В лабиринте чисел

— Зато я знаю, почему ты этого не знаешь. Потому что обращаться с дробями ещё не умеешь, а способ решения выбрал как раз такой, где без этого не обойтись. Ты искал 5/₆ от 1/₂. Верно?

— Угу, — кивнул он.

— Но для этого надо 1/₂ сперва разделить на 6, а потом умножить на 5. Куда проще перевести полчаса в минуты, что составляет 30 минут, а потом найти 1/₆ от тридцати, что, само собой, равно пяти.

— В общем, на решение у меня было 5 минут, — сказал Чит.

— Ровно в пять раз больше, чем требовалось, — съязвила Ари.

Но Чит сделал вид, что не слышит: он уже расшифровывал запись 568 в десятичной и шестидесятеричной системах счисления. Трудился он, надо сказать, с удовольствием и долго любовался потом своими каракулями:

«1) 568 в дес. сист. сч: 5 × 102 + 6 × 101 + 8 × 100 = 568

2) 568 в шест. сист. сч: 5 × 602 + 6 × 601 + 8 × 600 = 5 × 3600 + 6 × 60 + 8 = 18 368».

Потом он вспомнил о двоичной системе и расшифровал запись 11001:

11001 = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 25.

Будь его воля, он расшифровывал бы до утра, но Ари напомнила ему про магический квадрат и вычертила первую читову расстановку.

— Помнится, поначалу ты расставил числа именно так, но увидел, что ошибся, и сразу перешёл к новому варианту. А жаль! Не мешало бы посмотреть, нет ли здесь хоть одного столбца, строки или диагонали, где сумма чисел правильная: 15.

— Тогда я ещё не знал, какая сумма правильная, — огрызнулся он.

— Но теперь-то знаешь! Вот и взгляни ещё разок.

Оказалось, сумма 15 есть и в обеих диагоналях: 7 + 5 + 3 и 1 + 5 + 9, и в среднем столбце: 2 + 5 + 8, и в средней строке: 4 + 5 + 6, и Ари сказала, что разъединять эти числа ни в коем случае не следует.

— Но ведь два столбца и две строки всё равно остались неулаженными. Как же быть? — недоумевал Чит.

— Давай передвинем числа по ходу часовой стрелки. Хотя бы на одну клетку. Что получим?

— Ничего хорошего, — вздохнул он, взглянув на новый чертёж.

— Но и ничего плохого, — возразила Ари. — Сумма 15 осталась нетронутой и по диагоналям, и в среднем столбце, и в средней строке. Значит, числа в них по-прежнему разъединять негоже. Но что мешает нам поменять некоторые из них местами? Вот хоть крайние числа каждой диагонали. Двойку с восьмёркой и шестёрку с четвёркой.

— Смотри-ка! — обрадовался Чит. — Теперь и вправду всё уладилось. Слушай, а если поменять местами крайние числа среднего столбца и средней строки? Семёрку с тройкой и единицу с девяткой?

Он вычертил новый квадрат, и всё опять сошлось! Тогда ему загорелось повозиться с магическим квадратом из шестнадцати клеток. Но Ари сказала, что этим пусть займётся дома, а здесь за ним ещё один должок числится, хотя и пустяковый: возвести в пятую степень число 4 и извлечь корень третьей степени из ста двадцати пяти.

Ну, с возведением он справился довольно быстро и тогда только оценил доброту Ари: не отложи она решение до «Щ», лезть бы ему на тысяча двадцать четвёртую перекладину: 45 = 1024. Хуже обстояло дело с извлечением корня. Чит никак не мог догадаться, какое число надо возвести в третью степень, чтобы получить 125, но Ари подсказала ему верную примету: когда подкоренное число оканчивается пятёркой, то пятёркой же оканчивается и его корень. Если только корень — число рациональное. Оставалось перебрать числа с окончанием на 5. Впрочем, долго перебирать не пришлось, потому что подошла первая же пятёрка: .

Больше на «Щ» делать было нечего, но напоследок Чит сыскал-таки себе ещё одно дельце и написал на доске: «Ща — остановка щастливая!»

