Логико-философский трактат [litres]

5.142. Тавтология следует из всех суждений: она не говорит ничего.

5.143. Противоречие – такой общий фактор суждений, который не является общим ни для одной пары суждений. Тавтология – общий фактор всех суждений, которые не имеют ничего общего друг с другом.

Можно сказать, что противоречие кроется вовне всех суждений, а тавтология – внутри них.

Противоречие есть внешний предел суждений; тавтология – несубстанциальная точка в центре.

5.15. Если Иr есть количество оснований истинности суждения «r» и если И_rs есть число оснований истинности суждения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», тогда мы назовем отношение И_rs: И_r степенью вероятности, которую суждение «r» придает суждению «s».

5.151. Вставим в схему пункта 5.101 индекс И_r в качестве числа «И» в суждении r, а индекс И_rs – в качестве числа «И» в суждении s для столбцов, где присутствуют индексы «И» суждения r. Тогда суждение r придаст суждению s вероятность И_rs: И_r.

5.1511. Не существует особого объекта, присущего вероятностным суждениям.

5.152. Когда у суждений нет общих аргументов истинности, мы называем их независимыми.

Два элементарных суждения дают друг другу вероятность 1/₂.

Если p следует из q, тогда суждение «q» наделяет суждение «p» вероятностью 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности.

(Применение этого к тавтологии и противоречию.)

5.153. Само по себе суждение ни вероятно, ни невероятно. Событие происходит или нет; третьего не дано.

5.154. Предположим, что урна содержит равное количество черных и белых шаров (и никаких других). Я достаю один шар за другим и кладу обратно в урну. Этим экспериментом я могу установить, что количество вытянутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании.

Это не математическая истина.

Теперь я говорю: «Вероятность вытянуть белый шар равна вероятности вытянуть черный шар», и это означает, что при всех известных мне обстоятельствах (включая законы природы, понимаемые как гипотеза), у одной вероятности нет преимущества перед другой. Иными словами, общая вероятность составляет 1/₂, что легко вывести из предыдущего описания.

Этим экспериментом я подтверждаю, что наступление обоих событий не зависит от обстоятельств, о которых я не имею подробных сведений.

5.155. Минимальная единица вероятностного суждения такова: обстоятельства – о которых я мало что знаю – сулят такую-то и такую-то степень вероятности конкретного события.

5.156. В этом отношении вероятность является обобщением.

Она включает в себя общее описание пропозициональной формы.

Мы используем вероятность за отсутствием достоверности – наше знание не является сколько-нибудь полным, но мы знаем нечто об этой форме.

(Суждение может быть неполной картиной конкретной ситуации, но всегда является полной картиной чего-то.)

Вероятностное суждение есть своего рода извлечение из других суждений.

5.2. Структуры суждений находятся во внутренних отношениях друг к другу.

5.21. Чтобы показать эти внутренние отношения, мы можем применить следующий способ выражения: мы можем представить суждение как результат действия, которое порождает его из других суждений (оснований действия).

5.22. Действие есть выражение отношения между структурами его результата и его оснований.

5.23. Действие – то, что нужно сделать с одним суждением, чтобы получить из него другое.

5.231. Это, разумеется, зависит от их формальных свойств, от внутреннего сходства форм.

5.232. Внутреннее отношение, упорядочивающее последовательности, эквивалентно действию, которое порождает один член последовательности из другого.

5.233. Действия не проявляют себя до того, пока одно суждение не возникнет из другого логически значимым путем: до того, пока не начнется логическое конструирование суждений.

5.234. Функции истинности элементарных суждений суть результаты действий над элементарными суждениями. (Я называю эти действия истинностными действиями.)

5.2341. Смысл функции истинности p есть функция смысла p.

Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. п. являются действиями.

(Отрицание меняет смысл суждения на противоположный.)

5.24. Действие проявляет себя в переменной; оно показывает, как можно получить одну пропозициональную форму из другой.

Оно выражает различие между формами.

(То, что основания действия и его результаты имеют общего, есть лишь сами основания.)

5.241. Действие – не характеристика формы, а только различие между формами.

5.242. Действие, создающее «q» из «p», также создает «r» из «q», и так далее. Есть лишь один способ выразить это: «p», «q», «r» и пр. должны быть переменными, позволяющими выразить некие общие формальные отношения.

5.25. Наличие действия не характеризует смысл суждения.

Ведь действие ничего не сообщает; говорит лишь результат, который зависит от оснований действия.

(Не следует смешивать действия и функции.)

5.251. Функция не может быть собственным аргументом, тогда как действие может иметь один из своих результатов в качестве основания.

5.252.Только таким способом возможен переход от одного члена последовательности к другому (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда9).

(Рассел и Уайтхед не признавали возможности подобного перехода, но постоянно им пользовались.)

5.2521. Если действие повторно прилагается к его результату, я говорю о последовательном применении действия. («O’O’O’a» есть результат трехкратного последовательного действия «O’ξ» над «a».)

В том же смысле я говорю о последовательном применении более чем одного действия к определенному числу суждений.

5.2522. Согласно с этим я использую знак «(a, x, O’x)» как общий для последовательности форм: a, O’a, O’O’a… Выражение в скобках является переменной: первый его член есть начало последовательности, второй – форма любого члена ряда, а третий – форма члена ряда, следующего за x.

5.2523. Понятие последовательного применения действия равнозначно понятию «и т. д.».

5.253. Одно действие может опровергать результат другого. Действия могут опровергать друг друга.

5.254. Действие способно аннулировать себя (ср. отрицание в «~~p»: ~~p = p).

5.3. Все суждения суть результаты истинностных действий над элементарными суждениями.

Истинностное действие представляет собой способ, каким функция истинности порождается из элементарного суждения.

Для истинностных действий существенно, что сходно с тем, как элементарные суждения создают функции истинности, сами функции истинности порождают новые подобные функции. Когда истинностное действие применяется к функции истинности элементарного суждения, это всегда создает новую функцию истинности элементарного суждения, новое суждение. Когда истинностное действие применяется к результату функции истинности элементарного суждения, всегда имеется единичное действие над элементарными суждениями, приводящее к тому же результату.

Всякое суждение есть результат истинностных действий над элементарными суждениями.

5.31. Схема в пункте 4.31 будет иметь смысл даже в том случае, когда «p», «q», «r» и т. д. не являются элементарными суждениями.

Легко увидеть, что пропозициональный знак в пункте 4.442 выражает единичную функцию истинности элементарных суждений, даже когда «p» и «q» являются функциями истинности элементарных суждений.

5.32. Все функции истинности суть результаты последовательного применения к элементарным суждениям конечного числа истинностных действий.

5.4. Тут становится очевидным, что не существует «логических объектов» или «логических констант» (в том смысле, в каком использовали эти выражения Фреге и Рассел).

5.41. Причина в том, что результаты истинностных действий над функциями истинности всегда тождественны, если они являются одной и той же функцией истинности элементарных суждений.

5.42. Совершенно очевидно, что ∨, ⊃ и т. д. не являются отношениями в том смысле, в каком являются ими правое, левое и т. п.

Взаимоопределяемости «элементарных логических знаков» Фреге и Рассела достаточно, чтобы показать, что они вовсе не элементарны и не выступают знаками отношений.

И очевидно, что «⊃», определяемое посредством «~» и «∨», тождественно тому, которое в сочетании с «~» определяет «∨»; и что второе «∨» тождественно первому; и т. д.

5.43. На первый взгляд кажется маловероятным, что из факта p должно следовать бесконечное множество других, а именно ~~p, ~~~~p и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное число суждений логики (математики) следует из полудюжины «основных законов».

Но на самом деле все суждения логики говорят одно и то же – собственно, ничего.

5.44. Функции истинности нематериальны.

К примеру, утверждение может возникнуть из двойного отрицания: в таком случае можно ли заключить, что в известном отношении отрицание содержится в утверждении? Разве «~~p» отрицает ~p, разве оно подтверждает p или делает и то и другое?

Суждение «~~p» не трактует отрицание как объект; с другой стороны, возможность отрицания всегда присутствует в утверждении.

И если есть объект «~», отсюда следует, что «~~p» сообщает нечто отличное от «p», поскольку одно суждение будет об ~, а другое – нет.

5.441. Это исчезновение очевидных логических констант также проявляется в случае «~ (Ǝx) × ~fx», где говорится то же, что в выражении «(x) × fx», и в случае «(Ǝx) × fx × x = a», тождественном «fa».

5.442. Если дано суждение, тогда даны и результаты всех истинностных действий, опирающихся на это суждение.

5.45. Если бы существовали элементарные логические знаки, тогда любую логику, не способную показать отчетливо, как они расположены относительно друг друга, и оправдать их существование, следовало бы признать некорректной. Порождение логики из ее элементарных знаков должно быть очевидным.

