- Так как ты ответила "нет" и ответила правильно, то на заданный вопрос правильного ответа не существует!

- Именно это я и утверждаю! - сказала Алиса.

- Не совсем так! Если "нет" - правильный ответ, то когда я спрашиваю тебя, можно ли считать его правильным, ты должна была бы ответить "да", а не "нет"!

Алиса задумалась, и внезапно ей все стало ясно.

- Ну конечно же! - закричала она. - Вы абсолютно правы! Я должна была бы ответить "да", а не "нет"!

- Вот ты и опять попалась! - торжествующе заметил Шалтай-Болтай.

- Почему? - в изумлении воскликнула Алиса.

- Конечно, попалась, дитя мое! - "Да" не может быть правильным ответом!

- Почему? - спросила Алиса, удивленная еще больше, чем прежде.

- Ответить "да" - значит утверждать, что "нет"

- правильный ответ. Но если "нет" - правильный ответ, то ты должна была бы дать его вместо того, чтобы давать неправильный ответ "да"!

- Ах так! - сказала Алиса, окончательно запутавшись. - Выходит, я правильно ответила в первый раз. Значит, на ваш вопрос мне все же следовало ответить "нет".

- Вовсе не следовало! - резко оборвал ее Шалтай-Болтай. - Я же доказал тебе это!

- Сдаюсь! - устало сказала Алиса. - А какой ответ правильный?

- Правильного ответа не существует, - торжествующе заявил Шалтай-Болтай, - и это - самое прекрасное в таких вопросах!

- А откуда вы берете эти головоломные вопросы? - спросила Алиса.

- Я придумываю их сам! - с гордостью ответил Шалтай-Болтай.

- Разве я не прав?

- Правы в чем? - спросила Алиса.

- Разве такие вопросы не заставляют думать?

- Еще как заставляют! - призналась Алиса. - У меня от вашего вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?

- Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!

- Знаю, - подтвердила Алиса. - Вы повторили это уже дважды.

- Не совсем! - возразил Шалтай-Болтай. - Я сказал это дважды, а повторил только один раз.

- Но дело не в этом, - продолжал он. - Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!

- А что это за утверждение? - спросила Алиса.

- Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.

Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку.

Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.

- Очень интересно, - заметил он, - но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?

- Но ведь странички не вырваны из записной книжки, - возразила Алиса, - а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!

- Все равно страницы нужно нумеровать! - настаивал Шалтай-Болтай. - -- Я их тебе сейчас перенумерую.

Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал

- 10 Утверждение на странице 10 ложно

и отдал записную книжку Алисе.

- Что ты теперь скажешь? - спросил ШалтайБолтай.

- Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?

- На этот вопрос невозможно ответить, - сказала Алиса, немного подумав. - Оно может быть и истинным, и ложным.

- Неправильно! - воскликнул Шалтай-Болтай. - Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!

- А почему? - спросила Алиса.

- Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?

- А почему бы нет? - удивилась Алиса.

- Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.

- Совершенно верно! - сказала Алиса. - А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.

- Опять неправильно! - торжествующе сказал Шалтай-Болтай. - Оно не может быть и ложным!

- А почему? - спросила Алиса.

- А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!

- Как же быть? - огорченно сказала Алиса. - Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!

- Совершенно верно! - согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.

- Припоминаю, - продолжала Алиса, - что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше - историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:

"Все критяне лжецы". Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.

- Неправильно! - решительно возразил Шалтай-Болтай.

- Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка.

Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!

- Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? - попросила Алиса.

- Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом - того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?

- Я никогда не задумывалась над этим раньше, - призналась Алиса, - но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.

- Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, - ответил Шалтай-Болтай. - Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово "лжец" по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение - о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.

- Вижу, - сказала Алиса. - Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец - это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?

- Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, - уверил ее Шалтай-Болтай. - Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет.

Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.

- Да ведь это парадокс! - сказала Алиса.

- Нет! - возразил Шалтай-Болтай. - Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!

- Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, - попросила Алиса.

- Охотно, - согласился Шалтай-Болтай. - Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!

- Как интересно! - воскликнула Алиса.

- Кстати сказать, - заметил Шалтай-Болтай, - если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид - единственный критянин и что высказанное им утверждение - единственное утверждение, когдалибо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?

- Поразмысли над этим, - посоветовал Шалтай Болтай. - а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?

Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:

- Взгляни на страницу II. Истинно написанное там утверждение или ложно?

Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:

- 11 Утверждение на странице 11 истинно

Алиса немного подумала и ответила:

- Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.

- На этот раз ты абсолютно права! - согласился Шалтай-Болтай.

- Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!

- Что вы имеете в виду? - удивилась Алиса.

- А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.

Такое употребление слова "хамелеонный" показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.

- Я хотел бы провести еще один опыт, - сказал Шалтай-Болтай. Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.

Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал II, а там, где стоял номер II, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:

- 10 - - 11 Утверждение Утверждение на странице 11 на странице 10 ложно истинно

- Как, по-твоему, - спросил Шалтай-Болтай, - ложно или истинно утверждение на странице 11?

Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.

- Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, - -- сказала она. - Это еще один парадокс!

- Правильно! - сказал Шалтай-Болтай. - Но как это доказать?

- Очень просто, - сказала Алиса. - В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.

- Ты растешь прямо на глазах! - воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.

- Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, - сказала Алиса.

- Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?

- Буду очень рад, - ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. - Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?

- В ней говорится о брадобрее, - сказала Алиса. - В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?

- Это очень старая и очень легкая задача! - засмеялся Шалтай-Болтай.

- Но я не вижу ни одного приемлемого решения! - сказала Алиса. Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей или не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: "Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно", - мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.

- Кто бреется сам? - спросил Шалтай-Болтай.

- Как это кто? Брадобрей!

- Какой брадобрей? - допытывался Шалтай-Болтай.

- Брадобрей из истории о брадобрее! - ответила Алиса чуточку нетерпеливо.

- Ах вот кто! - протянул Шалтай-Болтай. - А кто сказал, что эта история правдива? Алиса немного подумала.

- Послушайте, - сказала она. - Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории.