Величайшие математические задачи

Сказанное верно в арифметике, хотя даже там приходится быть внимательным, чтобы не сосчитать одно и то же яблоко дважды, а в алгебре это уже неверно. Там вы можете складывать яблоки с апельсинами, не смешивая их. Более того, в высшей математике принято складывать вещи, которые никто в здравом уме и выдумывать-то не стал бы, не то что складывать. Свобода заниматься подобными вещами оказывается поразительно полезной и важной, и придумавшие их математики вовсе не были сумасшедшими, по крайней мере в этом отношении.

Для понимания некоторых идей, связанных с гипотезой Ходжа, мы должны иметь возможность складывать яблоки и апельсины, не записывая их все в обычные фрукты. Делать это на самом деле несложно. Сложно признать, что в этом занятии есть какой-то смысл. Многим из нас доводилось встречаться с подобными концептуальными блоками. Моя учительница рассказывала классу, что буквами обозначаются неизвестные числа, причем разные неизвестные числа обозначаются разными буквами. Если у вас есть a яблок и еще a яблок, то общее число яблок будет a + a = 2a. И это верно, сколько бы в реальности ни было яблок. Если вы возьмете 3a яблок и прибавите к ним еще 2a яблок, то всего получится 5a, сколько бы в реальности ни было яблок. Сам символ, как и то, что он представляет, вовсе не имеет значения: если бы вместо 3a яблок у вас было 3b апельсинов, к которым вы прибавляли бы 2b апельсинов, то результат был бы 5b{42}. Но что произойдет, если у вас будет 3a яблок и 2b апельсинов? Что будет, если сложить 3a и 2b?

3a + 2b.

Вот и все. Эту сумму невозможно упростить и превратить в 5 чего-нибудь: по крайней мере нельзя без некоторых манипуляций с новой категорией — фруктами — и каких-то новых уравнений. Это лучшее, что можно получить: удовлетворитесь этим. Однако, начав с этого, вы вскоре сможете производить такие действия, как:

(3a + 2b) + (5a — b) = 8a + b

без всяких дополнительных рассуждений. И без новых видов фруктов.

Есть, правда, кое-какие оговорки. Я уже отметил, что при складывании яблока и яблока два яблока получится только в том случае, если первое яблоко не идентично второму. То же можно сказать и о более сложных комбинациях яблок и апельсинов. В алгебре считается, что для целей сложения все яблоки, о которых идет речь, различны между собой. Вообще-то принять такое условие часто имеет смысл даже в тех случаях, когда два яблока — или что мы там складываем — на самом деле могут оказаться идентичными. Одно яблоко плюс еще раз то же самое яблоко будет яблоко с кратностью два.

Привыкнув к этой идее, вы сможете пользоваться ею везде. Одна свинья плюс та же свинья получается свинья с кратностью два: свинья + свинья = 2 свиньи, что бы ни скрывалось на самом деле под словом «свинья». Свинья плюс корова будет свинья + корова. Треугольник плюс три круга будет треугольник + три круга. Суперпуперсфера плюс три гиперэллиптических квазикучи будет

суперпуперсфера + три гиперэллиптических квазикучи,

что бы все эти специальные термины ни означали (в данном случае ничего).

Можно даже разрешить отрицательные числа и говорить о вычитании 11 коров из трех свиней: 3 свиньи — 11 коров. Я понятия не имею, что представляют собой минус 11 коров, но я могу быть уверен, что если я прибавлю к ним шесть коров, то получу минус пять коров{43}. Это формальная игра с символами, и никакая реалистичная интерпретация здесь не требуется, не нужна или — зачастую — невозможна. Можно разрешить действительные числа: π свиней минус √2 коров. Комплексные числа. Любые сколь угодно причудливые числа, которые взбредут в голову математику. Этой идее можно придать чуть больше лоска и респектабельности, если рассматривать числа как бирки, навешенные свиньям и коровам. Тогда π свиней минус √2 коров можно рассматривать как свинью с биркой π рядом с коровой с биркой — √2. Арифметика здесь применяется к биркам, а не к животным.

В гипотезе Ходжа тоже фигурирует подобная конструкция с дополнительными рюшечками и украшениями. Вместо животных в ней используются кривые, поверхности и их многомерные аналоги. Может показаться странным, но в результате получается не просто абстрактная чепуха, а глубокая связь между топологией, алгеброй, геометрией и анализом.

Чтобы привести в порядок математический аппарат гомологии, нам потребуется складывать петли, но не так, как мы делали это в фундаментальной группе, а так, как учила меня в свое время учительница. Мы будем просто записывать петли и ставить знак «+» между ними. Чтобы это имело смысл, мы будем работать не с отдельными петлями, а с конечными их наборами. Мы обозначим каждую петлю целым числом, которое будет соответствовать частоте встречаемости этой петли, и назовем такой набор циклом. Теперь наш муравей получает возможность складывать циклы. Для этого он должен объединить петли и сложить значения соответствующих маркеров. Результатом будет новый цикл. Возможно, рассказывая в главе 10 о путешествиях муравья, мне следовало взять мотоциклы, а не автобусы.