— Безусловно, — ухмыльнулась Ари, прочитав надпись, — но не для тех, кто пишет «счастье» через «щ»…

Эратосфен и простые числа

Название остановки сулило ещё одну экскурсию в Древнюю Грецию: как-никак Эратосфéн — древнегреческий учёный! Чит вычитал это в папиной энциклопедии, которую иногда перелистывал. Перелистывал он, надо сказать, замечательно: аккуратно, а главное — быстро. Правда, много таким способом не начитаешь, и об Эратосфене Чит знал только то, что жил он в III веке до нашей эры.

Но недостаток знаний не так уж плох, как думают некоторые. Когда знаешь мало, всегда услышишь что-нибудь новенькое. Хотя бы то, что Эратосфен Кирéнский был необычайно разносторонним человеком. Он известен не только как одарённый математик, но и механик, географ, историк, мыслитель, филолог, даже поэт. В каждой из этих областей Эратосфен сказал своё веское слово. И пусть нельзя назвать его самым гениальным учёным того времени, зато самым знающим — наверняка.

Научное наследство Эратосфена велико и разнообразно. Но перелистывать его на манер Чита Ари наотрез отказалась. В самом деле, стоит ли пытаться объять необъятное? Не лучше ли поговорить о чём-нибудь одном, притом связанном с числами? Допустим, об Эратосфене и о простых числах!

— А что их связывает? — сейчас же прилип Чит.

— То, что Эратосфен нашёл способ отделять простые числа от сложных, составных.

После этого Читу пришлось срочно выяснять, какая разница между числами простыми и составными. Оказывается, простые делятся без остатка только на себя самих да на единицу, в то время как составные — ещё и на другие натуральные числа. 17 — простое число: оно ни на что, кроме себя и единицы, не делится. А 18, кроме того, делится и на 2, и на 3, и на 6, и на 9. Значит, это число составное. Но каким всё-таки образом Эратосфен их отделял?

— Просеивал, — сказала Ари. — Сквозь решето.

Ну и дела! Числа просеивают?! Как муку? Но Ари пояснила, что «решето Эратосфена» — выражение образное, иносказательное. Хотя поначалу способ этот походил на решето и в прямом смысле. Написав на покрытой воском дощечке ряд натуральных чисел, Эратосфен протыкал острой палочкой составные, и вскоре дощечка покрывалась проколами, хотя и не сквозными.

Тут Ари нажала какую-то кнопку, и Чит, который всё время ждал, когда появится Древняя Греция, увидел вполне современный дом, но такой высокий, что верхушка его терялась где-то в небе. В каждом этаже у него насчитывалось по десяти окон. Все они были перенумерованы, начиная с нижнего этажа, и ярко освещены. Только на первом этаже вместо крайнего левого окна было гладкое место, и первое окно значилось сразу под номером 2.

— Перед нами натуральные окна… то есть числа, — начала Ари, — и сейчас мы с тобой просеем их по способу Эратосфена.

— А единица где? — придрался Чит.

— По условию единица к простым числам не относится. Итак, приступим. Для удобства займёмся только тремя нижними этажами. Остальные пусть просеивает кто хочет. Сперва зачеркнём, вернее, погасим каждое второе окно после номера 2, то есть все чётные числа до тридцати, которые, само собой, уже потому не простые, что делятся на 2. — Ари отстукала пальцем по каким-то клавишам. — Что погасло?

Чит назвал окна под номерами 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, и Ари предложила ему погасить каждое третье число после тройки.

— Ой! — растерялся он. — Шестёрка уже погашена.

— Не беда. Будем считать, что мы её погасили ещё раз. Итак, гасим номера 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Теперь посмотрим, какое окно осталось освещённым после номера 3?

— Номер 5.

— Вот и погасим каждое пятое окно после номера 5. Это номера 10, 15, 20, 25, 30. Поехали дальше. Возьмём следующее после пятёрки непогашенное число 7…

— …и погасим каждое седьмое окно после семёрки, — подхватил Чит. — Это 14, 21, 28. Потом каждое одиннадцатое после 11, каждое тринадцатое после 13, каждое семнадцатое после 17, девятнадцатое после 19, двадцать третье после 23…

— Уймись! — смеясь, остановила его Ари. — Наши 30 номеров давно уже просеяны. Оставим что-нибудь и для других. Лучше посмотри, какие окна остались непогашенными.

— Под номерами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

— Вот тебе и первые простые числа.

— А последние какие?

— Никакие. Простым числам, как и натуральным, конца нет.

— Странно! — задумался Чит. — Помнится, про совершенные числа ты другое говорила.

— Правильно. Бесконечно или конечно множество совершенных чисел, этого пока никто не знает. Зато бесконечность множества простых давным-давно доказал Эвклид.

— А много их известно? На сегодняшний день?

— Много. Куда больше, чем совершенных. И чем дальше, тем дольше работают машины, чтобы вычислить новое простое число: ведь значность их всё время растёт! В последнем из найденных простых чисел более шести тысяч знаков.

— Ха! Ничего себе простое! Да его надо на телеграфной ленте записывать.

— И всё же оно не перестаёт от этого быть простым. Что в самом деле не просто, так это найти закон, по которому простые числа распределяются среди натуральных.

— Да разве он не открыт?

— Увы! — развела руками Ари. — Разве что ты его когда-нибудь откопаешь…

Юмор и математика

Чит уже столько всего насмотрелся, что и представить себе не мог, какие ещё сюрпризы ждут его в лабиринте чисел? Но Ари сказала, что есть ещё порох в пороховницах, и привела его в комнату смеха. Чит никогда бы и не подумал, что здесь такая имеется: очень уж математика серьёзная наука!

— В том-то и дело! — возразила Ари. — Настолько серьёзная, что никогда не следует упускать случая сделать её и немного занимательной. Кстати, слова эти принадлежат твоему доброму знакомому Паскалю, и уж его-то в отсутствии серьёзности не упрекнёшь! Но и он, как видишь, полагал, что юмор в математике не только не помеха, но и подмога. Это легко понять. Совсем, наверное, недавно ты, как и все малыши, любил стихи-перевёртыши…

— Ещё бы! — оживился Чит. — «Уточки заквакали: „Ква, ква, ква!“, лягушечки закрякали: „Кря, кря, кря!“…»

— Вот-вот, — закивала Ари. — Забавное несоответствие смешило тебя, а заодно помогало утвердиться в том, что правильно, а что — нет. Так и математические нелепицы: они не только забавляют нас, но и совершенствуют нашу логику. К тому же то, что преподносится весело, легко запоминается…

— Но я пока что не вижу в вашей комнате смеха ничего смешного! — Чит ткнул пальцем в плакат с дробью 26/₆₅. — Что, например, забавного в этой дроби?

— Ничего. Зато как её здесь сокращают! Впрочем, о сокращении дробей мы ещё как будто не говорили, — спохватилась Ари. — Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Для этого надо сперва найти их наибольший общий делитель.

Как ты думаешь, какой наибольший общий делитель у дроби 26/₆₅?

— Вроде бы 13.

— Вот и сократи эту дробь на 13. Что получится?

— Две пятых.

— А теперь погляди, как это делают здесь.

Ари нажала кнопку под дробью, и в ту же секунду шестёрки в числителе и знаменателе исчезли, а на плакате осталось 2/₅. Что за чепуха! Сокращение явно неправильное, а ответ — верный… Как же так? Но Ари сказала, что никак. Просто случайное совпадение. И тут же предложила Читу умножить в уме число 10 001 на… хотя бы на 4253. У того, конечно, глаза на лоб полезли. Но оказалось, задание вполне выполнимое. Надо только записать число 4253 дважды, одно за другим — и ответ в кармане! Сорок два миллиона пятьсот тридцать четыре тысячи двести пятьдесят три. Почему? Перемножьте числа, как полагается, столбиком, — тогда и поймёте.

