Криптономикон

где i = (1, 2, 3… 8 ∞)

меньше или больше в зависимости от того, насколько близкое к бесконечности время Тьюринг намерен ехать на велосипеде. Через некоторое время Уотерхаузу начинает казаться, что они и впрямь едут бесконечно.

Цепь сваливается, когда велосипед достигает состояния (Q = 0, С = 0). В свете вышесказанного это происходит, когда i (которое просто означает число оборотов, совершенных задним колесом) достигает некоего гипотетического значения, при котором in mod l = 0, или, говоря по-человечески, когда некое число, кратное n (такое, как, например 2n, 3n, 395n или 109 948 368 443n), оказывается в то же время кратным l. Вообще-то это может быть любое из так называемых общих кратных, но с практической точки зрения важно только первое — наименьшее общее кратное, или НОК, поскольку именно оно будет достигнуто первым и вызовет падение цепи.

Если, скажем, у звездочки двадцать зубцов (n = 20), а в цепи сто звеньев (l = 100), то после первого поворота колеса мы имеем С = 20, после двух поворотов С = 40, потом 60, 80 и 100. Однако поскольку мы ищем остаток от деления на 100, значение надо изменить на ноль. Таким образом, после пяти оборотов колеса мы достигли состояния (Q = 0, С = 0) и цепь Тьюринга сваливается. За пять оборотов колеса он проезжает всего десять метров, поэтому при таких значениях l и n велосипед практически бесполезен. Разумеется, все это верно лишь в том случае, если Тьюринг такой дурак, чтобы начать движение из состояния спадения цепи. Если же он начинает крутить педали, когда велосипед находится в состоянии (Q = 0, С = 1), то С принимает значения 21, 41, 61, 81, 1, 21… и так до бесконечности, и цепь не свалится никогда. Однако это вырожденное состояние, где «вырожденное» для математика означает «невыносимо скучное». В теории, если Тьюринг будет всякий раз выставлять нужное состояние, прежде чем бросить велосипед на улице, никто не сможет его украсть — цепь свалится через первые же десять метров.

Если же в цепи Тьюринга сто одно звено (l = 101), то после пяти оборотов мы имеем С = 100, а после шести С = 19, тогда

С = 39, 59, 79, 99, 18, 38, 58, 78, 98, 17, 37, 57, 77, 97, 16, 36, 56,76, 96, 15, 35, 55, 75, 95, 14, 34, 54, 74, 94, 13, 33, 53, 73, 93, 12, 32, 52, 72, 92, 11, 31, 51, 71, 91, 10, 30, 50, 70, 90, 9, 29, 49, 69, 89, 8, 28, 48, 68, 88, 7, 27, 47, 67, 87, 6, 26, 46, 66, 86, 5, 25, 45, 65, 85, 4, 24, 44, 64, 84, 3, 23, 43, 63, 83, 2, 22, 42, 62, 82, 1, 21, 41, 61, 81, 0

Так что состояние (Q = 0, С = 0) не будет достигнуто и цепь не свалится, пока колесо не совершит сто один оборот. За сто один оборот велосипед Тьюринга успевает проехать по дороге пятую часть километра, что совсем не так плохо. Значит, велосипед работающий. Однако в отличие от вырожденного случая его нельзя привести в такое состояние, чтобы цепь не спадала совсем. Это легко доказать, просмотрев приведенный список значений С и убедившись, что все возможные значения — все числа от одного до ста — в нем присутствуют. Это означает, что с какого бы значения С Тьюринг ни начал крутить педали, рано или поздно он придет к фатальному С = 0 и цепь свалится.

Разница между вырожденным и невырожденным случаем заключена в свойствах использованных чисел. Комбинация (n = 20, l = 101) принципиально отличается от комбинации (n = 20, l = 100). Главная разница в том, что 20 и 101 — «взаимно простые», т. е. у них нет общих делителей. Это означает, что их наименьшее общее кратное, их НОК — большое число и равняется собственно l х n, т. е. 20 х 101 = 2020. А вот НОК ста и двадцати — всего 100. У велосипеда с l = 101 длинный период — он проходит через множество различных состояний, прежде чем вернуться к исходному, а у велосипеда с l = 100 — короткий, всего из нескольких состояний.

Предположим, что велосипед Тьюринга — шифромашина, основанная на алфавитной замене, т. е. заменяет каждую из двадцати шести букв английского алфавита какой-то другой буквой. А открытого текста может стать Т шифртекста, В — F, С — М и так дальше до Z. Сам по себе такой шифр до смешного прост, взломать его — детская забава. Однако предположим, что схема замены меняется от буквы к букве. Первая буква открытого текста шифруется с помощью одного алфавита замены, вторая — с помощью другого, третья — с помощью третьего и так далее. Это называется полиалфавитный шифр.

