Осесимметричная задача теории упругости: проблемы в теории

Константин Ефанов

Осесимметричная задача теории упругости: проблемы в теории

Положение осесимметричной задачи теории упругости к пространственной задаче и теории оболочек.

Теория упругости не подвергается проверке на корректность.

В теории упругости в настоящее время находятся разделы:

– пространственной задачи,

– осесимметричной задачи.

Теория упругости является разделом механики сплошной среды.

Пространственная задача позволяет находить решение для оболочек вращения и оболочек различной кривизны. Пространственная задача в своем теоретическом основании имеет обоснованный расчетный подход.

Осесимметричная задача разработана для решения задач расчета оболочек. Осесимметричная модель содержит в теоретическом основании ошибочную расчетную модель и содержит математический аппарат, построенный с допущением ошибок и некорректностей.

Тимошенко отмечает [1,с.142], что Габриэль Ламе для цилиндра рассматривал плоское напряженное состояния и применял теорию наибольшего напряжения.

Из теории упругости введением допущений получена теория оболочек. Теория оболочек имеет обоснованную физически расчетную модель в отличии от осесимметричной теории упругости.

Теория оболочек делится на теорию тонких оболочек с точностью 0,1 и теорию толстых оболочек типа Власова с повышенной точностью, позволяющей выполнять расчет толстых оболочек сосудов.

__

Можно сделать вывод:

1 расчет оболочек по пространственной теории упругости методом конечных элементов (с трехмерными конечными элементами) дает наиболее обоснованный и реалистичный физически и теоретически результат.

2 после применения пространственной задачи вторым по точности подходом является теория оболочек. Теория оболочек имеет меньшее физическое обоснование по сравнению с пространственной задачей, поэтому метод менее теоретический но более технический.

3. Расчеты на основе осесимметричной задачи проводить некорректно. Следует пересмотреть все нормативные методики.

4. С постепенным внедрением компьютерного расчета методом конечных элементов будут заменены ручные и автоматизированные расчеты, основанные на осесимметричной теории.

__

Научное сообщество болезненно воспримет критику осесимметричной теории упругости.

Но тем не менее, с аргументацией критики ознакомиться следует. И для развития науки и для развития методики расчетов оболочек сосудов.

Об исключении (пересмотре) из теории упругости осесимметричной задачи

В теории упругости необходимо использовать только подход решения пространственной задачи для расчета оболочек. Или использовать теорию оболочек.

Осесимметричную задачу теории упругости в её существующем построении необходимо исключить из теории упругости или пересмотреть на предмет устранения ошибок в расчетной модели и математическом аппарате.

Оболочки могут быть рассчитаны точными методами пространственной задачи теории упругости с получением физически обоснованных результатов.

Оболочки также могут быть рассчитаны с помощью теории оболочек (тонких или общей теории оболочек).

Расчеты оболочек сосудов, оружейных стволов, других устройств по осесимметричной теории выполнять некорректно. В настоящее время расчет толстостенных сосудов высокого давления до 130МПа по иркутскому стандарту выполняются на основе осесимметричной задачи, что является технически ошибочно.

Нулевая глава из теории упругости

Теория упругости в современной литературе излагается в монографиях собственно по теории упругости и в монографиях по сопротивлению материалов. В курсе сопротивления материалов вводятся упрощения (гипотеза плоских сечений и др.), однако, основные положения теории упругости перенесены в курс без изменений, упрощений, искажений. Курс сопротивления материалов можно рассматривать прикладным вариантом теории упругости.

__

В механике сплошной среды, к которой как отмечено выше, относится теория упругости, выделяют кубический элемент с размерами сплошности.

Размеры сплошного элемента металла являются над молекулярными и над кристаллическими, тем самым обеспечивая анизотропность, а по сути свойство сплошности среды.

Когда говорят и пишут о бесконечно малых размерах, следует иметь в виду ограничение малости до размеров не ниже размеров сплошности.

ВАЖНО (!) СТЯГИВАТЬ ЭЛЕМЕНТ В ТОЧКУ ЯВЛЯЕТСЯ ГРУБОЙ ОШИБКОЙ, точка это математическое понятие, и по размеру ее ничего не мешает соотнести с атомом.

Это противоречит условию сплошности. Размеры выше бесконечно малых размеров.

__

Теперь, введем строгое различие между напряжениями по площадкам и главными напряжениями по главным площадкам.

Ориентацию в пространстве кубического элемента главных площадок предстоит найти и предстоит найти главные напряжения.

__

Выделим кубический элемент со сплошными размерами в стенке сосуда. ПРОБЛЕМА. Ориентация в пространстве этого кубического элемента будет произвольной даже в том случае, если для цилиндрической оболочки мы направим его оси параллельно прямой образующей цилиндра.

Мы не знаем направление главных напряжений и ориентацию площадок с главными напряжениями.

Условно посмотрим на кубический элемент «в плане» и рассмотрим для примера плоское напряженное состояние.

В стенке выделен кубический элемент с произвольной ориентацией в пространстве [2]:

Для этого элемента найдены площадки, по которым действуют главные напряжения, то есть направления главных напряжений:

Итак, делаем вывод:

величины напряжений и направления напряжений по сторонам произвольно выделенного кубического элемента не совпадают с величинами напряжений и направлениями главных напряжений. На месте произвольно выделенного кубического элемента должен быть нарисован кубический элемент с главными напряжениями.

Равновесие элемента сплошной среды

Итак, в стенке выделен кубический элемент со сложным напряженным состоянием в

Прямоугольных координатах:

Тимошенко [3] отмечает о равновесии элемента за счет моментов от касательных напряжений вокруг осей x, y, z.

__

Чрезвычайно ВАЖНО (!)

Только конфигурация сплошного элемента со сторонами с равными площадями (для интеграла по элементарным площадкам касательных напряжений) и с прямыми углами между ребрами (осями x, y,z) ОБЕСПЕЧИВАЕТ РАВНОВЕСИЕ ЭЛЕМЕНТА.

__

Вместо куба может быть использован тетраэдр.

Тогда результирующий вектор рассматривается как эквивалентное напряжение, значение которого сравнивают с линейным растяжением.

Ошибка в равновесии элемента осесимметричной задачи теории упругости

Схема оболочки под давлением:

Из стенки выделяется сплошной элемент в форме трапеции с кривыми основаниями:

Рассмотрим этот элемент с размерами сплошности «в плане»:

Для того, чтобы выполнилось условие равновесия, необходимо, чтобы площади сторон сплошного элемента стенки в виде сегмента были равны для создания равных моментов касательными напряжениями.

__

Для ответа на поставленную проблему о равновесии, совместим сплошные элементы кубической формы и выделенный элемент []:

Как видно, площади сторон кольцевого выделенного элемента не равны, как в случае куба. А следовательно, этот элемент не будет находится в условиях равновесия (!).

Стороны не бесконечно малые и в точку не стягиваются. И напряжения по сторонам элементов отличаются по ориентации.

__

Итак, найдена первая ошибка в расчетной модели осесимметричной задачи теории упругости.

Ошибка в обращении с главными напряжениями в осесимметричной теории упругости

В осесимметричной задаче теории упругости почему-то считается, что кольцевые напряжения являются главными напряжениями (???).