Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Подобная проверка действий, без сомнения, не оставляет желать лучшей в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее надежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; не только перестановка цифр, но, иной раз, даже и замена одних другими остаются при такой проверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, потому что не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием проверки было бы неосмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одной лишь проверкой с помощью девятки, но производили еще дополнительную проверку — чаще всего с помощью семерки. Этот прием основан на том же "правиле остатков", но не так удобен, как способ девятки, потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (а при этом легко возможны ошибки в действиях самой проверки).

Две проверки — девяткой и семеркой — являются уже гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной, будет уловлено другой. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов кратная числу 7 х 9 = 63. Так как подобная случайность все же возможна, то и двойная проверка не дает полной уверенности в правильности результата.

Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на одну или две единицы, можно ограничиться только проверкой девяткой. Дополнительная проверка семеркой чересчур обременительна. Только тот контроль хорош, который не мешает работе.

Если тем не менее, выполняя ответственное вычисление, вы пожелаете для надежности произвести двойную проверку, то вместо делителя 7 лучше пользоваться делителем 11. При этом дело можно значительно упростить, применив следующий удобный признак делимости на 11: число разбивают на грани справа налево, по две цифры в каждой (самая левая грань может заключать и одну цифру); грани складывают, и полученная сумма будет "равноостаточна" с испытуемым числом по делителю 11: сумма граней дает при делении на 11 тот же остаток, что и испытуемое число.

Поясним сказанное примером. Требуется найти остаток от деления 24 716 на 11. Разбиваем число на грани и складываем их:

2 + 47 + 16 = 65.

Так как 65 при делении на 11 дает в остатке 10, то и число 24 716 дает при делении на 11 тот же остаток.

Я предлагаю этот способ потому, что он одновременно дает и число, равноостаточное с испытуемым также по делителю 9. Таким образом, мы имеем возможность удобно произвести проверку сразу посредством двух делителей: 9 и 11. От такой проверки может ускользнуть только ошибка, кратная 99, то-есть весьма маловероятная.

ХОРОШО ЛИ МЫ МНОЖИМ?

Старинные способы умножения были неуклюжи и неудобны, но так ли хорош наш нынешний способ, чтобы в нем невозможны были уже никакие дальнейшие улучшения? Нет, и наш способ не является совершенным; можно придумать еще более быстрые или еще более надежные. Из нескольких предложенных улучшений укажем пока только одно, увеличивающее не быстроту выполнения действия, а его надежность. Оно состоит в том, что при многозначном множителе начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Выполненное на стр. 44 умножение 8713 х 264 примет при этом такой вид:

Как видим, последнюю цифру каждого частного произведения подписывают под той цифрой множителя, на которую умножают.

Преимущество подобного расположения в том, что цифры частных произведений, от которых зависят первые, наиболее ответственные цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку меньшая. (Кроме того, способ этот упрощает применение так называемого "сокращенного" умножения о котором здесь мы распространяться не можем.)

"РУССКИЙ" СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

Вы не можете выполнить умножение многозначных чисел, хотя бы даже двузначных, если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, то-есть того, что называется таблицей умножения. В старинной "Арифметике" Магницкого, о которой мы уже упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких — чуждых для современного слуха — стихах:

Аще кто не твердит таблицы и гордит, Не может познати числом что множати И в пользу не будет, аще ю забудет. И во всей науки, несвобод от муки, Колико не учит, туне ся удручит

Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Вот пример:

32 х 13

16 х 26

8 х 52

4 х 104

2 х 208

1 х 416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

32 х 13 = 1 х 416.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?

Народный способ легко выводит из этого затруднения. Надо — гласит правило — в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

19 х 17

9 х 34

4 х 68*

2 х 136*

1 х 272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

17 + 34 + 272 = 323.

На чем основан этот прием?

Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что

19 х 17 = (18 + 1) х 17 = 18 х 17 + 17,

9 х 34 = (8 + 1) х 34 = 8 х 34 + 34 и т. д.

Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

ИЗ СТРАНЫ ПИРАМИД

Весьма вероятно, что описанный способ дошел до нас из глубочайшей древности и из отдаленной страны — из Египта. Мы мало знаем, как производили арифметические действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный документ — папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта. — это так называемый "папирус Ринда", относящийся ко времени между 2000 и 1700 годом до нашей эры[16] и представляющий собой копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец[17] Аамес, найдя "ученическую тетрадку" этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера — вместе с их ошибками и исправлениями учителя — и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:

"Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей… всех тайн, сокрытых в вещах.

Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Аамесом".

Египетское изображение писца. Писцы в древнем Египте принадлежали к третьему классу жрецов; они заведовали землями и строительной частью храма. Обучение писца наукам, требующимся для этой должности, продолжалось 12 лет.

Египетские цифры иератического письма из папируса Ринда.

В этом интересном документе, насчитывающем за собой около сорока веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):

Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны пирамид в современную эпоху. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 х 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17

1 17 +

2 34 +

4 68

8 136

16 272 +

и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком то-есть 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 х 17) + (16 х 17) = 19 х 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему крестьянскому (замена умножения рядом последовательных удвоений).

Трудно сказать, у одних ли наших крестьян был в ходу такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно "русским крестьянским способом"; в Германии крестьяне кое-где хотя и пользуются им, но также называют его "русским".

Чрезвычайно интересно было бы получить от читателей сведения о том, применяется ли сейчас где-нибудь этот древний способ умножения, имеющий за собой такое долгое и оригинальное прошлое. Следовало бы вообще с большим вниманием относиться к народной математике: вникать в употребляемые народом приемы счета и измерений, собирать и записывать эти памятники народного математического творчества, дошедшие до нашего времени из глубин седой старины.

На это давно указывал историк математики В. В. Бобынин[18], предложивший даже краткую программу собирания памятников народной математики. Не лишним будет, пожалуй, привести здесь составленный им перечень того, что именно следует собирать и записывать:

1) счисление и счет, 2) приемы меры и веса, 3) геометрические сведения и их выражение в постройках, нарядах и украшениях, 4) способы межевания, 5) народные задачи, 6) пословицы, загадки и вообще произведения народной словесности, имеющие отношение к математическим знаниям, 7) памятники древней народной математики, находящиеся в рукописях, музеях, коллекциях и т. д. или находимые при раскопках курганов, могил, городищ и проч.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

91 + (5823/647) = 100;

94 + (1578/263) = 100;

96 + (1428/357) = 100

Глава 4

НЕДЕСЯТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал когда-то для читателей старого распространенного журнала[19] в качестве "задачи на премию".

Вот она:

"Загадочная автобиография

В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:

"Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 11 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 руб., из которых 1/₁₀ приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц" и т. д.

Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?"

Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления — вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: "спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…" Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 — наибольшая в этой системе (как 9 — в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятеричной системе счисления, то-есть по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором — не десятки, а пятерки; на третьем — не сотни, а "двадцатипятерки" и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки "44", означает не 4 х 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 х 5 + 4, то-есть 24.

Точно так же число "100" в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятеричной системе, то-есть 25. Остальные числа записки соответственно означают:

Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:

Я окончил курс университета 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 6 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал в месяц 50 руб., из которых 1/₅ приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 руб. в месяц.

Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятеричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:

119:5 = 23, остаток 4.

Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:

23:5 = 4, остаток 3.

Это показывает, что во втором разряде (пятерок) будет цифра 3, а в третьем ("двадцатипятерок") — 4.

Итак, 119 = 4 х 25 + 3 х 5 + 4, или в пятеричной системе "434".

Сделанные действия для удобства располагают так:

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Приведем еще примеры.

Числовая система ацтеков Мексики была двадцатеричной. Количества до 20 они изображали числом точек или пальцев; для 20 рисовался флаг; число 400 (20 х 20) имело значок, похожий на ель, который значил — "многочисленный, как волосы". Для самой большой единицы счета — 8000 (20 х 20 х 20) — изображался мешок: он символизировал огромное количество бобов какао в мешке. Чтобы изобразить некоторое количество предметов, ацтеки прямо пририсовывали к изображению этого предмета нужные числовые значки: таким образом, А означает 9 масок из драгоценного камня; Б — 100 мешков какао; В — 402 бумажных одеяла указанного рисунка; Г — 8000 связок листьев копаловой камеди.

Пример 1.

Изобразить 47 в троичной системе:

Решение: