Большое космическое путешествие

Второй закон движения Ньютона описывает, что происходит с объектом, на который воздействует сила. На объект могут действовать разнообразные силы, но, независимо от конкретных сил, именно их сумма дает отклонение от равномерной скорости. Чтобы количественно выразить такое отклонение, используется термин «ускорение»: ускорение – это изменение скорости за единицу времени. Следовательно, второй закон соотносит ускорение объекта с силой, действующей на него. Если подтолкнуть объект с некоторой силой, то объект ускорится. Если объект обладает небольшой массой, то ускорение будет велико; с другой стороны, приложив ту же силу к более массивному объекту, мы сообщим ему меньшее ускорение. Данное отношение описывается самым знаменитым уравнением Ньютона F= ma: сила равна произведению массы на ускорение.

Третий закон Ньютона можно «запросто» сформулировать так: «Ты толкаешь меня – я толкаю тебя». Таким образом, если одно тело с силой воздействует на другое, то второе тело воздействует на первое с равной, но противоположно направленной силой. Если хлопнуть рукой по столешнице, то ощущается отдача: сопротивление стола. Сила действия равна силе противодействия.

Допустим, у вас на ладони лежит яблоко. Определенно оно находится в покое. Действуют ли на него какие-либо силы? Да, земная гравитация. Яблоко должно с ускорением лететь вниз, но этого не происходит. Дело в том, что вы удерживаете его рукой, словно подталкиваете вверх (на это затрачивается ваша мышечная сила). По третьему закону Ньютона, яблоко давит на ладонь – так ощущается вес яблока. Сила притяжения Земли действует на яблоко вниз, а сила вашей руки толкает яблоко вверх. Две эти силы компенсируют друг друга, их сумма равна нулю. Нулевая сила означает нулевое ускорение по второму закону Ньютона. Поэтому яблоко остается в покое и никуда не катится.

На самом деле все еще интереснее. Выше мы вычислили, что Земля облетает Солнце по кругу со скоростью 30 км/с, а значит, и яблоко движется с той же скоростью. Чтобы разобраться с этим, давайте сделаем отступление и поговорим о природе кругового движения.

При движении Земли по кругу со скоростью 30 км/с ее скорость является постоянной, но не является равномерной, так как направление движения Земли постоянно изменяется. Если бы направление не менялось, то Земля бы просто улетела по прямой, а не вращалась по кругу. Ускорение, возникающее при движении по кругу, встречается и в повседневной жизни. В развлекательных парках есть разнообразные аттракционы-горки, и на них такое ускорение пробирает вас насквозь.

Чтобы определить ускорение, испытываемое объектом, который движется с постоянной скоростью v по кругу радиусом r, Ньютон воспользовался собственноручно изобретенным дифференциальным исчислением. Такое ускорение равно v2/r, оно направлено к центру круга. Яблоко у вас на ладони, которое кажется неподвижным, на самом деле летит со скоростью 30 км/с по этому колоссальному кругу, причем с ускорением. По второму закону Ньютона на яблоко должна действовать какая-то сила, и эта сила – гравитационное притяжение Солнца. Солнце тащит Землю по орбите со скоростью 30 км/c, а вместе с ней тащит и яблоко. Яблоко испытывает силу солнечной гравитации, точно как вы и я.

Мы летим вокруг Солнца со скоростью 30 км/c. Учитывая, как велика эта скорость, кажется, что результирующее ускорение также должно быть огромным, но ускорение на самом деле невелико, поскольку радиус круга огромен. Давайте посчитаем. Скорость Земли равна 30 км/c или 30 000 м/c, а радиус земной орбиты – 150 000 000 000 м. По формуле v2/r ускорение a равно (30 000 м/c)2/150 000 000 000 м = 0,006 м/с2, или 0,006 метра в секунду за секунду. Таким образом, скорость Земли ежесекундно меняется на 6 миллиметров в секунду. Величина крошечная. Галилей открыл, что тела падают на Землю под действием земного притяжения с ускорением примерно 9,8 метра в секунду за секунду, это значение гораздо больше. Следовательно, пусть мы и летим вокруг Солнца с огромной скоростью, Земля при этом ускоряется совершенно незначительно. Напротив, на американских горках наша скорость куда ниже 30 км/c, но радиус круга, по которому мы движемся, крохотный; подставив это меньшее значение r в формулу v2/r, получаем довольно большое ускорение, которое весьма ощутимо. (Так, если радиус горок – 10 метров, а вы летите по ним со скоростью 10 м/c, то получается ускорение 10 метров в секунду за секунду).

Если попытаться проследить гравитационное воздействие Солнца, то складывается более тонкая ситуация. Солнечная гравитация сообщает одинаковое ускорение всем телам на Земле – вам, книге, которую вы держите, яблоку на ладони. Все мы вращаемся по околосолнечной орбите свободного падения. Нам только кажется, что мы неподвижны; просто мы не замечаем этого движения, равно как не замечаем и ускорения.

Но факт остается фактом: Земля вращается вокруг Солнца с ускорением, и это ускорение вычисляется по формуле v2/r. Далее Ньютон применил третий закон Кеплера, чтобы определить, как сообщаемое Солнцем ускорение изменяется в зависимости от радиуса. Период орбитального вращения планеты (P) равен

P = (2πr/v);

следовательно, орбитальный период вычисляется как расстояние, проходимое планетой по орбите (2πr), деленное на скорость (v). Таким образом:

P пропорционально r/v и

P2 пропорционально r2/v2.

Кеплер установил, что P2 пропорционально a3, где a — большая полуось планетной орбиты. В данном случае земная орбита почти круговая, поэтому можно приблизительно взять r = a. В таком случае, подставив r вместо a, находим:

P2 пропорционально r3.

