Логико-философский трактат [litres]

4.27. Для n числа позиций имеются  возможностей существования и несуществования.

Из этих позиций любая комбинация может существовать, а прочие – не существовать.

4.28. Этим комбинациям соответствует равное число возможностей истинности и ложности для n элементарных суждений.

4.3. Возможность истинности элементарных суждений означает возможность существования или не-существования позиций.

4.31. Мы можем представить возможности истинности схемой следующего вида («И» значит «истинно», «Л» значит «ложно», столбцы знаков «И» и «Л» под строками элементарных суждений символизируют их возможности истинности наглядным образом).

4.4. Суждение есть выражение соотнесенности или несоотнесенности с возможностями истинности элементарных суждений.

4.41. Возможности истинности элементарных суждений суть условия истинности или ложности суждений.

4.411. Сразу становится очевидным, что введение элементарных суждений создает основу для понимания всех прочих суждений. В самом деле понимание общих суждений ощутимо зависит от понимания элементарных суждений.

4.42. Для n числа элементарных суждений имеется

вариантов, какими суждение может соотноситься или не соотноситься с возможностями истинности.

4.43. Соответствие возможностям истинности можно выразить индексом «И» в приведенной выше схеме. Отсутствие этого индекса означает несоответствие.

4.431. Выражение соотнесенности или несоотнесенности с возможностями истинности элементарных суждений обозначает условия истинности суждения.

Суждение есть выражение условий его истинности. (И Фреге был абсолютно прав, используя их как отправную точку для объяснения знаков своей понятийной записи. А вот в объяснении понятия истинности Фреге допустил ошибку: если «истинное» и «ложное» – реальные объекты и аргументы в формуле ~p и т. д., тогда метод, каким Фреге определял смысл «~p», оставил бы их неопределенными.)

4.44. Знак, который получается из сопоставления индекса «И» с возможностями истинности, есть пропозициональный знак.

4.441. Очевидно, что совокупность знаков «И» и «Л» не имеет объекта (или совокупности объектов), сопоставленных ей, как ничто не сопоставлено вертикальным и горизонтальным линиям в таблице или скобкам. Нет никаких «логических объектов».

Разумеется, то же применимо ко всем знакам, выражающим то, что выражают знаки «И» и «Л» в таблице.

4.442. Например, следующее есть пропозициональный знак.

(Знак утверждения Фреге «⊢» логически не имеет значения; в работах Фреге (и Рассела) он просто указывает, что эти авторы считают суждения, отмеченные таким знаком, истинными. Поэтому «⊢» является составной частью суждения не более чем, допустим, номер суждения. Невозможно, чтобы суждение утверждало свою истинность.)

Если последовательность возможностей истинности в таблице фиксирована при помощи комбинаторного правила раз и навсегда, тогда последний столбец сам по себе будет выражением условия истинности. Если записать этот столбец в строку, пропозициональный знак приобретет вид

«(ИИ – И) (p, q)»,

или, более наглядно,

«(ИИЛИ) (p, q)».

(Число мест в левых скобках определяется числом членов выражения в правых скобках.)

4.45. Для n элементарных суждений имеется Ln возможных групп условий истинности.

Группы условий истинности, извлекаемые из возможностей истинности заданного числа элементарных суждений, можно организовать в последовательности.

4.46. Среди возможных групп условий истинности есть два предельных случая.

В одном случае суждение истинно для всех возможностей истинности элементарного суждения. И мы говорим, что условия истинности тавтологичны.

Во втором случае суждение ложно для всех возможностей истинности, и условия истинности противоречивы.

В первом случае мы называем суждение тавтологией, во втором – противоречием.

4.461. Суждения показывают, о чем они говорят; тавтологии и противоречия показывают, что они не говорят ни о чем. Тавтология не имеет условий истинности, поскольку она безусловно истинна; а противоречие не может быть истинным ни при каких условиях.

Тавтология и противоречие не имеют смысла.

(Подобно точке, из которой две стрелки расходятся в противоположных направлениях.)

(Например, я не знаю ничего относительно погоды, когда знаю, что дождь то ли идет, то ли не идет.)

4.4611. При этом тавтология и противоречие не бессмысленны. Они являются частью символики, как нуль является частью символики арифметики.

4.462. Тавтология и противоречие не могут быть картинами реальности. Они не отображают возможные ситуации. Потому что первая признает все возможные ситуации, а последняя не признает ни одну.

