Журнал «Компьютерра» № 27-28 от 24 июля 2007 года (695 и 696 номер)

Второй феномен – это удивительная способность к суммированию, к интеграции действий отдельных элементов сложных систем, в результате чего у целого появляются свойства, которыми не обладают части (как в примере с тигром). Сложные системы выступают как интеграторы действий своих элементов.

Один классик философии говорил: наука исследует не конкретный аспект реальности, а смотрит на весь мир с определенной точки зрения. Кибернетика смотрит на него с позиций обратной связи, а на общие свойства интеграторов в природе, обществе, науке, культуре должна смотреть, ну, например, интегрика.

Сейчас значительная часть времени научных сотрудников уходит на написание заявок на гранты научных фондов. Попробуем и мы набросать заявку на разработку интегрики. Может быть, с первого раза грант и не получим, но все же попытаемся определить новое направление научного поиска…

Прелести интегрирования

ПОЭЗИЯ

Единица – вздор,

Единица – ноль,

Один —

даже если очень важный —

не подымет

простое

пятивершковое бревно,

тем более

дом пятиэтажный.

Владимир Маяковский

Согласно рекомендациям фондов-грантодателей, при написании заявок стоит вспоминать научных предшественников. Конечно, идеи интегрики ведут родословную от древних греков. Во времена Архимеда ученые уже умели находить сумму членов арифметической и геометрической прогрессий. Основополагающий шаг был сделан Ньютоном и Лейбницем, которые для суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых ввели понятие интеграла.

Центральный же вопрос интегрики поставил философ Георг Вильгельм Фридрих Гегель (1770—1831). В качестве одного из законов диалектики он выдвинул положение о переходе накапливающихся количественных изменений в качественные. Другими словами, мы можем интегрировать изменения до какого-то предела, после которого будет возникать нечто новое, иное, не укладывающееся в исходную математическую схему, не дающее возможности делать надежные предсказания. Наука о нелинейных процессах, бурно развивавшаяся в ХХ веке, помогла многое прояснить, но не меньше осталось на долю исследователей следующего века.

Приведем некий пример. Уже в 70-е годы геофизики и метеорологи поняли, что как бы точно мы ни измеряли данные на одной сейсмо– или метеостанции, у нас нет шансов по этим данным предсказать землетрясение или погоду. Но если мы проинтегрируем по пространству показания станций, то картина изменится как по мановению волшебной палочки. Правда, пределы интегрирования надо выбирать с умом (этим геофизики и заняты). Для прогноза 8-балльного землетрясения интегрируем по кругу радиуса 1200 км. Землетрясение декабря 2004 года в Индийском океане, которое породило цунами, унесшее около 300 тысяч жизней, предсказано не было. Дело в том, что это был 9-балльник, которых за время наблюдений не случалось. А для таких землетрясений, как выяснилось, надо интегрировать по кругу радиусом в 2000 километров, в котором и «готовится» такое землетрясение.

То есть, в отличие от математики, где можно проинтегрировать многое и по-разному, в естествознании, и не только в нем, существуют естественные пределы, где эта процедура имеет смысл, но за границами которых надо учитывать нечто иное, где количество переходит в качество, где из отдельных частей возникает структура, где не обойтись без тщательного исследования и учета связей элементарных кирпичиков целого.

Яркий пример исследования пути от простого к сложному дает нейробиология – область исследований, занимающаяся изучением одного из самых сложных объектов науки – мозга.

Применяя общее к Частному

Самое важное открытие нейроанатомии было сделано в 1875 году итальянским анатомом К. Гольджи. Он изобрел метод, при котором одновременно окрашивается, по-видимому, в случайном порядке, лишь очень малая доля всех клеток данного участка мозга, но зато эти клетки окрашиваются полностью. До сих пор неизвестно, почему работает этот метод, окрашивая одну из сотни клеток, не затрагивая остальные. Испанский ученый С. Рамон-и-Кахоль посвятил свою научную жизнь приложению этого метода ко всем частям нервной системы. Его книга "Гистология нервной системы человека и позвоночных", опубликованная в 1904 году, до сих пор считается одной из фундаментальнейших монографий по нейробиологии.

Откуда же берутся поразительные возможности мозга? Общий ответ, появившийся после работ Рамона-и-Кахоля (см. врезку) и развития первых моделей нервных сетей, состоит в следующем. Нервная клетка – нейрон, по нынешним представлениям, выступает как интегратор воздействия от других, связанных с ним нейронов. В простейшей модели, предложенной Мак-Каллоксом и Питтсом, просто суммируются с разными весами сигналы от других нейронов

И если Si выше некоторого предела, то i-й нейрон вырабатывает импульс (или меняет свое состояние в модели), что передается остальным нейронам. То есть мозг в самом грубом приближении представляет собой множество связанных между собой интегрирующих систем. И его возможности поистине феноменальны для скромной элементной базы, на которой он построен! В самом деле, скорость срабатывания нервной клетки в миллион раз меньше, чем вентиля в компьютере, и скорость передачи информации также в миллион раз меньше (поскольку между нейронами информация передается с помощью выделяемых одними и воспринимаемых другими веществ – нейромедиаторов – а это медленный процесс). Но вымирание или утрата значительной части нейронов мозга сплошь и рядом не ведут к утрате запомненной информации, что совсем уж немыслимо для нынешних компьютеров. А где же «спрятаны» память, вдохновение, эмоции, логика, интуиция? Современная нейронаука полагает, что в особенностях того, как интегрируют нейроны и как они организованы в сети.

Интеграторы в науке и технике

ДЕКЛАРАЦИЯ

Мы должны быть радикальными, то есть должны добраться до сути дела. И мы должны продолжить действительно фундаментальную перестройку. Это проект, по крайней мере, на 50 лет. И этот проект общемирового обхвата, он не может быть осуществлен только в некоторых местах или частично, хотя действия на местах должны играть главную роль в этом преобразовании. И для него требуется на полную мощность использовать человеческое воображение. Но это возможно.

И. Валлерстайн

Нейроны обмениваются молекулами нейромедиаторов… А чем обмениваются люди, составляющие общество?

На самом очевидном уровне – словами. Слова являются удивительно емкими и эффективными интеграторами. Естественно, они огрубляют реальность. "Я устал" в устах одного человека означает, что ему пора прогуляться, а в устах другого – что ему жить невмоготу. Но именно эта способность языка сжимать целую гамму состояний и ощущений в один знак и делает возможным общение. Философ и логик Витгенштейн писал: "Границы моего языка суть границы моего мира". Конечно, это преувеличение – мир гораздо богаче. Влюбленные и больные знают, как трудно выразить свое состояние.

Следующий шаг – образы, прописные истины, "буквари". Все это может выступать в качестве интеграторов смыслового уровня. Неважно, помнят ли два собеседника "Евгения Онегина", "12 стульев", "Мастера и Маргариту", одни и те же песни бардов. Но если помнят, то их общение становится совсем другим.

В 70-е годы в Ленинградском университете под началом математика, механика и философа Рэма Георгиевича Баранцева работал семинар по семиодинамике – науке о развитии знаковых систем (а в идеале и смыслов), науке, которую еще предстоит построить. Но, видимо, ее время уже пришло. Время, когда большое внимание вызвала книга Докинза "Эгоистичный ген". В ней была высказана и обоснована парадоксальная на первый взгляд мысль. По мнению автора, не мы с вами, а единицы наследственной информации – гены – являются истинными субъектами эволюции. Они меняют тела, передаваясь от одного поколения особей к другому. Именно с ними «играет» эволюция – тут и мутации, и естественный отбор, и проверка на соответствие меняющейся реальности, и способности успешно конкурировать с другими генами. Не правда ли, оригинальная идея?

Развивая ее, ученые все чаще говорят о «мемах» – единицах ценной, общезначимой, передаваемой информации, которые человек может запоминать и передавать дальше. И знаете, «мемы» ведь способны конкурировать за внимание, за максимально широкое распространение! [Причины конкуренции понятны – мы не можем запомнить слишком много и слишком многому научить студентов. Приходится редактировать и выбирать. Психологи называют такое положение дел ситуацией форсированного выбора] Тут тоже присутствуют и модификации (мутации), и борьба, а также ошеломляющие потрясения, когда какой-нибудь «мем» становится общеизвестным и принятым элементом общей культуры. Ведь то, что выбрано, сознательно или стихийно, наделено огромной интегрирующей силой. Примеры: "пушкинская эпоха", "Петербург Достоевского", "идеалы античности". Десятки блестящих поэтов, тысячи действующих лиц и сотни тысяч участников социально-культурных процессов оказываются «связаны» с творчеством и жизнью одного человека. Здесь и лежат корни представлений о том, что почти все в истории сделано очень немногими [Хотя на самом деле, здесь имеют место степенные распределения ранг–размер. Кстати, во многих распознающих нейронных сетях реализовано что-то подобное, и реализован тот же принцип "победитель получает все"].

…Впрочем, не забывайте, мы пишем заявку на грант, так что, согласно известным рекомендациям, следует обрисовать практическую важность проблем, которые рассматривает интегрика.

Человек обладает удивительными способностями интегрировать разнородную информацию. В частности, исключительно важно было бы понять, как интегрируются знания в процессе образования. Очевидно, что запоминается не все. Крылатый афоризм гласит: "Образование – есть то, что остается, когда все выученное забыто".

Но что все-таки остается?!

Исследователь из Московского физико-технического университета Михаил Капустин считает, следуя нейросетевой метафоре, что остаются связи. Связи между утверждениями, фактами, схемами рассуждений – то есть сеть. Именно эта сеть и формируется в процессе обучения. (Отсюда понятно, почему хороший учитель старается, чтобы задачу решали несколькими способами, – он плетет сеть.)

В научной деятельности, казалось бы, выделить интеграторы гораздо проще. Но, как показывает знакомство с рядом монографий по науковедению, и тут теория отсутствует. На самом крупном уровне, видимо, в качестве интеграторов выступают картины мира, парадигмы [Слово «парадигма» ввел американский философ науки Томас Кун, вложив в него два смысла. Во-первых, это крупное достижение, меняющее стандарт научной работы. Во-вторых, "генератор головоломок" различной трудности, которыми будут заниматься последователи], стили научной деятельности. На более приземленном, конкретном уровне интеграторы – это, конечно, выдающиеся учебники. Примеры очевидны: Библия (учебник жизни), геометрия Евклида. Менее масштабные, но не менее наглядные примеры – курс теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, фейнмановские лекции по физике.

Многие научные школы, сообщества исследователей, чтобы донести свою информацию, объединить последователей выпускают серии книг. Яркий пример – книги французского сообщества математиков, писавших под псевдонимом Бурбаки, оказавшие большое влияние на математику XX века в целом. Синергетика, или теория самоорганизации, во многом состоялась благодаря почти сотне томов шпрингеровской серии по синергетике, которую редактировал Герман Хакен.

Труды конференций обычно «живут» недели, статьи в научных журналах – около года, монографии – несколько лет [В нынешней России книгоиздатели требуют, чтобы книга была полностью распродана за два года]. Учебники живут значительно дольше.

Поразительно эффективными "долгоиграющими интеграторами" оказались ясно сформулированные нерешенные задачи. Три классические задачи математики античности (трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба) прошли через 2000 лет и дали замечательные всходы, преобразившие математику. ХХ век в "чистой математике" прошел под сенью двадцати проблем, сформулированных Давидом Гильбертом [А, например, древняя мечта о плаще-невидимке оказалась удивительным интегратором для физиков, оптиков, математиков. Научной сенсацией 2006 года стал "эльфийский плащ" – конструкция, позволяющая делать невидимым помещенный в нее предмет и саму себя. Экспериментаторы представили такой «плащ-невидимку» для волн определенной длины. И сейчас, рассматривая обширную библиографию, относящуюся к этой проблеме, видишь, как много разных людей десятилетия подбирались к этой задаче].

Огромной интегрирующей силой обладают крупные научно-технические проекты. Ядерный проект, освоение космоса, полет на Луну… Их роль особенно велика в силу их междисциплинарности – одна технология играет роль локомотива, «вытягивая» за собой десятки, а то и сотни других. Но если этого нет, то сгодятся и суррогатные интеграторы – "критические технологии", "ключевые направления", прогноз тех рубежей, на которые должны выйти технологии через определенный срок. Жаль, что у новой России нет ни амбициозных проектов, ни серьезных научно-обоснованных прогнозов и планов. Пока нет…

Реалии эпохи перемен

Трудно взглянуть на наше время глазами потомков. Возможно, они в сегодняшних днях увидят кризис, признаки распада цивилизации. Возможно, будут сожалеть об упущенных возможностях. Но в любом случае они будут рассматривать нынешнее время (или безвременье?) как эпоху выбора.

Роль интеграторов в эпоху перемен возрастает неизмеримо. Главным ресурсом становится внимание и выбор покупателей, электората, элит. И миром правят те, кто может направлять этот выбор. Не случайно одна из самых удачных книг по современному PR носит красноречивое название "Ushi mashut oslom" [Гусев Д.Г., Матвейчев О.А., Хазеев Р.Р. Черпаков С.Ю. Уши машут ослом. Современное социальное программирование. Alex J. Bakster Group, 2002]. Этот круг проблем рассматривает динамическая теория информации [Чернавский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. – М.: Едиториал УРСС, 2004] – одно из направлений синергетики, которое имеет совершенно конкретное практическое значение. Например, если Россия рассматривает себя как уникальную самостоятельную цивилизацию, как центр интеграции в евразийском регионе, то газовые и нефтяные скандалы с Украиной и Белоруссией – абсурд, стратегическая ошибка утратившей ориентиры элиты. Если же страна осуществляет "цивилизованный развод" по американскому сценарию с постсоветскими государствами, встает естественный вопрос об устойчивости этой общности и процессов интеграции. На двух стульях нельзя сидеть вечно.

Кстати, у социальной интеграции есть противоположность – дезинтеграция, "упрощение человека", что является сегодня мировой тенденцией. Ее проявления различны. Тут и сознательное снижение уровня массового образования для населения большинства стран. И формирование психотипа «homo-TV» – человека телевизионного – убийцы собственного времени [Социологи утверждают, что граждане России ежедневно в среднем уделяют примерно по 45 минут воспитанию детей и 3 часа 40 минут телевизору. Отсюда и нынешний упадок науки (в конечном счете зовущей человека вверх), которая в восприятии все более невежественных масс все чаще оказывается на одной доске с религией, эзотерикой, а то и с обычными суевериями].

В XXI веке нам предстоит найти новые интегрирующие начала как для всего человечества, так и для отдельных цивилизаций. XIX век был веком геополитики, ХХ – геоэкономики, XXI веку, если он для человечества состоится, видимо, суждено стать веком геокультуры.

Ну вот мы и очертили основную линию заявки на грант, а также основную проблематику интегрики – подхода, который предстоит создать. Конечно, осталось уточнить список исполнителей, заполнить формы с "заделом", "планом работ", "сметой проекта" и "сравнением с мировым уровнем". Впрочем, все это технические детали. Ну а теперь о самом главном.

Интеграл счастья

Когда выступаешь в качестве эксперта какого-нибудь проекта, то, пробегая глазами привычные формулировки, стремишься вникнуть не только в ту конкретику, которую предлагают коллеги, но и в то, что написано между строк. В сверхзадачу, которую они имеют в виду и на пути к которой просят поддержки. В хороших проектах она непременно есть. Хотя академические каноны и не рекомендуют формулировать ее в явном виде.

Но не для нашей заявки, а для читателей этой статьи, пожалуй, можно сказать о сверхзадаче интегрики явно.

Исключительно важной, интересной и, без преувеличения, захватывающей проблемой являются интегрирующие способности человека, на «выходе» которых появляются эмоции. Вспомните мгновенья яркого, переполняющего вас счастья… Очевидно, это состояние достижения целого, синтез, где, возможно, каким-то удивительным образом сочетается и рациональная, и эмоциональная, и интуитивная компонента. Но каковы алгоритмы этого синтеза? Что и как интегрируется?

…Журавль в небе прекрасен. Главное, что мы его увидели. Может быть, со временем мы научимся понимать счастье. И это не помешает нам его ощущать.

Опираясь на Гегеля, отталкиваясь от Пригожина…

Автор: Ваннах Михаил

Когда в конце эры противоборства сверхдержав Френсис Фукуяма провозгласил «Конец истории», он оперировал категориями философии Гегеля. Правда, дальше все пошло совсем не так, как предполагал ученый американец.

Вместо благостного торжества планетарного либерализма – югославская резня, сомалийское "падение Черного Ястреба", 9/11 и затяжная возня в Ираке. Правда, прусский мыслитель в этом не виноват. Фукуяма в том же эссе, что прославило его на весь мир, признался, что Гегеля он не читал, а узнал о нем из рассказа профессора. Как говорится, "мы диалектику учили не по Гегелю…" А зря!

Философская прелюдия

ЦИТАТА

Пускай машины занимаются вычислениями, – предостерег [философ], – а уж о Вечном и Непреходящем позаботимся мы! Согласно закону, поиски Абсолютной Истины наша прерогатива. Что, если проклятая машина действительно найдет ее? Мы же лишимся работы. Иначе говоря, какой смысл ночи напролет спорить о существовании Бога, если эта поганая железка к утру выдаст номер его телефона?

Дуглас Адамс, «Автостопом по Галактике»

Дело в том, что и классическая, и социальная инженерии начала XXI века на практике вплотную столкнулись с такими проблемами, которые в первой половине века XIX были областью парения духа лишь самых проницательных философов. Таких, каким мы помним Георга Фридриха Вильгельма Гегеля (1770—1831).

Казалось бы, Гегель был самым оторванным от практики мыслителем – философия являлась для него всем [Всем в области идей, содержания философии! В быту и личной жизни это был умеренный и аккуратный бюргер, весьма лояльный к начальству, тем самым властям карликовых королевств, которых так беспощадно высмеял Эрнст Теодор Амадей Гофман, записавший "Житейские воззрения кота Мурра"]. Другие любомудры старались постичь смысл сущего, а в системе Гегеля философией пыталось стать само сущее, стремясь превратиться в чистое мышление.

Оторванные от жизни спекуляции?

Но мы живем в эпоху, когда все более и более «мыслящими» становятся все более и более обычные вещи. Большинство процессоров трудятся не в компьютерах, но в embedded system. В телевизорах и радиоприемниках. В стиральных машинах и холодильниках. Делая среду обитания все более и более интеллектуальной, причем не только уменьшаясь в размерах, но и становясь все менее и менее "материальными". Ведь все большую роль играют в таких приборах – начиная с тривиальнейшего тоннельного диода – квантовые эффекты, равно отсутствующие в макромире и не постигаемые common sense, обыденным здравым смыслом. Они подвластны лишь абстрагированию, оперирующему категориями самого что ни на есть чистого мышления.

Мышления, до которого воспарял Гегель. Для него даже Творец был только философствующий ум, лишь в совершенной философии достигавший собственного абсолютного совершенства.

Опять абстрактно и удалено от жизни?

Но Гегелю принадлежит уникальное определение науки. Ни как процесса накопления и обработки эмпирического материала, материала все новых и новых наблюдений и опытов – того, чем занимаются экспериментаторы. Ни как характерного для теоретиков построения общих идей по поводу частных явлений.

Истинная наука, по Гегелю, есть САМОТВОРЧЕСТВО РАЗУМА. Именно в ней, в науке, "абсолютное преобразует себя в объективную полноту, в совершенное, само на себя опирающееся целое, не имеющее вне себя основания, но основанное только через само себя в своем начале, середине и конце".

Возьмем популярных в России НАУЧНЫХ фантастов. "Волны гасят ветер" братьев Стругацких, финальный роман цикла о Мире Полудня. Там люди, приобретшие новое качество – люденов, – занимаются Синтезом Разума. Вот книги Станислава Лема. "Фиаско", завершающее цикл о пилоте Пирксе, и "Осмотр на месте", венчающий приключения звездопроходца Ийона Тихого. В «Фиаско» – автоэволюция, творение разумом самого себя. В "Осмотре на месте" – превращение природной среды в полностью искусственную и разумную. Предел воображения фантастики до тех пор, пока она остается научной. И – ИНЖЕНЕРНЫЕ задачи если не настоящего, то совсем уже недалекого будущего.

Но в категориях философии, гусиным пером при свете свечей, прусский мудрец писал об этом два века назад.

Вот один образ, использовавшийся Гегелем, в старом переводе позапрошлого века. "Если зародыш сам по себе есть будущий человек, то он еще не человек сам ДЛЯ СЕБЯ; таким становится он, лишь когда его разум постигнет развитие того, что составляет его сущность".

Наверное, тем, кто работает в сфере Искусственного Интеллекта, и даже не теоретикам, а инженерам, есть смысл повесить эту цитату над столом, вместе с Минским и Курцвайлем, и познакомиться подробнее с диалектическим методом Гегеля. С этим змеем чистой диалектики, рождаемым из ничего, из совершенно бессодержательного понятия чистого бытия, набирающим силу в противоречиях и конфликтах и спиралью взлетающим в небеса, сбрасывая с себя эмпирику.

Количественные изменения в какой-то момент рождают новое качество.

Но это, напомним, категории философии. А когда же и как человечество столкнулось с эффектом качества, рожденного количественными изменениями, в позитивных науках и инженерной практике?

Фактор масштаба

Еще во времена феодализма с фактором масштаба столкнулись при строительстве зданий культового назначения. В 1472 году в Москве строится Успенский собор – главный кафедральный храм, в котором совершался государственный акт "посажения на стол" великого князя, кстати, вступившего в брак с византийской принцессой Софьей Палеолог. Храм строился на месте старого Успенского собора XIV века. Московские зодчие Кривцов и Мышкин возвели его по образцу Успенского собора во Владимире, – заметьте, конструировалась гиперреальность, в которой Иван III выглядел бы и наследником могучих владимирских князей, и в то же время – византийских кесарей. Двуглавый орел императоров пришелся здесь весьма ко двору…

Но подвела строительная механика. Почти законченный храм, вызывавший восхищение современников, рухнул в 1474 году. Дело было в том, что он ПРЕВОСХОДИЛ по размерам владимирский прототип, и выбранная конструкция не обеспечивала структурной прочности. (Разговоры о коррупции и низком качестве раствора оставим на совести псковских зодчих, привлеченных в качестве экспертов.)

Короче говоря, реконструкцию Кремля предоставили розмыслу итальянца Фиораванти, прозванному "ради хитрости его художества" Аристотелем. Именно он и возвел Успенский собор (1475–79), создав, на базе строительных технологий Возрождения, в том числе и расчетных, шедевр, в котором изысканность владимирской традиции слилась с суровым лаконизмом традиции новгородской.

Но это – статика. И самый что ни на есть классический сопромат. А когда европейская наука столкнулась с влиянием масштаба на динамические процессы?

Трудности перевода

ЦИТАТА

Нация, которая стремилась обеспечить за собою несоразмерную долю благ морской торговли, прилагала все старания для исключения из участия в них других наций или присвоения себе монополии мирным законодательным путем, или запретительными постановлениями, или, – когда эти пути не приводили к цели, – прямым насилием.

Алфред Тайер Мэхэн, «ВлиЯние морской силы на историю 1660—1763»

Это произошло во времена абсолютизма с его господствующим экономическим учением – меркантилизмом, с нуждой абсолютных монархий во все больших и больших суммах денег на содержание постоянных армий, бюрократий и, конечно же, себя, любимых. А большие деньги приносила всегда международная торговля. И когда товарообмен вышел из Средиземноморья, освоенного еще античностью, в океаны, потребовалось резкое увеличение размеров кораблей с резким повышением их мореходных свойств.

Но кроме «сопроматовских» проблем масштабирования, типичных и для наземных сооружений, обнаружились проблемы новые. Динамические.

Дело в том, что, строя увеличенную копию корабля, являвшегося отличным "ходоком", корабелы обычно получали не устраивавший их результат. Хотя обводы были скопированы точно. И – наоборот. Результаты при изменении масштаба разочаровывали…

Проблема требовала решения. Во Франции, пытавшейся завладеть властью над морями, в 1775 году проводились опыты академиков д’Аламбера, Кондорсэ и Боссю по выявлению законов сопротивления водной среды. В Англии, океанским первенством владевшей, проводил в 1795–98 годах, в Гренландском доке, близ Лондона, весьма обстоятельные для своего времени, опыты Бофуа.

Задача была решена лишь в 1870 году Вильямом Фрудом (William Froude, 1810–79). Применив к сопротивлению жидкой среды принцип механического подобия систем, сформулированный еще Ньютоном, Фруд ввел критерий Fr, позволяющий воспользоваться законом подобия в приложении к сопротивлению корабля и геометрически подобной ему модели.

Критерий, или число Фруда, характеризует соотношение между инерционной силой и силой тяжести, действующими на элементарный объем жидкости или газа. Fr = v2/gl, где v – скорость течения (или скорость движущегося тела), g – ускорение силы тяжести, l – характерный размер потока или тела.