Больше денег: что такое Ethereum и как блокчейн меняет мир

Но есть еще одна важная деталь: нам нужна идентификация, которую нельзя незаметно арендовать или продать. Ясно, что невозможно помешать людям заключать сделки вроде «ты мне – 50 долларов, я тебе – свой ключ», но можно попробовать сделать так, чтобы подобные сделки не внушали доверия – чтобы продавец мог легко обмануть покупателя и дать ему неработающий ключ. Например, можно дать владельцу ключа возможность отправлять транзакцию, чтобы аннулировать ключ и заменить его любым другим, причем так, чтобы это было невозможно доказать. Один из простейших способов сделать это – либо привлечь доверенную сторону, которая будет выполнять вычисления и просто публиковать результаты (наряду с доказательствами с нулевым разглашением, подтверждающими результаты, так что доверенной стороне будут доверять только конфиденциальность, но не целостность данных), либо децентрализовать ту же функциональность с помощью многосторонних вычислений. Такие подходы не решат проблему сговора окончательно – всегда найдется группа друзей, которая, сидя на одном диване, сможет координировать голосование, – но так можно хотя бы сократить перспективу сговора до приемлемой степени, в которой это не спровоцирует полный отказ систем.

Существует еще одна проблема: исходное распределение ключа. Что произойдет, если пользователь идентифицируется в сторонней службе хранения, которая затем сохранит закрытый ключ и использует его для тайного голосования? Это была бы скрытая взятка, обмен права голоса пользователя на предоставление ему удобного сервиса. Более того, если система безопасна в том смысле, что она успешно предотвращает взятки недоказанностью голосов, скрытые голоса сторонних хостингов также нельзя обнаружить. По-видимому, обойти эту проблему можно лишь через… личную верификацию. Например, можно было бы создать экосистему «эмитентов», где каждый эмитент выпускает смарт-карты с приватными ключами, которые пользователь может в любой момент загрузить на свой смартфон и отправить сообщение о замене ключа другим, никому не раскрытым ключом. Этими эмитентами могут быть встречи и конференции или, возможно, отдельные лица, доверие к которым подтверждено через определенный механизм голосования.

Разработать инфраструктуру для создания устойчивых к сговору механизмов, включая надежные децентрализованные системы идентификации, – очень сложная задача, но если мы действительно хотим раскрыть потенциал таких механизмов, нам неизбежно придется приложить для этого максимум усилий. Сегодня отношение к компьютерной безопасности, например в рамках внедрения онлайн-голосования, сводится к простому «не стоит туда лезть». Но если мы хотим расширить роль сходных с голосованием механизмов, включая их более продвинутые формы вроде квадратичного голосования и квадратичного финансирования, нам ничего не остается, кроме как противостоять вызову напрямую и надеяться, что хотя бы в отдельных случаях получится создать что-то достаточно безопасное.

О свободе слова

VITALIK.CA

16 апреля 2019 года

Утверждение может быть одновременно и верным, и опасным. Предыдущее предложение – пример именно такого утверждения.

Дэвид Фридман

Уже 20 лет вопрос свободы слова занимает умы интернет-сообществ, а для криптовалютных и блокчейн-сообществ он важен вдвойне, ведь смысл их существования во многом и заключается в борьбе с цензурой. Вместе с тем по мере стремительного роста этих сообществ, когда повышаются финансовые и социальные ставки, становится все сложнее определить, где находятся границы свободы слова и как ее можно реализовать. Цель этой статьи – распутать некоторые противоречия и выяснить, что на самом деле стоит за понятием «свободы слова».

«ЗАКОНЫ О СВОБОДЕ СЛОВА» И «СВОБОДА СЛОВА»

К сожалению, чаще всего я слышу утверждение, что «свобода слова» – это исключительно юридическое ограничение полномочий государства, а отдельные субъекты вроде корпораций, частных платформ, интернет-форумов и конференций здесь ни при чем. Одним из крупнейших примеров «частной цензуры» в криптосообществах стало решение Theymos – модератора сабреддита /r/bitcoin – ввести жесткий запрет на аргументы в пользу увеличения пропускной способности блокчейна Bitcoin через хардфорк.

Стратегия тех, кто защищал цензуру со стороны Theymos, строилась на том, что жесткая модерация здесь допустима, поскольку /r/bitcoin – это его «личный форум» и он волен делать с ним что угодно, а несогласные могут просто перейти на другие форумы.

Второй уровень решает вопрос масштабируемости, и я не понимаю, почему должно быть иначе.

И правда, Theymos действительно не нарушал никаких законов тем, что модерировал собственный форум по своему усмотрению. Но большинство все же заметило здесь попытки ограничения свободы слова. Так что же это было? Прежде всего крайне важно понимать, что свобода слова – это не только государственный закон, но и социальный принцип. И главная цель этого социального принципа аналогична главной цели закона: способствовать созданию среды, где побеждают хорошие идеи, а не идеи, которые нравятся тем, кто находится у власти. Защищаться нужно не только от власти государства, но и от власти корпорации увольнять кого угодно; от власти модератора интернет-форума удалять любые посты из ветки обсуждений и от многих других видов власти – мягкой и твердой.

Опишу основополагающий социальный принцип свободы слова цитатой Элиезера Юдковского[57]:

В человеческом искусстве рационального мышления существует очень мало запретов без каких-либо исключений, без «если», «и» или «но». Но вот одно из них. Ответ на плохой аргумент – контраргумент. Не пуля. Никогда. Самое что ни на есть никогда.

Эту мысль развивает Slate Star Codex[58]:

Что означает «пуля» в приведенной выше цитате? Попадают ли под это определение другие снаряды? Стрелы? Валуны, выпущенные из катапульт? А как насчет оружия ближнего боя – меча или булавы? Где проходит черта, за которой начинаются «недопустимые ответы на аргумент»? Хороший ответ на аргумент – это тот, который обращается к самой идее, а плохой – тот, который стремится ее подавить. Если вы обращаетесь к идее, ваш успех будет зависеть от того, насколько она хороша, а если пытаетесь ее подавить – от того, насколько вы сильны и сколькими вилами и факелами сможете вооружиться в кратчайшие сроки. Пуля – хороший способ подавить идею, игнорируя ее суть. С тем же успехом можно стрелять камнями из катапульты, рубить людей на кусочки мечом или собирать толпы, вооруженные вилами. Уволить кого-то за приверженность определенной идее – это тоже способ подавить идею, не рассматривая ее суть.

С другой стороны, некоторые рассматривают подобные ограничения как способ создания «безопасных пространств», где люди, по каким-то причинам не принимающие те или иные суждения, объединяются и эти суждения пресекают. Пожалуй, самое безобидное из подобных пространств – ethresear.ch, где посты удаляют просто потому, что они «не по теме» и отвлекают от основной дискуссии. Но у концепции «безопасных пространств» есть и темная сторона. Как пишет Кен Уайт[59]:

Это может прозвучать неожиданно, но я сторонник «безопасных пространств». Я поддерживаю их, потому что поддерживаю свободу ассоциаций. Безопасные пространства, организованные согласно их изначальной задумке, – это просто одно из воплощений этой свободы… Но не все понимают концепцию безопасных пространств именно так. Некоторые берут ее на вооружение, чтобы присвоить публичные пространства и навязать их участникам свои правила. Это уже не имеет никакого отношения к свободе ассоциаций.

Так-так. То есть совершенно нормально создавать где-то в укромном уголке свое безопасное пространство, но еще существует понятие «публичное пространство», и пытаться превратить публичное пространство в безопасное в своих личных интересах – неправильно. Тогда что же такое «публичное пространство»? Совершенно очевидно, что публичное пространство – это не только пространство, «которое принадлежит государству и/или им управляется». Довольно широко распространены и публичные пространства с частным владельцем. Это работает даже на неформальном уровне: нравственная интуиция подсказывает нам, что ущемления вроде гендерной и расовой дискриминации со стороны отдельного человека не так страшны, как, скажем, со стороны торгового центра. Возвращаясь к /r/bitcoin, его с уверенностью можно назвать публичным пространством, независимо от того, кто технически занимает позицию главного модератора сабреддита. Вот несколько весомых аргументов.

▒ Он находится в «премиальной позиции»: благодаря слову «биткойн» люди считают /r/bitcoin главным пространством для обсуждения этой темы.

▒ Этот форум приобрел свою репутацию благодаря не только Theymos, но и тысячам людей, которые приходили сюда обсуждать биткойн, подразумевая, что это публичное пространство и оно будет таковым оставаться.

▒ Изменение правил игры по инициативе Theymos стало неожиданностью для многих, и предвидеть его было невозможно.

Если бы вместо этого Theymos создал сабреддит /r/bitcoinsmallblockers и открыто заявил, что это – курируемое пространство для сторонников небольших блоков и подстрекательство к сомнительным хардфоркам здесь не приветствуется, то вряд ли к нему возникли бы какие-то претензии. Кто-то мог бы поспорить с его идеологией, но единицы (по крайней мере в блокчейн-сообществах) стали бы заявлять, что приверженцы неприемлемой для них идеологии не должны иметь пространства для внутренних дискуссий. Но в реальности Theymos попытался «присвоить публичное пространство и навязать его участникам свои правила». И вот что мы теперь имеем: раскол в блокчейн-сообществе по вопросу размера блоков; крайне враждебный форк и разрыв цепочки, а также «холодный мир» между Bitcoin и Bitcoin Cash[60].

ДЕПЛАТФОРМИНГ

Около года назад на конференции Deconomy[61] я публично уличил Крейга Райта – мошенника, который выдавал себя за Сатоши Накамото. Свое объяснение бессмысленности его утверждений я закончил вопросом: «Почему этому мошеннику разрешили выступить на этой конференции?»

Разумеется, после этого со стороны единомышленников Крейга Райта на меня посыпались обвинения в… цензуре.

Была ли это попытка «заткнуть рот» Крейгу Райту? Я так не думаю. Можно аргументировать это тем, что «Deconomy – не публичное пространство», но еще весомей другой аргумент: конференция по своей сути фундаментально отличается от интернет-форума. На интернет-форуме можно попытаться создать нейтральное пространство для дискуссий и размещать там что угодно, а конференция – это в высшей степени курируемое мероприятие, где количество мест и время выступлений ограничены, а все внимание направлено на тех счастливчиков, которым достался микрофон. Конференция – это редакторская подборка от организаторов, сделанная по принципу «Вот некоторые идеи и взгляды, о которых, как нам кажется, люди должны узнать». Из-за ограничений по времени каждая конференция «цензурирует» практически все позиции выступающих, в этом суть такого формата, и поэтому совершенно оправданно критиковать выбор организаторов.

Это касается и других платформ, где производится какой-либо отбор. Онлайн-платформы вроде Facebook, Twitter и YouTube уже активно прибегают к отбору через алгоритмы, определяющие, какой контент будет предложен пользователю. Как правило, они исходят из эгоистических мотивов и настраивают алгоритмы на максимальное «вовлечение» пользователя, что чревато случайными побочными эффектами вроде продвижения конспирологической теории о плоской Земле. Учитывая, что эти платформы уже прибегают к (автоматизированному) селективному показу контента, вполне разумно критиковать их за то, что они не используют те же инструменты для общественно полезных целей или хотя бы для тех общественно полезных целей, по которым существует консенсус разумного большинства (например, сохранять высокий уровень интеллектуального дискурса). Наконец, эта «цензура» никому не мешает узнать версию событий от Крейга Райта, достаточно зайти на его сайт, вот он – coingeek.com. Если кто-то уже прибегает к редактуре при руководстве платформой, вполне разумно попросить их продолжить в том же духе, но только с добавлением общественно полезных критериев.

Совсем недавний пример воплощения этого принципа – кампания #DelistBSV, где несколько криптовалютных бирж, в первую очередь Binance, перестали торговать токеном BSV (форк биткойна, продвигаемый Райтом). И снова многие, даже вполне рациональные люди обвинили Binance и остальных в цензуре и сравнили их с компаниями, которые блокировали счета WikiLeaks.

Я сам выступаю против сосредоточения власти на централизованных биржах. Должен ли я теперь бороться с #DelistBSV под знаменем свободы слова? Нет, не думаю. Поддерживать эту инициативу тоже вполне нормально, но это гораздо более сложный вопрос.

Многие участники #DelistBSV, например Kraken, точно не позиционируют себя как платформы, которые работают со всеми подряд: они и до этого были избирательны в том, какие валюты принимать, а каким отказывать. Биржа Kraken поддерживает лишь около десятка криптовалют и тем самым пассивно «цензурирует» практически всех. Shapeshift поддерживает больше валют, но не SPANK и даже не KNC. В этих двух случаях делистинг BSV напоминает скорее перераспределение ограниченных ресурсов (внимания/легитимности), чем цензуру. Binance в этом плане несколько отличается: эта биржа принимает достаточно много валют, ее философия ближе к лозунгу «Берем всех подряд», к тому же у нее есть уникальный статус лидера рынка с большой ликвидностью.

И все же в пользу решения Binance говорят два фактора. Прежде всего это ограничение – ответ на действительно вредоносное применение цензуры со стороны главных членов сообщества BSV, когда они стали угрожать судом критикам вроде Питера Маккормака. В «анархической» среде, где нет согласованных представлений о норме, вполне уместны отношения в стиле «око за око», поскольку так люди будут наказаны тем способом, который (если судить по их собственным действиям) считают легитимным. Кроме того, делистинги нескольких бирж не помешают людям покупать или продавать BSV: например, биржа Coinex выказала готовность работать с этой валютой (и я бы на самом деле возражал против делистинга на биржах второго эшелона, которые «берут всех подряд»). Делистингом BSV биржи также подчеркивают явное общественное неодобрение этого проекта, а это действительно важно и полезно. Так что пока есть основания поддерживать все делистинги – хотя, если бы Binance отказалась проводить делистинг, «чтобы не ограничивать свободу», это решение тоже было бы не таким уж спорным, как кажется на первый взгляд.

В целом абсолютно разумно выступать против концентрации власти и одновременно поддерживать использование уже существующей власти в целях, которые ты считаешь общественно важными. В качестве примера из другой области можно вспомнить рассуждение Брайана Каплана о том, как поддержка открытых границ может сочетаться с поддержкой ограничений для борьбы с вирусом Эбола[62]. Критика концентрации власти подразумевает лишь противостояние тому, что человек считает в ней вредным и чрезмерным; но это не подразумевает противостояние всему, что может дать концентрация власти.

Если кому-то удастся создать полностью инклюзивную децентрализованную мультисетевую биржу, которая будет готова вести торговлю между любыми активами, то «листинг» на бирже не будет нести никакого социального месседжа, поскольку допускаться туда будут все. Я бы поддержал существование такой биржи, даже если бы там торговался токен BSV. Но в нынешних условиях я буду поддерживать решение убрать BSV с тех бирж, которые всегда были избирательны и которые придают этой валюте бóльшую легитимность, а не просто признают сам факт ее существования.

Итак, подводя итоги: цензура в публичных пространствах – это плохо, даже если это негосударственные пространства; цензура в изначально частных пространствах (особенно если эти пространства не слишком авторитетны у широкой аудитории) может быть приемлемой; отвергать проекты, чтобы перекрыть к ним доступ, недопустимо; отвергать проекты, чтобы подчеркнуть их сомнительную легитимность, может быть вполне приемлемо.

Контроль как ответственность

VITALIK.CA

9 мая 2019 года

В последние десять лет мы наблюдаем серьезные изменения в нормативно-правовой базе онлайн-сервисов и приложений. В 2000‐х годах, когда начался расцвет крупномасштабных платформ социальных сетей, никто не видел ничего плохого в массовом сборе данных. Это были времена, когда Марк Цукерберг провозгласил конец эпохи конфиденциальности, а Эрик Шмидт заявил: «Если вы не хотите, чтобы кто-то узнал о каких-то ваших действиях, возможно, вам вообще не следовало их совершать». Вполне осознанно они размышляли так: каждый бит данных о людях создает возможности для машинного обучения, любые ограничения его затрудняют, а если произойдет утечка данных, цена будет относительно невысока. Но прошло десять лет, и все изменилось.

Особенно стоит выделить несколько конкретных тенденций.

▒ Конфиденциальность. За последние десять лет по всему миру, особенно в Европе, появилось много новых законов о конфиденциальности. Самый последний из них – GDPR[63]. GDPR содержит много пунктов, но среди наиболее значимых: 1) требования к ясно выраженному согласию; 2) требование иметь законное основание для обработки данных; 3) право пользователей выгружать все свои данные; 4) право пользователей требовать, чтобы все их данные удалили. Другие юрисдикции рассматривают введение аналогичных правил.

▒ Законы о локализации данных. Индия, Россия и другие страны все чаще вводят или планируют ввести правила, по которым данные о пользователях, находящихся на территории страны, должны храниться внутри этой страны. И даже там, где подобных правил еще нет, наблюдается все большая обеспокоенность, что данные могут попасть в страны, которые предположительно недостаточно их защищают.

▒ Регулирование экономики совместного потребления. Компаниям в экономике совместного потребления – вроде Uber – сегодня трудно доказывать в судах, что при том уровне контроля над водителями, который достигается через приложения, водителей нельзя юридически рассматривать как сотрудников компании.

