Логико-философский трактат [litres]

5.4733. Фреге говорит, что любое правильно составленное суждение должно иметь смысл. Я же говорю, что любое возможное суждение составлено правильно, и если оно не имеет смысла, то лишь потому, что мы не смогли наделить смыслом его составные части.

(Даже если мы думаем, что на самом деле это сделали.)

Так, фраза «Сократ тождественен» не сообщает ни о чем, потому что мы не придали прилагательному «тождественный» никакого значения. Выступая знаком тождественности, оно символизирует полностью отличным способом – его знаковые отношения совсем другие; почему символы в этих случаях принципиально различны. Два символа имеют общим только знак, и это случайность.

5.474. Число необходимых основных действий зависит только от системы записи.

5.475. От нас требуется лишь создать систему знаков с конкретным числом измерений – то есть с конкретным математическим многообразием.

5.476. Ясно, что речь не о числе элементарных идей, подлежащих обозначению, но о выражении правила.

5.5. Всякая функция истинности есть результат последовательного применения к элементарным суждениям действия

«(– – И) (ξ, …)».

Это действие отрицает все суждения в правой части выражения, и я называю его отрицанием этих суждений.

5.501. Когда членами выражения в скобках становятся суждения – а порядок членов внутри скобок не имеет значения, – тогда я указываю на это обстоятельство знаком формы «(ξ)». Это переменная, значением которой являются члены выражения в скобках; черточка над переменной указывает, что она представляет все значения в скобках.

(То есть если ξ имеет три значения P, Q, R, тогда (ξ) = (P, Q, R).)

Значения переменной должны быть заданы.

Задание есть описание суждений, представлением которых является переменная.

Каким образом возникает описание членов выражения в скобках, не существенно.

Мы различаем три вида описания: 1. Прямое описание: мы просто заменяем переменной константы в значениях. 2. Задание функции fx, значениями которой для x будут суждения, подлежащие описанию. 3. Задание формального правила, которое определяет создание суждений; в этом случае членами выражения в скобках будут все члены последовательности форм.

5.502. Поэтому вместо «(– – И) (ξ, …)» я пишу «N(ξ)».

Это отрицание всех значений пропозициональной переменной ξ.

5.503. Очевидно, что мы легко можем выразить принцип и способ создания суждений при помощи этого действия, и посему должно быть возможно найти для него точное выражение.

5.51. Если ξ имеет всего одно значение, тогда N(ξ) =~p (не p); если оно имеет два значения, то N(ξ) = ~p × ~q (ни p, ни q).

5.511. Как может логика – всеохватная логика, отображающая мир – использовать столь причудливые значки и манипуляции? Лишь потому, что все они связаны друг с другом в бесконечной изящной сети, образуя как бы большое зеркало.

5.512. «~p» истинно, если «p» ложно. Поэтому в суждении «~p», когда оно истинно, «p» будет ложным суждением.

Но как тогда значок «~» соотносится с реальностью? Ведь в «~p» отрицает не «~», а то общее, что присуще всем знакам этой записи, отрицающим p. Можно сказать, что есть общее правило, конструирующее «~p», «~~~p», «~p ∨ ~p», «~p × ~p» и так далее, до бесконечности. И это общее свойство отражает отрицание.

5.513. Мы можем сказать, что общим для всех символов, утверждающим вместе p и q, будет суждение «p × q»; а общим для всех символов, утверждающих p или q, будет суждение «p ∨ q».

И сходным образом мы можем сказать, что два суждения противоположны, если они не имеют ничего общего друг с другом, и что всякое суждение содержит лишь одно отрицание, поскольку для него имеется только одно суждение, находящееся полностью вовне. В записи Рассела тоже ясно, что «q : p ∨ ~p» равнозначно «q», а «p ∨ ~p» не говорит ничего.

5.514. Когда запись принята, в ней начинает действовать правило конструирования всех суждений, которые отрицают p, правило конструирования всех суждений, которые утверждают p, и правило конструирование всех суждений, которые утверждают p или q, и т. д. Эти правила равнозначны символам, и в них отражаются значения последних.

5.515. Следует показать в наших символах, что они могут быть лишь суждениями, которые комбинируются при помощи значка «∨» и ему подобных.

Дело обстоит именно так, поскольку символ в «p» и «q» предполагает «∨», «~» и т. п. Если знак «p» в «p ∨ q» не является сложным знаком, тогда он не может иметь значения, а в этом случае знаки «p ∨ p», «p × p» и т. д., имеющее то же значение, что «p», также лишаются смысла. Но если «p ∨ p» не имеет смысла, то и «p ∨ q» его не имеет.

5.5151. Должен ли знак отрицательного суждения строиться с помощью знака положительного суждения? Разве невозможно выразить отрицательное суждение посредством отрицательного факта? (Допустим, что «a» не находится в определенном отношении к «b»; из этого следует, что aRb не имеет места.)

Но на самом деле даже в этом случае отрицательные суждения создаются непрямым использованием положительных.

Положительное суждение необходимо предполагает существование отрицательного, и наоборот.

