Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Не видя числа, трудно, конечно, угадать, какое оно — четное или нечетное. Но не думайте, что вы всегда сможете сказать это, едва увидите задаваемое число. Скажите, например, четное или нечетное число 16?

Если вам известно, что оно написано по десятичной системе, то вы вправе утверждать, что число это — четное. Но когда оно написано по какой-либо другой системе — можно ли быть уверенным, что оно изображает непременно четное число?

Оказывается, нет. Если основание, например, семь, то "16" означает 7 + 6 = 13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое нечетное число + 6 есть тоже нечетное число).

Отсюда вывод, что знакомый нам признак делимости на 2 (последняя цифра четная) безусловно пригоден только для десятичной системы счисления, для других же — не всегда. А именно, он верен только для системы счисления с четным основанием: шестеричной, восьмеричной и т. п. Каков же признак делимости на 2 для систем с нечетным основанием? Достаточно краткого размышления, чтобы установить его: сумма цифр должна быть четной. Например, число "136" четное во всякой системе счисления, даже с нечетным основанием; действительно, в последнем случае имеем: нечетное число[22] + нечетное число + четное = четному числу.

С такою же осторожностью надо отнестись к задаче: всегда ли число 25 делится на 5? В семеричной или восьмеричной системе число, так изображенное, не делится на 5 (потому что оно равно 19 или 21). Точно так же общеизвестный признак делимости на 9 (по сумме цифр) правилен только для десятичной системы. Напротив, в пятеричной системе тот же признак применим для делимости на 4, а, например, в семеричной — на 6. Так, число "323" в пятеричной системе делится на 4, потому что 3 + 2 + 3 = 8, а число "51" в семеричной — на 6 (легко убедиться, переведя числа в десятичную систему: получим соответственно 88 и 36). Почему это так, читатель сам сможет сообразить, если вникнет хорошенько в вывод признака делимости на 9 и приложит те же рассуждения, соответственно измененные, например, к семеричной системе для вывода признака делимости на 6.

Труднее доказать чисто арифметическим путем справедливость следующих положении:

Знакомые с алгеброй легко найдут основание, объясняющее свойство этих равенств. Остальные читатели могут испытать их для разных систем счисления.

Поучительные задачи

1. Когда 2 х 2 = 100?

2. Когда 2 х 2 = 11?

3. Когда 10 — число нечетное?

4. Когда 2 х 3 = 11?

5. Когда 3 х 3 = 14?

Ответы на эти вопросы не должны затруднить читателя, познакомившегося с настоящей главой "Занимательной арифметики".

ДРОБИ БЕЗ ЗНАМЕНАТЕЛЯ

Мы привыкли к тому, что без знаменателя пишутся лишь дроби десятичные. Поэтому с первого взгляда кажется, что написать прямо без знаменателя дробь 2/₇ или 1/₃ нельзя. Дело представится нам, однако, иначе, если вспомним, что дроби без знаменателя возможны и в других системах счисления. Что, например, означает дробь "0,4" в пятеричной системе? Конечно, 4/₅ . Дробь "1,2" в семеричной системе означает 12/₇. А что означает в той же семеричной системе дробь "0,33"? Здесь результат сложнее:

3/₇ + 3/₄₉ = 24/₄₉.

Рассмотрим еще несколько недесятичных дробей без знаменателя. Чему равны

a) "2,121" в троичной системе?

b) "1,011" в двоичной системе?

c) "3,431" в пятеричной системе?

d) "2,(5)" в семеричной системе?

Ответы:

a) 2 + 1/₃ + 2/₃ + 1/2₇ = 215/27.

b) 1 + 1/4 + 1/₈ = 13/₈.

с) 3 + 4/₅ + 3/₂₅ + 1/₁₂₅ = 3116/₁₂₅.

d) 2 + 5/₇ + 5/₄₉ + 5/₃₄₃ + … = 25/₆.

В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.

В заключение рассмотрим несколько задач особого рода:

Задача № 1

По какой системе счисления выполнено следующее сложение:

Задача № 2

По какой системе счисления выполнено деление:

Задача № 3

Напишите число 130 во всех системах счисления: от двоичной до девятеричной включительно.

Задача № 4

Чему равно число "123", если считать его написанным во всех системах счисления, до девятеричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной? Если оно написано по пятеричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на 2? Если написано по семеричной системе, то делится ли оно без остатка на 6? Если написано по десятичной системе, то делится ли оно без остатка на 4?

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КУРЬЕЗ

25 ∙ 92 = 2592

Глава 5

ГАЛЕРЕЯ ЧИСЛОВЫХ ДИКОВИНОК

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ КУНСТКАМЕРА[23]

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую "арифметическую кунсткамеру". В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, о которых мы побеседуем в особой главе, но и числа скромных размеров, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.

Представленные в нашей "галерее" любопытные особенности некоторых чисел не имеют ничего общего с теми воображаемыми диковинками, которые усматривают в иных числах любители таинственного. Образчиком подобных числовых суеверий может служить следующее арифметическое соображение, неосторожно высказанное знаменитым французским писателем Виктором Гюго:

"Три — число совершенное. Единица для числа 3 то же, что диаметр для круга. Среди прочих чисел 3 то же, что круг среди фигур. Число 3 — единственное, имеющее центр. Остальные числа — эллипсы, имеющие два фокуса. Отсюда следующая особенность, присущая единственно числу 3: сложите цифры любого числа, кратного 3, сумма всегда делится без остатка на 3".

