Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Современный советский счетно-записывающий автомат — табулятор "Т-м". Он сам считает числа и ведет запись со скоростью до 45 000 операций в час.

УМНОЖЕНИЕ НА СЧЕТАХ

Вот несколько приемов, пользуясь которыми всякий умеющий быстро складывать на счетах сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.

Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собою.

Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, то-есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счетов мы уже объяснили выше).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.

Вместо умножения на 7 множат на 10 и отнимают умножаемое 3 раза.

Умножение на 8 заменяют умножением на (10 — 2).

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на (10 — 1).

При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.

Читатель, вероятно, уже сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа больше 10 и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить (10 + 1). Множитель 12 заменяют (10 + 2) или, практически, (2 + 10), то-есть сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется (10 + 3) и т. д.

Рассмотрим несколько особых случаев для множителей первой сотни:

20 = 10 х 2; 22 = 11 х 2

32 = 22 + 10; 42 = 22 + 20;

25 = (100:2):2; 43 = 33 + 10

26 = 25 + 1; 45 = 50 — 5

27 = 30 — 3; 63 = 33 + 30

и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п. Поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения, — это все же дает некоторое сокращение времени.

ДЕЛЕНИЕ НА СЧЕТАХ

Выполнять с помощью конторских счетов деление гораздо труднее, чем умножение; для этого нужно запомнить целый ряд особых приемов, подчас довольно замысловатых. Здесь укажу лишь, ради примера, удобные приемы деления с помощью счетов на числа первого десятка (кроме числа 7, способ деления на которое чересчур сложен).

Как делить на 2, мы уже знаем (стр. 28) — способ этот очень прост.

Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в замене деления умножением на бесконечную периодическую дробь 0,333… (известно, что 0,333… = 1/₃) — Умножать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшать в 10 раз тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После не долгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд длинноватый, оказывается довольно удобным на практике.

Деление на 4, конечно, заменяется двукратным делением на 2.

Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.

На 6 делят в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.

На 8 делят в три приема: сначала на 2, потом полученное вновь на 2 и затем еще раз на 2.

Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что 1/₉ = 0,1111… Отсюда ясно, что вместо деления на 9 можно последовательно складывать 0,1 делимого + 0,01 его и т. д.[11]

Всего проще, как видим, делить на 2, 10 и 5 и, конечно, на такие кратные им числа, как 4, 8, 16, 20, 25, 40, 50, 75, 80, 100. Эти случаи деления не представляют трудности и для малоопытного счетчика.

ОТГОЛОСКИ СТАРИНЫ

С отдаленными предками наших конторских счетов связаны некоторые пережитки старины в языке и обычаях. Мало кто подозревает, например, что, собственно, мы делаем, завязывая иногда "для памяти" узелок на носовом платке. Мы повторяем то, что некогда с большим смыслом делали наши предки, "записывая" таким образом итог счета на шнурках. Веревка с узлами представляла собой некогда счетный прибор, в принципе аналогичный нашим счетам и, без сомнения, связанный с ними общностью происхождения. Это — "веревочный абак". Однократно завязанный узел на веревке означал 10, двукратно — 100, троекратно — 1000 и т. д.

Немецкие купцы, занятые счетом на счетных досках. (Гравюра 1518 года.)

С абаком же связаны и такие распространенные теперь слова, как "банк" и "чек". "Банк" по-немецки означает "скамья". Что же общего между финансовым учреждением—"банком" в современном смысле слова — и скамьей? Оказывается, здесь далеко не простое совпадение названий. Абак в форме скамьи был широко распространен в торговых кругах Германии в XV–XVI веках; каждая меняльная лавка или банковская контора прежде всего характеризовалась присутствием "счетной скамьи", — естественно, что скамья стала синонимом банка.

Более косвенное отношение к абаку имеет слово "чек". Оно английского происхождения и производится от глагола "чекер" (checker) — графить; "чекеред" (графленый) называли разграфленную в форме абака кожаную салфетку, которую в XVI–XVII веках английские коммерсанты носили с собой в свернутом виде и, в случае надобности произвести подсчет, развертывали на столе. Бланки для расчетов графились по образцу этих свертывающихся абаков, и неудивительно, что на них перенесено было в сокращенном виде самое название этих счетных приборов.

Любопытно, откуда произошло выражение "остаться на бобах". Оно относится к тому времени, когда все денежные расчеты производились на абаке, на счетном столе или скамье, с помощью бобов, заменявших косточки наших счетов. "Один считает на камешках, другой — на бобах", — читаем у Кампанеллы[12] в "Городе Солнца" (1602). Человек, проигравший свои деньги, оставался с одними бобами, выражавшими сумму его проигрыша, — отсюда и соответствующий оборот речи.