5.52. Если значениями ξ являются все значения функции fx для всех значений x, то N(ξ) = ~ (Ǝx) × fx

5.521. Я отделяю понятие «все» от функций истинности.

Фреге и Рассел ввели общность в сочетании с логическим произведением или логической суммой. Это затруднило понимание суждений вида «(Ǝx) × fx» и «(x) × fx», в которых присутствуют оба действия.

5.522. Особенностью знака общности является прежде всего то, что он указывает на логический прототип, а во-вторых, выделяет константы.

5.523. Знак общности выступает аргументом.

5.524. Если объекты заданы, тогда одновременно заданы все объекты. Если заданы элементарные суждения, тогда одновременно заданы все элементарные суждения.

5.525. Некорректно переводить суждение «(Ǝx) × fx» фразой «fx возможна», как поступил Рассел.

Достоверность, возможность и невозможность ситуации выражаются не суждением, но выражением, которое является тавтологией, осмысленным суждением или противоречием.

Прецедент, к которому мы постоянно обращаемся, должен содержаться в самом символе.

5.526. Мы можем полностью описать мир посредством обобщенных суждений, без предварительного соотнесения имен с конкретными объектами.

Для последующего перехода к обычному способу выражения нужно к выражению «имеется один и только один х, который…» просто прибавить: «и этот х есть а».

5.5261. Обобщенное суждение, подобно любому другому суждению, является составным. (Это доказывается тем фактом, что в «(Ǝx, φ) × φx» нам приходится вводить «φ» и «x» раздельно. Оба индекса, независимо друг от друга, состоят в означающем отношении с миром, как и в случае необобщенных суждений.)

Это черта сложного символа, общая для него и для других символов.

5.5262. Истинность или ложность суждения оказывает влияние на общую конструкцию мира. А пространство, которое совокупность элементарных суждений предоставляет для его конструирования, соответствует тому, которое ограничено обобщенными суждениями.

(Если элементарное суждение истинно, это означает, что существует по крайней мере еще одно истинное элементарное суждение.)

5.53. Тождественность объектов я выражаю тождественностью знаков, а не использованием знака тождественности. Различие объектов я выражаю различием знаков.

5.5301. Очевидно, что тождественность не является отношением между объектами. Это становится ясно, если рассмотреть, к примеру, суждение «(x): fx. ⊃. x = a». Это суждение говорит о том, что лишь a удовлетворяет функции f, а не о том, что только предметы, имеющие какое-либо отношение к a, удовлетворяют этой функции.

Конечно, можно сказать, что только a имеет отношение к a; но чтобы выразить это, нам потребуется знак тождества.

5.5302. Расселовское определение «=» неудовлетворительно, поскольку согласно ему мы не можем сказать, что два объекта обладают полностью одинаковыми свойствами. (Даже если это суждение не является верным ни при каких условиях, оно все равно не лишено смысла.)

5.5303. Грубо говоря, сказать о двух предметах, что они тождественны, – бессмыслица; а сказать об одном предмете, что он тождественен себе, значит не сказать ничего.

5.531. Поэтому я записываю не «f (a, b) × a = b», но «f (a, a)» (или «f (b, b)»); и не «f (a, b) × ~a = b», но «f (a, b)».

5.532. Аналогично я записываю не «(Ǝx, y) × f (x, y) × x = y», но «(Ǝx) × f (x, x)»; и не «(Ǝx, y) × f (x, y) × ~x = y», но «(Ǝx, y) × f (x, y)».

(То есть вместо, как у Рассела, «(Ǝx, y) × f (x, y)» получаем «(Ǝx, y) × f (x, y) × ∨ × (Ǝx) × f (x, x)».)

5.5321. Потому, к примеру, вместо «(x): fx ⊃ x = a» мы пишем «(Ǝx) × fx × ⊃ × fa: ~ (Ǝx, y) × fx × fy».

А суждение «Только один x удовлетворяет f ()» будет записано как «(Ǝx) × fx: ~ (Ǝx, y) × fx × fy».

5.533. Знак равенства поэтому не является существенным элементом понятийной записи.

5.534. Теперь мы видим, что в корректной понятийной записи псевдосуждения вида «a = a», «a = b × b = c × ⊃ a = c», «(x) × x = x», «(Ǝx) × x = a» и т. д. не могут быть записаны вообще.

5.535. Это также устраняет трудности, связанные с подобными псевдосуждениями.

С помощью такого подхода можно разрешить все трудности, порожденные расселовской «аксиомой бесконечности».

То, что пытается сказать эта аксиома, будет выражено в языке посредством существования бесконечного количества имен с различными значениями.

5.5351. В некоторых случаях возникает искушение использовать выражения вида «a = a» или «p ⊃ p» и им подобные. На самом деле это происходит, когда затрагиваются прототипы, то есть суждения, предметы и т. д. В «Принципах математики» Рассела выражению «p есть суждение» – что бессмысленно – соответствует символическая запись «p ⊃ p», предпосланная в качестве гипотезы некоторым суждениям, чтобы заполнить их аргументные места только суждениями.