Когда мы занимались строительством фундаментальной группы, где «сложение» означает соединение петель концом к концу, там была одна техническая проблема. Добавление тривиальной петли к любой другой давало в результате не совсем ту же самую петлю, так что нулевая петля вела себя неправильно. Сложение прямой и обратной петель давало не совсем нулевую петлю, так что инверсия тоже работала некорректно. Чтобы решить эту проблему, решено было считать петли одинаковыми, если одну из них можно плавно преобразовать во вторую.

Для гомологии это вообще не проблема. Существует нулевой цикл (все маркеры нулевые), и для каждого цикла существует обратный к нему цикл (чтобы получить его, достаточно поменять знак у маркера цикла), поэтому мы имеем группу. Проблема в том, что это не та группа. Она ничего не говорит нам о топологии пространства. Чтобы разобраться в этом, мы воспользуемся аналогичной уловкой и более свободным подходом к тому, что считать нулем. Муравей режет пространство на треугольные заплатки, и граница каждой заплатки топологически достаточно тривиальна: ее можно свести в точку, просто сужая со всех сторон к середине. Таким образом, все граничные циклы должны быть эквивалентны нулевому циклу. Этот логический ход немного напоминает переход от обычных чисел к значениям по модулю (скажем, по модулю 12); мы делаем вид, что число 12 не имеет значения, и его можно назвать нулем. Здесь мы переводим циклы в плоскость гомологии, делая вид, что любые граничные циклы значения не имеют.

Следствия такой позиции очень серьезны. Теперь на алгебру циклов влияет топология пространства. Группа циклов по модулю границ является полезным топологическим инвариантом — гомологической группой поверхности. На первый взгляд этот инвариант зависит от того, какой вариант триангуляции выберет муравей, но если говорить об эйлеровой характеристике, то различные варианты триангуляции одной и той же поверхности приводят к одной и той же гомологической группе. Таким образом, муравей придумал алгебраический инвариант, при помощи которого можно различать поверхности. Искать его — довольно трудоемкое занятие, но хорошие инварианты невозможно получить без труда. Данный инвариант настолько эффективен, что с его помощью можно отличить не только сферу от тора, но тор с двумя отверстиями от тора с пятью отверстиями или с любым другим их количеством.

Гомология может показаться слишком сложной, но именно она положила начало целой серии топологических инвариантов. Кроме того, она основана на простых геометрических идеях: петлях, границах, объединении наборов, арифметических действиях с маркерами. Учитывая, что бедный муравей заперт на своей поверхности, просто поразительно, что он может узнать кое-что о своей вселенной при помощи разделения поверхности на треугольные кусочки, составления карты и некоторых алгебраических операций.

Можно естественным образом распространить гомологию на высшие измерения. Трехмерный аналог треугольника — тетраэдр; у него четыре вершины, шесть ребер, четыре треугольные грани и одна трехмерная «грань», его внутренность. В более общем случае в n измерениях можно определить n-мерный тетраэдр, или симплекс, с n + 1 вершинами, попарно соединенными всеми возможными ребрами. Они, в свою очередь, образуют треугольники, которые собираются в тетраэдры и т. д. Теперь несложно определить циклы, границы и гомологию и опять же можно состряпать группу путем добавления (гомологических классов) циклов. Фактически мы получаем целую серию групп: одну для нульмерных циклов (точек), одну для одномерных циклов (отрезков), одну для двумерных циклов (треугольников) и т. д. до полной размерности пространства. Это нулевая, первая, вторая и т. д. гомологические группы пространства. Грубо говоря, они уточняют представление об отверстиях различных размерностей в пространстве: существуют ли они, сколько их и как они соотносятся друг с другом?

Это и есть гомология, и этого нам почти достаточно для понимания того, что говорит гипотеза Ходжа. Однако что нам на самом деле нужно, так это близкая к ней концепция когомологии. В 1893 г. Пуанкаре обратил внимание на любопытное совпадение в гомологии любого многообразия: список гомологических групп с начала и с конца читается одинаково. Для многообразия размерности 5, скажем, нулевая гомологическая группа совпадает с пятой, первая — с четвертой, а вторая — с третьей. Он понял, что это не может быть простым совпадением, и объяснил его двойственностью триангуляции, с которой мы уже встречались в главе 4 в связи с картами. Это второй вариант триангуляции, где каждый треугольник заменяется вершиной, каждая сторона, общая для двух треугольников, — ребром, соединяющим две вершины, а каждая точка — треугольником, как на рис. 9 в главе 4. Обратите внимание на то, что измерения появляются здесь в обратном порядке: двумерные треугольники превращаются в нульмерные точки, и наоборот; одномерные ребра остаются одномерными, потому что 1 находится в середине.

