Путеводитель для влюбленных в математику

Эдвард Шейнерман

Путеводитель для влюбленных в математику

Переводчик Алексей Огнёв

Научный редактор Михаил Гельфанд

Редактор Александр Петров

Руководитель проекта А. Тарасова

Корректоры Е. Сметанникова, М. Ведюшкина

Компьютерная верстка М. Поташкин

© Edward Scheinerman, 2017

Originally published by Yale University Press

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2018

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

* * *

Рейчел и Мордехаю

Просветительский фонд «Эволюция»

основан в 2015 году сообществом российских просветителей.

Цель фонда – популяризация научного мировоззрения, продвижение здравомыслия и гуманистических ценностей, развитие науки и образования. Одно из направлений работы фонда – поддержка издания научно-популярных книг.

Каждая книга, выпущенная при содействии фонда «Эволюция», тщательно отбирается серьезными учеными. Критерии отбора – научность содержания, увлекательность формы и значимость для общества.

Фонд сопровождает весь процесс создания книги – от выбора до выхода из печати. Поэтому каждое издание библиотеки фонда – праздник для любителей научно-популярной литературы.

Больше о работе просветительского фонда «Эволюция» можно узнать по адресу

www.evolutionfund.ru

Предисловие

Радость

Математика прекрасна и приносит радость[1]. Нам знакомы шедевры в разнообразных областях деятельности человека. В изобразительном искусстве – «Мона Лиза», в театре – «Гамлет», в биологии – открытие роли ДНК в наследственности, в археологии – расшифровка иероглифов с помощью Розеттского камня, в физике – уравнение E = mc². Понять шедевры математики сложнее, поэтому я просто хочу поделиться с вами собственными предпочтениями.

Музеи изобразительных искусств хранят огромные коллекции, но выставляют на всеобщее обозрение лишь некоторые предметы. Так же и я отобрал некоторые шедевры и хочу представить их вашему вниманию.

Эта книга не настолько мала, чтобы я ограничился одной-единственной математической драгоценностью, но если бы мне предложили выбрать таковую, я бы остановился на доказательстве того факта, что простых чисел бесконечно много[2]. Этот пример демонстрирует, чем я руководствовался, выбирая темы для своего «Путеводителя»:

• Они неизвестны людям, не имеющим отношения к математике. Читатели могут знать, что такое простое число, но вряд ли они задумывались над вопросом, сколько всего существует простых чисел.

• Они высвечивают идею доказательства, и в особенности технику доказательства от противного.

• Для их понимания не требуется вузовская подготовка – хватит знаний, полученных в средней школе.

• Они полны сюрпризов. Ответы неочевидны. Легко понять, что существует бесконечно много нечетных чисел или идеальных квадратов, но нет четкого закона, по которому простые числа следуют друг за другом. Поразительно, что короткая цепочка рассуждений приводит нас к неоспоримому выводу о том, что простые числа никогда не иссякнут.

• Они имеют практическое применение, например в случае простых чисел это криптография.

Хотя некоторые темы, затронутые в нашем «Путеводителе», не обладают всеми перечисленными свойствами, каждая глава книги рассказывает о математическом чуде, которое удивит и заинтригует читателя.

В 1940 году британский математик Годфри Харди[3] опубликовал «Апологию математика» – личное оправдание того обстоятельства, что он потратил жизнь на изучение абстракций. В книге Харди рассказывал, сколько радости и блаженства он испытал. Но говорить о радости занятия математикой – все равно что говорить о радости плавания. Пока вы лично не поплещетесь в прохладной воде, вы не поймете, насколько это здорово.

Боюсь, для многих получение математических знаний было безрадостным процессом. Представьте, что занятия словесностью свелись к изучению орфографии и пунктуации, а чтение «Гарри Поттера» и сочинение своих собственных историй оказались под запретом. Случись такое, школьники вряд ли бы стали любить литературу.

Вот несколько утрированная иллюстрация того, как некоторые воспринимают изучение математики:

• В начальной школе мне рассказали, что у меня было десять апельсинов, а потом три апельсина кто-то отнял. Зачем? Я бы и так с ним поделился.

• В средней школе я нашел общий знаменатель и подсчитал какие-то проценты.

• В старших классах меня заставили запомнить формулу корней квадратного уравнения[4], я до сих пор могу написать ее, но так и не понял, зачем она мне нужна.

Разумеется, в математике есть много прикладных задач, но среди прочего она обладает великой красотой. Моя цель – поделиться хотя бы частью этой красоты.

Обзор

Математика изучает числа и геометрические фигуры, и я выбрал эти темы для первых двух частей «Путеводителя».

В части под названием «Число» мы исследуем некоторые необычные числа (например, √2 и e) и последовательности чисел (например, простые числа и числа Фибоначчи). Кроме того, читателя ждет множество неожиданных вещей: он узнает, как одна бесконечность может быть бесконечнее другой и почему в нашем мире на цифру 1 начинается большее количество чисел, чем на цифру 9.

В части под названием «Геометрические фигуры» мы вспомним хороших двумерных знакомых (например, круги и окружности), а также познакомимся с трехмерными фигурами (например, платоновыми телами) и с фигурами, чья размерность больше одного, но меньше двух (с фракталами). Нас ждет немало сюрпризов. Так, все знают, как застелить пол плитками в форме квадратов или равносторонних шестиугольников, но такое возможно и в случае с равносторонними пятиугольниками. Ну что, я вас удивил? Заинтриговал? Этого-то я и добивался.

Завершается книга частью под названием «Неопределенность», там мы рассмотрим идеи случайности, непредсказуемости и интуитивных вычислений. Вы узнаете о том, как чрезвычайно надежный медицинский тест может давать неточные результаты, есть ли смысл в рейтингах и как правильно выбрать кандидата, когда их число больше двух. Как и прежде, вас ждут сюрпризы.

Последовательность глав произвольна, и вы можете читать их в любом удобном вам порядке[5]. Сложность материала разнится от главы к главе, так что вы ничего не потеряете, если пропустите самые заковыристые главы, чтобы вернуться к ним впоследствии.

Как читать математические книги?

Не торопитесь. Все главы короткие, но чтобы уловить их основные идеи, нужно время. Я часто прибегаю к вычислениям или алгебраическим выкладкам, чтобы подвести базу под те или иные утверждения. Вы лучше поймете, о чем идет речь, если вооружитесь карандашом и бумагой. Иногда вам нужно будет перечитывать какие-то абзацы, чтобы разобраться во всем досконально.

Можно читать не в одиночку. Предложите приятелю обсудить идеи из книги. Вам придется объяснять их таким образом, чтобы он уловил, о чем вы говорите. Это поможет вам лучше овладеть концепциями, о которых вы прочитали.

Главы устроены так, что самые замысловатые идеи расположены в конце. Лучше всего читать каждую главу последовательно с начала. Возможно, в какой-то момент вы решите остановиться и перейти к следующей главе.

Что касается обложки…

На обложке изображено множество решений уравнения:

(x² + y² – 1)³ = x²y³. (*)

Какая пара чисел (x, y) удовлетворяет этому уравнению? Например, x = 1 и y = 0 при подстановке в левую и правую часть дадут одно и то же число, а именно 0. Если мы подставим x = –1 и y = 1, обе части (*) будут равны 1. Другими словами, пары (1, 0) и (–1, 1) являются решениями уравнения. Обратите внимание, что пара (0, 0) не является решением.

Существует бесконечно много решений уравнения, например x = 0,70711… и y = –0,41401… Если мы подставим эти числа в формулу, обе части будут равны –0,03548…

Бесконечное множество решений этого уравнения можно изобразить с помощью графика, если нанести на плоскость точки с координатами (x, y), где оба числа удовлетворяют уравнению (*). В этом случае мы получим изображение кривой в виде сердца, нарисованной на обложке.

Вы еще не полюбили математику? Когда дочитаете книгу, непременно полюбите.

Благодарности

Я хочу поблагодарить тех, кто давал плодотворные отзывы и полезные комментарии во время работы над книгой: Мордехая Леви-Эйчел, Джошуа Минкина, Йони Надив, Эми Шейнерман, Дэниела Шейнермана, Иону Шейнермана, Леонору Шейнерман, Наоми Шейнерман и Рейчел Шейнерман. Они читали черновик книги и давали полезные советы[6].

При подготовке книги к печати я получил замечательные отзывы рецензентов. О многих из этих людей я не знаю ничего, но имена некоторых, к счастью, мне известны. Спасибо за комментарии и энтузиазм Кристофу Бёрджерсу, Анне Лачовски и Джаядеву Атрейя.

Также я хочу поблагодарить Арта Беньямина за информацию о техасском холдеме в главе 19. Этот пример можно найти в задаче из книги Стюарта Айзера «Доктрина шансов: вероятностные аспекты азартных игр» (The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects Of Gambling).

Наконец, огромное спасибо за помощь издательству Йельского университета. Прежде всего – Джо Каламиа за его энтузиазм, множество полезных рекомендаций и ответы на мои непрерывные вопросы. Также я благодарю Энн-Мэри Имборнони за помощь при подготовке финальной версии, Лиз Кейси за дотошную редактуру, Соню Шэннон за дизайн, а Томаса Старра за великолепную обложку.

Прелюдия: теорема и доказательство

«Краса есть правда, правда – красота»,Земным одно лишь это надо знать[7].Джон Китс. Ода к греческой вазе

Красота – это первый критерий: в мире не найдется места для уродливой математики.

Г. Х. Харди. Апология математика

Что мы имеем в виду, когда говорим о чем-либо, что это правда? В науке истина открывается через наблюдения, часто во время эксперимента. Мы знаем, что планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам – к такому выводу пришел Иоганн Кеплер[8], дотошно изучив данные, полученные Тихо Браге[9]. Мы знаем, что скорость света в вакууме – это постоянная величина, – знаем опять-таки на основе повторяющихся непосредственных наблюдений.