В этом туманном и мнимо глубокомысленном откровении все неверно: что ни фраза, то либо вздор, либо вовсе бессмыслица. Верно только замечание о свойстве суммы цифр, но свойство это не вытекает из сказанного и к тому же не представляет исключительной особенности числа 3: им отличается в десятичной системе также и число 9, а во всех вообще системах — числа, на единицу меньшие основания.

Диковинки нашей галереи — иного рода: в них нет ничего таинственного или неразгаданного.

Приглашаю читателя совершить экскурсию по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

Пройдем, не останавливаясь, мимо первых витрин, заключающих числа, свойства которых нам хорошо знакомы. Мы знаем уже, почему попало в галерею диковинок число 2: не потому, что оно первое четное число[24], а потому, что оно — основание самой любопытной системы счисления (см. стр. 65).

Не удивимся мы, встретив тут 5 — одно из наших любимейших чисел, играющее важную роль при всяких "округлениях". Не будет неожиданностью для нас найти здесь и число 9 — конечно, не как "символ постоянства"[25], а как число, облегчающее нам проверку всех арифметических действий (см. стр. 43). Но вот витрина, за стеклом которой мы видим

ЧИСЛО 12

Чем оно замечательно? Это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Но что, в сущности, особенного в дюжине? Немногим известно, что 12 — старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока — вавилоняне и их предшественники, населявшие Двуречье, вели счет в двенадцатеричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему, мы, вероятно, унаследовали бы от Вавилона двенадцатеричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу десятичной. Наше пристрастие к дюжинам и гроссам[26], наше деление суток на 2 дюжины часов деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на столько же секунд, деление круга на 30 дюжин градусов, наконец деление фута на 12 дюймов[27],— не свидетельствует разве все это (и многое другое) о том, как велико в наши дни влияние этой древней системы?

Вавилонский счет на дюжины до сих пор сохранился у нас в исчислении времени, в делении окружности, в типографских мерах.

Хорошо ли, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами — живые счетные машины. Но если бы не это, то следовало бы безусловно отдать предпочтение 12 перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по двенадцатеричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 — четыре. Преимущества двенадцатеричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в двенадцатеричной системе число, оканчивающееся нолем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6; подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/₂, и 1/₃, и 1/₄, и 1/₆ его должны быть целыми числами! Если же выраженное в двенадцатеричной системе число оканчивается двумя нолями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144, то-есть на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей — вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в десятичной системе, если оканчиваются двумя нолями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/₂, 1/₄, 1/₅, 1/₂₀ и т. д. превращаются в конечные десятичные; в двенадцатеричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего: 1/₂, 1/₃, 1/₄, 1/₆, 1/₈, 1/₉, 1/₁₂, 1/₁₆, 1/₁₈, 1₂₄, 1/₃₆, 1/₄₈, 1/₇₂, 1/₁₄₄, которые соответственно изобразятся так:

0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1; 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01.

Было бы, впрочем, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в пять одинаковых куч, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в двенадцатеричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например в десятичной, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в дведадцатеричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нолями).

Когда говорят о преимуществе двенадцатеричной системы в смысле делимости на большое число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей к "круглым" числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся в двенадцатеричной системе нолями.

При таких преимуществах двенадцатеричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. Однако мы уже чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решаться на такую реформу.

Великий французский математик Лаплас так высказался по этому вопросу 100 лет назад: "Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и на 4, то-есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков (цифр) дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы несомненно отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, — именно, возможность счета по пальцам рук".

Напротив, следовало бы ради единообразия перейти также в измерении дуг от употребительных градусов и минут к новым, десятичным.

Такую реформу пытались провести во Франции, но она не привилась. Не кто иной, как упомянутый Лаплас, был горячим сторонником этой реформы. Его знаменитая книга "Изложение системы мира" последовательно проводит десятичное подразделение углов: градусом он называет не 90-ю, а 100-ю долю прямого угла, минутой — 100-ю часть градуса и т. д. Лаплас высказался даже за десятичное подразделение часов и минут. "Однообразие системы мер требует, чтобы день был разделен на 100 часов, час на 100 минут и минута на 100 секунд", — писал он.

Десятичная система счисления родилась из счета по пальцам. Римская цифра V напоминает руку с отставленным большим пальцем.

Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собой длинную историю и что число 12 не без основания очутилось в галерее числовых диковинок. Зато его соседка — "чортова дюжина", 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь "страшным" для суеверных людей?

Как было распространено это суеверие (зародившееся в древнем Вавилоне), видно из того, что царское правительство при устройстве электрического трамвая в Петербурге долго не решалось вводить маршрута № 13 и пропустило его, перейдя сразу на № 14: власти думали, что публика не станет ездить в вагонах с таким "роковым" номером. Любопытно и то, что в Петербурге было не мало домов, где 13-й номер квартиры пропущен… В гостинице также нередко отсутствовала комната № 13, заменяемая № 12а. Для борьбы с этим ничем не обоснованным числовым суеверием кое-где на Западе (например, в Англии) учреждались даже особые "клубы числа 13"…

В следующей витрине арифметической кунсткамеры перед нами

ЧИСЛО 365

Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.

Другая особенность числа 365 не связана с календарем:

365 = 10 х 10 + 11 х 11 + 12 х 12,

то-есть 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10:

102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365.

Но и это еще не всё — тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14:

132 + 142 = 169 + 196 = 365.

На этом свойстве числа 365 основана задача С. А. Рачинского, изображенная на известной картине "Трудная задача" Богданова-Бельского:

(102 + 112 + 122 + 132+ 142)/365

Таких чисел не много наберется в нашей галерее арифметических диковинок.

ТРИ ДЕВЯТКИ