Счетный жетон — "пенязь" — немецкой работы 1691 года с изображением счетной доски

Глава 3

НЕМНОГО ИСТОРИИ

"ТРУДНОЕ ДЕЛО — ДЕЛЕНИЕ"

Зажигая привычным движением спичку, мы иной раз еще задумываемся над тем, скольких трудов стоило добывание огня нашим предкам, даже не очень отдаленным.

Но мало кто подозревает, что нынешние способы выполнения арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату.

Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового, великого мастера счетного дела.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления — последнее всего больше. "Умноженье — мое мученье, а с делением — беда", — говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый "магистр деления" (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. И все эти приемы умножения— "шахматами, или органчиком", "загибанием", "по частям, или в разрыв", "крестиком", "решеткой", "задом наперед", "ромбом", "треугольником", "кубком", или "чашей", "алмазом" и проч., а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения и деления многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна. "Трудное дело — деление" (dura cosa е la partita) — гласила старинная итальянская поговорка. Оно и в самом деле было трудно, если принять во внимание утомительные методы, какими выполнялось тогда это действие. Нужды нет, что способы эти носили подчас довольно игривые названия; под веселым названием скрывался длиннейший ряд запутанных манипуляций. В XVI веке кратчайшим и удобнейшим способом считалось, например, деление "лодкой или галерой".

Знаменитый итальянский математик того времени — Николай Тарталья (XVI век) в своем обширном учебнике арифметики писал об этом способе следующее: "Второй способ деления называется в Венеции[13] лодкой или галерой вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других — на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями— выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами".

Читается это очень весело: так и настраиваешься скользить по числовому морю на парусах арифметической галеры. Но, хотя старинный математик и рекомендует этот способ как "самый изящный, самый легкий, самый верный, самый употребительный и самый общий из существующих, пригодный для деления всех возможных чисел", я не решаюсь его изложить здесь из опасения, что даже терпеливый читатель закроет книгу в этом скучном месте и не станет читать дальше.

Между тем этот утомительный способ действительно был самым лучшим в ту эпоху. У нас он употреблялся до середины XVIII века: в "Арифметике" Леонтия Магницкого[14] он описан в числе шести предлагаемых там способов (из которых ни один не похож на современный) и особенно рекомендуется автором; на протяжении своей объемистой книги — 640 страниц большого формата — Магницкий пользуется исключительно "способом галеры", не употребляя, впрочем, этого наименования.

В заключение покажем читателю эту числовую "галеру", воспользовавшись примером из книги Тартальи:

_{2 Последние две девятки приписаны к делителю в процессе деления.}

МУДРЫЙ ОБЫЧАЙ СТАРИНЫ

Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметического действия, предки наши считали необходимым непременно проверить этот в поте лица добытый итог. Громоздкие приемы вызывали недоверие к их результатам. На длинном, извилистом пути легче заблудиться, чем на прямой дороге современных приемов. Отсюда естественно возник старинный обычай проверять каждое выполняемое арифметическое действие— похвальное правило, которому не мешало бы и нам следовать.

Любимым приемом проверки был так называемый "способ девятки". Этот изящный прием нередко описывается и в современных арифметических учебниках, особенно иностранных.

Проверка девяткой основана на "правиле остатков", гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также[15], что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает остаток 2, и то же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба указанных свойства, мы и приходим к приему проверки девяткой, то-есть с делением на 9. Покажем на примере.

Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца:

Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся попутно двузначных числах также складываем цифры (делается это в самом процессе сложения цифр), пока, в конечном результате, не получим однозначного числа. Результаты эти (остатки от деления на 9) записываем, как показано на примере, рядом с соответствующим слагаемым. Складываем все остатки (7 + 7 + 1 + 2 = 17; 1 + 7 = 8), получаем 8. Такова же должна быть сумма цифр итога (5339177), если действие выполнено верно: 5 + 3 + 3 + 9 + 1 + 7 + 7 после всех упрощений равно 8.

Проверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность — за слагаемые. Например:

Особенно удобен этот прием в применении к проверке действия умножения, как видно из следующего примера:

Если при такой проверке умножения обнаружена будет ошибочность результата, то, чтобы определить, где именно кроется ошибка, можно проверить способом девятки каждое частное произведение отдельно; а если здесь ошибки не окажется, остается проверить лишь сложение частных произведений.

Как по этому способу проверять деление? Если у нас случай деления без остатка, то делимое рассматривается как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = делителю х частное + остаток.

Например:

сумма цифр:

2 х 8 + 3 = 19; 1 + 9 = 10; 1 + 0 = 1.

Привожу из "Арифметики" Магницкого предлагаемое там для проверки девяткой удобное расположение:

Для умножения:

Для деления: