Осесимметричная задача теории упругости: проблемы в теории

В этой задаче постановка проблемы о поиске главных напряжений вообще не ставится (!!!).

__

Интересно рассмотреть обоснование ошибки некорректными рассуждениями:

– в работе Шапиро и Даркова [4.с.596]: «…в связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки, нормальные напряжения являются главными напряжениями…».

Комментарий: главные напряжения необходимо найти по нормальным. Симметрия не обеспечивает их равенство.

Утверждение доказано в работе [5]:

Совместим этот выделенный сегмент с кубическим элементом и покажем для упрощения только вид в плане (сверху):

На рисунке: Q – равнодействующая сил внутреннего давления, уравновешивается касательными напряжениями по граням кубического элемента. По этим же граням действуют нормальные напряжения, не совпадающие с кольцевыми напряжениями по направлению.

Касательные напряжения по противоположным граням заменим на равнодействующую силу, приложенную напротив силы Q (т.е. точка приложения выбрана посередине между векторами сил):

Теперь найдем ориентацию кубического элемента, по граням которого действуют только главные напряжения. То есть найдем площадки главных напряжений по методике [5], [26]. Для этого используем круг Мора. В результате получим:

Как видно из рисунка, установлено направление главных напряжений и площадок, по которым они действуют.

Теперь совместим найденные направления главных напряжений с направлениями кольцевых напряжений (аналогично тому, как в сопротивлении материалов это производится при изгибе балки [26]):

Как видно из рисунка, направления главных напряжений не совпадают с направлениями кольцевых напряжений. И кольцевые напряжения не являются главными напряжениями.

Ошибка в обращении с касательными напряжениями в осесимметричной теории упругости

В осесимметричной задаче теории упругости почему-то считается, что по меридиональным сечениям не действуют касательные напряжения. И это во всей литературе (!).

Но при этом считается, что действуют касательные напряжения по площадкам сегмента, которыми сегмент лежит на сечении параллельного круга оболочки.

Безухов в работе [6,с.138] дает следующее объяснение: «Если распределение напряжений симметрично относительно оси… Из условий симметрии вытекает, что касательное напряжение τ_rθ=0».

Приведем контраргументацию.

В работах Ефанова К.В. [5], [7] подробно показано, что касательные напряжения препятствуют вырыву выделенного сегмента из кольца параллельного круга.

Никаким условиям симметрии наличие касательных напряжений не противоречит (!). Канторович допустил некорректность, как показано на основе наглядных построений.

Напряжения должны быть как в случае общего вида плоской задачи теории упругости.

Ошибка в обращении

c

плоским напряженным состоянием

Как указывалось выше, при цитировании [1], Габриэль Ламе рассматривал стенку цилиндра в плоском напряженном состоянии и пользовал теорию наибольшего напряжения.

Академик Ильюшин А.А. в работе [8] указывает: «Изменение прямого угла между гранями ВА и AD при деформации не происходит» и далее отсюда следует, что и удлинение равно нулю.»

Приведем контраргумент.

С растяжением стенки оболочки сосуда при деформации, происходит увеличение радиусов кривизны внутренней и наружной поверхностей стенки сосуда.

И в результате этого, угол между гранями ВА и AD меняется.

А, следовательно, плоского напряженного состояния не будет.

Кроме того, действует усилие, от давление на днища сосуда.

Литература

1. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов, с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений – М.: Гостехиздат, 1957. – 536 с.

2. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука. 1976. – 608 с.

3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с.

4. Дарков А.В., Шапиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа. 1975. – 624 с

5. Ефанов К.В. Теория расчета оболочек нефтяных аппаратов. – М.: Литрес, 2019. – 50 с.

6. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. – М.: Высшая школа. 1968. – 512 с.

7. Ефанов К.В. Расчет нефтяных аппаратов методом конечных элементов. – М.: Литрес, 2020. – 70 с.

8. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. – М.: Физматгиз. 1959. – 373 с.