На самом деле орбиты планет не совсем эллиптические, потому что притяжение Солнца в данном случае не единственный воздействующий фактор, гравитационные поля планет тоже влияют друг на друга. И мы не знаем наверняка, что скорость света в нашей галактике совпадает со скоростью света, скажем, в галактике Андромеды, потому что мы еще не добрались туда и не поставили необходимые эксперименты.

В науке истина не абсолютна – это цепочка приблизительных суждений, становящихся все более точными. Нам кажется, что Земля плоская, и для большинства повседневных дел это на редкость верное приближение. Однако если мы намерены предпринять путешествие на значительное расстояние от дома, такое приближение становится ошибочным. Гораздо лучше будет считать Землю шарообразной. Эта модель работает прекрасно, пока мы не начинаем путешествовать на куда бо́льшие дистанции, и тогда гораздо лучше считать Землю сфероидом, сплющенным на полюсах: длина экватора немного больше, чем длина линии сечения Земли плоскостью, проходящей через полюса[10]. Эта геометрическая форма была предсказана теорией и затем подтверждена экспериментальными данными.

В отличие от остальных наук, в математике истина абсолютна. Когда мы утверждаем, что сумма двух нечетных чисел – четное число, мы подразумеваем, что это всегда так, со стопроцентной гарантией. Откуда мы знаем? Дело в том, что мы можем доказать это.

Математическое доказательство приводит к полной уверенности. В других сферах человеческой деятельности тоже используется слово «доказательство». Например, экспертиза ДНК способна доказать вину или невиновность подозреваемого. Точность этой экспертизы высока, но не идеальна. ДНК-следы, найденные на месте преступления, могут быть испорчены. Или вдруг у преступника обнаружится брат-близнец. ДНК-следы ничего не говорят о том, что́ совершил обвиняемый, даже если он действительно побывал на месте преступления.

В математике критерии истины и проверки на истинность абсолютны. Верные математические утверждения называют теоремами. Вот простой пример: Сумма двух нечетных целых чисел – четное целое число. Например, 3 и 11 – нечетные числа, а их сумма 3 + 11 = 14 – четное число. Утверждение о том, что сумма двух нечетных чисел – четное число, имеет абсолютную силу и не допускает исключений.

Откуда мы это знаем? Мы можем снова и снова придумывать пары нечетных чисел и всякий раз убеждаться в том, что их сумма – четное число. Так работают естественные науки, но не математика. Мы абсолютно уверены, что теорема верна, потому что можем привести доказательство.

Чтобы не быть голословным, приведу это доказательство здесь. Вначале нам нужно точно договориться, что значит «четное» и «нечетное». Вот определения:

• Целое число X называется нечетным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a + 1. Например, 13 – нечетное число, потому что его можно выразить как 2 × 6 + 1.

• Целое число X называется четным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a. Элегантная формулировка: четное целое число – результат удвоения другого целого числа. Например, 20 четное, потому что 20 = 2 × 10.

После этих определений мы можем перейти к доказательству теоремы о том, что сумма двух нечетных целых чисел – четное число[11].

Доказательство. Пусть X и Y – нечетные целые числа. Это означает, что X = 2a + 1 и Y = 2b + 1, где a и b – целые числа. Сумма X и Y может быть представлена следующим образом:

X + Y = (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2 (a + b + 1).

Итак, X + Y представляет собой удвоенное целое число. Таким образом, X + Y – четное число.

Доказывать теоремы непросто, но это гораздо увлекательнее, чем читать чужие доказательства, потому попробуйте доказать следующее: результат перемножения двух нечетных целых чисел – тоже нечетное число. Попытайтесь справиться с задачей самостоятельно, а потом сверьтесь с доказательством в конце раздела[12].

Другие математические теоремы гораздо интереснее, а их доказательства гораздо сложнее, но цель у них все та же: обосновать математический факт со стопроцентной уверенностью.

Итак:

Теорема – это математическое утверждение, требующее доказательства своей неопровержимой истинности.

Интересные теоремы красивы. Надеюсь, этот «Путеводитель» поможет вам видеть математическую красоту и наслаждаться ею.

Заключительные слова

Какие три слова жаждут услышать математики?

Конечно, нам греет душу фраза: «Я люблю тебя», но в данном случае речь идет о других заветных словах: «Quod erat demonstrandum». В переводе с латинского они означают: «Что и требовалось доказать» – и обычно завершают математическое доказательство. Впрочем, немногие пишут эту фразу целиком, большинство ученых ограничиваются аббревиатурой QED. К сожалению, и она уже вышла из моды, и сейчас в конце доказательства принято использовать символ, например небольшой квадрат: □.

Часть I

Число

Глава 1

Простые числа