Волновой принцип Эллиотта: Ключ к пониманию рынка

φ является единственным числом, которое, будучи прибавленным к 1, дает обратное себе число: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Это родство процедур сложения и умножения приводит к следующей последовательности уравнений:

0,6182 = 1–0,618

0,6183 = 0,618 – 0,6182

0,6184 = 0,6182 – 0,6183

0,6185 = 0,6183 – 0,6184

или

1,6182 = 1 + 0,618

1,6183 = 1,618 + 0,6182

1,6184 = 1,6182 + 0,6183

1,6185 = 1,6183 + 0,6184

Некоторые взаимосвязанные свойства этих четырех основных коэффициентов перечислены ниже:

1,618 – 0,618 = 1

1,618 × 0,618= 1

1 – 0,618 = 0,382

0,618 × 0,618 = 0,382

2,618 – 1,618 = 1

2,618 × 0,382= 1

2,618 × 0,618= 1,618

1,618 × 1,618 = 2,618

Если любое число Фибоначчи, кроме 1 и 2, умножить на четыре и прибавить к определенному числу Фибоначчи, то получится другое число Фибоначчи, так что:

3 × 4 = 12; + 1 = 13

5 × 4 = 20; + 1 = 21

8 × 4 = 32; + 2 = 34

13 × 4 = 52; + 3 = 55

21 × 4 = 84; + 5 = 89

и т. д.

По мере роста новой прогрессии числа образуют третью последовательность, составленную из чисел, прибавленных к произведению четверки и числа Фибоначчи. Это делается возможным в связи с тем, что отношение между членами последовательности, отстоящими друг от друга на две позиции, равно 4,236, где число 0,236 является обратным к 4,236 и, кроме того, разностью между 4,236 и 4. Другие множители приводят к другим последовательностям, все они основаны на коэффициентах Фибоначчи.

Мы предлагаем вашему вниманию список некоторых дополнительных свойств, связанных с последовательностью Фибоначчи:

1. Никакие из двух последовательных чисел Фибоначчи не имеют общих делителей.

2. Если члены последовательности Фибоначчи пронумеровать как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д., мы обнаружим, что, за исключением четвертого члена (число 3), номер любого числа Фибоначчи, являющегося простым числом (т. е. не имеющим иных делителей, кроме себя самого и единицы), также простое число. Сходным образом, за исключением четвертого члена последовательности Фибоначчи (число 3), все составные номера членов последовательности (т. е. те, что имеют как минимум два делителя за исключением себя самого и единицы), соответствуют составным числам Фибоначчи, что и показывает приведенная ниже таблица. Обратное не всегда оказывается верным.

3. Сумма любых десяти членов последовательности делится на одиннадцать.

4. Сумма всех чисел Фибоначчи до определенной точки последовательности плюс единица равна числу Фибоначчи, отстоящему на две позиции от последнего прибавленного числа.

5. Сумма квадратов любых последовательных членов, начинающихся с первой 1, всегда будет равна последнему (из данной выборки) числу последовательности, умноженному на следующий член.

6. Квадрат числа Фибоначчи минус квадрат второго члена последовательности в сторону уменьшения всегда будет числом Фибоначчи.

7. Квадрат любого числа Фибоначчи равен предыдущему члену последовательности, умноженному на следующее число в последовательности, плюс или минус единица. Прибавление и вычитание единицы чередуются по мере развития последовательности.

8. Сумма квадрата числа Fn и квадрата следующего числа Фибоначчи Fn + 1 равна числу Фибоначчи F2n + 1. Формула Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1 применима к прямоугольным треугольникам, где сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату самой длинной стороны. Справа приведен пример, использующий F5, F6 и квадратный корень из F11.

9. Формула, показывающая отношение между двумя наиболее распространенными иррациональными числами в математике π и φ:

Fn= 100 × π2 × φ(15 – n), где φ = 0,618…, n представляет собой порядковый номер в последовательности и Fn представляет сам по себе член последовательности. В данном случае число 1 представлено только один раз, так что F1 ≈ 1, F2 ≈ 2, F3 ≈ 3, F4 ≈ 5 и т. д.

Например, пусть n = 7. Тогда

F7 ≈ 100 × 3,14162 × 0,6180339(15 – 7) ≈

≈ 986,97 × 61803368 ≈

≈ 986,97 × 0,021129 ≈ 21,01 ≈ 21.

10. Одно из удивительных явлений, которое, насколько нам известно, до сих пор не упоминалось, состоит в том, что отношения между числами Фибоначчи равны числам, очень близким к тысячным долям других чисел Фибоначчи, при разности, равной тысячной доле еще одного числа Фибоначчи (см. рис. 3–2). Так, в направлении возрастания отношение двух идентичных чисел Фибоначчи равно 1, или 0,987 плюс 0,013; соседние числа Фибоначчи имеют отношение 1,618, или 1,597 плюс 0,021; числа Фибоначчи, расположенные с двух сторон от некоторого члена последовательности, имеют отношение 2,618, или 2,584 плюс 0,034, и т. д. В обратном направлении соседние числа Фибоначчи имеют отношение 0,618, или 0,610 плюс 0,008; числа Фибоначчи, расположенные с двух сторон от некоторого члена последовательности, имеют отношение 0,382, или 0,377 плюс 0,005; числа Фибоначчи, между которыми расположены два члена последовательности, имеют отношение 0,236, или 0,233 плюс 0,003; числа Фибоначчи, между которыми расположены три члена последовательности, имеют отношение 0,146, или 0,144 плюс 0,002; числа Фибоначчи, между которыми расположены четыре члена последовательности, имеют отношение 0,090, или 0,089 плюс 0,001; числа Фибоначчи, между которыми расположены пять членов последовательности, имеют отношение 0,056, или 0,055 плюс 0,001; числа Фибоначчи, между которыми расположено от шести до двенадцати членов последовательности, имеют отношения, которые сами являются тысячными долями чисел Фибоначчи, начиная с 0,034. Интересно, что в этом анализе коэффициент, связывающий числа Фибоначчи, между которыми располагаются тринадцать членов последовательности, снова начинает ряд с числа 0,001, с тысячной доли того числа, где он начался! При всех подсчетах мы действительно получаем подобие или «самовоспроизведение в бесконечном ряду», раскрывающее свойства «самой прочной связи среди всех математических отношений».

И наконец, заметим, что (

+ 1)/2 = 1,618 и (

– 1)/2 = 0,618, где

= 2,236. 5 оказывается наиболее важным для волнового принципа числом, а его квадратный корень является математическим ключом к числу φ.

Число 1,618 (или 0,618) известно как золотое отношение, или золотое среднее. Связанная с ним пропорциональность приятна для глаза и уха. Оно проявляется и в биологии, и в музыке, и в живописи, и в архитектуре. В своей статье, вышедшей в декабре 1975 г. в журнале Smithsonian Magazine, Вильям Хоффер сказал:

«…Отношение числа 0,618034 к 1 является математической основой формы игральных карт и Парфенона, подсолнуха и морской раковины, греческих ваз и спиральных галактик внешнего космоса. В основании очень многих произведений искусства и архитектуры греков лежит эта пропорция. Они называли ее «золотая середина».

Плодовитые кролики Фибоначчи выскакивают в самых неожиданных местах. Числа Фибоначчи, несомненно, часть мистической природной гармонии, которая приятна для ощущений, приятно выглядит и даже звучит приятно. Музыка, к примеру, основана на октаве в восемь нот. На фортепиано это представлено 8 белыми и 5 черными клавишами – в целом 13. Не случайно, что музыкальный интервал, приносящий нашему слуху самое большое наслаждение – это секста. Нота «ми» вибрирует в отношении 0,62500 к ноте «до». Это всего лишь на 0,006966 отстоит от точной золотой середины. Пропорции сексты передают приятные для слуха вибрации улитке среднего уха – органа, который тоже имеет форму логарифмической спирали.

Постоянное возникновение чисел Фибоначчи и золотой спирали в природе точно объясняет, почему отношение 0,618034 к 1 настолько приятно в произведениях искусства. Человек видит в искусстве отражение жизни, которая имеет в основании золотую середину».