Следующий плакат доказывал, что 3 = 7. «Доказательство» начиналось с выражения «15 – 15 = 35 – 35». Потом в левой части равенства за скобки выносился множитель 3, а в правой — 7. Получалось вот что: 3(5 – 5) = 7(5 – 5). Но все знают, что равенство не нарушится, если обе его части разделить на одно и то же число. Вот их и разделили на выражение (5 – 5), после чего стало совершенно ясно, что 3 = 7.

Чит хохотал как сумасшедший, но сам в ошибке так и не разобрался. Он не учёл, что (5 – 5) равно нулю, а деление на нуль категорически запрещено. И, судя по этому примеру, не зря!

— Никогда не думал, что математики такие весёлые люди, — сказал он, кончив смеяться.

— И острые на язык, — добавила Ари. — Есть такая книга «Физики шутят». Хорошо бы написать такую же о математиках. Я бы начала её со случая с Эвклидом. Ознакомясь с его книгой о геометрии «Начала», царь Птолемéй многого не понял. Он спросил: не может ли Эвклид упростить свои рассуждения и пойти более лёгким путём? На что тот ответил: «В геометрии нет царских дорог».

Читу одинаково понравились и ответ Эвклида, и мысль написать о том, как математики шутят. Он даже снова захотел стать писателем. Но тут выяснилось, что такая книга уже появилась, просто Ари её ещё не достала. Чит ужасно расстроился, но добрая Ари быстро его утешила: к тому времени, как Чит вырастет, сказала она, математики наговорят столько остроумного, что и на несколько книг хватит!

Ясность

— Вот и подошло к концу твоё первое путешествие по лабиринту чисел, — сказала Ари. — Последняя остановка — Ясность.

— Как? — удивился Чит. — Разве есть такое математическое понятие?

— Нет, конечно. Но если уж без юмора математика не обходится, то без ясности и подавно. Ясность — непременное условие всякого математического определения, всякого доказательства. Стремление к ясности у математиков в крови. Это, можно сказать, самая жгучая их потребность. Более двадцати столетий математики всего мира пытались внести ясность в пятый по счёту постулат (основоположение) эвклидовой геометрии, непротиворечивость которого ни доказать, ни оспорить невозможно. И лишь в XIX веке усилия их увенчались успехом. Около трёхсот лет то и дело вспыхивает острый интерес к так называемой великой теореме Фермá. Но здесь до ясности, кажется, далеко. Дожидается прояснения ряд математических вопросов, поставленных крупнейшим математиком XIX–XX веков Давидом Гильбертом. Они так и называются — проблемы Гильберта, и одну из них как раз решили с помощью чисел Фибоначчи. Всё ещё не ясно, по какому закону искать простые числа. Всё ещё не ясно, конечно или бесконечно множество совершенных? И есть ли нечётные совершенные числа…

— Я вижу, неясностей в математике куда больше, чем ясности, — ввернул Чит.

— Не так уж это плохо, — возразила Ари. — Маяковский недаром сказал: «Кто постоянно ясен, тот, по-моему, просто глуп». Человеческий мозг — странная штука. Никогда он не довольствуется достигнутым. Подавай ему новую и новую пищу для размышлений. И неизвестно ещё, что доставляет нам бóльшую радость: поиски ясности или достижение её?

— Н-да! Ясности в этом вопросе маловато, — снова сострил Чит. — Но к чему ты всё-таки клонишь?

— Неужели не догадываешься? Хочу внести ясность в наши с тобой отношения. Вот выйдешь ты отсюда, а потом, глядишь, и из школы. Пойдёшь учиться дальше. Кто знает, может, и вправду станешь писателем… Но если даже так, если математика не станет делом твоей жизни, не забывай о ней! Нет-нет да заглядывай в лабиринт чисел. Здесь всегда ждут тебя другие, более сложные маршруты. Правда, из чисел рубашки не сошьёшь — есть, кажется, такая пословица. Но не рубашкой, да и не хлебом единым жив человек! В мире чисел всегда найдёшь заново точильный камень для ума и крылья для воображения. А без воображения… Без воображения нет ни математика, ни писателя, ни человека вообще. Ясно?

— Ясно!