Путеводитель для влюбленных в математику

Физик Ричард Фейнман[13] верил: если человечество столкнется с опасностью потери всего научного знания, но у него будет возможность передать потомкам всего одну фразу о науке, эта фраза должна описывать, как атомы образуют материю[14]. Продолжим фантазировать в том же духе. Если бы мы могли передать следующему поколению всего одну математическую идею, это, как мне кажется, должен быть ответ на вопрос: как много существует простых чисел?

Целые числа

Математическая мысль начинается со счета. Мы используем для счета натуральные числа: 1, 2, 3 и т. д. Отсутствие объектов для счета – и необходимость подобрать число для этого отсутствия – приводит нас к понятию нуля. Когда мы складываем или умножаем натуральные числа, результат всегда представляет собой другое натуральное число. Но вычитание внушает беспокойство. Все хорошо, когда мы вычитаем три из пяти: 5 – 3, но если мы поступим наоборот, то получится 3 – 5, и результат не будет натуральным числом. Мы восполняем этот недостаток, вводя отрицательные числа: –1, –2, –3 и т. д.

Множество всех натуральных и полученных при их вычитании отрицательных чисел вместе с нулем называют целыми числами. Математики используют стилизованную букву Z, чтобы обозначить все целые числа:

ℤ = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.

Когда мы делим целые числа друг на друга, возникает загвоздка. В то время как мы можем складывать, перемножать целые числа и вычитать их друг из друга в полной уверенности, что получим целое число, результат деления одного целого числа на другое иногда оказывается целым числом, а иногда и нет.

Возьмем два положительных целых числа а и b. Мы говорим, что а делится на b, если частное a / b – тоже целое число. Мы называем a – делимым, b – делителем.

Например, 24 делится на 6 (потому что частное от деления – целое число), но не на 7 (потому что частное не является целым числом). Всякое положительное целое число делится само на себя: если а – положительное целое число, то частное от а / а равно 1, и это, разумеется, целое число. Также всякое положительное целое число делится на 1, потому что, если а – положительное целое число, результат деления а / 1 равен а.

Положительное целое число называется простым, если у него есть ровно два делителя: 1 и оно само.

Например, 17 – простое число, потому что 1 и 17 – его единственные делители. По той же причине 2 – простое число.

С другой стороны, 18 не является простым числом, потому что помимо 1 и самого себя оно делится на 2, 3, 6 и 9. Такие числа, как 18, называют составными. Если говорить математическим языком, то положительное целое число называют составным, если у него есть другие делители помимо 1 и самого себя.

Размежевание чисел на простые и составные касается всех натуральных чисел, кроме 1. Мы выделяем 1 в отдельную категорию и называем единичным элементом, или единицей[15]. Кого-то расстраивает тот факт, что Плутон больше не причисляют к планетам, другие раздражены тем, что 1 не считается простым числом.

Если подытожить, у нас есть три категории положительных целых чисел:

• единица с одним положительным делителем;

• простое число с двумя положительными делителями;

• составное число с тремя и более положительными делителями.

Отмечу, что 1 – единственное в своем роде число, а вот составных чисел бесконечно много: 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. – составные числа (и таких еще много).

Но сколько же простых чисел существует?

Разложение на множители

Разложить число на множители означает представить его в виде произведения. Рассмотрим число 84. Мы можем разложить его на множители несколькими способами, например:

2 × 42; 3 × 28; 12 × 7; 2 × 6 × 7; 21 × 4.

В пределе разложить на множители означает найти произведение простых чисел, например: 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Нельзя разбить эти множители на части, потому что каждый из них представляет собой простое число. Разумеется, мы можем добавить какое-то количество единиц, например:

84 = 1 × 1 × 2 × 2 × 3 × 7,

но дополнительные множители усложняют, а не упрощают выражение, другие множители от этого не становятся меньше[16].

Возьмем другой пример: 120. Мы можем представить 120 как 12 × 10 и затем 12 как 2 × 2 × 3, а 10 – как 2 × 5. Это дает:

120 = (2 × 2 × 3) × (2 × 5). (A)

С другой стороны, мы можем начать так: 120 = 4 × 30 и далее заметить, что 4 = 2 × 2, а 30 = 2 × 3 × 5. Вместе это дает:

120 = (2 × 2) × (2 × 3 × 5). (B)

Важно отметить, что простые числа в выражениях (A) и (B) одинаковые, различается лишь порядок, в котором они перемножаются. Это показано на рисунке.