Природа использует золотое отношение в своих наиболее совершенных творениях – от таких мелких, как микроизвилины мозга и молекулы ДНК (см. рис. 3–9), до таких крупных, как галактики. Оно проявляется в таких различных явлениях, как рост кристаллов, преломление светового луча в стекле, строение мозга и нервной системы, музыкальные построения, структура растений и животных. Наука предоставляет все больше свидетельств того, что у природы действительно есть главный пропорциональный принцип. Кстати, вы держите эту книгу двумя из своих пяти пальцев, причем каждый палец состоит из трех частей. Итого: пять единиц, каждая из которых делится на три – прогрессия 5–3–5–3, подобная той, что лежит в основе волнового принципа.

Золотое сечение

Любой отрезок может быть поделен таким образом, что отношение его меньшей части к большей окажется таким же, как и отношение большей части ко всему отрезку (см. рис. 3–3). Это отношение равно 0,618.

Золотое сечение встречается в природе повсеместно. Человеческое тело соответствует принципу золотого сечения (см. рис. 3–9) фактически во всем, начиная от внешних размеров и заканчивая чертами лица. «Платон в своем «Тимее» пошел так далеко, – говорит Питер Томпкинс, – что рассмотрел число φ и вывел пропорции золотого сечения – всеобъемлющее математическое соотношение и увидел в нем ключ ко всей природе космоса». В XVI столетии Иоганн Кеплер, говоря о золотом, или «Божественном», сечении, написал, что фактически оно описывает все созданное и символизирует Божественное творение «по своему подобию». Пупок делит человеческое тело по принципу золотого сечения. Для статистического усреднения используется число, примерно равное 0,618. Отношение остается верным отдельно для мужчин и отдельно для женщин, что есть символ творения «по своему подобию». Является ли и прогресс человечества творением «по своему подобию»?

Золотой прямоугольник

Стороны золотого прямоугольника имеют отношение 1,618 к 1. Чтобы построить золотой прямоугольник, начните с квадрата со сторонами, равными двум единицам, потом проведите линию от середины одной стороны квадрата к одной из его вершин, образующих противоположную сторону, как показано на рис. 3–4.

Треугольник EDB прямоугольный. Около 550 г. до Р.Х. Пифагор доказал, что квадрат гипотенузы (X) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон. В данном случае Х2 = 22 + 12, или Х2 = 5. Длина стороны ЕВ, таким образом, должна быть квадратным корнем из 5. Строя золотой прямоугольник, следующим шагом продлите отрезок СD и постройте на нем отрезок EG, равный квадратному корню из 5, или 2,236 единицы длины, как показано на рис. 3–5. В построенных таким образом прямоугольниках стороны связаны золотым коэффициентом. Таким образом, и прямоугольник AFGC, и прямоугольник BFGD золотые. Доказательство этого факта следующее:

Поскольку стороны прямоугольников связаны золотым отношением, следовательно, эти прямоугольники, по определению, золотые прямоугольники.

Использование золотого прямоугольника в произведениях искусства чрезвычайно усиливает их привлекательность. Особенно сильно были очарованы золотым прямоугольником древние египтяне и греки, использовавшие его весьма часто. Не забывали о нем и художники Ренессанса, как, впрочем, и всех других наивысших моментов развития цивилизации. Большое значение золотому отношению придавал и Леонардо да Винчи. Он находил красивыми задаваемые им пропорции и говорил, что «если вещь выглядит неправильно, она не работает». Многие из его картин выглядели прекрасно, потому что он сознательно использовал золотой прямоугольник для усиления их привлекательности. Античные и современные архитекторы, и в особенности строители Парфенона в Афинах, неизменно придерживались правила золотого прямоугольника.

Очевидно, на человека, созерцающего форму, пропорции, связанные с числом φ, оказывают воздействие. Исследователи обнаружили, что люди находят такие формы эстетически привлекательными. Например, при проведении эксперимента людей просили выбрать из группы различных прямоугольников один. В общем случае выбор склонялся к прямоугольникам, форма которых была близка к золотому. Когда испытуемых просили произвольно разделить отрезок, они были склонны делить его в отношении φ. Окна, картинные рамы, здания, книги и кладбищенские кресты часто являются приближениями к золотому прямоугольнику.

