В лабиринте чисел

— Всё! — сказал Чит, жадно сверкая глазами.

— Э, нет, на всё времени не хватит. Выбирай что-нибудь одно.

Чит подумал и выбрал балет, и Ари сказала, что теперь всё в порядке — только бы вытянуть нужный билетик! Чит хотел возразить, что билеты покупают, а если тянут, так жребий. Но Ари уже подвела его к длинному павильону с вывеской «Билеты по случаю». В павильоне было много полукруглых окошечек, помеченных разными номерами. В каждом окошечке — ящик, в каждом ящике — свёрнутые в трубочки бумажки. Ари выбрала окошко под номером 100.

— В этой кассе билеты на все сто представлений, по одному билету на каждое, — объяснила она. — Вытянешь, что задумал, — пойдёшь на балет. Вытянешь не то — пеняй на случай.

Чит растерялся: где уверенность, что ему повезёт? Ари подтвердила, что уверенности действительно нет. Зато вероятность имеется. Правда, очень небольшая. Всего-навсего в одну сотую.

— Как, — удивился он, — вероятность тоже можно измерить?

— Как видишь. В кассе 100 разных способов повеселиться. Тебя интересует один. Стало быть, у тебя одна возможность из ста попасть туда, куда ты хочешь. Короче говоря, вероятность удачи равна 1/₁₀₀.

Чит долго молчал, а потом спросил: нет ли кассы с большей вероятностью? Ари улыбнулась и повела его к окошечку под номером 10, где было всего десять билетов: по одному на каждое представление, в том числе на балет.

Чит сразу сообразил, что хотя количество билетов вдесятеро уменьшилось, зато вероятность удачи во столько же раз возросла. Теперь она уже равнялась не одной сотой, а одной десятой. Но тянуть жребий он всё-таки не стал и побежал к окошку под номером 5. Бедняга! Он-то думал, что здесь вероятность удачи равна одной пятой. Но Ари вовремя предупредила его, что среди пяти билетиков нет ни одного на балет, и потому вероятность удачи вовсе не 1/₅, а 0. Чит сказал, что это уж скорее невероятность. Он чуть не плакал от досады, и Ари поскорее повела его к ящику, где лежало всего-навсего два билета — один из них заведомо на балет. Вероятность удачи, таким образом, была уже очень велика: 1/₂! Но Читу, как видно, сильно хотелось на балет, потому что испытывать судьбу он и на этот раз не решился.

— Трусишка! Подавай тебе самую большую вероятность… Хорошо ещё, что она у меня в кармане, — засмеялась Ари и протянула ему бумажку со штампом «балет».

— Да здравствует вероятность, равная единице! — заорал Чит и тут же полюбопытствовал: — Ты эту игру специально для меня придумала?

Но оказалось, никакая это не игра, а наука — теория вероятностей. Весьма важная наука: о случайностях, о роли их в человеческой жизни, о законах, по которым они возникают. Над тайнами этих законов люди задумывались давно, потому что очень хотели научиться если не управлять случайными событиями, то хотя бы предугадывать их. Когда вероятны следующее землетрясение, наводнение, неурожай, эпидемия опасной болезни? Ведь, зная это заранее, можно подготовиться к беде, как-то защититься от неё… Попытки определять такие вероятности предпринимались, ещё в Древнем Риме и в Древнем Китае. Но наукой — настоящей, точной наукой — теория вероятностей стала только тогда, когда на помощь ей пришла математика.

Всерьёз это началось в XVI–XVII веках и продолжается до сих пор. Теорию вероятностей создавали и совершенствовали многие учёные разных стран и столетий, в том числе русские и советские. Со временем задачи её расширились. Теперь она стала подспорьем тех наук, которые изучают живую и неживую природу и выявляют всевозможные закономерности на основании громадного количества наблюдений и опытов. Это молекулярная биология, статистическая физика…

— Любопытно, — сказал Чит, когда Ари закончила свой рассказ. — Но при чём тут я? Ведь я, кажется, не физик и не биолог, никакими опытами не занимаюсь! Мне всего-то и надо было, что один билетик, а меня почему-то заставили вычислять вероятности. Зачем?

— Вероятно, затем, чтобы ты узнал о существовании этой интересной и полезной отрасли математики, — ответила она. — А теперь поспешим на балет. Кстати, это и есть следующая наша остановка —

Знаки арифметические

Впрочем, название балета было длиннее: «Знаки арифметические в четырёх действиях, с прологом и эпилогом, но без антрактов».

Грянул марш, и через зрительный зал на сцену проследовали арифметические знаки: Плюсы, Минусы, знаки Равенства, Неравенства, Умножения, Деления и какие-то другие, Читу пока не знакомые. К счастью, все они были нарисованы в программке.

Знаки выстроились перед занавесом и дружно запели:

Как нету на свете без ножек столов, Как нету на свете без рожек козлов, Котов без усов и без панцирей раков, Так нет в арифметике действий без знаков!

— Песня что надо, — шепнул Чит, — но разве в балете поют?

— Последний крик балетной моды! — похвасталась Ари.

Занавес раздвинулся, и первое действие — «Сложение» — началось. Героем его был толстый важный Плюс. Он вышел вперёд и запел басом:

Я — плюс, и этим я горжусь! Я для сложения гожусь. Я добрый знак соединенья И в том моё предназначенье.

Ему долго хлопали, а потом на сцену выпорхнули три цифры в нарядных светящихся костюмах: мальчик Единичка и две девочки — Шестёрка и Девятка. Сперва они танцевали каждый сам по себе. Затем Единичка и Шестёрка взялись за руки, образовав число Шестнадцать, а бедная Девятка осталась в грустном одиночестве. Но в это время Плюс встал между счастливой парочкой и обиженной Девяткой, и тотчас справа от Девятки появился знак Равенства, а за ним число Двадцать Пять: 16 + 9 = 25. Потом Девять и Шестнадцать — их теперь называли Слагаемыми — поменялись местами, но Сумма их — Двадцать Пять — от этого ничуть не изменилась: 9 + 16 = 25. В общем, всё завершилось ко взаимному удовольствию, и участники Равенства бодро запели:

Шестнадцать и девять Всегда двадцать пять. Их можно спокойно Местами менять, Их можно, бесспорно. Местами менять, И будет всё время Опять двадцать пять, Опя-а-ать два-а-адцать пя-а-ать!

На том первое действие закончилось и началось второе — «Умножение». Сперва, правда, могло показаться, что всё ещё продолжается первое, только вместо двух разных Слагаемых на сцене появилось семь одинаковых — все Пятёрки. Плюсов тоже стало больше, хотя и не семь, а шесть, и все они вместе с Пятёрками образовали Равенство: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35.

Но тут сверху на трапециях спустились ещё два арифметических знака: жирная Точка и Крестик, очень похожий на Плюс, только скособоченный. Они ловко спрыгнули на пол и затянули в два голоса:

Мы оба — знаки умноженья Для облегчения сложенья. Нас надо в помощь пригласить, Чтоб равных чисел ряд сложить.

После этого шесть Плюсов и шесть Пятёрок взялись под руки и убежали, а вместо них появилась всего одна Семёрка. Она встала справа от оставшейся Пятёрки, между ними поместился Крестик. И вот взамен длинного, неуклюжего Равенства на сцене короткое и удобное: 5 × 7 = 35. Потом Семёрка и Пятёрка, которых уже величали не Слагаемыми, а Множителями, поменялись местами, и между ними оказалась Точка (Точка и Крестик работали по очереди, чтобы никому обидно не было), но Произведение их так и осталось Тридцать Пять: 7 · 5 = 35. И снова зазвучала песенка из первого действия, только слова её чуть-чуть изменились:

Семь на пять, конечно, Всегда тридцать пять. Их можно спокойно Местами менять, Их можно, бесспорно, Местами менять, И будет, как прежде, Опять тридцать пять. Опя-а-ать три-и-идцать пя-а-ать!

Действие третье называлось «Вычитание», и здесь главным действующим лицом был Минус. Он пропищал свой выходной куплет дребезжащим фальцетом:

Я — минус, тоже добрый знак, Хотя и отнимать мастак. Ведь не со зла я отнимаю, А просто долг свой выполняю!