Любой способ представления числа 120 в качестве произведения простых чисел дает один и тот же результат.

Эта единственность разложения на множители зафиксирована в следующей теореме[17].

Теорема (основная теорема арифметики). Любое положительное целое (натуральное) число может быть разложено на простые множители единственным образом (если пренебречь порядком множителей)[18].

(Здесь необходимо небольшое пояснение. В случае, скажем, числа 30 это утверждение достаточно ясно. Мы можем представить 30 как 2 × 3 × 5 или как 5 × 3 × 2 – разницы нет, отличается лишь порядок множителей. Простое число имеет всего один простой множитель – само себя. Например, множитель 13 – это 13. Но как быть с 1? Принято говорить, что пустое произведение[19] равно единичному элементу; таким образом, произведение отсутствующих элементов равно 1.)

Сочетая простые числа, мы выстраиваем все положительные целые числа. Простые числа – это атомы умножения.

Насколько много?

Вернемся к вопросу: сколько всего простых чисел существует? Ответ – на следующей строчке.

Теорема. Простых чисел бесконечно много.

Утверждение приписывают Евклиду[20]. Доказательство этой теоремы – математическая жемчужина. Мы не можем доказать ее методом перебора. Очевидно, что время от времени в числовом ряде попадаются простые числа. Вот несколько первых простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 и 67.

Но чем дальше мы идем по последовательности простых чисел, тем обширнее становятся промежутки между ними. Если посмотреть на перечень выше, можно увидеть, что два числа отстоят друг от друга максимум на 6 единиц (например, 53 и 59). Но простые числа 89 и 97 отстоят друг от друга на 8 единиц, все целые числа между ними составные. Или вот другой пример: 139 и 149 – их отделяет 10 единиц. Чем дальше мы двигаемся, тем быстрее увеличиваются промежутки между соседними простыми числами. Можно предположить, что в конечном итоге простые числа должны совсем исчезнуть. На самом деле, хотя они и встречаются все реже, их список в числовом ряду не имеет конца. Впрочем, прежде чем говорить об этом уверенно, мы должны привести доказательство.

Ключевая идея – задаться вопросом: а что, если?..

А что, если количество простых чисел конечно? Если мы продемонстрируем, что предположение: «Количество простых чисел конечно» – приводит к абсурдному выводу, то будем считать его ложным[21]. Вслед за Шерлоком Холмсом мы найдем истину, отбросив невозможные варианты, и у нас получится, что простых чисел бесконечно много.

Вот что нам надо будет сделать:

1. Предположить, что количество простых чисел конечно;

2. Показать, что это предположение ведет к невозможному выводу;

3. Сделать умозаключение, что, раз предположение ведет к логическому противоречию, оно ложно;

4. Вывести из этого, что простых чисел бесконечно много.

А теперь перейдем к делу. Предположим, что простые числа можно пересчитать, и посмотрим, к чему это приведет.

Если количество простых чисел конечно, должно существовать наибольшее простое число P – крайнее в ряду простых чисел. В таком случае полный перечень простых чисел будет выглядеть так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, …, P.

Перемножим все эти числа и приплюсуем единицу. Назовем получившееся гигантское число N:

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.

Число N – простое[22]? Наше предположение заставляет нас ответить: нет, потому что N больше P, последнего простого числа. Значит, N – составное число, и его можно разложить на множители. Здесь мы попадаем в западню.

Мы знаем, что у N есть простые делители. Может ли таким делителем быть 2? Мы утверждаем: нет. Посмотрите на формулу для вычисления N и обратите внимание, что число в скобках четное, потому что среди множителей присутствует 2:

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.

Таким образом, N на единицу больше некоторого гигантского четного числа. Другими словами, N – нечетное, следовательно, оно не делится на 2.

