4. Всякий трезвенник не есть ростовщик.

5. Всякий общительный человек есть человек, заслуживающий доверия.

Обратим внимание на то, что переход к нормальной форме для посылок требует прежде всего уточнения того, что за универсум объединяет все имеющиеся посылки. Каков он для нашего сорита? О каких сущностях идет в посылках речь? По-видимому, общей сущностью для всех, о ком говорится в посылках сорита, является сущность с именем «люди», как это было и в предшествующем сорите. Заметим, что если мы не хотим оперировать с «отрицательными классами» сущностей, то надо провести дальнейшую нормализацию посылок, ибо в силлогистике Аристотеля должно неукоснительно выполняться правило, согласно которому при n посылках должен быть выделен в точности n+1 класс сущностей (в силлогизме соответственно три класса S, М и Р). Посчитаем, сколько классов получилось в примере после перехода к нормальной форме представления: W₁ – «нарушающие свои обещания», W₂ – «не заслуживающие доверия», W₃ – «любители выпить», W₄ – «очень общительные люди», W₅ – «те, кто выполняют свои обещания», W₆ – «честные люди», W₇ – «трезвенники», W₈ – «ростовщики», W₉ – «заслуживающие доверия».

Итак, девять классов сущностей вместо полагающихся шести. Какие из классов можно исключить из рассмотрения? Анализируя семантику имен классов, можно прийти к тому, что имеют место соотношения: W₅=₁, W₇=₃ и W₉=₂. Из этих утверждений некоторое сомнение вызывает лишь соотношение W₇=₃, так как класс тех, кто любит выпить, не есть чистое отрицание для класса тех, кто вообще не пьет. Более точно было бы вместо «трезвенники» говорить о людях, которые образуют класс с именем «не любители выпить». Но согласимся с тем, что есть. Из анализа полученной системы посылок видно, что надо либо оперировать с силлогистикой, в которой имеются «положительные» и «отрицательные» классы сущностей, либо провести необходимые преобразования, о которых мы говорили раньше, чтобы перейти к случаю традиционной силлогистики Аристотеля. Выберем второй путь.

Сохраним все высказывания, в которые не входят классы W₂, W₅ и W₇, а высказывания, в которые они входят, подвергнем преобразованию. Тогда получим следующую систему высказываний, в которой классы сущностей обозначены соответствующими W_i, а около тех высказываний, которые подверглись пре…[4]

На рис. 18 показана общая структура системы, позволяющей получать силлогистические выводы. Четыре блока системы выполняют следующие функции. Новые факты, поступающие в систему, попадают в лингвистический блок, который преобразует их в нормальную форму. Если вспомнить первоначальную форму посылок в сорите о ростовщиках и любителях выпить, то становится понятным, что работа лингвистического блока не столь проста. В его задачу входит не только «навешивание» кванторов «всякий» и «некоторые», но и вычленение имен классов сущностей, а также освобождение высказываний от тех слов, которые не влияют на суть той информации, которая в высказывании содержится. Лингвистический блок должен определить, говорит ли высказывание о некоторой единичной сущности или о совокупности таких сущностей.

Рис. 18.

Наконец, в задачу лингвистического блока входит расшифровка входного сообщения. Эти сообщения могут быть двух типов: факты для пополнения базы фактов системы и факты, истинность которых хотелось бы установить. В первом случае факт после его перевода в нормальную форму передается в базу фактов, а во втором – поступает в блок формирования заключения, где он выступает в качестве задания на вывод.

Значительные проблемы возникают при исключении омонимии в названиях классов сущностей. Лингвистический блок должен, например, установить, что в рамках некоторого определенного универсума «люди» имена «трезвенники» и «те, кто не пьют» относятся к одному и тому же классу сущностей. Установление подобных соотношений невозможно без учета специфики той проблемной области, к которой относятся силлогистические утверждения. В памяти лингвистического блока должна храниться достаточная информация о возможных преобразованиях имен классов сущностей.

Если очередной факт, переведенный в нормальную форму, поступает в базу фактов, то прежде чем занять в ней свое место, он подвергается проверке с помощью процедур, встроенных в базу фактов. Сначала проверяется, не содержится ли такой же факт в базе. Если подобный факт уже есть, то он не дублируется. Затем проверяется, не противоречит ли вновь поступивший факт тем, которые уже хранятся в базе фактов. Противоречивыми являются пары, отмеченные крестиком в табл. 2.

Таблица 2

Они противоречивы тогда, когда в обоих высказываниях речь идет об одинаковых классах сущностей S и Р. Галочкой в таблице отмечены те пары, для которых тип высказывания, стоящий в столбце, есть следствие того типа высказывания, которым отмечена строка таблицы.

Поэтому если, например, на вход базы фактов поступил факт Asp, а в базе до этого существовал факт Isp, то производится замена Isp на Asp. Если же в базе хранился факт Asp, а на вход поступил факт Isp, то вновь поступивший факт в базу не записывается. Высказывания с единичными сущностями всегда записываются в базу фактов, если проверка их на противоречивость прошла успешно. При проверке их на противоречивость, кроме случаев, показанных в табл. 2, анализируется еще случай возникновения двух высказываний «a есть Р» и «a не есть Р», касающихся одного и того же a.

Какие решения принимает система, если она обнаруживает противоречие между вновь поступившим фактом и теми, которые до этого хранились в базе фактов? Какому из двух выявившихся противоречивых фактов система должна верить?

На эти вопросы практически нет ответа. Возможные альтернативы: хранение всех фактов при условии, что противоречивые факты относятся к различным возможным мирам; исключение этой пары фактов из базы фактов, так как в системе нет средств для определения предпочтительности истинности того или иного факта; привлечение дополнительной информации для выбора из двух противоречащих фактов одного, истинность которого обоснована больше.

Поясним эти альтернативы на следующем примере. Пусть в базе фактов хранился факт Asp: «Всякие лошади не есть летающие существа». И пусть на вход базы фактов поступили новые факты «Пегас есть лошадь» и «Пегас есть летающее существо». Эти факты входят в противоречие с ранее имевшимся фактом о том, что лошади не летают. Принятие первой альтернативы заключается в том, что класс сущностей с именем «лошади» делится на два класса с именами «лошади, которые не есть Пегас» и «пегасы». В качестве единичных сущностей первого класса выступают те конкретные сущности, о которых системе было известно ранее (если их в системе не было, то класс «лошади» не имеет в системе конкретных представителей). В качестве единичной сущности класса «пегасы» выступает тот Пегас, который был упомянут в поступившем в систему сообщении. Факт Asp сохраняется с учетом, что S есть имя класса «лошади, которые не есть Пегас», и вводится высказывание Aq, в котором Q есть имя класса сущностей «пегасы».

При выборе второй альтернативы система должна будет стереть из базы фактов информацию о классе сущностей «лошади» или убрать из нее факт Asp. Обе эти возможности осуществить не так просто. Если производится удаление какой-то части базы фактов, то необходимо удалить и все те факты, которые прямо не связаны с классом сущности «лошади», но при образовании которых при силлогистическом выводе использовались факты, связанные с лошадьми. Ведь следы прямого упоминания класса «лошади» при таком выводе могут исчезнуть, если класс «лошади» в силлогистической фигуре занимал позицию М. Поэтому вторая альтернатива всегда требует глобальной перепроверки всех фактов, хранимых в базе, а на это уходит немалое время.

Наконец, если используется третья альтернатива, то система может, например, не воспринять факт, касающийся Пегаса, зная из каких-то побочных источников, что в памяти хранятся лишь факты, относящиеся к области коневодства, и что Пегас не является именем конкретной сущности.

Кроме чистого противоречия, выявить которое принципиально несложно, при вводе нового факта в базу фактов приходится сталкиваться и с проблемами пресуппозиции. Эти проблемы занимали важное место в исследованиях средневековых логиков. Они связаны, в частности, с тем, что истинность некоторого факта неразрывно связана с истинностью некоторых других фактов. Особенно это касается фактов, описывающих динамику событий во внешнем мире. Если, например, в систему поступает факт «Петров заболел», то после приведения его к нормальной форме мы будем иметь: «Петров тот, кто есть больные люди». Этот факт можно ввести в память системы, но при этом сама истинность этого факта предполагает, что некоторое время тому назад был истинен другой факт: «Петров тот, кто не есть больные люди». Этот факт, вытекающий из явления пресуппозиции, формально противоречит вновь вводимому факту. Здесь мы сталкиваемся со случаем третьей альтернативы. Из двух противоречивых фактов надо убрать из памяти системы первый, а второй записать в нее. С тем же явлением пресуппозиции связан и факт введения новых классов сущностей, о которых известно системе. Факт «Петр дал Ивану билет на поезд» по принципу пресуппозиции порождает совокупность высказываний вида: «Петр существует» или «Петр есть человек», «Иван есть человек», «Иван обладает билетом» или «Иван тот, кто есть люди, обладающие билетом» и т.п.

Продолжим обсуждение работы системы, структура которой показана на рис. 18. Возможны два режима работы системы: режим пополнения базы фактов и режим доказательства теоремы. В первом случае происходит добавление в базу фактов всех тех фактов, которые с помощью силлогистического вывода получаются из вновь введенного факта, и всех фактов, ранее хранившихся в базе фактов. Во втором случае формулируется теорема в виде вопроса о возможности вывода факта, поступившего на вход системы, из фактов, хранящихся в базе фактов. В процессе вывода блок формирования совместимых посылок выбирает из базы фактов пары посылок, которые образуют одну из четырех фигур силлогизма, т.е. посылок, сцепленных между собой общим классом сущностей М.