Предположим, что велосипед Тьюринга генерирует свой алфавит для каждого из состояний. Тогда состоянию (Q = 0, С = 0) будет соответствовать, например, такой алфавит замены:

а состоянию (Q = 180, С = 15) — такой:

Никакие две буквы не будут зашифрованы одним и тем же алфавитом замены, пока велосипед не вернется в исходное состояние (Q = 0, С = 0) и цикл не пойдет с начала. То есть это периодическая полиалфавитная система. Теперь, если период у машины короткий, она часто повторяет саму себя и в качестве шифровальной системы тоже годится исключительно для детской забавы. Чем длиннее период (чем больше взаимно простых чисел в него встроено), тем реже используется один и тот же алфавит замены и тем выше устойчивость шифра.

Трехдисковая «Энигма» — система именно такого типа (то есть периодическая полиалфавитная). Ее барабаны подобно приводу в велосипеде Тьюринга заключают в себе циклы в циклах. Ее период равен 17 576, то есть алфавит замены, которым зашифрована первая буква сообщения, не повторится до 17 577-й буквы. Однако в «Акуле» немцы добавили четвертый барабан, увеличив период до 456 976. В начале каждого сообщения диски ставятся в различные, случайным образом выбранные исходные положения. Поскольку ни в одном немецком сообщении нет 450 000 знаков, «Энигма» никогда не повторяет один и тот же алфавит замены в пределах отдельного сообщения. Вот почему немцы считают ее неуязвимой.

Над головами пролетает звено транспортных самолетов, направляясь, по всей видимости, к аэропорту в Бедфорде. Самолеты издают странно музыкальный диатонический гул, словно волынки, играющие две мелодии разом. Это напоминает Лоуренсу об еще одном феномене, связанном с велосипедным колесом и шифрмашиной «Энигма».

— Ты знаешь, почему самолеты так гудят? — спрашивает он.

— Нет, если задуматься. — Тьюринг снова сдвигает противогаз на лоб. Челюсть у него немного отвисла, глаза смотрят в разные стороны. Уотерхауз его зацепил.

— Я заметил в Перл-Харборе. У самолета — звездообразный двигатель, — говорит Лоуренс. — Соответственно, в нем должно быть нечетное число цилиндров.

— Как одно из другого следует?

— Если число будет четным, цилиндры окажутся один напротив другого, развернутые на сто восемьдесят градусов, а это не работает механически.

— Почему?

— Не помню. Не работает, и все.

Алан поднимает брови. Он явно не убежден.

— Это как-то связано с кривошипами, — защищается Уотерхауз.

— Не уверен, что соглашусь.

— Просто допусти. Считай это граничным условием, — говорит Уотерхауз. Однако Алан уже ушел в свои мысли — наверное, изобретает звездообразный двигатель с четным числом цилиндров.

— В любом случае, если посмотришь, у них у всех цилиндров нечетное число, — продолжает Лоуренс. — Поэтому шум выхлопа накладывается на гудение винта и получается двухтоновой звук.

Алан снова садится на велосипед. Некоторое время они едут молча. Собственно, они и до этого не столько разговаривали, сколько подкидывали друг другу идеи и давали время подумать. Это очень производительный способ общения; он устраняет значительную часть избыточности, на которую жаловался Алан в случае Рузвельта и Черчилля.

Уотерхауз думает о вложенных циклах. Он уже решил, что человеческое общество действует по этому самому принципу[27], и теперь пытается понять, похоже оно на велосипед Тьюринга (некоторое время работает безотказно, потом внезапно цепь сваливается, отсюда — мировая война), как «Энигма» (долго непонятно скрипит, потом вращающиеся диски выстраиваются, как в игровом автомате, и наступает всеобщее счастье, или, если предпочитаете, Апокалипсис), или просто как самолетный мотор (крутится себе и крутится, ничего особенно не происходит, кроме шума).

— Смотри, сзади! Вон там! — Алан резко тормозит. Это просто шутка, чтобы Лоуренсу пришлось сделать крутой поворот на узкой дороге.

Они прислоняют велосипеды к дереву и снимают с багажников оборудование: сухие батареи, макетные платы, палки, саперный инструмент, мотки провода.

— Я скоро в Америку, работать над проблемой шифрования голоса в лабораториях компании «Белл», — говорит Алан.

Лоуренс невесело смеется.

— Мы с тобой как те корабли у Лонгфелло, которые встретились в ночи, помигали сигнальными огнями и снова разошлись.

— Мы пассажиры на этих кораблях, — поправляет Алан. — Это не случайность. Ты здесь именно потому, что я уезжаю. До сих пор всю работу подразделения 2701 тянул я.

— Теперь это подразделение 2702, — говорит Лоуренс.

Алан расстроен.

— Заметил, значит.

— Очень неосторожно с твоей стороны, Алан.

— Наоборот! — говорит Алан. — Что подумает Руди, если заметит, что во всей армии союзников нет ни одного подразделения, номер которого был бы произведением двух простых чисел?

— Ну, это зависит от того, насколько часто такие числа встречаются и сколько других чисел не использовано, — говорит Лоуренс и начинает решать первую часть задачи. — Опять риманова дзета-функция. Везде она вылезает.

— Вот это по мне! — говорит Алан. — Разумный, деловой подход. Не то что у них.

— У кого?

— Вот здесь. — Алан останавливается и смотрит на деревья, которые, на взгляд Уотерхауза, ничем не отличаются от соседних. — Вроде они. — Он садится на упавший ствол и начинает доставать из рюкзака оборудование. Лоуренс садится рядом и тоже развязывает рюкзак. Он не знает, как работает устройство — это изобретение Алана, — и исполняет роль хирургической медсестры: по мере надобности подает инструмент и материалы. Доктор говорит без умолку, поэтому не просит подать нужную вещь, а смотрит на нее пристально и хмурится.

— У кого по-твоему? У придурков, которые используют информацию, полученную из Блетчли-парка.

— Алан!

— Не придурки, скажешь? Возьми Мидуэй! Идеальный пример.

— Ну, я был рад, когда мы выиграли сражение, — осторожно замечает Лоуренс.

— А тебе не показалось немного странным, немного удивительным, немного явным, что после всех блестящих обманных маневров Ямамото этот ваш Нимиц в точности знал, где именно его искать? В одном определенном месте всего Тихого океана?

— Ладно, — говорит Лоуренс. — Я возмутился, докладную написал. Наверное, из-за нее сюда и попал.

— Так вот, мы, англичане, ничуть не лучше.

— Да?

— Если бы ты узнал, что мы творим в Средиземном море, ты бы ужаснулся. Это скандал. Преступление.

— Что мы там творим? — спрашивает Лоуренс. — Я говорю «мы», а не «вы», потому что теперь мы союзники.

— Да, да, — нетерпеливо отвечает Алан. — Так утверждают. — Он замирает, проводит пальцем вдоль цепей схемы, рассчитывая в уме индуктивности. — Ну, мы топим конвои. Немецкие конвои. Топим направо и налево.

— Конвои для Роммеля?

— Да. Немцы грузят топливо, танки и боеприпасы в Неаполе и отправляют суда на юг. Мы их топим. Топим почти все, потому что взломали итальянский шифр С38m и знаем, когда они выходят из Неаполя. А последнее время мы топим вообще все суда с припасами, которые особенно нужны Роммелю, потому что взломали его шифр «Зяблик» и знаем, что он настойчивей всего требует.

Тьюринг щелкает на своем изобретении тумблером. Пыльный конус из черной бумаги, привязанный к плате бечевкой, противно верещит. Конус — это репродуктор, надо думать, из радиоприемника. Алан берет ручку от метлы с длинной проволочной петлей на конце (вдоль палки к плате тянется провод) и проводит ею на уровне пояса, пока петля, как лассо, не повисает перед Лоуренсом. Репродуктор вопит.

— Отлично. Реагирует на твою пряжку, — говорит Алан.

Он ставит конструкцию на сухие листья, роется в нескольких карманах и, наконец, вытаскивает листок, на котором печатными буквами написано несколько строчек. Лоуренс узнал бы листок где угодно: это дешифровальная ведомость.

— Что там у тебя, Алан?

— Я записал подробные инструкции, положил в пузырек из-под амфетамина и спрятал под мостом, — говорит Алан. — На прошлой неделе я забрал пузырек и расшифровал инструкции. — Он машет листочком в воздухе.

— Какой шифровальный системой ты пользовался?

— Моей собственной. Хочешь, попытайся взломать.

— А почему решил выкопать именно сейчас?

— Это была предосторожность на случай немецкого вторжения, — говорит Алан. — Теперь, когда вы вступили в войну, нас точно не оккупируют.

— И много ты зарыл?

— Два серебряных слитка, Лоуренс, каждый на сумму примерно сто двадцать пять фунтов. Один должен быть совсем близко.

Алан встает, вынимает из кармана компас, поворачивается лицом к северу и расправляет плечи. Потом поворачивается на несколько градусов.