ПосколькуP2 также пропорционально r2/v2,

r2/v2 пропорционально r3.

Разделив на r, получаем:

r/v2 пропорционально r2.

Обратив это выражение, находим, что

v2/r (ускорение) пропорционально 1/r2.

При помощи таких рассуждений, третьего закона Кеплера и элементарной алгебры мы показали, что гравитационное ускорение, сообщаемое Солнцем другому телу, удаленному от него на расстояние r, обратно пропорционально квадрату этого расстояния; это и есть ньютоновский «закон обратных квадратов». Вот как его сформулировал сам Ньютон:

…в это время я был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после. Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояний от центров, вокруг коих они вращаются.

Такие представления о гравитации Ньютон также применил к Земле и Луне. Вспомните знаменитое упавшее яблоко, вдохновившее Ньютона. Оно расположено на расстоянии одного земного радиуса от центра Земли и падает на Землю с ускорением 9,8 м/с2. Луна расположена на расстоянии 60 земных радиусов от центра Земли. Если сила тяготения Земли убывает в пропорции 1/r2 (как и у Солнца), то на лунной орбите земное притяжение должно давать ускорение в (60)2 раз меньше тех 9,8 м/с2, которым равно ускорение свободного падения на поверхности Земли, то есть около 0,00272 метра в секунду за секунду.

Точно как и в случае с вращением Земли вокруг Солнца, можно рассчитать ускорение Луны, вращающейся вокруг Земли, взяв период вращения (27,3 дня) и радиус лунной орбиты (384 000 километров). Подставив эти числа в формулу v2/r, получаем ускорение 0,00272 метра в секунду за секунду. Эврика! Как красиво все согласуется с моделью, где расчет велся от яблока. По словам самого Ньютона, два этих результата показались ему «весьма близко совпадающими». Одна и та же сила притягивает к Земле и яблоко, и Луну, причем траектория Луны искривляется и становится не прямолинейной, а круговой, что позволяет ей удерживаться на приблизительно концентрической околоземной орбите. Сила земного притяжения, под действием которой падает яблоко, распространяется и на орбиту Луны. Ньютон совершил это открытие, когда жил в доме бабушки, – Кембриджский университет в те годы был закрыт из-за чумы. Но он не опубликовал результаты своей работы. Вероятно, он был раздосадован, что наблюдения не вполне согласовывались с прогнозом – небольшое расхождение могло быть связано с тем, что Ньютон пользовался неточным значением земного радиуса. Как бы то ни было, опубликовать эти расчеты лишь много лет спустя уговорил Ньютона Эдмунд Галлей (в честь которого названа комета).

Ньютон сформулировал закономерность, которую часто называют пафосным выражением «Закон всемирного тяготения» – с ним вы познакомились в главе 2. Рассмотрим два объекта – например, Землю и Солнце. Расстояние между ними (1 а.е., или 1,5 × 108 км) примерно в 100 раз превосходит диаметр самого Солнца (1,4 × 106 км). Эти тела обладают соответственно массами M_ЗЕМЛ и М_СОЛН.

Ньютон обнаружил, что сила притяжения между двумя этими телами пропорциональна массе каждого из них и обратному квадрату расстояния r между ними (как я уже говорил, он пришел к такому выводу, опираясь на третий закон Кеплера). «Пропорциональна» в данном случае означает, что сила будет включать константу, характеризующую пропорциональность, – она называется G, или «постоянная Ньютона», в честь сэра Исаака. Вот формула Ньютона, описывающая тяготение между Солнцем и Землей:

F = GM_ЗЕМЛМ_СОЛН/r2.

Речь идет о силе притяжения; два тела притягиваются друг к другу, и, следовательно, эта сила направлена от первого тела ко второму и от второго к первому.

По третьему закону Ньютона эта формула охватывает как силу притяжения Земли к Солнцу, так и силу притяжения Солнца к Земле. Но Солнце неизмеримо массивнее Земли. По второму закону Ньютона ускорение есть сила, деленная на массу. Следовательно, ускорение Земли гораздо, гораздо больше ускорения Солнца, и скорость, сообщаемая Солнцу из-за такого ускорения, крошечная по сравнению со скоростью Земли (Солнце и Земля вращаются вокруг общего центра масс, но он находится под поверхностью Солнца. Солнце минимально колышется вокруг этого центра, тогда как Земля описывает вокруг Солнца большой круг).

Рис. 3.1. Ускорение Луны и ньютоновского яблока, падающего с дерева. Обратите внимание: в обоих случаях вектор ускорения (изменения скорости) направлен к центру Земли. Предоставлено Дж. Ричардом Готтом

Рассмотрим еще одно удивительное следствие из формулы Ньютона. По второму закону Ньютона сила гравитации, формулу которой мы записали чуть выше, равна произведению массы Земли (M_ЗЕМЛ) на ее ускорение, а при движении по кругу ускорение равно v2/r. Таким образом, формулу F = ma можно переписать:

GM_ЗЕМЛМ_СОЛН/r2= M_ЗЕМЛv2/r.

Обратите внимание: масса Земли присутствует и в левой, и в правой части тождества, поэтому ее можно сократить, и останется:

GМ_СОЛН/r2= v2/r.

Это означает, что ускорение Земли (GМ_СОЛН /r2= v2/r) не зависит от массы Земли. Это примечательный факт. Ускорение силы тяжести не зависит от массы ускоряющегося объекта, это касается и околосолнечных орбит, и тел, падающих на Землю в ее гравитационном поле, – все потому, что масса тела оказывается и в левой, и в правой части уравнения и, соответственно, сокращается. Если я брошу книгу и лист бумаги, то они будут испытывать одно и то же ускорение и должны падать с одинаковой скоростью, хотя книга гораздо массивнее. Галилей утверждал, что именно так и должно быть в вакууме. Так ли это на практике? Нет, книга и лист падают с разной скоростью из-за сопротивления воздуха. Сопротивление воздуха воздействует как на книгу, так и на лист, но поскольку книга гораздо массивнее, сопротивление воздуха ускорению книги будет невелико – в сущности, пренебрежимо. Однако если я положу лист бумаги на толстую книгу, так чтобы книга исключала соприкосновение листа бумаги с воздухом, и брошу их как одно целое, то они упадут вместе. Можете сами проверить!

Когда астронавты экипажа «Аполлона-15» прибыли на Луну, они захватили с собой молоток и перо, чтобы экспериментально проверить этот принцип. На Луне практически нет атмосферы; у ее поверхности – самый настоящий вакуум, соответственно никакого сопротивления воздуха там не будет. Когда астронавты одновременно бросали молоток и перо, те падали абсолютно синхронно, точно как прогнозировал Ньютон (и Галилей). В Интернете можно посмотреть видеозапись этого эксперимента.

Возможно, вам известно, что Аристотель в данном случае ошибался. Он считал, что более массивные тела должны падать быстрее и с большим ускорением. Это казалось ему логичным, но на самом деле он ни разу не поставил эксперимент, чтобы проверить, а верна ли эта идея. Он мог бы взять камень побольше и камень поменьше (ни на один камень сопротивление воздуха практически не действует), бросить их и убедиться, что оба камня упадут практически одновременно. Вывод: в науке исключительно важно экспериментально проверять любые интуитивные догадки!

Рассмотрим смежную проблему. Сила тяготения Земли воздействует на яблоко, которое вы держите в поднятой руке. В формуле Ньютона есть величина r – расстояние от яблока до Земли. Можно было бы подумать, что здесь имеется в виду расстояние от яблока до пола, около 2 метров. Оказывается, это неверно. Ньютон осознал, что нужно учитывать притяжение каждого грамма земной массы; не только той, что у вас под ногами, но и всей остальной, вплоть до противоположного полушария. Ему потребовалось около 20 лет, чтобы выполнить такие вычисления. Пришлось сложить силы притяжения каждого отдельного кусочка Земли, у каждого из которых – свое расстояние и направление от яблока. Для сложения всех этих сил потребовалось изобрести совершенно новую область математики, сегодня именуемую интегральным исчислением. Результат такого вычисления показывает, что гравитация шарообразного тела (например, Земли) действует так, как будто вся масса сконцентрирована в центре этого тела, – интуитивно совершенно не очевидно. Чтобы вычислить силу тяготения, действующую на яблоко, нужно представить, что вся масса Земли локализована в одной точке на глубине 6371 километров – таково расстояние от поверхности до центра Земли. Мы уже пользовались таким методом, когда сравнивали падающее яблоко и вращающуюся на орбите Луну.

Но вертикальное падение яблока (прямо вниз) определенно не похоже на орбитальное вращение Луны. Почему Луна летает кругами, а яблоко просто падает на землю? Чтобы забросить яблоко на орбиту, мне бы пришлось горизонтально швырнуть его по прямой так сильно, чтобы оно могло облететь всю Землю. Есть, например, космический телескоп «Хаббл», летающий всего в нескольких сотнях километров над поверхностью Земли. Примерно за полтора часа он облетает околоземную орбиту, окружность длиной около 40 тысяч километров. Можно вычислить его скорость – где-то 8 километров в секунду. Итак, чтобы забросить яблоко на орбиту, нужно швырнуть его строго по горизонтали со скоростью восемь 8 в секунду.

Предположим, вы стоите на вершине высокой горы (где эффект трения атмосферы уже можно не учитывать) и бросаете объекты по горизонтали на все более высокой скорости. Бросьте яблоко так сильно, как сможете, – и оно почти сразу упадет на землю. Пригласите для броска бейсболиста-профессионала – он кинет яблоко немного дальше, но оно все равно упадет. Теперь пусть яблоко бросит Супермен. Он будет бросать все сильнее и сильнее, яблоко будет долетать все дальше, пока криволинейная траектория яблока не упрется в землю. Но поверхность Земли не плоская; на больших расстояниях становится заметно, что она также изгибается книзу. Супермен действительно может швырнуть яблоко так, чтобы оно летело со скоростью 8 километров в секунду. Такой объект также будет падать под действием гравитации, но его криволинейная траектория будет повторять кривизну Земли. Поэтому этот объект так и не упадет, а окажется на круговой околоземной орбите. Объект на орбите все время падает и при этом не попадает на Землю. Когда вы бросаете яблоко, оно падает под действием земного тяготения. Благодаря все тому же тяготению Земли, и космический телескоп «Хаббл», и Луна вращаются вокруг Земли (орбита Луны гораздо выше, поэтому Луна движется намного медленнее). На низкой околоземной орбите вы падаете со скоростью вращения Земли, поэтому так и не можете упасть. Ньютон понимал это и теоретически описал искусственный спутник Земли – за 270 лет до того, как спутник был сконструирован!

Если вам доводилось ехать на лифте, который вдруг резко уходил вниз, то в течение какого-то мига вы ощущали, что падаете и все вокруг падает вместе с вами. Если бросить яблоко, то оно упадет, а вы нет, так как вас держит земля под ногами. Вы остаетесь в покое относительно окружающих предметов, а яблоко падает под действием гравитационного ускорения. Если бы вы держали в руке яблоко, а вас при этом сшибли с ног, то вы бы увидели, как падаете вместе с яблоком (пока не очутились бы на полу).

Вероятно, вы видели снимки астронавтов, работающих на Международной космической станции на околоземной орбите. Земное притяжение действует как на астронавтов, так и на МКС. Но все тела в пределах МКС падают с одинаковой скоростью – вспомните наши расчеты, демонстрирующие, что гравитационное ускорение не зависит от массы объекта, находящегося на орбите. Когда все падает с одинаковой скоростью, астронавты ощущают невесомость. «Вес» фиксируется на обычных напольных весах, когда вы на них стоите (или, что эквивалентно, фиксируется отдача весов по третьему закону Ньютона). Но если вы падаете вместе с весами, то не давите на них – они покажут «0». Вы будете невесомы.

Это, однако, не означает, что ваша масса равна нулю. Масса и вес не одно и то же! Масса, по Ньютону, – это величина, учитываемая во втором законе движения (где соотносятся силы, массы и ускорение); именно благодаря этой величине возникает и тяготение. Когда кто-то говорит, что «хочет избавиться от лишнего веса», на самом деле он хочет сбавить собственную массу. Жир имеет массу, именно от жира человек и избавляется. Тогда, прилагая прежние усилия, человек легче ускоряется и начинает свободнее двигаться.

Давайте подытожим достижения Ньютона. Изучая движения планет, известных на то время, Кеплер вывел три закона, описывающих планетные орбиты. Затем явился Ньютон и совершенно переосмыслил открытия Кеплера; сформулировав три своих закона движения, он пытался понять, как движется все на свете, а не только шесть планет, вращающихся вокруг Солнца. Кроме того, он подвел физическую базу под силу тяготения – важнейшую силу в астрономии. Воспользовавшись третьим законом Кеплера, он показал, что сила тяготения должна ослабевать по формуле 1/r2. Он обнаружил, что два тела, пребывающие в гравитационном взаимодействии, притягиваются друг к другу; так, гравитационное взаимодействие Солнца и любой планеты вычисляется по формуле F = GМ_СОЛНM_ПЛАН/r2. Резюмируя все это, видим, что третий закон Кеплера можно выразить на уровне ньютоновских законов движения и закона тяготения. Ньютон предложил гораздо более обширное понимание физики, лежащей в основе третьего закона Кеплера, нежели сам Кеплер.

Окончательный триумф Ньютона наступил, когда подтвердилось, что по третьему закону движения планета должна двигаться по идеально эллиптической орбите, причем в одном из фокусов эллипса находится Солнце, а также что линия, проведенная между планетой и Солнцем, будет заметать равные площади за равные промежутки времени. Теперь все три закона Кеплера можно было напрямую вывести из единственного закона гравитационного притяжения, сформулированного Ньютоном, плюс трех его законов движения.

Ньютоновские законы тяготения были первыми физическими законами, которые мы поняли. Важно, что на их основе можно было делать проверяемые прогнозы. Галлей воспользовался законами Ньютона и открыл, что несколько комет, прилетавших в течение веков (в том числе комета 1066 года, изображенная на гобелене из Байё), – это в действительности одна и та же комета, вращающаяся по очень вытянутой эллиптической орбите. Она прилетает примерно раз в 76 лет. На ее движение влияют Юпитер и Сатурн, так как комета пересекает их орбиты, и слегка варьирующиеся сроки прибытия этой кометы можно предсказать при помощи законов Ньютона, тогда как, по законам Кеплера, вращение этой кометы должно быть строго периодическим. Галлей указал, что комета должна вернуться в 1758 году. Он умер в 1742 году, не дождавшись этого события, но комета действительно явилась в 1758 году и уже в следующем году была названа кометой Галлея. Приближение кометы к Солнцу на минимальное расстояние с точностью до месяца смогли спрогнозировать Алекси Клеро, Жером Лаланд и Николь-Рейн Лепот, воспользовавшиеся законами Ньютона. Это было блестящее подтверждение ньютоновских законов тяготения.

Законы Ньютона помогли совершить еще одно выдающееся открытие. Планета Уран не вполне им подчиняется; ее орбита кажется немного искривленной. Урбен Леверье обнаружил, что эти отклонения можно объяснить, если Уран испытывает тяготение некоей невидимой планеты, расположенной еще дальше от Солнца. Он спрогнозировал, где может находиться эта планета, и в 1846 году Иоганн Готфрид Галле и Генрих Луи д’Арре, воспользовавшись расчетами Леверье, нашли эту планету лишь в 1° небесной сферы от указанной им точки. Законы Ньютона помогли открыть новую планету – Нептун. Репутация Ньютона достигла запредельных высот.

Читая эту книгу и пытаясь постичь Вселенную, мы будем вновь и вновь обращаться к этим базовым понятиям, описывающим силу и тяготение.

Глава 4

Как звезды излучают энергию (I)

Автор: Нил Деграсс Тайсон

Теперь давайте попытаемся осмыслить расстояния до звезд. Как мы уже знаем, расстояние от Земли до Солнца, равное 150 миллионам километров (или 1 а.е.), примерно в 100 раз превышает диаметр самого Солнца. Если уменьшить расстояние от Земли до Солнца до одного метра, то поперечник Солнца составит 1 сантиметр. Ближайшие звезды удалены от нас примерно на 200 000 а.е., поэтому, при описываемом уменьшении, они окажутся в 200 километрах. Межзвездное пространство несравнимо объемнее самих звезд. Такие расстояния удобно пересчитывать не в километрах или сантиметрах, а с учетом времени, за которое их преодолевает свет.

Скорость света, обозначаемая буквой c, равна 3 × 108 метров в секунду – еще одно число, которое стоит запомнить. В главе 17 мы подробно рассмотрим, почему эта скорость является абсолютно предельной. Ничто не может двигаться быстрее света. Поскольку мы отслеживаем звезды именно по их свету, кажется естественным измерять расстояние именно в таких единицах. Одна световая секунда – это расстояние, преодолеваемое лучом света за секунду, то есть 3 × 108 метров, или 300 000 километров, – примерно всемеро больше земного экватора. Луна удалена от нас на 384 000 километров, свет проходит это расстояние за 1,3 секунды. Можно сказать, что расстояние до Луны – 1,3 световой секунды. Расстояние от Земли до Солнца (1 а.е.) равно примерно 8 световым минутам; свет преодолевает его за 8 минут. Ближайшие звезды расположены в 4 световых годах от нас. Итак, световой год – это не мера времени, а мера длины: он равен расстоянию, которое свет преодолевает за год. Один световой год равен примерно 10 триллионам километров. Свет ближайших звезд, который мы видим сегодня, покинул их 4 года назад. Во Вселенной мы постоянно смотрим в прошлое. Эти ближайшие звезды мы видим не такими, каковы они сейчас, а такими, каковы они были 4 года назад.

Нечто подобное наблюдается и в повседневной жизни. Можно сказать, что скорость света равна примерно 30 сантиметрам в наносекунду, поэтому два человека, сидящих по разные стороны стола, видят друг друга с запаздыванием в пару наносекунд. Разумеется, такой крошечной погрешности мы просто не замечаем, но такое запаздывание неотделимо от зрительного контакта.

Как измерить расстояние до ближайших звезд? Четыре световых года – это чрезвычайно много. Нам просто не хватит никакой рулетки, чтобы дотянуться до звезды. Поэтому давайте рассмотрим, что такое параллакс. Земля вращается вокруг Солнца (рис. 4.1). В январе Земля находится по одну сторону от Солнца, а полгода спустя, в июле, – по другую. Справа от Земли, в центре рисунка, изображена звезда, расположенная относительно недалеко, а еще правее показаны далекие звезды. Они настолько отдалены от нас, что я просто поставлю их на край страницы в линию. Теперь допустим, что я сфотографировал близлежащую звезду 1 января. В таком случае я увижу на снимке все звезды, которые были на небе, в том числе интересующую нас (на схеме она закрашена). На рис. 4.1 показано, как звездное небо выглядит с Земли 1 января. Сама по себе эта картинка, конечно, ни о чем не говорит. Помните, я не знаю, какие звезды далеко, а какие близко, – пока мне об этом ничего не известно. Но мы выждем полгода и вновь сделаем такую фотографию в июле, когда Земля будет на противоположной стороне орбиты, в совершенно новой точке. Теперь мы увидим точно такой же звездный фон, но интересующая нас звезда (закрашена) словно передвинется со своего прежнего места в точку, соответствующую июльскому положению Земли. Звезда сместится. Все остальные, в принципе, останутся на своих местах. Что произойдет за следующие 6 месяцев? Она вернется на прежнее место, туда, где была в январе. Звезда так и смещается между двумя точками в зависимости от того, в какой день года мы ее наблюдаем.

Промотайте две фотографии одну за другой, как в мультфильме, вперед, потом назад. Если при этом обе фотографии идентичны, за исключением одной звезды, которая смещается, то именно эта звезда расположена к вам ближе всех остальных. Если бы эта звезда была еще ближе, то смещение на снимке получилось бы еще заметнее. Ближние звезды сильнее «смещаются». Я пишу это слово в кавычках, поскольку звезда, конечно, никуда не движется – это мы постоянно вращаемся вокруг Солнца; все смещение связано с изменением нашей точки обзора.

Рис. 4.1. Параллакс. Когда Земля вращается вокруг Солнца, расположенная поблизости звезда смещается на фоне более удаленных звезд. Предоставлено Дж. Ричардом Готтом

Хотите – убедитесь сами. Закройте левый глаз, вытяните руку и оттопырьте большой палец. Смотрите только правым глазом, и постарайтесь найти такой предмет, который просматривается на одной линии с большим пальцем. Затем приоткройте второй глаз. Что произойдет? Большой палец словно сдвинется. Теперь отставьте палец на половину длины руки и повторите опыт. Палец сдвинется еще значительнее. Открыв этот эффект, люди осознали, что он работает и со звездами. Ближняя звезда подобна большому пальцу, а диаметр земной орбиты – промежутку между двумя глазами. Естественно, если вы попытаетесь определить расстояние до звезды на глаз, это будет неэффективно, ведь несколько сантиметров между зрачками – слишком малое расстояние, чтобы можно было увидеть звезду под явственно разными углами. Но диаметр земной орбиты – 300 миллионов километров. Вполне достаточное расстояние, чтобы подмигнуть Вселенной и измерить, как далеко от тебя расположена та или иная звезда.