5.451. Если в логике имеются элементарные идеи, они должны быть независимы друг от друга. Если элементарная идея вводится, она должна вводиться во все комбинации, в которых может встречаться. Поэтому она не может вводиться сначала в одну комбинацию, а затем в другую.

Например, после внедрения отрицания мы должны понимать его в суждениях «~p» и в суждениях «~ (p ∨ q)», «(Ǝx) × ~fx» и т. д. Мы не можем ввести его сначала в один разряд выражений, а затем в другой, поскольку иначе возникнут сомнения в том, одинаково ли его значение для обоих классов, и не будет никакой причины комбинировать знаки сходным образом в обоих классах.

(Коротко говоря, замечания Фреге относительно внедрения знаков посредством описания (в «Основных законах арифметики») применимо, mutatis mutandis[3], к внедрению элементарных знаков.)

5.452. Внедрение любого нового понятия в логическую символику является по необходимости немаловажным событием. В логике новое понятие не вводится в скобках или в подстрочном примечании – с тем, что можно назвать невинной миной. (В «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда встречаются определения и элементарные суждения, выраженные в словах. Почему именно слова? Такой метод требует обоснования, но ни одного не приведено и не может быть приведено, поскольку метод на самом деле запрещен.) Однако, если внедрение нового понятия оказалось действительно необходимым, мы должны сразу же спросить себя: «Где именно использование этого понятия неизбежно?» – и потребовать четкого определения его места в логике.

5.453. Все числа в логике требуют обоснования.

Точнее, следует показать, что в логике нет чисел. Нет привилегированных чисел.

5.454. В логике нет соположенности, нет классификации.

В логике не может быть более общего и более особенного.

5.4541. Решения логических задач должны быть просты, ибо они устанавливают стандарты простоты.

Люди всегда верили, что существует некая область, где ответы на вопросы скомбинированы симметрично – и априорно, – что создает упорядоченную, замкнутую систему.

Эта область подчинена закону: Simplex sigillum veri[4].

5.46. Если мы ввели логические знаки надлежащим образом, тогда мы должны одновременно ввести значения всех их комбинаций, то есть не только «p ∨ q», но и «~ (p ∨ q)» и т. д. Мы также должны ввести результаты всех возможных комбинаций в скобках. И таким образом становится ясно, что подлинные общие элементарные знаки – не «p ∨ q», «(Ǝx) × fx» и т. д., а наиболее общие формы их сочетаний.

5.461. Хотя это представляется несущественным, на самом деле логические псевдоотношения, такие как ∨ и ⊃, настоятельно требуют скобок – в отличие от подлинных отношений.

Использование скобок с этими предположительно элементарными знаками само по себе указывает, что они не являются элементарными. И никто не поверит, что скобки обладают самостоятельным значением.

5.4611. Знаки логических действий суть пунктуационные знаки.

5.47. Ясно, что все, что можем сказать заранее обо всех пропозициональных формах, мы должны сказать сразу.

Элементарное суждение на самом деле содержит все логические действия. Ибо «fa» говорит то же, что и «(Ǝx) × fx × x = a». Каков бы ни был состав выражения, в нем всегда присутствуют функция и аргумент, а при их наличии мы уже имеем все логические константы.

Могут возразить, что единичная логическая константа – то общее, что есть у всех суждений по самой их природе.

Но это общее – пропозициональная форма.

5.471. Общая пропозициональная форма – суть суждения.

5.4711. Раскрыть суть суждения значит раскрыть суть всех описаний, то есть суть мира.

5.472. Описание наиболее общей пропозициональной формы есть описание одного и только одного общего элементарного знака логики.

5.473. Логика должна сама заботиться о себе.

Если знак возможен, тогда он способен означать. Что возможно в логике, то разрешено. (Причины, по которой «Сократ тождественен», нет, поскольку нет свойства «тождественный». Суждение лишено смысла, потому что мы не смогли дать произвольное определение, а не потому, что символ недопустим сам по себе.)

В известном смысле в логике невозможны ошибки.

5.4731. Самоочевидность, о которой столько рассуждает Рассел, в логике утрачивает значимость только потому, что сам язык предотвращает логические ошибки. Априорно логику порождает невозможность мыслить нелогично.

5.4732. Мы не можем наделить знак неверным значением.

5.47321. Принцип Оккама не является, конечно же, произвольным правилом и не относится к числу тех, которые оправданы успешным применением. Он гласит, что единицы знакового языка, которые не являются необходимыми, ничего не значат.

Знаки, служащие одной цели, логически равнозначны, а знаки, которые не служат никакой цели, логически бессмысленны.