Ну и ладно. Мы же знаем, что у N есть простой делитель, так что нет ничего страшного в том, что 2 не подходит. Как насчет 3? Посмотрим снова на число в скобках и обнаружим, что среди множителей есть 3:

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.

Таким образом, N на единицу больше некоторого гигантского числа, делящегося на 3. Это означает, что при вычислении частного N / 3 мы получим остаток 1. Следовательно, N не делится на 3.

Видите, куда мы движемся? Возьмем очередное простое число, 5. Мы утверждаем, что N не делится на 5, потому что оно на единицу больше числа, без остатка делящегося на 5:

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.

Точно так же мы доказываем, что N не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13 и ни на какое угодно другое простое число!

К чему мы пришли? Наше предположение о том, что количество простых чисел конечно, привело нас к двум выводам:

– N делится на некое простое число;

– N не делится ни на какое простое число.

Но это же абсурдно! Из ловушки можно выбраться, только если признать, что предположение о конечном количестве простых чисел было ложным. Таким образом, получается, что простых чисел бесконечно много.

Конструктивный подход

Представленное нами доказательство относится к разряду доказательств от противного. Мы предположили, что утверждение, обратное тому, которое мы хотим доказать, верно, затем продемонстрировали, что это приводит к безвыходной ситуации, после чего сделали умозаключение, что наше предположение ложно, а утверждение, требующее доказательства, истинно. Путеводная путаница, софистика-эквилибристика!

Есть и другой способ доказательства: создать некий механизм по производству простых чисел. Мы засыпаем в него пригоршню простых чисел и – вуаля! – оттуда высыпаются новые простые числа. Вот как работает эта машина.

Зачерпнем полдюжины простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножим их и приплюсуем единицу:

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031.

Ясно, что 30 031 не делится на 2, – это легко заметить, потому что последняя цифра нечетная. На 3 оно тоже не делится (потому что на единицу больше, чем 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13, которое делится на 3). Точно так же оно не делится на 5, 7, 11 и 13. Стало быть, или это число само простое, или его можно разложить на простые множители, не входящие в наш перечень. Кости выпали так, что число 30 031 – составное. Оно раскладывается на простые множители следующим образом: 59 × 509. Этих чисел не было в нашем перечне.

Возьмем их и предыдущие полудюжины чисел и построим новое число:

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 59 × 509) + 1,

что равно 901 830 931. Кости выпали так, что число оказалось простым[23].

Мы можем добавить его в наш перечень и наштамповать так еще много чисел – либо простых, либо разложимых на простые множители. Эта операция позволяет бесконечно получать все новые и новые простые числа.

Другое доказательство

Это не единственное доказательства того, что простых чисел бесконечно много. Вот вам еще одно.

Как и в первом доказательстве, предположим, что количество простых чисел конечно, и покажем, что это предположение ведет к противоречию. Представим, что самое большое простое число равно P, и составим перечень простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, …, P.

Пусть N – результат перемножения всех этих чисел:

N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P.

Теперь давайте подумаем обо всех числах от 1 до N включительно. Каждое из них (за исключением 1) делится на одно или несколько простых чисел; иными словами, любое число (кроме 1) делится на какое-то простое число.

Сколько чисел от 1 до N делится на 2? Очевидно, что половина (четные числа). Вычеркнем их и оставим лишь нечетные:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, …

Количество целых чисел между 1 и N, которые мы вычеркнули, равно N / 2.

Вычеркнем из оставшихся чисел те, которые делятся на 3. Вот что получится:

1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, …

Мы удалили треть оставшихся чисел[24]. Осталось две трети, а от изначального количества –

Продолжим в том же духе и вычеркнем числа, делящиеся на 5, удалив таким образом пятую часть оставшихся чисел. Получится чисел. Вот что останется:

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, …

Дальше мы вычеркиваем числа, делящиеся на 7, оставив шесть седьмых от нашего перечня, и будем двигаться по этому пути, пока не дойдем до числа P.

В конце концов количество тех чисел, которые мы не вычеркнули, станет равно

Так как все числа от 1 до N, кроме 1, делятся на какое-то простое число, выражение (C) должно быть равно 1. Верно? Вспомним, что N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P, подставим это произведение в выражение (C) и перегруппируем множители: