ЗНАК ВОПРОСА 1997 № 02

Чудо — это просто!

Многие читатели, видимо, уже получали удовольствие от рассматривания стереограмм в книгах популярной сейчас серии книг «Волшебный глаз. Третье измерение», издаваемых в ФРГ.

Парадоксы возникают, когда пытаются отделаться односложным ответом на сложный вопрос. Все новое воспринимается как «бред» (парадокс), а потом как «очевидность» (разрешение парадокса). Так, первоначальное неприятие неевклидовой геометрии объяснялось тем, что парадоксальные результаты не укладывались в одномерную логику — блеск ума непостижим для автора плоских шуток (подобно тому как одноглазому не объяснить, что пара из черного и белого дает стереоэффект блеска). Чернышевский из сибирской ссылки писал сыну: «Перестань заниматься неевклидовой геометрией! Математики я не знаю, но знаю достаточно, чтобы утверждать, что это — ерунда». Признанный король математиков Гаусс не опубликовал свои труды по неевклидовой геометрии, ибо, по собственному признанию, «боялся криков беотийцев» (синоним самых тупых в Древней Греции). Эта участь постигла Лобачевского. Об этом можно прочесть в книге А. Ливановой «Три судьбы» (М.: Знание, 1969). Только 26 лет спустя, перечитывая ее как бы заново, я прочувствовал, каким смелым может быть анонимный рецензент, издеваясь даже над названием: «его Геометрия отлична от употребительной, которой мы все учились… и есть только воображаемая. Да, теперь всё очень понятно. Чего не может представить воображение особливо живое и вместе уродливое? Почему не вообразить, например, черное белым, круглое четырехугольным, сумму всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых? Очень, очень можно, хотя для разума все это и непонятно» (курсив мой. — К.Б.). Блеск ума оказался непостижим для рецензента, и ответа Лобачевского редакция не напечатала. Впрочем, до нас дошел его сдержанный, полный достоинства ответ, опубликованный его родным университетом вместе с текстом мемуаров «Воображаемая геометрия»: «Рецензент основал свой отзыв на том только, что моей Теории не понял и почитает ее ошибочной…» Через 7 лет (в 1842 г.) Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества по представлению Гаусса.

Фигуральное выражение «блеск остроумия», означающее совмещение несовместимого, намекает на эффект стереоблеска. В этом разгадка секрета, о котором писал В. Набоков в «Приглашении на казнь»: «Как складывают слова… чтобы слово оживало… заимствовало у своего соседа его блеск…» Вообще, в естественном языке много блестящих противоречивых выражений. Таковы многие идеоматические выражения: как-никак, была-не была, видимо-невидимо, волей-неволей, сам не свой. «Круглый квадрат нельзя даже помыслить (если не верите — попробуйте!)», — восклицает В. Н. Брюшинкин, автор «Практического курса логики для гуманитариев». Подобно этому выражение «без вины виноватые» парадоксально, но парадокс разрешается, когда «невиновный» (де-факто) и «виноватый» (де-юре) разводятся в разные логические проекции (аспекты). Заметим, что несоответствие аспектов для миллионов советских граждан было устранено только после реабилитации.

Наглядным примером парадоксального объекта может служить двойной словарь, включающий русско-английский и англо-русский словари, помещенные под одной обложкой. Если двойной словарь — русский, то он английский; а если он английский, то он русский. Сжатым образом парадоксальной ситуации может служить эпиграф к главе о матрицах в английском учебнике по математической физике: «Все, что не Бельгрейвская площадь, есть Стренд и Пикадили». Действительно, ситуация на перекрестке характеризуется так:

если движение есть (вдоль), то его нет (поперек);

а если движения нет (вдоль), то оно есть (поперек).

Опустив указания на направления (в скобках), получаем парадокс.

Вот уж действительно: иная простота хуже воровства! Более того, с точки зрения классической логики, дом на перекрестке вообще не должен существовать. Ведь угловой дом 1/2 (по Продольной улице) будет одновременно домом 2/1 (по Поперечной улице). При соединении чертой числа прекращают независимое существование, превращаясь в двуединство. Употребительное в быту малограмотное обозначение — дом 1 /2 вовсе не обозначает полдома — в действительности это пара (1; 2). Привычное обозначение приобрело силу предрассудка, а ведь векторы «проходят» в общеобразовательной школе. Поистине, всеобщая полуобразованность является нашим бичом.

Парадоксы являются лучшей мотивацией к изучению логики как науки правильно мыслить. Интерес к ее практическому применению возрастает. За последние два года вышли три книги под названием «Практическая логика», написанные В. А. Светловым, А. А. Ивиным, Е. Б. Кузиной. Но авторы расписываются в бессилии, когда дело доходит до парадоксов. «Тупиковая ситуация создается самим этим умом: он, так сказать, оступается на ровном месте и попадает в свои же собственные сети».

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КЕНТАВРЫ И ДРАКОНЫ

Недаром говорят, что «идеи носятся в воздухе». Возникновение кентавристики — новой научной дисциплины, предложенной Даниилом Даниным, выражает потребность в адекватном представлении научных образов. Кентавр — это метафора сочетания несочетаемого. Увеличение размерности при переходе от двуединства к триединству потребовало прибегнуть к услугам математических драконов — векторов.

Это вполне удовлетворяет девизу «ohne tierisch Ernst» — без звериной серьезности, который был принят в кругу Н. Бора («Bohrs Kreis»). «Для серьезного развития серьезных наук нет ничего пагубнее звериной серьезности. Нужны юмор и некоторая издевка над собой и над науками. Тогда все будет процветать», — писал в своих воспоминаниях Н. Тимофеев-Ресовский («Зубр»).

Метафорой логической многомерности может служить трехглавый дракон. У него три головы, но сердце у него одно. Логический вывод сводится к исключению посредника — средней головы дракона. Заключение как бы говорит: «Не бери в среднюю голову». Голубой трехглавый Дракон был изображен на щите Агамемнона, по свидетельству десятой книги «Илиады», а Змей-Горыныч — излюбленный персонаж русских народных сказок.

«Головы Горыныча посоветовались между собой.

— По-моему, он хамит, — сказала одна.

Вторая подумала и сказала:

— Дурак, а нервный.

А третья выразилась и вовсе кратко:

— Лангет, сказала она.»

В. Шукшин. До третьих петухов

Трехглавый дракон — это метафора трехмерного логического вектора. Например, кафедра истории математики находится в аудитории 1609 главного здания МГУ. Это — вектор с координатами: № этажа=16, № комнаты =09. В США используется слово «вайлтс» = обхват груди, талии, бедер. И. Ефремов приводит вайлтс Сандры, героини романа «Лезвие бритвы», 38-22-38 (в дюймах). В повседневной жизни мы смелее переходим на векторные обозначения.

МНОГОМЕРНОСТЬ ИСТИНЫ

Поэт И. Бродский в эссе с математическим названием «Меньше единицы» пришел к выводу о том, что наука о правде и лжи жизни полезнее школьной алгебры. По нашему мнению, следует подчеркивать не их внешнее различие, а глубокое внутреннее сходство.

То, что простое высказывание не может адекватно описывать сложные логические ситуации, было давно показано самим фактом существования парадоксов. Когда целью спора является не поиск истины, а победа, то зачастую используются приемы, известные еще софистам Древней Греции. В качестве примера приведем известный софизм. По рассказу Аристотеля, одна афинянка внушала сыну: «Не вмешивайся в общественные дела, потому что, если ты будешь говорить правду — тебя возненавидят люди; если же будешь говорить неправду — тебя возненавидят боги». Это — софизм, ибо он основан на произвольной подборке выгодных для данного совета суждений. С таким же успехом можно «обосновать» и противоположный совет о пользе занятия общественными делами.

Все возможные ситуации описываются таблицей:

Софизм возникает, если опустить невыгодную для данного тезиса информацию. Оружием софистов всегда было утаивание, полуправда.

В нашей жизни нам постоянно приходилось сталкиваться не только с одномерной (явной) ложью, рассматриваемой в классической логике, но и с двумерной ложью — ложью, подло замаскированной под истину. Ее обычно называют нейтральным термином дезинформация. Это — логический вектор: КЛЕВЕТА = (ложь, злой умысел). В этом «двуединстве» истинностная квалификация совмещена с отчетливо выраженной интенцией. На уровне человеческого общества ложь обретает новое измерение.

«Борьба за истину, таким образом, является борьбой против разрушения», — писал Г. Маркузе в книге «Одномерный человек». Наиболее коварным врагом истины является полуправда. Это против нее направлена известная юридическая формула: «Говорить всю правду, и только правду». Надо смолоду уберечь детей от лжи умолчанием. Иначе вы не сможете уберечь их от возможных звеньев в цепи бед: болезни — аборт — бесплодие.

Дезинформация всегда творилась под покровом секретности. Так проще. «Секретность есть форма лжи… Секретность требует меньшего напряжения памяти, чем активная ложь», — сообщает Р. Бейкер в «Учебнике лжеца», вышедшем в США. Казалось бы, с появлением детектора лжи отпадает необходимость в логике, ибо решаются все проблемы с распознаванием лжи. Однако все далеко не так просто. В учебниках по аномальной психологии приводится следующее происшествие. Врачи в американской психиатрической клинике собирались выписать шизофреника, предварительно проверив его на детекторе лжи. Пациенту был задан вопрос: «Вы Наполеон?» Пациент ответил отрицательно. Детектор показал, что он лжет.

Следует подчеркнуть недопустимость полуправды, ибо она порождает полусовесть. В империи лжи у миллионов жертв политических репрессий были засекречены время, место и сам факт расстрела. Мы должны донести этот нравственный урок до молодежи, которая не имеет другого жизненного опыта, кроме сексуального, помочь «преодолеть ущербную особенность человека учиться только на собственном опыте» (Солженицын А. И., Нобелевская лекция). Закостенелость приводит к жесткому редукционизму, сводящему все к однобокой, одномерной истинности. Рептильный комплекс в человеческом мозге, доставшийся нам от ящеров, все еще выполняет функции динозавра. Ведь даже процесс преподавания носит директивный характер, «предельно ритуализирован, то есть основан на почти рептильном следовании раз и навсегда установленным порядкам». Особенно опасна «зашоренность» казарменного ума. Суть дела здесь в жесткой специализации, которая в конце концов неизбежно приводит к надлому из-за своей фатальной закостенелости. Ярким примером подобной «задержанной цивилизации» (по А. Тойнби) явилась Спарта, которая дорого заплатила за то, что она избрала особый путь развития, а два века спустя застыла с оружием наизготовку, словно на параде. В то же время другие эллинские города показали примеры динамичного и творческого развития.

Многомерность познания является типично человеческой чертой. По-видимому, в ней секрет любого творческого начала. Парадоксы — это не тупик, а свет в конце туннеля! Новое мышление в условиях взаимосвязанного мира (а не отдельных, изолированных стран) становится насквозь неклассическим. Проигрыш одной стороны в ядерной войне не означает выигрыша другой стороны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно ли ждать от парадоксов практической пользы? Таким вопросом часто задаются, но еще чаще оставляют его открытым. Многие родители мучились, пытаясь переделать своё «решение с иксом» в арифметическое решение для ребенка. Именно парадоксальные понятия являются главной причиной поразительной эффективности математики. Введение отрицательных и мнимых чисел показывает, что парадоксы разрешаются путем обобщения операций и правил, а не путем ограничений и запретов. Впрочем, в Древней Греции существовал даже запрет на использование дробей. Платон писал: «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать». Но греческие купцы и строители использовали дроби, ведь без них нельзя ни торговать, ни строить. Сейчас примирились с простыми дробями, научившись представлять их в чистой математике в виде упорядоченных пар.

«Понять можно лишь то, что в состоянии вместить наше сознание, то, что в нем уже присутствует в виде некоей матрицы. Иными словами, принять что бы то ни было можно лишь при наличии соответствующего хватательного органа», — писал Г. Майринк в романе «Ангел Западного окна». Академик Б. В. Раушенбах подчеркивал наличие общей идеи, лежащей в основе различных проявлений триединства, и показал, что такой математической моделью является вектор. Поэтому привычная скептическая критика понятия триединости ошибочна: «Критика всегда избирала своей мишенью эту кажущуюся несообразность самого понятия триединства, безотносительно к тому, относится оно к Троице или к чему-либо другому». Таковы три грамматических лица (я, ты, он), три времени (прошедшее, настоящее, будущее) и троекратное повторение обрядов. «Не вдаваясь в эти сложные и тонкие вопросы, мы скажем только, что число т р и, в нашем разуме характеризующее безусловность Божества, свойственно всему тому, что обладает относительной самозаключенностью», — писал о. Павел Флоренский. Примечательно также его замечание в книге «Иконостас» о том, что световая глубь неба, светоносность сверхчувственного может быть передана в иконах только блеском золота.

«Куда мне девать все эти подарки, которыми летнее утро награждает меня и только меня? Отложить для будущих книг? Употребить немедленно для составления руководства: «Как быть счастливым»? Или глубже, дотошнее: понять, что скрывается за всем этим, за игрой, за блеском? А что-то ведь есть, что-то есть», — так писал В. В. Набоков в романе «Дар».

