

— И ты берёшься это доказать?!

— Берусь, но лучше эдак годика через два.

— А можно множества складывать, вычитать? И тому подобное?

— Конечно. Только здесь свои правила. Впрочем, с ними тебя познакомят в школе.

— У, какая ты неразговорчивая стала! Объясни, по крайней мере, для чего нужны множества?

— Видишь ли, не всем научным открытиям находится применение сразу. Так было с булевой алгеброй. Так было и с теорией множеств немецкого учёного Георга Кáнтора. Долгое время их считали совершенно бесполезными. Но вот возникла кибернетика, появились думающие машины. И то, что казалось бесполезным, стало жизненно необходимым. Булева алгебра и теория множеств учат машины логически мыслить, правильно отбирать нужные сведения из множества множеств, объединяющих самые разные понятия…

— Постой, Ари, — недовольно перебил Чит, — ты совсем меня запутала! Что общего между булевой алгеброй и теорией множеств?

— Очень много. Во-первых, они пользуются одними и теми же математическими приёмами и правилами. Во-вторых, ты уже знаешь, что логика и математика вообще неразлучны. Они постоянно обогащают и совершенствуют друг друга. За примером недалеко ходить: исследуя бесконечные множества, учёные до того усовершенствовали логику своих рассуждений, что это положило начало новой отрасли математики — математической логике. Между прочим, таких заслуг у теории множеств порядочно. Можно смело сказать, что из неё вытекает чуть ли не вся современная математика. Но это уж разговор не для тебя. А мы ведь ещё не исчерпали множества остановок нашего маршрута!

Нуль

так называлась очередная остановка, и Ари спросила, знает ли Чит, что это этакое. Он даже обиделся: что за вопрос?! Нуль — цифра, которой обозначают пустоту. В числе 408 нуль надо было поставить в разряде десятков.

— Верно, — сказала Ари, — но нуль не только цифра. Как все цифры, он ещё и число, притом с очень занятными свойствами. Про него даже стихи сочинили:

Нуль на месте на пустом Ставят, как известно, Только он при всём при том Не пустое место. Не похож он на пятак, Не похож на рублик, Круглый он, да не дурак, С дыркой, да не бублик!