Как смотреть стереоскопические трехмерные картинки

Человеческое зрение таково, что мы видим окружающий мир в перспективе, – и все потому, что точки обзора у обоих глаз немного отличаются. Именно поэтому мы можем «обманываться» и видеть изображение в перспективе даже на плоской книжной странице. Все, что для этого требуется, – рассмотреть бок о бок расположенные картинки, одна из которых изображена «с точки зрения» правого глаза, а другая – левого. В стереопаре с рис. 4.2 изображение для правого глаза расположено слева, а для левого – справа, поэтому линии обзора должны пересекаться. Взглянуть на картинку таким образом проще, чем кажется. Одной рукой держите картинку на расстоянии около 40 сантиметров перед глазами. Указательный палец другой руки поставьте ровно на половине пути от глаз до страницы. Посмотрите на страницу. Вы увидите два нечетких прозрачных изображения пальца (при этом одно фиксируется левым глазом, а другое – правым). Поводите указательным пальцем вперед-назад, пока два «пальца» не сойдутся воедино посередине нижней части картинки. Может быть, придется слегка наклонять голову влево и вправо, пока два изображения пальца не выровняются друг с другом. Теперь внимательно смотрите на палец. Перед вами должен четко вырисовываться палец, а за ним – три расплывчатые копии картинки со страницы. Переключите внимание на среднюю картинку, не меняя положения глаз. Должно получиться красивое объемное изображение, где на звездном фоне просто сияет яркая звезда Вега! Вы заметите, что разные звезды – на разных расстояниях. Мозг автоматически измеряет их смещения и высчитывает параллакс. Разумеется, именно так и можно увидеть трехмерное изображение. Мозг постоянно высчитывает параллаксы, измеряя расстояние до всех видимых объектов. Если просто посмотреть на палец, то глаза сами собой на нем сойдутся. За пальцем окажутся три расплывчатые картинки. Сфокусируйтесь на центральном – и оно станет объемным. Потренируйтесь, здесь нужно немного напрактиковаться. Не каждый в состоянии такое увидеть, но если вы умеете – вас ждет потрясающее зрелище, и такой навык стоит освоить. Мы еще воспользуемся таким искусством на страницах этой книги, когда будем рассматривать рис. 18.1.

На рис. 4.2 показан подобный пример, с созвездием Лиры. Звезды на двух картинках показаны смещенными пропорционально их наблюдаемому параллаксу, как будто перед нами – два снимка, сделанных с земной орбиты с интервалом 6 месяцев. Мы немного увеличили смещение, чтобы оно было хорошо заметно.

Самая яркая звезда на снимке называется Вега, от нас до нее всего 25 световых лет. Она гораздо ближе к нам, чем соседствующие с ней звезды из центра Лиры. Если внимательно сравнить две картинки и поискать отличия, то будет заметно, что Вега сместилась сильнее других звезд.

Чем дальше звезда, тем меньше такое смещение. Но таким способом можно измерить расстояние до очень многих относительно близких звезд. Для этого придется воспользоваться простейшими геометрическими фактами.

Рис. 4.2. Параллакс Веги. Две смоделированные фотографии созвездия Лиры выглядят так, как будто они сделаны с земной орбиты с интервалом 6 месяцев, пока Земля вращается вокруг Солнца. Параллакс каждой звезды на картинках обратно пропорционален расстоянию до нее. (Смещения параллаксов значительно увеличены, чтобы они были легко заметны.) Вега (самая яркая звезда в созвездии Лира) находится на переднем плане, до нее всего 25 световых лет, она сдвигается сильнее всего. Чтобы оценить смещение параллакса Веги, достаточно сравнить ее положение на двух картинках. Эту картинку также можно смотреть в трехмерном виде – о том, как это делается, рассказано во врезке на с. 58. Постарайтесь, и увидите оба изображения как в стереоочках. Предоставлено Робертом Дж. Вандербеем и Дж. Ричардом Готтом

На рис. 4.1 мы видели, что в январе ближайшая звезда находится на фоне одной совокупности звезд, а в июле – уже на фоне другой. Половину такого смещения принято называть углом параллакса, он соответствует сдвигу, который можно было бы увидеть, если передвинуться всего на 1 а.е., а не на 2 а.е. Мы знаем, чему равен радиус земной орбиты (1 а.е.) в километрах. Можем измерить угол параллакса. Представьте себе треугольник, в вершинах которого расположены Земля, Солнце и звезда. Это будет прямоугольный треугольник, причем в вершине с углом 90° находится Солнце. Смещение угла, фиксируемое в течение года при наблюдении за близлежащей звездой, в точности соответствует тому смещению, которое заметил бы наблюдатель с той звезды, глядящий в вашу сторону. Таким образом, наблюдаемый вами угол параллакса (половина общего смещения) будет равен углу между Солнцем и Землей (в июле), который измерил бы наблюдатель с близлежащей звезды (вновь см. рис. 4.1). Следовательно, построенный нами треугольник имеет угол в 90° у вершины с Солнцем, угол, равный углу параллакса, у вершины с близлежащей звездой, а угол у вершины с Землей равен 90° минус угол параллакса. Это так, поскольку, согласно евклидовой геометрии, сумма углов треугольника равна 180°.

Нам известна длина одного из катетов треугольника (расстояние от Солнца до Земли), и если знать градусные меры всех углов треугольника, то можно измерить и длину катета, соединяющего Солнце и близлежащую звезду. Таким образом мы напрямую измеряем расстояние до звезды. Теперь давайте изобретем новую меру расстояния. Возьмем в качестве данной меры такое расстояние, чтобы удаленная на это расстояние звезда имела параллакс в одну угловую секунду. Естественно, 1 угловая секунда равна 1/60 угловой минуты, а угловая минута равна 1/60 градуса. Таким образом, угловая секунда равна 1/3600 градуса. Известно, каково может быть расстояние до звезды, параллакс которой составляет 1 угловую секунду. Такое расстояние называется 1 парсек. Нравится такое название? Угол параллакса в 1 угловую секунду равен 1/(360 × 60 × 60) полной окружности. Если звезда расположена на расстоянии d, то длина такой окружности будет равна C = 2πd. Отрезок между Землей и Солнцем r = 1 а.е. противолежит 1/(360 × 60 × 60) данной окружности, таким образом, 1 а.е./2πd = 1/(360 × 60 × 60). Следовательно, для параллакса в 1 угловую секунду d = 206 265 а.е. = = 1 парсек. Все это – просто евклидова геометрия.

В сериале «Звездный путь» эта единица длины используется довольно часто. Сколько это в световых годах? 3,26 светового года. Парсек – классная и интересная единица, но в этой книге мы будем оперировать прежде всего световыми годами. Если вам когда-нибудь встретится термин «парсек», то знайте его этимологию. Астрономы составили это слово из фрагментов двух других терминов: «параллакс» и «угловая секунда». Звезда с параллаксом 1/2 угловой секунды удалена от нас на 2 парсека, звезда с параллаксом 1/10 угловой секунды – на 10 парсеков. Все просто. В астрономии встречаются некоторые очень емкие термины, например «квазар». Дословно он означает «квазизвездный радиоисточник». «Пульсар» – это пульсирующая звезда. Мы придумали, а людям нравится. Есть часы Pulsar.

Какая звезда самая близкая к Земле? Это Солнце. Если вы ответили «альфа Центавра» – значит, я вас провел. Альфа Центавра – это ближайшая к Солнцу звездная система. Альфа – это самая яркая звезда конкретного созвездия, в данном случае речь идет о созвездии Центавр, что на Южном полушарии неба. На самом деле, альфа Центавра – это система из трех звезд, и одна из этих звезд расположена ближе всего к Солнцу. Тройная звездная система – это очень круто. В нее входят альфа Центавра А, звезда, схожая по типу с Солнцем, ее диаметр – 123 % солнечного; альфа Центавра B, ее диаметр – 86,5 % солнечного, и Проксима Центавра – тусклая красная звезда, диаметр которой – всего 14 % солнечного. Из трех этих звезд ближе всего к Солнцу расположена Проксима Центавра. Поэтому она и называется «Проксима» – в переводе с латыни «ближайшая». До нее примерно 4,1 светового года, ее параллакс – 0,8 угловой секунды.

Одна угловая секунда – это очень, очень мало. Вспомните практически любую фотографию ночного неба, которую вам доводилось видеть, сделанную с Земли при помощи профессионального телескопа, – видимый размер звезды на таком снимке обычно составляет около одной угловой секунды. Это типичный показатель для наземных телескопов. Качество фотографий с космического телескопа «Хаббл» в десять раз лучше. Когда мы работаем с наземными телескопами, нам страшно мешает атмосфера, из-за которой все звезды выглядят размытыми. Звездный свет прилетает к нам в виде идеально очерченной точки, строго следуя выбранному курсу. Затем он врезается в атмосферу, рассеивается, переливается и размазывается – вот и получается такое пятнышко. Мы на Земле говорим: «Как красиво! Звездочка мерцает». Но мерцание – просто погибель для астронома, рассматривающего звезду, а типичная ширина такого мерцания – 1 угловая секунда.

Обратите внимание: расстояние в 1 парсек меньше, чем до ближайшей звезды. Вот почему прошли тысячи лет, прежде чем удалось измерить параллакс. Первый звездный параллакс лишь в 1838 году измерил немецкий математик Фридрих Бессель. (Если атмосфера искажает звезду более чем на 1 угловую секунду в ширину, то астроном должен сделать при помощи телескопа множество замеров, чтобы достичь точности выше 1 угловой секунды.) На самом деле аргументы в пользу вращения Земли вокруг Солнца, выдвинутые Аристархом более 2000 лет назад, опровергались именно потому, что в те времена не удавалось наблюдать параллакс. Древние греки были смышленые ребята. «Ладно, – говорили они, – вам не нравится наша геоцентрическая Вселенная, где Солнце вращается вокруг Земли?» Они знали, что если бы Земля действительно вращалась вокруг Солнца, то ближайшие звезды просматривались бы под разными углами, в зависимости от того, с какой стороны от Солнца находится Земля. То есть они считали, что мы должны были бы замечать такой эффект параллакса. До изобретения телескопа было еще далеко, поэтому они просто внимательно смотрели на небо и продолжали смотреть. Как бы внимательно они ни вглядывались, ровно никакой разницы они заметить не могли. На самом деле, поскольку такой эффект невозможно измерить без телескопа, отсутствие параллакса использовалось в качестве мощного аргумента против гелиоцентрической Вселенной. Но отсутствие доказательств далеко не всегда равноценно доказательству отсутствия.

Даже рассмотрев все эти звезды в ночном небе и заметив, что среди них попадаются размытые объекты, напоминающие облака тумана, мы еще не вполне представляли себе Вселенную вплоть до начала XX века. К тому времени звездный свет уже пропустили через призму, разложили и посмотрели, какими характеристиками он обладает. Тогда стало известно, что некоторые звезды можно использовать в качестве «эталонных источников света». Давайте об этом подумаем. Если бы все звезды в небе были совершенно одинаковы – например, нарезаны формочкой для печенья и заброшены на небо, – то сравнительно тусклые обязательно находились бы дальше сравнительно ярких. Все было бы просто. Все яркие звезды – близко. Все тусклые звезды – далеко. Но на деле все иначе. Среди всего этого звездного многообразия, независимо от того, где какие звезды расположены, мы ищем и находим звезды одной и той же категории. Итак, если найдется звезда, для спектра которой характерна какая-то специфическая особенность, и эта звезда находится достаточно близко, чтобы можно было измерить ее параллакс, – нам повезло. Теперь мы можем взять ее светимость в качестве отсчетной и определить яркость других подобных ей звезд как «вчетверо меньше» или «вдевятеро меньше», а затем вычислить, как далеко они находятся. Но сперва надо найти такой эталонный источник, мерило. Вплоть до 1920-х годов таких мерил не было. До тех пор мы совершенно не представляли, насколько удалены от нас те или иные тела во Вселенной. На самом деле, в книгах того времени Вселенная описывается просто как «область, заполненная звездами», о более крупной Вселенной за пределами этой области ничего не было известно.

Когда пытаешься понять звезды, непременно нужны дополнительные математические инструменты. Один из них – функции распределения. В них заложены мощные и полезные математические идеи. Я хотел бы рассказать о них на простом примере, поэтому давайте начнем с так называемой гистограммы. Например, на такой диаграмме можно распределить количество человек в типичной аудитории американского колледжа в зависимости от их возраста (рис. 4.3).

Чтобы построить такой график, нужно спросить присутствующих, есть ли в аудитории кто-либо в возрасте 16 лет или моложе. Если никто не отзовется, то на графике этим возрастам будут соответствовать нулевые значения. Далее спросим, сколько 17–18-летних. Допустим, наберется 20 человек. Отметим этот возраст планкой, высота которой – ровно 20 единиц. А сколько тех, кому 19–20 лет? Тридцать пять человек. Так и продолжим, пока не учтем всех присутствующих.

Теперь давайте вернемся к рис. 4.3. Гистограмма позволяет кое-что сказать о распределении слушателей по возрасту в типичной аудитории. Например, большинству из них около 20 лет – из графика сразу ясно, что речь идет о группе из колледжа. Затем следует пробел, несколько одиночных значений и еще один всплеск, в районе 75 лет. На этом графике два всплеска, они называются модами. Такое распределение называется бимодальным. Большинство представителей «старшей» группы – никакие не студенты; вероятно, это вольнослушатели. Если человек может в дневное время посещать лекции в колледже, это значит, что он не обязан работать с девяти до шести, то есть это пенсионер. Можно представить себе демографическую картину, просто взглянув на такое распределение. Если бы мы построили такую гистограмму сразу для всего колледжа, то, вероятно, некоторые пробелы заполнились бы, но я готов поспорить, что общая картина осталась бы почти такой же: в основном младшие студенты, небольшое количество пожилых. Чисто случайно могут попадаться подростки-вундеркинды – может быть, один на тысячу, – поскольку, кажется, на каждом новом потоке хоть один да попадется. На такой гистограмме картинка будет повторяться с интервалом в 2 года. Думаю, если бы удалось достаточно увеличить размер выборки и включить в график всех студентов колледжей в США, интервал удалось бы уменьшить до 1 дня. Я мог бы собрать такое количество данных, что столбики на диаграмме вообще перестали бы просматриваться. При таком объеме данных интервалы на диаграмме стали бы слишком узки, и мне пришлось бы перерисовать эту диаграмму в виде сплошной кривой. Если вы переходите от гистограммы к плавной кривой и можете представить ее в математической форме, то гистограмма превращается в функцию распределения.

Рис. 4.3. Гистограмма, демонстрирующая распределение слушателей в аудитории по возрасту. Предоставлено Дж. Ричардом Готтом

Сколько всего человек в этой группе? Это легко узнать – идем по шкале слева направо и складываем цифры. В данном случае получается 109. При работе с гладкими функциями можно пользоваться интегральным исчислением, суммировать площадь под кривой и узнавать, сколько всего элементов на ней представлено. Исаак Ньютон изобрел интегральное исчисление в возрасте 26 лет, – я считаю, он вообще был умнейшим человеком, когда-либо жившим на Земле!

Какое отношение все это имеет к звездам? Возьмем, к примеру, Солнце. Я скажу ему: «Солнце, поведай мне, сколько частиц света ты излучаешь?» Еще я мог бы добавить, что Исаак Ньютон задолго до Эйнштейна высказал идею, что свет состоит из частиц (корпускул). Эти частицы называются «фотоны» – не протоны, а именно фотоны. Корень «фото» тот же самый, что и в слове «фотография», еще можно вспомнить «фотонные торпеды», – фанаты сериала «Звездный путь» знают, что это такое.

Фотоны бывают самыми разными. Исаак Ньютон пропустил белый свет через призму и перечислил те цвета радуги, которые увидел: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, индиго (так называется синий краситель, популярный во времена Ньютона) и фиолетовый. Вы можете запомнить эту последовательность с помощью мнемонической фразы для запоминания цветов радуги: «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан».

Английский астроном Уильям Гершель открыл совершенно иную часть спектра, которая сегодня называется инфракрасным излучением. Человеческий глаз его не воспринимает. С энергетической точки зрения он находится «ниже» красного. Гершель пропускал солнечный свет через призму и заметил, что термометр нагревается, если поместить его у красного конца спектра. В некоторых ресторанах используются инфракрасные лампы; под ними держат картофель-фри, поэтому гость всегда получает его теплым. Можно выйти за пределы видимого спектра и с другой стороны, тогда мы попадем в область ультрафиолетового (УФ) излучения. Об этих областях спектра вы слышали ранее, поскольку они упоминаются повсюду. Ультрафиолетовое излучение – причина загара и солнечных ожогов.

Таким образом, спектр гораздо шире видимой части. За ультрафиолетовым спектром расположен рентгеновский. В нем – свои фотоны. За рентгеновским – гамма-излучение. Об этих частях спектра вы тоже слышали. Отправимся в противоположную часть спектра – за инфракрасный. Что там? Микроволны. А за ними? Радиоволны. Раньше микроволны считались подмножеством радиоволн, но теперь классифицируются как самостоятельная часть спектра. Вот и все области спектра, для которых есть названия. За гамма-излучением ничего нет, только гамма-излучение, и за радиоволнами тоже ничего нет, только радиоволны.