Затем отплясывали двое: мальчик Восьмёрка и девочка Двойка, что почему-то называлось «па-де-де». Сперва они танцевали поврозь, но потом это им, как видно, наскучило. Они стали рядом — Восьмёрка слева, Двойка справа — и хотели взяться за руки, но тут, как на грех, между ними вклинился Минус, после чего образовалось Равенство: 8 – 2 = 6. Разлучённые Восьмёрка и Двойка стали хвататься за голову, тянуть друг к другу руки — словом, переживать, а потом заметались по сцене и в суматохе поменялись местами. Но разгневанный Минус сейчас же водворил их обратно. Он дал им понять, что такие коленца годятся для сложения и умножения, но уж никак не для вычитания, где вместо Суммы и Произведения — Разность, а вместо Слагаемых и Множителей — Уменьшаемое и Вычитаемое, которым местами меняться не положено. Потому что получится при этом не «опять двадцать пять», а совершенно другой результат и даже совсем из другой оперы… то есть, тьфу, из другого балета под названием «Отрицательные числа». Тем эта жуткая история и закончилась, и Чит потихоньку спросил: что за числа такие? Но Ари сказала, что об отрицательных числах речь впереди, а сейчас надо смотреть действие четвёртое: «Деление».

Здесь опять-таки пели дуэтом сразу два арифметических знака — Двоеточие и Уголок:

Два знака есть и для деленья, Но это вам не умноженье! Не всё ведь делится так гладко: Что — целиком, а что — с остатком.

На сей раз в танцах участвовали Делимое и Делитель — числа Восемнадцать и Шесть. Потом между ними затесалось Двоеточие, и на сцене появилось Равенство: 18 : 6 = 3. Тройка в этом равенстве называлась Частным.

Затем Шестёрка убежала, место её заняла Пятёрка, а Тройка вдруг залилась слезами и запела длинную заунывную арию о том, что теперь ей, несчастному Частному, явно чего-то не хватает, так как 18 делится на 5 с Остатком в 3 единицы, а 3, делённое на 5, равно дроби 3/₅. Ария закончилась душераздирающим воплем: «О дайте, дайте мне Остаток!», после чего на сцену выехала двухэтажная тележка, где наверху стояла Тройка-Числитель, а внизу — Пятёрка-Знаменатель, и справедливость мигом восторжествовала. Теперь Равенство выглядело вполне пристойно: 18 : 5 = 33/₅. На радостях Тройка-Частное сплясала вместе со своим Остатком, и всё опять закончилось наилучшим образом.

Лишь Уголок стоял в стороне и обиженно кривил губы. Не пришлось ему блеснуть своим талантом: Уголки-то используются только при делении больших чисел!

Тут на сцену вышли все участники представления и спели, как водится, заключительную песенку. Правда, не слишком длинную, но зато убедительную:

Знаки всякие нужны, знаки всякие важны!

На том занавес закрылся, и Ари с Читом отправились дальше.

Игры числовые

Слово «игры» сразу настроило Чита на весёлый лад. Он уж подумал, что снова попадёт в магазин игрушек, но никакого магазина не было. Зато была картина, а на картине — женщина в старинной одежде и почему-то с крыльями.

Крылья показались Читу ужасно глупыми, но хозяйка их глупой вовсе не выглядела. Наоборот! Судя по циркулю у неё в руке, это была женщина серьёзная и учёная. Она о чём-то напряжённо думала — наверное, решала какую-нибудь задачу, а у ног её лежали счётная линейка, шар, корова, собака и другие научные предметы.

Ещё на картине была башня, на которой висели песочные часы, весы, какие-то колокольчики и шахматная доска. Ари, впрочем, сказала, что это не шахматы, а совсем другая игра, числовая. Таких игр вообще-то немало, но эта — одна из самых древних и занятных: магический квадрат. Тогда только Чит заметил, что на доске не 64, а всего 16 клеток, и в каждой клетке какое-нибудь число, от 1 до 16. Числа эти по условию надо расположить так, чтобы сумма их была одинакова всюду: в каждом ряду, в каждом столбце и по диагоналям.

Нечего и говорить, что Чит мигом забыл о картине и захотел поиграть в магический квадрат. Ари не возражала, но дала ему доску не с шестнадцатью, а с девятью клетками: не то, сказала она, сидеть им здесь до следующего утра. При доске было девять фишек с числами от 1 до 9, и Чит, который всё начинал с натурального ряда, расставил фишки по порядку номеров.

Увы! Сумма чисел в первом ряду равнялась шести, а в первом столбце — двенадцати. Дальше и считать не стоило, и Чит перепробовал ещё несколько расстановок — всё с тем же плачевным результатом.

Тогда Ари сказала, что у него нет никакой системы и что, прежде чем расставлять фишки, не худо бы подумать, чему должна быть равна сумма чисел в каждом ряду. Для этого надо прежде всего подсчитать сумму их во всех трёх рядах, то есть попросту сумму всех чисел на фишках, а это 45: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Отсюда следует, что сумма в одном ряду (а значит, и в каждом столбце, и по каждой диагонали) должна быть равна пятнадцати (45 : 3 = 15). Вот теперь можно заняться расстановками, но… хватит ли у них времени? И не лучше ли отложить решение до «Щ»?

Чит согласился на это с радостью. Он тотчас забыл об игре и тут же снова вспомнил о картине. Оказалось, называется она «Меланхолия», и слово это можно толковать по-разному: мечтательность, раздумье, размышление. Последнее, пожалуй, лучше всего. Ведь во времена Альбрехта Дюрера (так звали создателя картины, великого немецкого художника XV–XVI столетий) склонность к размышлению считалась признаком гения, то есть высшей одарённости. А гениев, между прочим, всегда рисовали с крыльями — с лёгкой руки древних римлян, которые полагали, что у каждого человека есть свой гений, свой дух-покровитель. Чит подумал: может, гений — что-то вроде древнегреческой музы? Но Ари сказала, что муз всего девять, а гениев столько, сколько человеческих свойств и склонностей, стало быть, очень много.

— Отчего же изо всех многочисленных гениев Дюрер выбрал именно гения размышления? — поинтересовался Чит.

— Наверное, любил размышлять сам. Недаром он был не только замечательным художником, но и математиком, и механиком…

— Значит, у него был не один гений, а несколько сразу?

— Как видишь. К счастью, бывает и так.

Корни и степени

Ари сообщила, что именно так называется следующая остановка, и Чит всю дорогу гадал, куда попадёт на сей раз? Может, в ботанический сад? Ведь корни бывают у растений! Зато степени — наверняка что-то научное. Папа, например, недавно защитил диссертацию на степень кандидата технических наук. Только вот как увязать это с зелёными насаждениями?

К счастью, ничего увязывать не пришлось. Потому что вместо ботанического сада Ари привела его на спортивную площадку, где стояла шведская стенка, да такая высокая, что верхушка её терялась в облаках! Чит бросился к ней с победным воплем и с ходу полез наверх. Но Ари сказала, что стенка от него никуда не денется и не угодно ли ему на минутку вернуться обратно? Да не только на землю, но и на прежнюю остановку! И тут в руках у неё появилась знакомая доска с девятью клетками.

— Что это такое? — спросила она.

Чит, понятно, ответил, что это магический квадрат. Но она заявила, что магическим он был на остановке «Игры числовые», а здесь превратился в обыкновенный, то есть просто в прямоугольник, где все стороны совершенно одинаковы. Конечно, каждую сторону квадрата можно разделить на сколько угодно равных частей. В этом квадрате все стороны разделены на три равные части. И если каждую часть принять за единицу, то можно сказать, что сторона квадрата равна трём единицам. Для того же, чтобы узнать, сколько всего клеток в этом квадрате, надо перемножить две его стороны, что равно девяти: 3 × 3 = 9.

— Вот мы и возвели число 3, как говорится, в квадрат — иными словами, во вторую степень, — заключила Ари. — Отсюда нетрудно понять, что возведение в степень — не только тройки, но и любого числа вообще — это попросту перемножение одинаковых множителей. Перемножение двух одинаковых множителей — вторая степень, или, квадрат числа, трёх множителей — третья степень, или, как говорят иначе, куб числа, четырёх — четвёртая степень, и так до бесконечности…

— Любопытно! — скривил губы Чит. — Выходит, чтобы возвести 3 в сотую степень, надо написать 100 троек и 99 знаков умножения?

— Глупости! — фыркнула Ари. — Довольно будет справа и чуть повыше тройки поставить маленькое 100. Вот так: 3100. Здесь — 3 основание степени, а 100 — показатель её.

— Основание, показатель… Где же сама-то степень?

— Разумеется, число, которое получится в результате перемножения. В данном случае — совсем пустяковое число, знаков эдак из пятидесяти, — невозмутимо пояснила Ари и без всякого перехода скомандовала: — Вот теперь лезь на стенку!

Чит только того и дожидался, но оказалось, что лезть надо не просто, а с умом. Все перекладины были перенумерованы от единицы до… Впрочем, стенка уходила за облака, так что последнего числа видно не было. Игра состояла в том, что Чит изображал основание степени. Ари называла показатель, после чего надо было возвестись в степень собственными ногами. Правда, основание не превышало четырёх, а показатель — трёх. Тем не менее попотеть Читу пришлось изрядно.