В тавтологии условия соотнесенности с миром – условия отображения – отменяют друг друга, и потому она не находится ни в каком отношении отображения к реальности.

4.463. Условия истинности суждения определяют область, которую суждение предоставляет фактам.

(Суждение, картина, модель выступают в отрицательном смысле, как твердое тело, которое препятствует свободе движения, а в положительном смысле – как пространство, окруженное твердой субстанцией, в котором есть место для тела.)

Тавтология предоставляет реальности всю бесконечность логического пространства; противоречие заполняет логическое пространство собой, не оставляя места реальности. Поэтому ни одно из них не способно как бы то ни было определить реальность.

4.464. Истинность тавтологии достоверна, суждения – возможна, противоречия – невозможна.

(Достоверно, возможно, невозможно – вот первое указание на шкалу, которая необходима для теории вероятности.)

4.465. Логическое произведение тавтологии и суждения говорит то же, что само суждение. Это произведение потому тождественно суждению. Ведь невозможно изменить то, что существенно для символа, не изменив смысл последнего.

4.466. Определенной логической комбинации знаков соответствует определенная логическая комбинация их значений. Лишь знакам, не включенным в комбинации, может соответствовать любая комбинация.

Иными словами, суждения, истинные для любой ситуации, не могут быть комбинациями знаков, поскольку в противном случае им соответствовали бы сугубо конкретные комбинации объектов.

(А то, что не является логической комбинацией, не имеет соотнесенности с объектами.)

Тавтология и противоречие суть предельные случаи – точнее, распад – знаковых комбинаций.

4.4661. Допустим, что знаки по-прежнему сочетаются друг с другом в тавтологии и противоречии – что они находятся в определенных отношениях друг к другу; эти отношения не имеют смысла, они несущественны для символа.

4.5. Теперь возможно вывести наиболее общую пропозициональную форму: то есть дать описание суждений любого знакового языка таким образом, что любой возможный смысл может быть выражен символом, удовлетворяющим описанию, и всякий символ, удовлетворяющий описанию, может выразить смысл при условии, что значения имен были подобраны соответственно.

Очевидно, что лишь существенное для наиболее общей пропозициональной формы может быть включено в ее описание – иначе это уже не будет наиболее общей формой.

Существование общей пропозициональной формы доказывается тем фактом, что нет суждения, формы которого нельзя было бы предугадать (то есть сконструировать). Общая форма суждения такова: что-либо имеет место.

4.51. Предположим, что мне задали все элементарные суждения; тогда я просто спрошу, какие суждения я могу составить из них? И у меня были бы все суждения, и так устанавливались бы их границы.

4.52. Суждения включают все, что следует из совокупности элементарных суждений (и, конечно, из того обстоятельства, что это совокупность их всех).

(Так, в известном смысле, можно сказать, что все суждения суть обобщения элементарных суждений.)

4.53. Общая пропозициональная форма – переменная.

5. Суждение – функция истинности элементарных суждений. (Элементарное суждение есть собственная функция истинности.)

5.01. Элементарные суждения выступают аргументами истинности суждений.

5.02. Аргументы функций нередко смешивают с индексами имен. Поскольку и аргументы, и индексы позволяют узнавать значения знаков, их содержащих.

Например, когда Рассел пишет: «+ _c», «c» представляет собой индекс, который указывает, что данный знак есть дополнительный знак количественного числа. Но использование этого знака является результатом произвольной договоренности, и вполне возможно выбрать простой знак вместо «+_c»; но в выражении «~p» «p» является не индексом, а аргументом: смысл выражения «~p» нельзя понять до тех пор, пока нам неизвестен смысл «p». (В имени «Юлий Цезарь» индексом будет «Юлий». Индекс всегда часть описания объекта, к имени которого мы его прибавляем; в данном случае Цезарь из рода Юлиев.)

Если я не ошибаюсь, теория Фреге относительно значения суждений и функций основана на смешении аргументов и индексов. Фреге рассматривал логические суждения как имена, а их аргументы – как индексы этих имен.

5.1. Функции истинности могут организовываться в последовательности. Вот основа теории вероятности.