Как и в случае золотого сечения, значение золотого прямоугольника не исчерпывается его красотой, но, по-видимому, обслуживает и функциональные задачи. Среди множества примеров наиболее удивительный состоит в том, что двойная спираль ДНК сама создает точные золотые прямоугольники, изгибаясь с правильными интервалами (см. рис. 3–9).

В то время как золотое сечение и золотой прямоугольник представляют собой статичные формы природной или рукотворной красоты и функциональности, наиболее ярким представлением эстетически приятного динамизма, упорядоченного роста или прогресса является одна из наиболее замечательных форм во Вселенной – золотая спираль.

Золотая спираль

Для построения золотой спирали может быть использован золотой прямоугольник. Каждый золотой прямоугольник может быть поделен на квадрат и меньший золотой прямоугольник, как показано на рис. 3–6. Процесс такого деления теоретически может продолжаться бесконечно. Нарисованные в результате квадраты закручиваются внутрь, мы их пометили как A, B, C, D, E, F и С

Пунктирные отрезки, которые сами имеют золотое отношение друг к другу, делят прямоугольник по диагоналям и указывают теоретический центр закручивающихся квадратов. Начав рядом с этой точкой, мы можем нарисовать спираль, показанную на рис. 3–7, соединив кривой точки пересечения закручивающихся квадратов в направлении их увеличения. По мере того как квадраты закручиваются внутрь и наружу, точки их соединения указывают путь золотой спирали.

В любой точке золотой спирали отношение длины дуги к ее диаметру равно 1,618. Отношение диаметров и радиусов, отстоящих друг от друга на 90°, в свою очередь, равно 1,618, что и показано на рис. 3–8.

Золотая спираль, являющаяся логарифмической, или равноугольной, спиралью, не имеет границ и обладает постоянной формой. Из любой своей точки спираль может быть бесконечно продолжена как внутрь, так и наружу. Центр никогда не достигается, и наружу спираль простирается бесконечно. Ядро логарифмической спирали на рис. 3–8, если посмотреть на него под микроскопом, имело бы тот же вид, что и ее продолжение, если на него посмотреть с расстояния световых лет.

Если фигуры Евклидовой геометрии (может быть, за исключением эллипса) в типичном случае подразумевают статичность, спираль содержит движение: рост и уменьшение, развертывание и сжатие, прогресс и регресс. Логарифмическая спираль оказывается сущностным выражением явления естественного роста, обнаруживаемого во Вселенной повсеместно. Ее придерживаются и такие мелкие движения, как движение атомарных частиц, и такие огромные, как движение галактик. Как указывал Дэвид Бергамини в своей «Математике», написанной для серии «Time-Life Books’ Science Library», хвост кометы изгибается по направлению от Солнца по логарифмической спирали. Бактерии растут с ускорением, график которого имеет вид логарифмической спирали. Электронный микроскоп, наведенный на искусственный кристалл, обнаруживает логарифмические спирали. Еловые шишки, морские коньки, раковины моллюсков и улиток, океанские волны, папоротник, рога животных и расположение семечек подсолнуха или маргаритки – все это образует логарифмические спирали. Ураганы, водовороты и галактики внешнего космоса закручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, составленный из трех костей, образующих по отношению друг к другу золотое сечение, принимает спиральную форму в согнутом виде. На рис. 3–9 мы видим отражение этого космического влияния во множестве форм. Миллионы лет и световые годы разделяют еловую шишку и спираль Млечного Пути, но устройство их одинаково: коэффициент 1,618, вероятно, есть первичный закон, управляющий динамикой природных явлений. Золотая спираль разворачивается перед нами как символ одного из величайших замыслов природы, как сила нескончаемого расширения и сжатия, статичный закон, управляющий динамическими процессами и основанный на коэффициенте 1,618 – отношении золотой середины.

Значение числа φ