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛОГИЧЕСКАЯ ИГРА Л. КЭРРОЛЛА

НА КОМПЬЮТЕРЕ

«Методы эти позволят вам обрести ясность мысли, способность находить собственное решение трудных задач, выработают у вас привычку к систематическому мышлению…»

Льюис Кэрролл. Символическая логика.

Исторически первой дедуктивной теорией была силлогистика, которую построил основатель логики древнегреческий философ Аристотель. Даже аксиоматическая система геометрии была создана позже Евклидом в ее духе. Силлогистика является наиболее доступным средством приобщения учащихся к логике благодаря ее простоте, элегантности и близости к естественному языку.

Приведем основные определения по «Учебнику логики» Г. И. Челпанова, который был отмечен премией Петра Великого и выдержал девять дореволюционных изданий. Умозаключением называется выведение нового суждения из нескольких данных суждений, называемых посылками. Выводимое суждение называется заключением. «Силлогизм есть такая форма умозаключения, в которой из двух суждений необходимо вытекает третье.»

Посылки и заключение силлогизма представляют собой суждения. К ним относятся следующие суждения:

1. «Все х суть Z» — общеутвердительное суждение.

2. «Ни один хне есть z» — общеотрицательное суждение.

3. «Некоторые х суть z» — частноутвердительное суждение.

4. «Некоторые х не есть z» — частноотрицательное суждение.

Например, суждение «Все ученые смертны» является общеутвердительным, а суждение «Некоторые ученые смертны» является частноутвердительным. При арифметизации будем кодировать утверждение числом +1, отрицание числом —1. В дальнейшем часто будем просто ставить «+» и «—". Отсутствие информации будем обозначать числом 0.

Частноутвердительному суждению соответствует положительный вектор, а общеотрицательному суждению — отрицательный вектор. Если обозначить: мученые, у = люди, z = смертные, то вектор (+ 0 +) будет обозначать частноутвердительное суждение «Некоторые ученые смертны» = «Некоторые х суть z», а вектор — (+ 0 —) — общеотрицательное суждение «Ни один ученый не бессмертен» = «Ни один х не есть не — z». Эти два вектора дают общеутвердительное суждение «Все ученые смертны» = «Все х суть z».

Получение логического заключения сводится к исключению термина-посредника «у» (среднего термина силлогизма). Приведем пример силлогизма, который состоит из общеутвердительных суждений:

«Все люди смертны»

«Все ученые — люди»

«Все ученые смертны»

В векторных обозначениях приведенный выше силлогизм может быть записан в следующем виде:

При решении проблемы разрешимости силлогизмов решающую роль играет принцип аннигиляции. Заключение следует из данных посылок при условии ровно одной аннигиляции при сложении или вычитании векторов.

В заключение получаем положительный вектор как разность (1,1,0) — (0,1, —1)= = (1,0,1), а отрицательный вектор — как знак суммы отрицательных частей (0,1, —1) + (1, _1,0) = (1,0, —1). Заключение принимается, когда сумма отрицательных частей или хотя бы одна перекрестная разность дает ровно один нуль.

Другая разность (0,1,1) — (1, -1,0) = (-1,2,1) отвергается (ибо число 2 в заключение указывает на несовместность утверждения +1 и отрицания —1).

Приведем текст программы Aristotle.bas для решения силлогизмов:

PRINT

SCREEN 8: COLOR 7, 1: DIM х(4, 2, 3)

PRINT " ЕСТЬ х у z НЕТ х у z": PRINT

FOR k = 1 ТО 2

FOR i = 1 ТО 2

PRINT SPC(6);

FOR j = 1 TO 3

READ x(k, i, j)

PRINT x(k, i, j);

NEXT j

NEXT i

PRINT

NEXT k

PRINT "………………………."

FOR j = 1 TO 3

x(3, 2, j) = SGN(x(1, 2, j) + x(2, 2, j))

x(3, 1, j) = x(1, 1, j) — x(2, 2, j)

x(4, 1, j) = x(2, 1, j) — x(l, 2, j)

NEXT j

PRINT SPC(6); x(3, 1, 1); x(3, 1, 2); x(3, 1, 3);

PRINT SPC(6); x(3, 2, 1); x(3, 2, 2); x(3, 2, 3)

PRINT SPC(6); x(4, 1, 1); x(4, 1, 2); х(4, 1, 3)

DATA 1,1,0, 1, -1,0

DATA 0,1,1, 0,1, -1

END

Автором написана программа Carroll.bas, позволяющая получать также чертеж диаграммы Кэрролла.