5.101.Функции истинности заданного числа элементарных суждений всегда можно отразить в схеме следующего вида:

(ИИИИ) (p, q) Тавтология (если p, то p, и если q, то q) (p ⊃ p × q ⊃ q)

(ЛИИИ) (p, q) Словами: Не p и не q вместе. [~ (p × q)]

(ИЛИИ) (p, q) Словами: Если q, то p. [q ⊃ p]

(ИИЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q. [p ⊃ q]

(ИИИЛ) (p, q) Словами: p или q. [p ∨ q]

(ЛЛИИ) (p, q) Словами: Не q. [~q]

(ЛИЛИ) (p, q) Словами: Не p. [~p]

(ЛИИЛ) (p, q) Словами: p или q, но не вместе.

[p × ~q: ∨: q × ~p]

(ИЛЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q, и если q, то p. [p ≡ q]

(ИЛИЛ) (p, q) Словами: p.

(ИИЛЛ) (p, q) Словами: q.

(ЛЛЛИ) (p, q) Словами: Ни p, ни q. [~p × ~q или p | q]

(ЛЛИЛ) (p, q) Словами: p, но не q. [p × ~q]

(ЛИЛЛ) (p, q) Словами: q, но не p. [q × ~p]

(ИЛЛЛ) (p, q) Словами: q и p. [q × p]

(ЛЛЛЛ) (p, q) Противоречие (p и не p, и q и не q).

[p × ~p. q × ~q]

Я назову основаниями истинности суждения те возможности истинности его истинностных аргументов, которые делают суждение истинным.

5.11. Если все основания истинности, общие какому-либо числу суждений, являются и основаниями истинного некоего конкретного суждения, мы говорим, что истинность этого суждения следует из истинности других.

5.12. В частности, истинность суждения «p» следует из истинности суждения «q», если все основания истинности последнего являются и основаниями истинности первого.

5.121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого: p следует из q.

5.122. Если p следует из q, значение «p» содержится в значении «q».

5.123. Если бог создает мир, в котором истинны некие суждения, тем самым он создает и мир, в котором будут истинны все суждения, следующие из первых. При этом он не может создать мир, в котором суждение «p» будет истинно, не создав все его объекты.

5.124. Суждение подтверждает любое другое суждение, которое из него следует.

5.1241. «(p × q)» – суждение, которое подтверждает одновременно «p» и «q».

Два суждения противопоставляются друг другу, если нет осмысленного суждения, подтверждающего оба.

Всякое суждение, противоречащее другому, его отрицает.

5.13. Когда истинность одного суждения следует из истинности других, мы видим это по структуре суждения.

5.131. Если истинность одного суждения следует из истинности других, это находит выражение в отношениях, в которых пропозициональные формы находятся друг с другом; для нас нет необходимости устанавливать эти отношения, объединяя формы в одном суждении. Эти отношения являются внутренними, их существование непосредственно вытекает из существования суждений.

5.1311. Когда мы выводим q из (p ∨ q) и ~p, отношение между пропозициональными формами «p ∨ q» и «~p» скрыто способом обозначения. Но если вместо «p ∨ q» мы запишем, например, «p | q × | | × p | q», а вместо «~p» – «p | p» (p | q = ни p, ни q), тогда внутренняя связь станет очевидной.

(Возможность вывода fa из (x) × fx показывает, что символ «(x) × fx» содержит в себе всеобщность.)

5.132. Если p следует из q, я могу заключить от q к p, вывести p из q.

Природа взаимосвязи проявляется лишь в двух суждениях.

Они сами являются единственными возможными оправданиями вывода.

«Законы вывода», которые должны оправдывать вывод, как в работах Фреге и Рассела, лишены смысла и потому излишни.

5.133. Все выводы делаются априорно.

5.134. Элементарное суждение нельзя вывести из другого элементарного суждения.

5.135. Нет способа из существования одной ситуации сделать вывод о существовании другой, полностью отличной ситуации.

5.136. Не существует причинной связи, оправдывающей подобный вывод.

5.1361. События будущего нельзя вывести из событий настоящего. Суеверие есть вера в подобную причинную связь.

5.1362. Свобода воли состоит в невозможности знания действий, лежащих в будущем. Мы могли бы узнать их, только будь причинность внутренней необходимостью, как в случае логического вывода. Связь между познанием и тем, что известно, есть связь «логической необходимости».

(Суждение «A знает, что есть p» не имеет смысла, если p – тавтология.)

5.1363. Если истинность суждения не следует из того, что она очевидна для нас, тогда эта очевидность никоим образом не оправдывает нашу веру в его истинность.

5.14. Если одно суждение следует из другого, тогда последнее говорит больше первого, а первое – меньше последнего.

5.141. Если p следует из q, а q следует из p, они являются одним и тем же суждением.