После нахождения такой пары она передается в блок формирования заключения. В этом блоке проверяется возможность вывода, т.е. возможность того, что пара типов посылок в данной фигуре силлогизма образует правильный модус. Если правильный модус не образуется, то вырабатывается требование на поиск новой пары посылок. Если же вывод возможен, то его результат сравнивается с высказыванием, являющимся целью доказательства теоремы. Если полученное заключение есть искомое высказывание, то процесс доказательства обрывается и результат, говорящий о том, что теорема верна, выдается из системы. Если этого не произошло, то полученное заключение добавляется в базу фактов и процесс поиска доказательства продолжается.

В рассмотренной процедуре возникает проблема остановки. Если нужный факт не выводится из той системы посылок, которая имеется в базе фактов, то как это узнать? Единственный возможный ответ связан с полным перебором всех сочетаний посылок, дающих фигуры силлогизма. Это же касается и случая прекращения процесса пополнения базы фактов после введения нового факта в систему.

Суммируя все сказанное, необходимо отметить, что, несмотря на внешнюю простоту процедуры вывода в силлогистике, в ней, как в капле воды, отражаются все те трудности, которые связаны с поиском вывода. Прежде всего это трудности понимания поступающих в систему сообщений, истолкования их в терминах, понятных на уровне внутреннего языка (в нашем случае это необходимость в процедурах нормализации сообщений). Затем это ряд трудностей, вызываемых процедурами проверки поступающего сообщения на согласованность содержащейся в нем информации с той информацией, которая ранее хранилась в памяти системы. Это трудности поиска, не опирающегося на какую-то цель, или при известной цели (в случае доказательства теоремы) не опирающегося на какие-либо соображения о путях движения по дереву вывода. Наконец, это трудности, связанные с прекращением процедур вывода и формированием отрицательного ответа на поставленный перед системой вопрос о выводимости.

Все эти трудности в той или иной форме будут присущи и другим системам моделирования человеческих рассуждений, ибо они являются принципиальными для всех формальных систем, частным случаем которых является силлогистика Аристотеля.

Формальная система – это четверка вида

Ф=<T,L,Q,R>.

Множество Т есть множество базовых элементов, исходных кирпичиков, не расчленяемых на более простые. Примерами таких элементов служат буквы (графемы) или детали в детском конструкторе. Единственное требование к элементам множества Т состоит в том, что для любого элемента за конечное число шагов можно узнать, принадлежит он Т или нет, а также отличить одни элементы от других, отождествляя одинаковые элементы.

Множество L есть множество синтаксических правил. С их помощью из элементов множества Т строятся более сложные образования, которые называются синтаксически правильными. Так, из графем возникают линейно упорядоченные сочетания, называемые словами, предложениями (для их образования используется специальный знак – пробел и знаки пунктуации), текстами; из деталей детского конструктора возникают более сложные образования, в которых отдельные элементы набора соединяются крепежными элементами.

Множество Q состоит из выделенных на основе некоторого соображения синтаксически правильных образований. Такое множество называется начальным или априорно принимаемым. Часто синтаксически правильные образования, входящие в Q, называют аксиомами. Тогда Q называют множеством аксиом.

Наконец, R представляет собой совокупность процедур, с помощью которых можно получать одни синтаксически правильные совокупности из других. Эти процедуры носят название правил вывода.

Формальные системы обладают одним общим свойством – автономностью. Если в такой системе задать все четыре множества, то она самостоятельно начнет генерировать множество выводимых в ней синтаксически правильных совокупностей. Они будут порождаться в результате применения различными способами правил вывода к совокупностям из множества Q. Сами элементы Q считаются в данной формальной системе выведенными всегда, т.е. априорно выведенными.

Легко усмотреть, что силлогистика Аристотеля и ее расширения, описанные нами, являют собой пример формальной системы. В качестве элементов Т выступают буквы, символизирующие имена конкретных сущностей и имена классов, а также символы А, Е, I и О. Синтаксические правила образуют из этих элементов нормальные формы представления высказываний Asp, Esp и т.п. В качестве исходных аксиом выступают законы силлогистики. Наконец, правилами вывода являются фиксированные выводы с одной посылкой, предназначенные для эквивалентных преобразований высказываний (например, EspEps), а также таблица получения заключений в правильных модусах при наличии посылок для этих заключений. Такая силлогистическая система способна при заданном множестве, в состав которого кроме законов силлогистики входит некоторое число высказываний, принятых в этой системе за априорно выведенные, породить все высказывания, которые вытекают из Q и правил вывода для силлогизмов.

Другие подходы к моделированию человеческих рассуждений, возникшие в столь же давние времена, что и силлогистика, не сумели достигнуть ее уровня. Но анализ их достижений полезен, ибо позволяет ввести некоторые типы нестрогих человеческих рассуждений, которые были отброшены силлогистикой как не отвечающие строгим логическим принципам. Ибо истина и ложь в человеческих рассуждениях это не Истина и Ложь с большой буквы, о которых говорят строгие логические теории. Но и они имеют право говорить об Истине лишь тогда, когда исходные факты, служащие посылками, не могут быть подвергнуты никакой критике. А возможно ли это? Во всяком случае, возможно ли это, когда мы рассуждаем о проблемных областях, знание о которых у нас не абсолютно? Ответ, как мне кажется, дан героем повести «Сказка о тройке» А. и Б. Стругацких Фарфуркисом:

«Действительно, что такое ложь? Ложь это отрицание или искажение факта. Но что есть факт? Можно ли вообще в условиях нашей невероятно усложнившейся действительности говорить о фактах? Факт есть явление или деяние, засвидетельствованное очевидцами? Однако очевидцы могут быть пристрастными, корыстными или просто невежественными. Факт есть деяние или явление, засвидетельствованное в документах? Но документы могут быть подделаны или сфабрикованы. Наконец, факты есть деяния или явления, фиксируемые лично мной. Однако мои чувства могут быть притуплены или даже совсем обмануты привходящими обстоятельствами. Таким образом, оказывается, что факт как таковой есть нечто весьма эфемерное, расплывчатое, недостоверное, и возникает естественная потребность отказаться от такого понятия. Но в этом случае ложь и правда автоматически становятся первопонятиями, неопределимыми через какие бы то ни было более общие категории. Существует Большая Правда и антипод ее, Большая Ложь. Большая Правда столь велика и истинность ее столь очевидна всякому нормальному человеку, каким являюсь и я, что опровергать ее и искажать ее, т.е. лгать, становится совершенно бессмысленно. Вот почему я никогда не лгу и не лжесвидетельствую».

Это высказывание Фарфуркиса должно звучать для читателя предостережением от слепого поклонения ясным и прозрачным моделям рассуждений, в основе которых лежат генераторы правильных заключений, т.е. формальные системы. Ибо в подобных генераторах вывод всегда правилен, но это ничего не говорит об истинности получаемого заключения. Истинность определяется не только правильностью вывода, обеспечиваемой самой формальной дедуктивной системой, но и истинностью тех посылок, которые были выбраны в качестве аксиом. Именно поэтому во времена Аристотеля силлогизм

казался истинным, ибо посылка «Все лебеди белые» подтверждалась, как и посылка «Все люди смертны», всем человеческим опытом, накопленным в Греции той эпохи. И понадобились сотни лет, чтобы убедиться в ложности этой посылки, ибо в Австралии были обнаружены черные лебеди. И если теперь заключение силлогизма о лебедях является явно ложным, сам способ его получения, т.е. путь доказательства, остается правильным.

Забытые науки

На пути развития человеческих знаний о внешнем мире возникали и исчезали целые науки. Одни из них, например алхимия или риторика, известны современному человеку хотя бы понаслышке, о других, например экзегетике, герменевтике или мантике, знает весьма узкий круг специалистов, занимающихся историей науки и культуры.

Но в последние годы отмечается возрождение интереса к этим, казалось бы, прочно забытым наукам. Появляются книги, посвященные алхимии и ее влиянию на современные представления в химии, вновь возрождаются исследования в области риторики, используемой как в теории аргументации (о которой в этой книге речь будет позже), так и в юриспруденции. Герменевтические схемы становятся предметом тщательного изучения специалистами, работающими в области семантики текстов. Поистине многое новое – это хорошо забытое старое. Очищенные от мистической шелухи, в которую они были надежно запрятаны, некоторые результаты алхимии, герменевтики или экзегетики начинают включаться в современную сумму научных сведений и методов, переживая новое рождение.

Алогичность ряда положений священных книг древности, наличие в них непонятных и многозначно толкуемых мест породили среди адептов соответствующего учения стремление к выявлению той внутренней логики и непротиворечивости, которая должна быть в «боговдохновенных» сочинениях. Упоминавшийся уже Фома Аквинский использовал для этих целей силлогистику Аристотеля. Комментаторы первых пяти книг Ветхого завета, считавшихся в иудаизме священными, избрали другие приемы рассуждений, давшие обширную талмудическую литературу, представляющую собой логические (точнее, герменевтические) комментарии к Пятикнижию и комментарии на ранее сделанные комментарии.