▒ Регулирование криптовалют. В недавнем руководстве FinCEN[64] есть попытки разъяснить, какие категории деятельности, связанной с криптовалютой, подпадают или не подпадают под действие нормативных лицензионных требований в Соединенных Штатах. Запуск электронного кошелька на сервере? Регулируется. Запуск кошелька, где пользователь сам контролирует свои средства? Не регулируется. Запуск криптовалютного миксера[65]? Если вы им управляете, то регулируется. Если вы просто пишете код… не регулируется.

Руководство по криптовалютам FinCEN писали вовсе не наобум. Скорее в нем пытались разделить приложения на две категории: те, где разработчик активно контролирует средства, и те, где у разработчика нет никакого контроля. Например, там тщательно описано, как кошельки с мультиподписью, ключи от которых хранятся и у оператора, и у пользователя, в разных случаях требуют или не требуют регулирования:

Если провайдер кошелька с мультиподписью ограничивает свою роль созданием не размещаемых на сервере кошельков, которые для проверки и завершения транзакций требуют добавить к закрытому ключу владельца кошелька второй ключ авторизации, то провайдер не будет считаться отправителем денег, поскольку он не принимает и не передает средства. С другой стороны, если… средства представлены в виде записи на счетах провайдера; если владелец не взаимодействует с платежной системой напрямую или если провайдер сохраняет полный независимый контроль над средствами, тогда провайдер также будет квалифицироваться как отправитель денежных переводов.

Хотя все это происходит в самых разных контекстах и отраслях, я бы выделил одну общую тенденцию: контроль над данными, цифровым имуществом и активностью пользователей постепенно превращается из полезного ресурса в ответственность. Раньше любой контроль приносил вам пользу: он открывал новые пути к получению дохода, если не сейчас, то в будущем. Теперь же любой контроль накладывает на вас ответственность: приходится внимательно следить за соблюдением всех правил. Если вы открыто контролируете криптовалюту пользователей, то вы – отправитель денежных переводов. Если вы «устанавливаете тарифы по своему усмотрению; взимаете с водителей штраф, когда они отменяют поездки; запрещаете водителям забирать пассажиров, не использующих ваше приложение, и замораживаете или деактивируете аккаунты водителей», то вы – работодатель. Если вы контролируете данные пользователей, вам нужно уметь аргументировать законность своих действий; нанять специалиста, который проследит за соблюдением всех правовых норм, и предоставить пользователям доступ к выгрузке или удалению данных.

Если вы разрабатываете приложения, но при этом ленивы и боитесь проблем с законом, то соблюсти все эти новые правила для вас не составит большого труда: просто не надо делать приложения с централизованным контролем. Создайте кошелек, где пользователь будет хранить свои приватные ключи, а вы останетесь «просто поставщиком программного обеспечения». Если вы создадите «децентрализованный Uber» – по сути, просто стильный пользовательский интерфейс с платежной системой, системой репутации и поисковой системой, которые вы не будете самостоятельно контролировать, то легко избежите многих юридических проблем. Создайте сайт, который просто… не собирает данные, и вам даже не придется думать о GDPR.

Конечно, такой подход возможен не для всех. Никуда не денутся ситуации, в которых отказ от удобств централизованного контроля будет обходиться разработчикам и пользователям слишком дорого или когда будет выгодней использовать бизнес-модель, завязанную на более централизованном подходе (например, запретить использовать программное обеспечение пользователям, которые не хотят за него платить, будет проще, если разместить его на ваших серверах). Но не стоит забывать, что пока мы знаем далеко не все возможности более децентрализованных подходов.

Бывает так, что закон, созданный для запрета чего-то конкретного, непреднамеренно блокирует целые виды деятельности. Обычно считается, что это плохо. Но в данном случае я бы сказал, что вынужденный переворот в мышлении разработчиков от «на всякий случай хочу больше контроля» к «на всякий случай хочу меньше контроля» может привести и к позитивным последствиям. Людям не свойственно добровольно отказываться от властных полномочий и отрезать себе пути к злоупотреблениям. Хотя сегодня и существуют проекты, которые идеологически стремятся к максимальной децентрализации, едва ли у таких сервисов есть большие шансы пробиться в мейнстрим индустрии. Однако новые тенденции в регулировании могут стать отличным стимулом для приложений, готовых встать на путь «can’t be evil»[66] с минимумом централизации и максимумом суверенитета пользователей.

Выходит, что, хотя изменения в регулировании и не направлены на защиту свободы (по крайней мере, свободы разработчиков приложений), а превращение интернета в объект политического внимания неизбежно влечет за собой множество негативных последствий, сама по себе тенденция превращения контроля в ответственность каким-то странным образом даже более соответствует духу шифропанка (пусть и ненамеренно!), чем политика максимальной свободы разработчиков приложений. Хотя современный нормативно-правовой ландшафт практически по всем параметрам далек от оптимального, сложилась очень удачная ситуация для сторонников минимума ненужной централизации и максимума контроля пользователей над их собственными активами, закрытыми ключами и данными. И было бы здорово этим воспользоваться.

Рождественский спецвыпуск

VITALIK.CA

24 декабря 2019 года

Раз уж сегодня Рождество и теоретически мы должны отвлечься от бесконечных холиваров в твиттере, чтобы насладиться жизнью и провести время с близкими, в этом посте я предложу вам несколько игр. Поиграйте в них с друзьями, и вы сможете не только развлечься, но и разобраться в некоторых жутких математических концепциях!

1,58‐МЕРНЫЕ ШАХМАТЫ

Понадобится привычная доска размером 8×8 – точнее, 27 ее квадратов. Остальные 37 нужно закрыть шашками, камнями из го или чем-то еще, чтобы обозначить, что они недоступны. Правила те же, что и в обычных шахматах, за несколькими исключениями.

▒ Без взятия белые пешки ходят вверх, черные – влево. Со взятием белые пешки ходят влево-вверх или вправо-вверх, черные пешки – влево-вниз или влево-вверх. Белые пешки достигают верхнего края доски, черные – левого.

▒ Здесь нет взятия на проходе, рокировки или прыжка пешки через одно поле.

▒ Шахматные фигуры не могут ходить на 37 закрытых квадратов или перепрыгивать через них. Конь также не может ходить на 37 закрытых квадратов, но «перепрыгивать» может через что угодно.

Эти шахматы названы 1,58‐мерными, потому что 27 открытых квадратов выбраны в соответствии с закономерностью, по которой строится треугольник Серпинского: сначала вы берете один открытый квадрат, а затем удваиваете ширину, дублируя фигуру предыдущего шага в верхний левый, верхний правый и нижний левый углы, а нижний правый угол оставляете нетронутым. Поскольку в одномерной структуре удвоение ширины увеличивает пространство в 2 раза, в двумерной – в 4 раза (4 = 22), а в трехмерной – в 8 раз (8 = 23), здесь удвоение ширины увеличивает пространство в 3 раза (3 = 21,58496), отсюда и «1,58‐мерность».

Игра существенно проще и «податливее», чем полноценные шахматы, и она дает возможность с интересом пронаблюдать, как в пространствах меньшей размерности защита становится намного проще нападения. Обратите внимание, что относительная ценность разных фигур здесь может измениться и появятся новые виды концовок (например, можно поставить мат одним слоном).

ТРЕХМЕРНЫЕ КРЕСТИКИ-НОЛИКИ

Цель игры – выстроить прямую линию из четырех крестиков или ноликов вдоль оси или по диагонали, в том числе между плоскостями. Например, в этой конфигурации Х выигрывает.

МОДУЛЯРНЫЕ КРЕСТИКИ-НОЛИКИ

Здесь мы возвращаемся к двум измерениям, но теперь линии могут перескакивать.

Х выигрывает

Обратите внимание, что допускаются диагональные линии с любым наклоном: главное – чтобы они проходили через все четыре точки. Например, вполне возможны линии с наклоном +/– 2 и +/– 1/2:

Математически доску можно интерпретировать как двумерное векторное пространство над целыми числами по модулю 4, и цель заключается в том, чтобы заполнить линию, проходящую через четыре точки над этим пространством. Обратите внимание, что существует по крайней мере одна линия, проходящая через любые две точки.

КРЕСТИКИ-НОЛИКИ НА ДВОИЧНОМ ПОЛЕ С 4 ЭЛЕМЕНТАМИ

Здесь та же концепция, что и выше, за исключением того, что мы используем еще более жуткую математическую структуру – 4-элементное поле многочленов над Z2 по модулю x2 + x + 1. У этой структуры практически нет адекватной геометрической интерпретации, поэтому я просто приведу таблицы сложения и умножения.