Оказывается, полезно различать два списка, хотя инварианты они выдают одни и те же. Когда все это обобщается и облекается в формальные термины, триангуляция исчезает, и дуальная триангуляция тоже теряет смысл. Остаются только две серии топологических инвариантов, именуемых гомологическими и когомологическими группами. Вообще, каждое понятие в гомологии имеет двойника, название которого обычно образуется от названия понятия путем добавления приставки «ко-». Таким образом, вместо циклов мы получаем коциклы, а вместо заявления о том, что два цикла гомологичны, говорим, что два коцикла когомологичны. Классы, о которых идет речь в гипотезе Ходжа, — это классы когомологий, которые представляют собой наборы когомологичных коциклов.

Гомология и когомология не сообщают нам всего, что мы хотели бы знать о форме топологического пространства, — различные пространства могут обладать идентичными гомологией и когомологией, — но дают немало полезной информации, а также обеспечивают системные рамки для его расчета и использования.

Алгебраическое многообразие — будь оно действительным или комплексным, проективным или нет — представляет собой топологическое пространство. Поэтому оно имеет форму. Чтобы выяснить об этой форме что-нибудь полезное, мы рассматриваем многообразие как топологи и вычисляем его гомологическую и когомологическую группы. Но естественными ингредиентами алгебраической геометрии являются не геометрические объекты вроде триангуляционных сеток и циклов, а вещи, которые проще всего описываются алгебраическими уравнениями. Вернитесь немного назад и взгляните еще раз на уравнение поверхности Куммера. Как это соотносится с триангуляцией? В формуле нет ничего, что указывало бы на треугольники.

Может быть, нам нужно начать сначала. Вместо треугольников нам следовало бы использовать естественный строительный материал для многообразий — подмногообразия, определенные дополнительными ограничивающими уравнениями. Теперь нам придется переопределять циклы: вместо набора треугольников с целыми ярлыками мы воспользуемся набором подмногообразий с такими ярлыками, которые лучше всего подойдут в данном случае. По различным причинам — по большей части потому, что, если использовать целые ярлыки, гипотеза Ходжа неверна, — разумным выбором будут рациональные числа. Вопрос Ходжа сводится к следующему: содержит ли новое определение гомологии и когомологии всю ту же информацию, что и топологическое определение? Если гипотеза верна, то алгебраический цикл — не менее острый инструмент топологии, чем когомологический резец. Если она неверна, то алгебраический цикл — всего лишь твердый тупой предмет.

Вот только… прошу прощения, я немного переборщил. Гипотеза утверждает, что достаточно воспользоваться определенным типом алгебраического цикла — того, что обитает в классе Ходжа. Чтобы объяснить это, нам потребуется еще один ингредиент в уже и без того густой смеси: анализ. Одной из важнейших концепций анализа является дифференциальное уравнение, которое представляет собой условие, наложенное на скорости изменения переменных (см. главу 8). Почти вся математическая физика XVIII, XIX и XX вв. моделирует реальность при помощи дифференциальных уравнений. По существу, это верно даже для XXI в. В 1930-е гг. эта идея привела Ходжа к целой группе новых методик. Сегодня все это называется теорией Ходжа. Она естественным образом связана с множеством других мощных методов в объединенной области анализа и топологии.

Идея Ходжа заключалась в том, чтобы использовать дифференциальное уравнение для распределения классов когомологий по типам. Каждый из них обладает дополнительной структурой, которую можно успешно применять при решении топологических задач. Определяются они при помощи дифференциального уравнения, появившегося впервые в конце XVIII в. в работе Пьера-Симона де Лапласа и известного, соответственно, как уравнение Лапласа. Основные работы Лапласа были посвящены небесной механике, движению и форме планет и их спутников, комет и звезд. В 1783 г. он работал над определением точной формы Земли. К тому времени уже было известно, что Земля — не сфера, что она сплющена у полюсов и представляет собой приплюснутый сфероид — как если сесть сверху на пляжный мяч. Но даже такое описание не отражает деталей. Лаплас нашел способ рассчитать форму Земли с любой заданной точностью на основании физической величины, представляющей гравитационное поле планеты: это не само поле, но его гравитационный потенциал. Это мера энергии, содержащейся в гравитационном поле, численная величина, определяемая в каждой точке пространства. Тяготение действует в том направлении, в котором потенциал уменьшается с максимальной скоростью, а абсолютное значение силы соответствует скорости уменьшения.

Гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: грубо говоря, это означает, что в отсутствии вещества, т. е. в вакууме, среднее значение потенциала по очень маленькой сфере равно его значению в центре сферы. Это своего рода демократия: ваша ценность получается путем усреднения ценностей ваших соседей. Любое решение уравнения Лапласа называется гармонической функцией. Ходжа среди классов когомологий интересуют те, что имеют особые отношения с гармоническими функциями. Теория Ходжа и изучение этих типов помогли открыть глубокую и чудесную область математики: отношения между топологией пространства и специальным дифференциальным уравнением на этом пространстве.

Вот мы и у цели. Гипотеза Ходжа постулирует глубокую и мощную связь между тремя столпами современной математики: алгеброй, топологией и анализом. Возьмем любое многообразие. Чтобы разобраться в его форме (это топология с выходом на когомологические классы), выбираем частные случаи таких классов (анализ с выходом на классы Ходжа через дифференциальные уравнения). Эти частные случаи коголомологических классов могут быть реализованы с использованием подмногообразий (алгебра: добавьте несколько уравнений и внимательно посмотрите на алгебраические циклы). Иными словами, чтобы ответить на топологический вопрос («Какой формы эта штука?») для многообразия, следует перевести его в плоскость анализа, а затем решить средствами алгебры.

Почему это так важно? Гипотеза Ходжа — это предложение добавить в инструментарий специалиста по алгебраической геометрии два новых инструмента: топологические инварианты и уравнение Лапласа. В самом деле, если разобраться, то в этой гипотезе речь не идет о какой-то математической теореме: речь о новых инструментах. Если гипотеза верна, эти инструменты обретают новое значение и становятся потенциальным средством поиска ответов на бесчисленное количество вопросов. Разумеется, гипотеза может оказаться и ошибочной. Было бы обидно, но, если возможности наших инструментов ограничены, лучше знать об этом заранее, чем то и дело натыкаться на проблемы в самый неподходящий момент.

Теперь, когда мы оценили природу гипотезы Ходжа, можно посмотреть, какие у нас есть свидетельства в ее пользу. Что нам известно? Чрезвычайно мало.

В 1924 г., еще до того, как Ходж выдвинул свою гипотезу, Соломон Левшец доказал теорему, которая сводится к гипотезе Ходжа для второй (или двумерной) группы когомологий любого многообразия. При помощи рутинных методов алгебраической топологии можно показать, что из этого следует гипотеза Ходжа для размерностей 1, 2 и 3. Для многообразий более высоких размерностей известно лишь несколько частных случаев гипотезы Ходжа.

Первоначально Ходж сформулировал свою гипотезу в терминах целых маркеров (или индексов). В 1961 г. Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали, что для высших измерений эта версия гипотезы неверна. Поэтому сегодня мы формулируем гипотезу Ходжа с использованием рациональных коэффициентов: для этой версии у нас есть некоторое количество обнадеживающих данных. Самое сильное свидетельство в ее пользу состоит в том, что одно из наиболее глубоких ее следствий — еще более технически сложная теорема, известная как теорема об «алгебраичности локусов Ходжа», уже доказана без опоры на гипотезу Ходжа. Эдуардо Каттани, Пьер Делинь и Арольдо Каплан нашли соответствующее доказательство в 1995 г.

Наконец, в теории чисел имеется симпатичная гипотеза, аналогичная гипотезе Ходжа и получившая название гипотезы Тейта в честь Джона Тейта. Она связывает алгебраическую геометрию с теорией Галуа — совокупностью идей, доказывающих, что у полиномиальных уравнений пятой степени не существует явных решений, выражаемых формулой. Формулировка гипотезы Тейта достаточно сложна: в ней фигурирует еще один вариант когомологии. Есть причины надеяться, что гипотеза Тейта верна, хотя она не доказана. Но по крайней мере можно сказать, что у гипотезы Ходжа есть разумный родич, хотя как подступиться хоть к той, хоть к другой гипотезе, пока совершенно неясно.

Гипотеза Ходжа — одно из тех математических утверждений, которые почти нечем ни подтвердить, ни опровергнуть и у которых свидетельства и в ту и другую сторону не слишком убедительны. К тому же существует опасность, что гипотеза может оказаться попросту неверной. Возможно, существует многообразие с миллионом измерений, опровергающее гипотезу Ходжа по причинам, которые сводятся к серии неструктурированных расчетов, настолько сложных, что никто и никогда не сможет их провести. Если это так, то гипотеза Ходжа может оказаться ошибочной по совершенно глупой причине — просто так получилось, — но доказать это практически невозможно. Я знаю несколько специалистов по алгебраической геометрии, которые считают именно так. В этом случае обещанному миллиону долларов в обозримом будущем ничего не грозит.

16. Куда дальше?

Предсказывать очень трудно, особенно будущее. По легенде, так любили говорить знаменитый физик и нобелевский лауреат Нильс Бор и знаменитый бейсболист и спортивный менеджер Йоги Берра{44}. Правда, Берра, как утверждают, еще говорил так: «Имейте в виду, я никогда не говорил большей части того, что говорил».

Артур Кларк, знаменитый своими научно-фантастическими романами и фильмом «Космическая одиссея — 2001», был, помимо всего прочего, футурологом: он писал книги о будущем техники и общества. В его книге «Очертания будущего» (Profiles of the Future), написанной в 1962 г., среди прочих предсказаний можно найти следующие:

• к 1970 г. — расшифровка языка китов и дельфинов;

• к 1990 г. — создание термоядерного реактора;

• к 1990 г. — обнаружение гравитационных волн;

• к 2000 г. — колонизация планет.

Ничего подобного пока не произошло. Но, с другой стороны, у него были и удачные предсказания:

• к 1980 г. — приземление на другие планеты (хотя он, возможно, имел в виду высадку человека);

• к 1970 г. — машины-переводчики (слегка преждевременно, но сегодня машинный перевод существует в Интернете);

• к 1990 г. — индивидуальное радио (примерно эту роль сегодня исполняют мобильные телефоны).

Он также предсказывал, что к 2000 г. у нас будет глобальная библиотека, и сегодня это предсказание ближе к истине, чем можно было подумать еще несколько лет назад (это тоже одна из функций Интернета). С развитием облачных вычислений мы, возможно, когда-нибудь все станем пользователями одного и того же гигантского компьютера. При этом Кларк упустил из виду некоторые важнейшие тенденции, такие как расцвет компьютеров и генная инженерия, хотя ее-то он как раз предсказал, но на 2030 г. Учитывая спорные суммарные результаты предсказаний Кларка, со своей стороны я бы не рискнул предсказывать будущее великих математических задач сколько-нибудь подробно. Однако могу высказать кое-какие квалифицированные догадки, не сомневаясь, однако, что большинство из них окажутся в результате ошибочными.

Во введении я упоминал список Гильберта из 23 крупных проблем, озвученный в 1900 г. В большинстве своем они уже решены, и может показаться, что смелый призыв ученого «Мы должны знать, и мы будем знать» оправдался. Однако Гильберт сказал также: «В математике ни о чем нельзя утверждать, что мы никогда этого не узнаем». Курт Гедель расправился с этой идеей, доказав свою теорему о неполноте: некоторые математические задачи могут не иметь решения в рамках обычной логической математики. Их решение не просто невозможно, как извлечение квадратуры круга — они могут быть неразрешимы в том смысле, что для них не существует ни доказательства, ни опровержения. Вероятно, именно такая судьба ждет некоторые из сегодняшних великих задач математики. Но я был бы удивлен, если бы в их число вошла гипотеза Римана, и поражен, если бы кто-то смог доказать ее неразрешимость. С другой стороны, проблема P/NP-алгоритмов вполне может оказаться неразрешимой или подпадать под какое-то другое формальное ограничение вида «это не может быть сделано, потому что…». Есть в этой задаче что-то, знаете ли, эдакое…

Подозреваю, что к концу XXI в. у нас все-таки будут доказательства гипотезы Римана, гипотезы Берча — Свиннертон-Дайера и гипотезы массовой щели, а также опровержение гипотезы Ходжа и регулярности решений уравнения Навье — Стокса в трех измерениях. Мне кажется, что задача P/NP-алгоритмов пока останется нерешенной, но падет где-нибудь в XXII в. Хотя понятно, что кто-нибудь завтра же опровергнет гипотезу Римана, а через неделю докажет, что P не совпадает с NP.

Но, конечно, безопаснее ограничиваться общими наблюдениями, потому что мы всегда можем поучиться у истории. Так что я почти уверен: к тому моменту, когда семь задач тысячелетия наконец решат, многие из них будут восприниматься как мелкие исторические курьезы. «О, когда-то это считалось важным?» Так произошло с некоторыми проблемами из списка Гильберта. Кроме того, можно быть уверенным, что через 50 лет появится несколько крупных областей математики, которых сегодня не существует даже в проекте. Тогда выяснится, что кое-какие базовые примеры и некоторые рудиментарные теоремы в этих областях известны уже давно, но никто не догадывался, что эти случайные кусочки смальты представляют собой фрагменты прекрасной мозаичной картины — глубокой и значительной новой области математики. В свое время так произошло с теорией групп, матричной алгеброй, фракталами и теорией хаоса. Не сомневаюсь, что это произойдет еще не раз, потому что это стандартный путь развития математики.

Существует две основные движущие силы возникновения новых областей. С одной стороны, их порождает внутренняя структура самой математики, а с другой — они являются ответом на новые вопросы о внешнем мире; часто оба фактора действуют одновременно. Как у Пуанкаре процесс решения задачи включал в себя три этапа — подготовку, созревание и озарение, — так и отношения между математикой и ее приложениями не сводятся к простой схеме: физика ставит вопрос, математика дает на него ответ, и дело с концом. На самом деле мы видим сложную систему обмена вопросами и идеями: новые достижения в математике служат стимулами для дальнейших экспериментов, наблюдений или теорий, а те, в свою очередь, мотивируют новые математические исследования. И каждый узел этой сети оказывается, при ближайшем рассмотрении, самостоятельной сетью того же типа, но меньших масштабов.