(Не имеет смысла помещать гипотезу «p ⊃ p» перед суждением, чтобы добиться правильности формы аргумента, хотя бы потому, что в случае не-суждения как аргумента эта гипотеза становится не просто ложной, но бессмысленной, и потому, что аргументы неправильной формы делают суждение бессмысленным; посему суждение предохраняет себя от аргументов неправильной формы столь же хорошо – или столь же плохо, – как добавленная к нему бессмысленная гипотеза.)

5.5352. Сходным образом стремятся выразить фразу «Предметы не существуют» записью «~(Ǝx) × x = x». Но даже будь это суждением, разве не оказалось бы оно истинным, если бы «предметы вправду существовали», но не были тождественны себе?

5.54. В общей пропозициональной форме суждения встречаются в других суждениях только как основы истинностных действий.

5.541. На первый взгляд похоже, будто для одного суждения возможно встречаться в другом отличным способом.

Особенно в ряде пропозициональных форм в психологии, например «A верит, что p имеет место» и «A думает, что p» и т. д.

Если рассуждать поверхностно, выглядит так, будто суждение p находится в некоем отношении к объекту A.

(В современной теории познания (Рассел, Мур10 и другие) подобные суждения конструируются именно таким образом.)

5.542. Ясно, однако, что «A верит, что p», «A думает, что p» и «A говорит p» имеют форму «“p” говорит p», и это не подразумевает соотнесения факта с объектом, а подразумевает, скорее, соотнесение фактов посредством соотнесения их объектов.

5.5421. Это показывает также, что нет такого феномена, как душа – субъект и т. п., – в том смысле, в каком она понимается в нынешней поверхностной психологии.

Ведь составная душа уже не будет душой.

5.5422. Корректное толкование пропозициональной формы «A делает умозаключение р» должно показать, что умозаключением не может не иметь смысла. (Теория Рассела не удовлетворяет этому требованию.)

5.5423. Чтобы постичь сложное, нужно постичь, что его части находятся в таких-то и таких-то отношениях друг с другом.

Это, вне сомнения, объясняет также, почему имеются два возможных способа восприятия куба и прочие подобные явления. Мы наблюдаем два различных факта.

(Если я прежде всего смотрю на углы a и лишь потом на углы b, то углы a выступают вперед, и наоборот.)

5.55. Теперь мы должны априори ответить на вопрос относительно всех возможных форм элементарных суждений.

Последние состоят из имен. Поскольку же мы не в состоянии наделить множество имен различными значениями, мы также не можем задать состав элементарного суждения.

5.551. Наш основной принцип таков: если вопрос поддается логическому разрешению, его возможно разрешить без значительных усилий.

(А если мы окажемся в положении, когда, чтобы ответить на вопрос, нужно обратиться к созерцанию мира, значит, мы избрали неверный путь.)

5.552. «Опыт», который требуется для понимания логики, заключается вовсе не в том, что нечто пребывает в таком-то состоянии, но в том, что нечто есть; впрочем, это как раз не опыт.

Логика первична по отношению к любому опыту, утверждающему, что нечто есть.

Она первична по отношению к вопросу «Как?», но не к вопросу «Что?»

5.5521. Будь это не так, разве могли бы мы прибегать к логике? Выразим это следующим образом: если бы логика была, а мира не было, как может быть логика, если мир существует?

5.553. Рассел говорил, что имеются простые отношения между различными количествами предметов (индивидов). Но между какими количествами? И как это определить? Опытным путем?

(Ведь привилегированных чисел не существует.)

5.554. Задание конкретной формы является совершенно произвольным.

5.5541. Допустимо, чтобы стало возможным ответить на априори поставленный вопрос, могу ли я оказаться в положении, когда мне потребуется знак 27-местного отношения, чтобы обозначить нечто.

5.5542. Но оправданно ли вообще задавать подобный вопрос? Можем ли мы построить форму знака, не зная, что будет ей соответствовать? Имеет ли смысл спрашивать, что должно быть, чтобы что-то могло произойти?

5.555. Конечно, у нас есть некое представление об элементарных суждениях, отличное от их конкретных логических форм.

Но когда имеется система, посредством которой мы создаем символы, именно система важна для логики, а не индивидуальные символы.

В любом случае действительно ли возможно в логике оперировать формами, которые создал сам? То, чем мне приходится оперировать, должно быть чем-то, что сделало возможным их появление.

5.556. Иерархия форм элементарных суждений невозможна. Мы способны предугадать лишь то, что сами создаем.

5.5561. Эмпирическая реальность ограничена совокупностью объектов. Этот предел проявляет себя и d совокупности элементарных суждений.

Иерархии независимы от реальности и должны оставаться таковыми.

5.5562. Если мы знаем на основании строгой логики, что должны быть элементарные суждения, тогда всякий, кто понимает суждения в непроанализированной форме, должен это знать.

5.5563. На деле все суждения повседневного языка, как они есть, организованы в идеальном логическом порядке. То простейшее, что мы формулируем здесь, не есть подобие истины, но сама истина во всей ее полноте.

(Наши проблемы не абстрактны, они, пожалуй, самые конкретные из всех существующих.)