— Не помню, учел ли я магнитное склонение, — бормочет он. — Точно! Ладно, все равно. Сто шагов на север. — Алан углубляется в лес. За ним идет Лоуренс, которому поручено нести металлоискатель.

Доктор Тьюринг может ехать на велосипеде и, не прерывая разговора, считать обороты педалей. Точно так же он может считать шаги и разговаривать. Впрочем, не исключено, что он просто давно сбился со счета.

— Если все, что ты говоришь, правда, — произносит Лоуренс, — то мы наверняка допрыгались. Руди должен был сообразить, что мы взломали их коды.

— Существовала неофициальная система, которую можно считать предшественницей подразделения 2701, или 2702, или как там мы его называем, — говорит Алан. — Когда мы хотим потопить конвой, то посылаем самолет-разведчик. Разумеется, наблюдение — не настоящая его цель, мы и без того знаем, где конвой. Цель — пролететь так близко, чтобы его заметили. Тогда с корабля отправляют радиограмму, что их засек самолет службы наблюдения. Когда мы после этого их топим, немцы не удивляются — во всяком случае, не настолько удивляются, чтобы понять истинное положение дел.

Алан останавливается, сверяется с компасом, поворачивает на девяносто градусов и начинает идти на запад.

— По-моему, это мертвому припарки, — говорит Лоуренс. — Насколько вероятно, что союзный разведчик, посланный наугад, случайно заметит все до одного конвои?

— Я уже подсчитал и готов поспорить на любой из моих серебряных слитков, что Руди подсчитал тоже, — отвечает Тьюринг. — Вероятность очень мала.

— Значит, я прав, — говорит Лоуренс, — и, судя по всему, мы допрыгались.

— Может быть, еще нет. Пока все на волоске. На прошлой неделе мы потопили конвой в тумане.

— В тумане?

— Туман висел весь день. Засечь конвой с воздуха было нельзя. Эти кретины все равно его потопили. У Кессельринга, ясное дело, закрались подозрения. Тогда мы сфабриковали сообщение (зашифрованное кодом, который, мы точно знаем, нацисты вскрыли) к вымышленному агенту в Неаполе, в котором благодарили за информацию о конвое. С тех самых пор гестапо прочесывает портовые районы Неаполя — ищет нашего человечка.

— Значит, пока пронесло.

— Да. — Алан резко останавливается, забирает у Лоуренса металлоискатель и начинает водить петлей по поляне. Петля постоянно задевает о ветки и гнется, так что ее приходится выпрямлять, но упорно молчит, если только Алан для проверки не подносит ее к пряжке у Лоуренса на ремне.

— Дело страшно тонкое, — задумчиво произносит Алан. — Некоторые офицеры ПСС в Северной Африке…

— ПСС?

— Подразделений спецсвязи. Они передают данные «Ультры» в полевые штабы и следят, чтобы их там уничтожили. Так вот, некоторые из них, узнав из «Ультры», что в обеденное время будет немецкий авианалет, пришли в столовую с касками. Когда авианалет произошел в указанное время, многих заинтересовало, как они догадались прихватить каски.

— Безнадега какая-то, — вздыхает Лоуренс. — Почему же немцы до сих пор не догадались?

— Нас это удивляет, потому что мы знаем все и наши каналы связи свободны от шума, — говорит Алан. — У немцев каналов связи меньше, а шума в них больше. Если мы не будем постоянно делать явные глупости, скажем, топить конвои в тумане, они никогда не получат однозначного доказательства, что мы взломали «Энигму».

— Забавно, что ты помянул «Энигму», — говорит Лоуренс, — потому что этот канал содержит огромное количество шума, из которого мы ухитряемся извлекать массу полезной информации.

— Именно поэтому я и беспокоюсь.

— Ладно, я, как могу, постараюсь одурачить Руди.

— Ты-то справишься. Я беспокоюсь из-за тех, кто выполняет операцию на местах.

— Полковник Чаттан представляет вполне надежным. — Лоуренс понимает, что успокаивать Алана бесполезно. У него просто такое настроение. Раз в два или три года Уотерхауз проявляет светский такт, и сейчас как раз такой случай: он меняет тему. — Значит, займешься секретной телефонией для Рузвельта и Черчилля?

— В теории. Сомневаюсь, что из этого выйдет что-нибудь практическое. В лабораториях «Белл» есть система, основанная на том, что форму сигнала разбивают на несколько диапазонов… — И Алан углубляется в рассказ о телефонных компаниях. Он выдает развернутый доклад о теории информации в приложении к человеческому голосу, и о том, как это влияет на телефонию. Хорошо, что у Тьюринга такая большая тема для изложения: лес большой, и он явно не помнит, где зарыл серебро.