Окружающий мир стал гораздо обширнее и богаче, чем прежде. До недавнего времени основным внешним источником вдохновения для математики была физика. Некоторые другие области науки тоже играли свою роль: биология и социология стимулировали развитие теории вероятностей и статистики, а философия заметно влияла на математическую логику. В будущем нам предстоит увидеть, как математика начнет все более активно взаимодействовать с биологией, медициной, компьютерными науками, финансами, экономикой, социологией и, очень возможно, политикой, а также киноиндустрией и спортом. Я подозреваю, что некоторые из ближайших к нам по времени великих задач возникнут в биологии, поскольку с ней уже установилась прочная связь. Одна из тенденций — взрывной рост возможностей по сбору биологических и биохимических данных. Так, сегодня небольшие геномы можно секвенировать при помощи устройства размером с флешку (методом нанопорового анализа). Очень скоро то же можно будет проделывать и с большими геномами при помощи тех же или других технологий. В любом случае большая часть соответствующих технологий уже существует.

Потенциально уже эти достижения могут в значительной мере изменить обстановку. Однако нужно еще разобраться, что все эти данные означают. Вообще-то, биология — наука не о данных, а о процессах. Эволюция — это процесс, как и деление клетки, развитие зародыша, зарождение раковой опухоли, поведение толпы, работа мозга и динамика глобальной экосистемы. Лучший известный на сегодня способ понять фундаментальные свойства процесса и разобраться в том, что в нем происходит, как и почему, — это математика. Так что скоро появятся великие задачи новых типов — как разворачивается динамика процесса в присутствии сложной, но очень конкретной организующей информации (ДНК-последовательностей); как генетические изменения взаимодействуют со средой, сдерживая эволюцию; как правила роста, деления, движения, адгезии и гибели клетки формируют развивающийся организм; как поток электронов и химических веществ в сети нервных клеток определяет восприятие и действия организма.

Вычислительные средства — еще один источник новой математики, успевший уже проявить себя. Обычно они воспринимаются как инструмент математических действий, но не стоит забывать, что математика в равной степени является инструментом понимания и организации вычислений. Этот двусторонний обмен приобретает все большее значение для благополучия и развития обеих областей — не исключено, что когда-нибудь в будущем они просто сольются воедино. Некоторые математики считают, что их с самого начала не следовало разделять. Из множества существующих уже сегодня в этой области тенденций на ум приходит вопрос о работе с очень большими массивами данных. Этот вопрос имеет отношение не только к ДНК, о чем уже упоминалось, но и к задаче предсказания землетрясений, к расчету эволюционных процессов, к проблемам глобального климата, фондового рынка, международных финансов и новых технологий. Наша задача — научиться использовать большие массивы данных для проверки и отладки математических моделей реального мира, которые в дальнейшем дадут нам в руки подлинный контроль над сложнейшими системами.

В отношении того, в чем лично я разбираюсь лучше всего, предсказания в основном негативные, но в то же время это подтверждает, что креативность математического сообщества по-прежнему не снижается. Все математики-исследователи время от времени чувствуют, что их предмет как будто обладает собственным сознанием. Задачи решаются так, как это нужно математике, а не математикам. Мы выбираем, какие вопросы рассматривать, но мы не можем выбирать, какие у этих вопросов должны быть ответы. Вообще, такое ощущение характерно для двух крупных школ, которые отличает разное отношение к природе математики. Последователи Платона считают, что «идеальные формы» математики ведут своего рода независимое существование «где-то там», в некоем собственном царстве, отличном от материального мира. (Существуют более тонкие формулировки, которые, вероятно, звучат более здраво, но суть именно в этом.) Вторые видят в математике общечеловеческую концепцию. Но, в отличие от большинства подобных концепций — законодательной системы, денег, этики, морали, математика представляет собой конструкцию с прочной логической основой. Существуют серьезные ограничения на то, какие утверждения вы можете или не можете предлагать остальным. Именно из-за этих ограничений возникает впечатление, что математика сама решает, что ей делать и как развиваться; они же создают у математиков ощущение, что их наука существует сама по себе вне зоны человеческой деятельности. Мне представляется, что платонизм — это описание не того, что есть математика на самом деле, а того, как ощущает математику человек, в ней работающий. Примерно так человек, увидевший розу, кровь или светофор, живо ощущает «красное». Философы называют подобные ощущения «первичными», некоторые из них даже считают, что наше ощущение свободы воли на самом деле представляет собой первичное ощущение того, как мозг принимает решения. Выбирая из нескольких вариантов, мы уверены, что действительно свободны в своем выборе, — хотя не исключено, что динамика мозга в каком-то смысле детерминирована. Тогда платонизм — это первичное ощущение участия в общечеловеческом процессе, ограниченном жесткими рамками логических построений.

Так что может показаться, что математика обладает собственным сознанием, даже если на самом деле она создается коллективной интеллектуальной деятельностью людей. История учит нас, что математическое сознание — в этом смысле — более изобретательно и удивительно, чем можно себе представить. Все это лишь подходы к моему главному утверждению: единственное, что можно с уверенностью предсказать в математике, это ее непредсказуемость. Важнейшие математические вопросы начавшегося столетия возникнут как естественные, иногда даже неизбежные, следствия накопления наших знаний о нынешних великих задачах математики. Однако почти наверняка это будут вопросы, которые никто сегодня не может даже вообразить. Это верно и правильно, и нам нужно этому радоваться.

17. Двенадцать задач на будущее

Не хочу оставить у вас неверное впечатление, что большинство математических задач (за исключением нескольких особенно сложных) уже решено. Математические исследования напоминают изучение новооткрытого материка. По мере того как расширяется уже исследованная область, становится длиннее и граница между известным и неизвестным. Я не утверждаю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем меньше знаем. Я говорю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем лучше представляем себе объемы непознанного. Но непознанное изменяется со временем: одни задачи уходят в прошлое, на горизонте появляются другие. А область известного только расширяется, если, конечно, не говорить о случайно утерянных документах.

Чтобы дать вам некоторое представление о том, чего мы не знаем в настоящий момент (помимо тех проблем, о которых мы уже говорили), я приведу 12 нерешенных задач, которые уже некоторое время ставят в тупик математиков всего мира. Я выбрал их таким образом, чтобы несложно было понять суть вопроса. Мы уже видели, что простота формулировок ничего не говорит о том, насколько легким или сложным может быть доказательство. Некоторые из этих проблем еще могут обернуться великими: это будет зависеть в основном не от ответа на вопрос, а от того, какие методы будут придуманы и применены для их решения и к чему соответствующие исследования в конце концов приведут.

Задача Брокара

Для любого целого числа n факториал n! равен произведению

n × (n — 1) × (n — 2) × … × 3 × 2 × 1.

Это число различных способов расставить по порядку n объектов. К примеру, английский алфавит, содержащий 26 букв, можно расставить

26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000

разными способами. В статьях, опубликованных в 1876 и 1885 гг., Анри Брокар отметил, что

4! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²,

5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²,

7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 = 71²

представляют собой полные квадраты. Он не обнаружил других факториалов, которые при прибавлении единицы давали бы полный квадрат, и задался вопросом, существуют ли такие. Индийский гений-самоучка Шриниваса Рамануджан независимо задался этим же вопросом в 1913 г. В 2000 г. Брюс Берндт и Уильям Голуэй при помощи компьютера показали, что для факториалов чисел до 1 млрд других решений не существует.

Нечетные совершенные числа

Число является совершенным, если оно равно сумме всех его собственных делителей (т. е. чисел, на которые оно делится без остатка, включая единицу, но исключая само число). Примеры таких чисел:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Евклид доказал, что если число 2n − 1 простое, то число 2n−1(2n − 1) совершенно. Приведенные выше примеры соответствуют n = 2, 3. Простые числа такого вида называются простыми Мерсенна, их известно 47 штук, и самое большое из них 243 112 609 − 1 (кроме того, это самое большое известное простое число). Эйлер доказал, что все четные совершенные числа должны иметь такой вид, но никому еще не удалось отыскать хотя бы одно нечетное совершенное число или доказать, что их не существует. Померанс предложил нестрогое рассуждение, которое вроде бы указывает, что таких чисел действительно нет. Любое нечетное совершенное число должно удовлетворять нескольким жестким условиям. По величине оно должно быть не меньше 10300, должно иметь простой делитель больше чем 108, его второй по величине простой делитель должен быть по крайней мере 104; кроме того, у него должно быть по крайней мере 75 простых делителей и по крайней мере 12 различных простых делителей.

Гипотеза Коллатца

Возьмем целое число. Если оно четное, разделим на 2. Если нечетное, домножим на 3 и прибавим 1. Повторим эту операцию бесконечное число раз. Что произойдет?

К примеру, можно начать с числа 12. Получим следующую последовательность:

12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1,

после чего последовательность 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 будет повторяться бесконечно. Гипотеза Коллатца утверждает, что конечный результат будет одним и тем же, с какого бы числа мы ни начали. Гипотеза названа в честь Лотара Коллатца, предложившего ее в 1937 г., но имеет и множество других названий: гипотеза 3n + 1, гипотеза градины, гипотеза Улама, проблема Какутани, гипотеза Туэйтса, алгоритм Хассе или сиракузская проблема.

Что делает эту задачу такой сложной, так это то, что нередко числа буквально взрываются. Так, если начать с 27, последовательность поднимется до 9232, но при этом все равно через 111 шагов сойдется к 1. Компьютерное моделирование подтверждает гипотезу для всех первоначальных чисел вплоть до 5,764 × 1018. Доказано, что не существует циклов, за исключением 4 → 2 → 1, в которых было бы меньше 35 400 шагов. Возможность того, что некоторое начальное число дает последовательность, содержащую все более крупные числа, разделенные более мелкими, не исключена. Илья Красиков и Джеффри Лагариас доказали, что для начальных величин вплоть до n по крайней мере n0,84 из них со временем сходится к 1. Так что исключения, если они существуют, встречаются редко.

Существование правильного кубоида

Здесь в качестве начального пункта берется существование пифагоровых троек и формула для них, а затем вся проблема переводится в третье измерение. Эйлеров параллелепипед — это кубоид (блок в форме кирпича) с целыми ребрами, все грани которого имеют целые диагонали. Самый маленький параллелепипед Эйлера открыл в 1719 г. Пауль Хальке. Его ребра составляют 240, 117 и 4; диагонали граней равны 267, 244 и 125. Эйлер нашел формулы для таких прямоугольных параллелепипедов, аналогичные формуле для пифагоровых троек, но они выдают не все возможные решения.

Неизвестно, существует ли совершенный кубоид, т. е. существует ли такой параллелепипед Эйлера, главная диагональ которого тоже имеет целую длину. (Главная диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины прямоугольного параллелепипеда и проходящий сквозь его внутреннюю часть. Таких отрезка четыре, но все они равны по длине.) Известно, что формулы Эйлера не дают примера такого параллелепипеда. Он, если существует, должен удовлетворять нескольким условиям — к примеру, по крайней мере одно его ребро должно быть кратно 5, другое — 7, третье — 11, четвертое — 19. Компьютерные эксперименты показали, что длина одного из ребер должна быть не менее одного триллиона.

Есть достаточно близкие варианты. У прямоугольного параллелепипеда со сторонами 672, 153 и 104 главная диагональ целая, как и две из трех диагоналей граней. В 2004 г. Хорхе Сойер и Клиффорд Рейтер доказали, что существуют совершенные непрямоугольные параллелепипеды. Грани таких параллелепипедов представляют собой не прямоугольники, а параллелограммы, а сам параллелепипед как бы скошен на сторону. Ребра совершенного непрямоугольного параллелепипеда имеют длины 271, 106 и 103; малые диагонали граней равны 101, 266 и 255; большие диагонали граней — 183, 312 и 323; внутренние диагонали (а у такого параллелепипеда они все разные) имеют длины 374, 300, 278 и 272.

Гипотеза об одиночестве бегуна

Эта задача из трудной для понимания области математики, известной как теория диофантовых приближений. Сформулировал ее в 1967 г. Йорг Виллс. А название — гипотеза одинокого бегуна — придумал в 1998 г. Луис Годдин. Положим, что n бегунов бегают по кольцевой дорожке единичной длины с постоянной скоростью, причем скорости всех бегунов различны. Можно ли утверждать, что каждый из бегунов в какой-то момент времени окажется одиноким, т. е. будет находиться на расстоянии более 1/n от остальных? Разумеется, для разных бегунов это будут разные моменты времени. Гипотеза состоит в том, что ответ всегда «да»; на данный момент она доказана для n = 4, 5, 6 и 7.

Гипотеза Конвея о трекле

Трекл — это сеть, размещенная на плоскости таким образом, что каждые два ее ребра имеют ровно одну общую точку (см. рис. 48). Встречаться они могут либо в вершине, либо в точке пересечения, но не то и другое одновременно. Если они пересекаются, то обязательно поперек; это значит, что ни одно из них не может целиком остаться по одну сторону от другого (а это могло бы произойти, если бы они, скажем, соприкасались). Джон Конвей в неопубликованной работе высказал гипотезу о том, что в любой сети такого рода число линий меньше или равно числу точек. В 2011 г. Радослав Фулек и Янош Пач доказали, что любая такая сеть с n точками имеет не более 1,428n линий.

Иррациональность постоянной Эйлера

Не существует готовой «замкнутой» формулы для суммы гармонического ряда

Более того, такой формулы, по всей вероятности, не существует. Однако существует прекрасная ее аппроксимация: по мере того как n увеличивается, Hn стремится к logn + γ. Здесь γ — постоянная Эйлера, численно равная примерно 0,5772156649. Эйлер вывел эту формулу в 1734 г., а Лоренцо Маскерони изучал постоянную в 1790 г. Ни тот, ни другой не использовали символ γ.

Постоянная Эйлера — одно из тех странных чисел, которые время от времени возникают в математике (вспомните π и e); у них нет красивого или простого выражения, они то и дело появляются в самых разных местах, но при этом складывается впечатление, что они существуют сами по себе. В главе 3 мы убедились, что и π, и e трансцендентны: они не являются решениями каких-либо алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Они иррациональны: не выражаются точными дробями. Многие математики считают, что постоянная Эйлера трансцендентна, но мы даже не знаем наверняка, иррациональна ли она. Если все же γ = p/q для целых p и q, то q равняется по крайней мере 10242 080.