Нас, конечно, интересуют не те конкретные результаты, которые получили богословы при использовании разработанных ими приемов получения заключений, а сами приемы как схемы возможных человеческих рассуждений. Эти схемы распадаются на три типа: герменевтические, экзегетические и гомилетические. В герменевтических схемах заключения выводятся на основании лишь того, о чем говорится в тексте. Два других типа рассуждений для построения заключения используют внетекстовую информацию. Для получения экзегетических выводов привлекается информация, связанная с контекстом, в котором был порожден данный текст. Это может быть информация об исторических условиях создания текста, об авторе или авторах текста, о принятых во времена написания текста условностях при использовании конкретных выражений и т.п. Легко видеть, что герменевтика и экзегетика не такие уж забытые науки. По сути, все комментаторы литературных и научных сочинений, специалисты по исследованию культуры и многие другие специалисты как раз и занимаются построением рассуждений в духе герменевтики и экзегетики. Наконец, гомилетические рассуждения основаны на получении заключений, опирающихся на морально-этические и нравственные посылки, связанные с текстом и его создателями. Рассуждения такого типа порождают собственное поведение на основе истолкования текста или оценку на этой основе поведения других лиц.

В данном разделе основное внимание будет уделено герменевтическим схемам. В таких схемах происходит анализ не отдельных высказываний, как это было, например, в силлогистике Аристотеля, а всего текста, в котором существует данное высказывание. Для герменевтики важно не только то, о чем говорится в тексте, но и как устроен сам текст, как организована его структура, в каком порядке идут в нем высказывания и отдельные слова в этих высказываниях.

Рассмотрим ряд схем получения заключений, характерных для герменевтики.

1. В одном из стихотворений К. Бальмонта есть такая строка: «Все моря целовали его корабли». Эта фраза явно неоднозначна. Неясно, кто кого целует: моря корабли или корабли моря. Однако если внимание читателя специально не обратить на этот факт, то эта неоднозначность как бы исчезает. Подавляющее большинство читателей (как, по-видимому, и сам К. Бальмонт) будет считать, что именно моря целовали корабли, а не наоборот. Весьма известный пример такого рода: «Мать любит дочь» – также демонстрирует неоднозначность субъекта и объекта, но большинство людей, встречая подобную фразу, твердо уверены, что субъектом ее является мать, а не дочь. И, наконец, еще один пример: «Он встретил ее на поляне с цветами». У этой фразы три смысла в зависимости от того, где были цветы: у него в руках, у нее в руках или просто росли на поляне. Абсолютное большинство людей воспринимает эту фразу однозначно, считая, что цветы росли на поляне, а не составляли букета в руках у него или у нее.

Мы почти бессознательно учитываем при истолковании смысла русских предложений порядок слов в них и взаимную удаленность одних слов от других. Мы склонны считать, что в предложении сначала упоминается субъект, а затем объект, на который направлено действие. Мы склонны также считать, что чем ближе находятся слова в предложении друг к другу, тем теснее связь между ними. Эти психологические законы восприятия текста опираются на наш повседневный опыт работы с текстами и повседневное восприятие живой речи и отражают тот факт, что в подавляющем большинстве случаев это действительно так и бывает. А многозначно понимаемые фразы встречаются весьма редко.

Опишем ряд герменевтических схем, основанных на учете взаимного расположения слов в тексте.

1a. Обозначим через S некоторый класс сущностей, а через S_i – некоторые подклассы этого класса. Если во фразе сначала что-то утверждается об S, а затем то же самое утверждается об {S_i}, то заключение относится лишь к множеству {S_i}. Другими словами, общее, предшествующее частному, толкуется как частное. Поясним это на следующем примере:

«Если вам хочется услышать истинную поэзию, то возьмите русских поэтов: Пушкина, Лермонтова, Тютчева и почитайте их». С точки зрения приема, который мы анализируем, заключение рассуждения нужно понимать так, что Некрасова читать не рекомендуется, ибо общее «русские поэты» предшествует частному, заданному перечислением подкласса класса «русские поэты», содержащему только трех указанных поэтов.

1б. Если частное предшествует общему, то заключение касается общего. Пример: «Если вам хочется услышать истинную поэзию, то возьмите Пушкина, Лермонтова, Тютчева, русских поэтов и почитайте их». В этом случае с точки зрения законов герменевтики почитать надо не обязательно одного из трех поэтов, чьи имена перечислены перед именем общего для них класса сущностей «русские поэты», но любого из поэтов, входящего в этот класс.

1в. Если частное заключено между двумя общими, то заключение относится к тем расширениям частного, которые сохраняют сущность этих частных. Следующий пример поясняет этот прием: «Ты можешь купить на свои деньги все, что хочешь: посуду, холодильник, гарнитур для спальни, словом, все, что тебе нужно». Из этой фразы должен следовать вывод, что можно истратить деньги на любые вещи, нужные для оборудования квартиры, но никак не на одежду или украшения.

2. Если имеются два утверждения, из которых одно относится к некоторому классу сущностей S, а другое – к некоторому подклассу класса S, то закон не всегда распространяется на этот подкласс. Возможны различные случаи.

2а. Если частный случай упомянут в контексте общего случая, то на частный случай распространяются все выводы, вытекающие из общего случая, а все пояснения к частному случаю являются истинными и для общего случая. Рассмотрим пример: «Всякая найденная вещь должна быть возвращена владельцу или передана в стол находок. Если кто-то забыл книгу, выходя из метро, то надо окликнуть его, пока он не вышел из вагона, или догнать его. Если же пассажира в вагоне не было, когда была обнаружена книга, то ее надо сдать в стол находок». Согласно правилам герменевтики, восходящим еще к толкованию Пятикнижия талмудистами, подобный текст переносит все, что сказано о книге, на любые предметы, обнаруженные в вагоне метро.

2б. Если некоторое частное утверждение общего утверждения находится с ним в тексте одновременно и содержит посылки, более частные, чем общее утверждение, то этот частный случай есть исключение из общего утверждения. Примером такой схемы рассуждений может служить вывод о том, что в общественном транспорте военнослужащий не обязан отдавать честь вышестоящему начальнику, так как в уставе одновременно содержится общее требование отдачи чести военнослужащим при встрече со старшим по званию, а также частное требование, указывающее конкретные условия (посылки), при которых честь не отдается.

2в. В предшествующем случае посылки частного утверждения входили в посылки общего утверждения, но приводили к другому заключению, отменяющему общее. Но возможен случай, когда заключение частного утверждения не только не отменяет общее, но как бы усиливает его. Проиллюстрируем это на примере закона о хищениях, который вполне мог бы быть в уголовном кодексе некоторой страны: «При хищении имущества граждан преступник несет наказание в виде тюремного заключения от двух до пяти лет. При хищении в особо крупных размерах срок его наказания от семи до девяти лет.» В этом примере второе утверждение по форме является частным, а первое общим. Однако заключение второго утверждения усиливает заключение первого.

Два последних типа герменевтических рассуждений весьма часто используются в юриспруденции, усиливая и смягчая наказания в зависимости от тех или иных конкретных посылок, входящих, как правило, в посылки общих утверждений.

3. Этот герменевтический прием рассуждения весьма распространен в юриспруденции всех стран. Если в некотором месте текста, когда говорится о чем-то и допускается, что это что-то необходимо следует из посылок q₁ и q₂, а в другом месте этого текста говорится о том же самом, но в качестве необходимой посылки указывается лишь q₁, то и в первом случае посылку q₂ можно опустить.

4. Если в тексте содержатся два утверждения, противоречащие друг другу, то либо в тексте имеется утверждение, примиряющее их, либо такое утверждение надо построить, введя в противоречащие утверждения такую посылку, которая «разводит» их и снимает их противоречивость. Этот прием весьма хитроумно использовали талмудисты для устранения вопиющего противоречия, связанного с указаниями срока употребления опресноков во время пасхи. В книге «Второзаконие» в одной и той же главе говорится, что опресноки надо употреблять в пищу и шесть и семь дней. Ситуация исключительно тяжелая. Но вот как талмудисты преодолели ее. По учению фарисеев первый сноп нового урожая торжественно приносился в храм на второй день пасхи. После его освящения в храме разрешалось есть хлеб нового урожая. Учитывая это обстоятельство, талмудисты устранили противоречие, добавив к заключениям о том, что опресноки надо есть шесть дней и что опресноки надо есть семь дней, посылки о типе муки, используемой при выпечке опресноков. Если это мука получена из зерен старого урожая, то такие опресноки можно есть все семь пасхальных дней, а если для их приготовления используется мука из зерен нового урожая, то число дней потребления опресноков, естественно, сокращается до шести.

К сожалению, процедуры поиска дополнительных посылок, «разводящих» противоречивые высказывания, до сих пор не созданы. Если бы это удалось, то многие проблемы сохранения непротиворечивости баз данных и баз знаний в современных интеллектуальных системах, а также непротиворечивости рассуждений, опирающихся на факты и знания, были бы решены.

5. Если в ряду однотипных утверждений что-то упоминается ранее, то оно автоматически переносится на все последующие утверждения. Если бы этот прием герменевтики перенести на текст известной русской сказки «Терем-Теремок», то можно было бы существенно сократить ее текст, ибо повтор всего диалога с вновь пришедшим к теремку персонажем не нужен. Достаточно лишь последней его части, отличающей его от предшествующего диалога. Правда, тогда бы потерялась вся прелесть и привлекательность этой сказки.

Наверное, читатель уже уловил суть герменевтических схем. Конечно, в отличие от строгих силлогистических рассуждений, сомнение в справедливости которых возможно лишь при очень тщательном их анализе, правильность герменевтических рассуждений можно подвергнуть критике «с ходу». Однако с их помощью удается объяснить многие особенности человеческих рассуждений, которые, как мы уже неоднократно подчеркивали, не являются в большинстве своем рассуждениями, порождаемыми формальными системами. Именно поэтому мы рассмотрим еще несколько «экзотических» схем рассуждений.

Разнообразные логические системы, родившиеся в Индии, Китае, Японии и других странах, дают немало примеров моделей рассуждений, которые не принимаются теми, кто считает необходимым, чтобы в основе логической системы дедуктивного типа лежала идея формальной системы. Здесь не место давать сколь-нибудь глубокий анализ систем Востока, в которых логика тесно переплетается с философией, а зачастую и с религией. Наша задача состоит лишь в том, чтобы у читателя сложилось представление, что многие особенности человеческих рассуждений (прежде всего опирающихся на правосторонние механизмы), никак не отражаемые в логических теориях Европы, находят место в теориях, рожденных в Азии.

Этим системам ничуть не были чужды идеи чисто дедуктивных рассуждений по типу силлогистики Аристотеля. Вот как звучит дошедший до нас из глубины веков разговор философа Махинды, посланца царя Ашоки, ревностного проповедника и распространителя буддизма, с царем Цейлона Ланка Деванампиятиссом. В этом разговоре Махинда проверяет логические способности царя Цейлона, ибо для восприятия философии буддизма, по мнению Ашоки, требуется определенный уровень логического мышления, способности к рассуждениям логического типа:

– Как называется это дерево, о царь?

– Это дерево называется манго.

– Существуют ли здесь еще деревья манго, кроме этого?

– Существует множество деревьев манго.

– А существуют ли здесь другие деревья, кроме этого дерева манго и других деревьев манго?

– Существует множество деревьев, о достопочтенный, но это деревья, которые не есть деревья манго.

– А существует ли здесь, кроме других деревьев манго и тех деревьев, которые не есть деревья манго, еще другие деревья?

– Вот это дерево манго, о достопочтенный.

– Есть ли здесь люди твоего рода, о царь?

– Здесь много людей моего рода, о достопочтенный.

– А есть ли здесь кто-либо, не принадлежащий к твоему роду, о царь?

– Да, их здесь еще больше, чем людей моего рода.

– А есть ли здесь кто-либо, кроме людей твоего рода и других?

– Это я, о достопочтенный.

Результатом этой проверки Махинда был, несомненно, доволен. Условия для распространения буддизма оказались на Цейлоне вполне подходящими, ибо царь Ланка Деванампиятисс вполне справился с задачами выделения классов сущностей и выявления тех жергоновых отношений, которые между ними имеются. Он даже оказался способным на силлогистические заключения! Этот пример показывает, что в Индии периода развития буддийского учения логика уже достигла уровня силлогистики. Однако в ней не был сделан решающий шаг: не совершился переход к замкнутой дедуктивной системе. Силлогистические заключения остались всего лишь одним из приемов для проведения рассуждений. Интересно, что в буддийской логике силлогизм был не трехчленным, как у Аристотеля (две посылки и заключение), а пятичленным. Но его пятичленность определялась не тем, что использовались сориты с четырьмя посылками, а тем, что он представлял собой как бы два силлогизма Аристотеля, сцепленные друг с другом. Рассмотрим пример такого рассуждения.

В этом рассуждении второе утверждение найдено по аналогии с первым наблюдением. Третье утверждение есть переход от частного к общему. Четвертое утверждение устанавливает связь по общности (аналогии) между первым и вторым утверждением. Наконец, общее заключение выводится из всего предшествующего. Таким образом, в пятичленном рассуждении, приведенном нами, используются одновременно индуктивные и дедуктивные рассуждения, а также вывод по аналогии.

Не чужды были буддийским мыслителям и герменевтические схемы. Они, например, широко пользовались так называемым «принципом куропаток», который звучал так: «Если в тексте о чем-то говорится как о множестве, то число элементов множества равно трем». Этот странный принцип обосновывается тем, что по закону о жертвоприношениях количество жертвенных животных (в том числе и куропаток) никак не ограничивалось. С другой стороны, имел место закон, запрещающий убийство. Коллизия этих двух требований и породила конформистский «принцип куропаток».

В философском учении школы хуаянь, процветавшей в Китае, имеются элементы логики, в которой закон тождества понимается не статично, как в силлогистике Аристотеля, а диалектически. В такой форме закон тождества звучит следующим образом: «Всякое Q есть Q и одновременно не есть Q». В учении о мире дхарм говорится:

«Мир дхарм ши это мир явлений, которые изменчивы, многообразны, отличны друг от друга, все события и предметы этого мира взаимосвязаны. Мир дхарм не является миром сущностей, неизменных и вечных. Этот мир есть некоторая единая субстанция. И оба мира неотделимы друг от друга, взаимозависимы, образуют единое неразрывное целое. Ши и ли взаимно обусловлены, взаимно тождественны и различны (выделено нами)».

В этой позиции предугаданы многие законы, которые позже стали изучаться в диалектической логике. В настоящее время эта логика находится в стадии становления, в стадии поиска формального аппарата, который позволил бы ей достичь того же уровня формализации, который достигнут в формальных логиках, отражающих человеческие рассуждения о мире явлений, в котором нет диалектических переходов. Но уже в древности философы и мыслители пытались в своих логических построениях преодолеть статичность и метафизичность описываемого мира и выдвигать положения, подобные тем, которые приняты в философской системе хуаянь или сформулированы в древнеиндийской сутре Ланкаватра: «Вещи не такие, как они выглядят, но и не другие».

Попытки ввести диалектику в схемы логических рассуждений делались, конечно, не только на Востоке, но и в Европе. Достаточно вспомнить Гегеля с его диалектическим методом. Но до сих пор так и не удалось создать формальную систему, в рамках которой описывались бы законы рассуждения, опирающиеся на диалектику. Это дело будущего. И, возможно, для этого потребуется расширение самого понятия формальной системы.

А сейчас мы переходим к описанию двух мощных формальных дедуктивных систем, порожденных наукой Нового времени. Именно эти системы впервые позволили автоматизировать ряд характерных для человека способов рассуждений, опирающихся на схему дедуктивного вывода.

Глава третья. АВТОМАТИЗАЦИЯ ДОСТОВЕРНЫХ РАССУЖДЕНИЙ

Где меч силлогизма горел и сверкал,Проверенный чистым рассудком,И что же? Сражение он проигралВо славу иным прибауткам!Н. Заболоцкий. Битва слонов

Исчисление высказываний

Под высказыванием будем понимать утверждение, относительно которого в любой момент можно сказать, является оно истинным или ложным, или по крайней мере предполагать, что ему может быть приписана такая интерпретация. Например, фразы «Пик Коммунизма есть высочайшая вершина СССР», «Все жители земли имеют рост более двух метров», «В Африке находятся более десяти еще неизвестных захоронений фараонов Египта» являются высказываниями. Первое из них истинно, второе – ложно (легко приводятся конкретные опровергающие примеры), а относительно третьей фразы мы не можем говорить, является она истинной или ложной, так как наши знания о еще не найденных погребениях фараонов пока недостаточны. Но мы вполне можем предполагать, что это высказывание, ибо оно обязательно либо истинно, либо ложно.

Не всякие фразы на естественном языке могут быть высказываниями. Например, утверждение «Девушка была очень красивой» таковым не является. Одни мужчины могут согласиться с мнением, высказанным в этой фразе, т.е. посчитать, что это утверждение истинно, но другие могут и не принять данной точки зрения, т.е. посчитать утверждение ложным. Такого рода утверждения в рамках формальной системы, называемой исчислением высказываний, не рассматриваются.

О формальной системе речь шла во второй главе, и читатели, наверное, помнят, что такие системы задаются как четверки, состоящие из множества базовых элементов Т, множества синтаксических правил L, множества аксиом Q и множества правил вывода R. Поэтому, если мы хотим рассматривать исчисление высказываний как формальную систему, то должны задать указанные четыре множества.

В качестве элементов множества Т будут выступать элементарные высказывания, обозначаемые малыми латинскими буквами. Считать или не считать некоторое высказывание элементарным, зависит от нашей воли. Как станет ясно из дальнейшего, этот вопрос не имеет принципиального значения в рамках той дедуктивной системы, которую мы строим. Для описания процедур построения производных высказываний из элементарных, т.е. синтаксических, правил надо предварительно ввести знаки логических связок. В качестве таких связок будут выступать уже известные по первой главе конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, которые будем обозначать &, и (иногда заменяя, как и ранее, этот последний знак чертой сверху буквы, соответствующей элементарному высказыванию), а также новая связка, называемая импликацией, которую будем обозначать .

Сформулируем теперь совокупность синтаксических правил для исчисления высказываний.

1. Всякое элементарное высказывание является правильной совокупностью (будем говорить далее правильной формулой).

2. Если ? и ? являются правильными формулами, то правильными формулами являются также ?, (?&?), (??) и (??).

3. Других правильных формул в исчислении высказываний нет.

Между знаками логических связок , &, и и конструкциями естественного языка существует некоторая связь, которую проиллюстрируем на примерах. Воспользуемся стихотворением Давида Самойлова «Пестель, поэт и Анна». Вот его начало:

Там Анна пела с самого утраИ что-то шила или вышивала.И песня, долетая со двора,Ему невольно сердце волновала.

В этом четверостишии можно выделить четыре элементарных высказывания: a – «Там Анна пела с самого утра», b – «Что-то (Анна) шила», с – «Что-то (Анна) вышивала», d – «Песня, долетая со двора, ему невольно сердце волновала». В скобках мы ввели субъект, отсутствующий во второй строке приведенного отрывка. Общая логическая структура всего четверостишия может быть описана следующим образом: (а И (b ИЛИ c) И d). Большими буквами мы выделили союзы, которые в явной форме присутствуют в тексте Д. Самойлова. Можно ли от этой записи перейти к логическим связкам?