Эврика! Радость открытия. Архимед

Сапожный нож и солонка

Трактат, известный как «Книга лемм», отличается от других трудов Архимеда одной важной особенностью: у нас нет его греческого текста. Он дошел до наших дней только благодаря переводу на арабский язык, который сделал астроном, математик и переводчик IX века Сабит ибн Курра. Таким образом, у нас есть единственное свидетельство того, что это действительно труд Архимеда, — факт, который вызывает некоторые сомнения в его авторстве. Данная книга считается учебником из-за элементарности или вторичности многих содержащихся в ней утверждений. В частности, утверждение 7 гласит, что площадь круга, описанного вокруг квадрата, в два раза больше площади круга, вписанного в него. Текст состоит из 15 утверждений, причем в нем упоминается и сам Архимед: например, в утверждении 4, где представлена геометрическая фигура арбелос, что по-гречески означает «сапожный нож», так как она формой напоминает этот инструмент. Арбелос представляет собой область плоскости, ограниченную тремя касающимися друг друга половинами окружностей. На приведенном здесь рисунке арбелос соответствует затемненной части. У этой фигуры есть некоторые любопытные свойства, которые можно было бы включить в начальный курс геометрии. Возможно, самая интересная из них — это так называемые «круги-близнецы Архимеда» (см. рисунок на следующей странице): из точки С достраивается перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с окружностью наибольшего диаметра. Данный перпендикуляр делит арбелос на две фигуры. Затем в каждую из этих получившихся фигур вписываются окружности С1 и С2 так, чтобы они касались с двух сторон перпендикуляра и каждая из них касалась большой и малой окружности.

В утверждении 5 говорится, что площади этих кругов будут равны (S_С1=S_С2), независимо от местоположения точки С, отчего они и называются кругами-близнецами Архимеда. Существуют и другие круги, связанные с арбелосом, они тоже носят личные имена — круг Аполлония, круг Паппа и круг Банкофа.

Еще одна фигура, представленная в «Книге лемм», называется салинон, что согласно интерпретации историка математики Томаса Хита означает «солонка». В утверждении 14 даются указания, как построить эту фигуру, и вновь встречается имя Архимеда. То, что он неоднократно упоминается в данном трактате, говорит об учебном характере книги. Инструкции же, которые даются в ней для постройки салинона (рисунок 17 на стр. 116), таковы.

— Проводится отрезок прямой АВ, и в его середине отмечается точка О.

— Строится полуокружность, диаметр которой равен отрезку АВ.

— На отрезке АВ строятся еще две полуокружности равного диаметра (меньшего, чем половина отрезка) так, чтобы они касались первой полуокружности в точках А и В.

— Получаются полуокружности с диаметрами AD и ЕВ и центрами соответственно в точках G и H.

— Строится полуокружность с диаметром DE в сторону, противоположную двум предыдущим, замыкая таким образом фигуру.

— Фигура, замкнутая построенной линией из четырех полуокружностей, и есть салинон.

Место предполагаемой могилы Архимеда в Сиракузах на Сицилии.

В 1965 году вычисление наименьшего из возможных решений задачи о быках заняло у компьютера IBM 7040 7 часов 49 минут (фото: Columbiana photo archive).

В «Книге лемм» Архимед представляет геометрическую фигуру «арбелос» (сапожный нож), названную так из-за сходства с соответствующим инструментом (фото: Thomas Schoch).

РИС. 17

РИС. 18

Интересно отметить, что при представлении салинона Архимед в том же утверждении описывает следующее его свойство.

— Проводится прямая, перпендикулярная АВ и проходящая через точку О.

— Эта прямая пересекает границы салинона в точках С и F.

— Берется точка Р, представляющая собой середину отрезка CF, и строится окружность с центром Р и диаметром CF.

— Можно доказать, что площадь салинона равна площади круга с диаметром CF и центром Р (рисунок 18).

Трехмерные архимедовы фигуры

К сожалению, до нас не дошел трактат «О правильных многогранниках», в котором, по- видимому, Архимед подробно описывал трехмерные тела, носящие в наше время его имя. Однако мы знаем о них благодаря александрийскому математику Паппу. В книге V своего «Математического собрания» он пишет:

«Хотя можно придумать множество многогранников самых разных видов, более всего заслужили внимание многогранники, которые имеют правильную форму. Таковы не только фигуры, найденные великим Платоном, то есть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и пятый — икосаэдр, но и 13 многогранников, открытых Архимедом, сложенные из правильных, но не одинаковых многоугольников с равными сторонами и равными углами».

РИС. 19

Архимедовы тела, примеры которых приводятся на рисунке 19, — это 13 выпуклых многогранников, которые по большей части получаются из Платоновых тел «срезанием углов»: усеченный куб, усеченный тетраэдр, малый ромбокубооктаэдр, большой ромбокубооктаэдр, усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосаэдр, плосконосый куб, кубооктаэдр, малый ромбоикосододекаэдр, большой ромбоикосододекаэдр, икосододэкаэдр и плосконосый додекаэдр.

ГЛАВА 4

Военный инженер

Греческий мир в эпоху Архимеда был охвачен желанием понять и покорить окружающую природу. Для этой цели требовалось создавать разнообразные машины, все более и более сложные, будь то устройства открытия ворот, или подъемные механизмы для больших грузов, или более совершенные корабли. Именно в таких обстоятельствах математика, находившаяся на тот момент в расцвете, открыла дорогу инженерному искусству.

Архимед известен скорее в связи со своими машинами и техническими новшествами, чем с тем вкладом, который он внес в математику. Любопытно, что как раз о машинах, изобретение которых ему приписывается, он не написал ни строчки, по крайней мере мы об этом ничего не знаем. И тем не менее существует множество упоминаний о них в различных источниках, поэтому можно считать более-менее установленным фактом, что именно Архимед был их автором. Как уже говорилось, возможно, именно математики той эпохи уделяли наименьшее внимание технике, хотя ее развитие в античности шло довольно интенсивно.

Из рассказа об осаде Сиракуз становится ясно, что Архимед был очень талантливым механиком и инженером. Например, свои разработки в области рычага он использовал при конструировании и модернизации катапульты, а также в сложных системах блоков.

Сведения об изобретениях сиракузского мудреца не лишены мифологических и легендарных элементов: некоторые авторы даже рассказывают о применении им так называемых зажигательных зеркал, лучи которых смогли поджечь римский флот. Здесь мы еще раз обратимся к некоторым источникам, упомянутым в первой главе, чтобы привести библиографические ссылки на обсуждаемые механизмы.

АЛЕКСАНДРИЙСКИЕ МАШИНЫ

История инженерной мысли восходит к самим истокам возникновения человечества, если под инженерией понимать использование инструментов для улучшения человеческой жизни.

И все же именно ко времени Архимеда нам следует отнести начало научной инженерной деятельности, которая заключается в применении геометрических знаний к явлениям физического мира и в постройке различных механизмов. Филон Византийский (280-220 до н. э.) писал свои трактаты на койне, общегреческом диалекте того времени, чтобы его могли понять все интересующиеся специалисты. В своем труде «О метательных машинах» он анализирует устройство катапульты, исходя из веса метаемого снаряда и запасенной упругим элементом энергии. Герои Александрийский заимствовал некоторые идеи Архимеда, уточнив, к примеру, законы рычага и практически предвосхитив третий закон Ньютона — закон о действии и противодействии. Это привело к созданию им первой паровой турбины, известной как «эолипил» и состоявшей из закрытого шарообразного сосуда с двумя изогнутыми трубками: вырываясь из них, пар заставлял машину быстро вращаться. С практической точки зрения паровая машина Герона была всего лишь одним из модных автоматов той эпохи. Архимед же направил свои силы на математическое обоснование, необходимое для конструирования и постройки некоторых из подобных машин.

Видимо, Архимед использовал свой талант не только в военной области, но и в других сферах жизни: например, он сконструировал систему для подъема воды, известную теперь как архимедов винт, о которой мы еще поговорим.

АРХИМЕД В ФИЛАТЕЛИИ

Великих исторических деятелей часто увековечивают на изображениях почтовых марок, и Архимед — не исключение. Приведем несколько примеров таких марок.

А: Италия. Дата выпуска: май 1983 года. Хотя изображение на марке заявлено как бюст Архимеда из неаполитанского Национального музея, на самом деле это бюст Архидама III. Здесь же изображен архимедов винт. В: Греция. Дата выпуска: апрель 1983 года. Эта картинка — перерисовка ренессансной мозаики, посвященной смерти Архимеда. Однако лицо у известного ученого такое же, как и на итальянской марке. Обратите внимание на равноплечные весы, символизирующие закон Архимеда.

С: Сан-Марино. Дата выпуска: апрель 1982 года. Забавно, что и здесь мы видим все то же изображение царя Архидама III. В правом верхнем углу находятся геометрические фигуры, которые древнегреческий ученый велел выбить на своем надгробии.

D: Гвинея-Биссау. Дата выпуска: 2008 год. Лицо снова чужое, то же самое, что и на предыдущих марках. В глубине — астероид, названный именем Архимеда.

Е: Никарагуа. Дата выпуска: 1971 год. Марка посвящена закону рычага. F: Испания. Дата выпуска: 1963 год. Репродукция картины испанского художника Хосе де Риберы (1591-1652), хранящейся в музее Прадо в Мадриде.

Гигантская «сиракузия» и архимедов винт

Греческий писатель Афиней Навкратийский (ок. 200) рассказывает в своей книге «Пир мудрецов», что тиран Гиерон II поручил Архимеду спроектировать огромный корабль, около 55 м длиной, принимающий на борт до 600 человек. Судно получило имя «Сиракузия» в честь одноименного города, а его постройку и отделку приписывают Архию Коринфскому.

Что касается корабля, построенного Гиероном, тираном Сиракуз, за изготовлением которого следил Архимед, то я не могу обойти его молчанием, ведь человек по имени Мосхион написал следующее:«[...]».

Афиней о постройке «Сирлкузии». Далее в тексте детально описываются характеристики корабля.

«Сиракузия» отличалась такими размерами, что вмещала декоративные сады, палестру, библиотеку и храм, посвященный богине Афродите. Когда корабль с грузом зерна был послан в качестве подарка египетскому царю Птолемею III, его название изменили на «Александрию». «Сиракузию» можно назвать « Титаником» древности, ведь ее масса составляла от 1600 до 1800 т. Это был самый большой корабль того времени, о котором нам известно, — судно, поистине гигантское для своей эпохи. В источниках остались сведения и о спуске корабля на воду, наряду с описанием других машин, построенных Архимедом, например катапульты. Размеры судна заставляли задуматься о том, как удалять из него воду, попавшую внутрь. Говорят, что именно для этого Архимед придумал свой знаменитый архимедов винт: «И хотя трюм был невероятно глубоким, но благодаря винту откачивать воду можно было силами одного человека, и это устройство было находкой Архимеда».

Возможно, винт на самом деле и не был изобретением Архимеда, ведь очень хорошо известно, насколько важное место занимала вода в жизни древних греков. Многие философы считали ее первоначалом всех вещей, в греческом пантеоне существовало множество связанных с водой богов. Морскими путями пользовались ежедневно для связей между городами и народами.

АРХИМЕД И РАЗВИТИЕ СУДОСТРОЕНИЯ

Пока Архимед не написал своего трактата «О плавающих телах», мало кто понимал, что, собственно, означает «плавать». Как оказалось, ключевым моментом в плавании тела является его плотность, а не вес. Трактат Архимеда послужил отправной точкой для развития теории судостроения. Во второй части трактата рассматривается равновесие в воде параболоидов — геометрических фигур, очень близких к обводам подводной части корабля. Долгое время суда строились исключительно из дерева, но потом стали использоваться и другие материалы, плотность которых превышает плотность воды: огромные корабли с корпусами из стали плавают на поверхности, несмотря на то что удельный вес этого металла явно выше удельного веса воды. Ведь кусок железа, брошенный в воду, тут же тонет. Каким же образом удается кораблю держаться на поверхности, если железо тяжелей воды? Ответ на данный вопрос заключен в самом строении корабля: надо учитывать, что в корабле есть пустоты, заполненные воздухом, из-за чего его средняя плотность получается меньше плотности воды. Вот почему корабль тонет, если место воздуха занимает вода. Именно это и случилось, например, со знаменитым «Титаником» в ночь с 14 на 15 апреля 1912 года. Гигантское судно длиной 270 м, на котором находилось более 3500 человек, не смогло избежать столкновения с айсбергом и получило большую пробоину в борту, куда тут же хлынула вода. Чтобы предотвратить подобные трагедии, судостроительные верфи часто выпускают корабли с двойным корпусом (особенно это касается нефтеналивных танкеров), делая их менее уязвимыми в случае крушения.

Фотография «Титаника», сделанная 10 апреля 1912 года в начале его плавания в Саутгемптоне, Англия.

И не будем забывать, что использование воды много значило для всех людей древности: так, например, механизмы, поднимающие воду Нила на поля, обеспечивали более эффективную обработку земли. Однако в любом случае данное изобретение было и остается прочно связанным с именем Архимеда. Тот же Витрувий в одной из своих книг описывает «винтовой подъемник для воды», который, в сущности, и был архимедовым винтом, хотя он и не упоминает имени его изобретателя. Механизм представляет собой шнек, заключенный в наклонно расположенную трубу, и служит для подъема воды или зерна при постоянном вращении, поэтому его иногда называют бесконечным винтом.

Тепловой луч

Еще одна широко распространенная легенда, связанная с Архимедом, повествует об уничтожении флота римского полководца Марцелла, атаковавшего Сиракузы. Согласно ей, Архимед использовал большие зеркала, отражающие солнечный свет, чтобы сжечь корабли противника. Данное изобретение известно как «тепловой луч», или «зажигательные зеркала Архимеда». Конечно, речь идет не более чем об очередной легенде, связанной с именем нашего героя, которых существует немало. Однако подобное явление иногда имеет место быть: вспомним, например, что не стоит оставлять кусок стекла на сухих листьях во избежание пожара. Отрицать же подлинность этого исторического анекдота можно на основании двух аргументов: отсутствие достоверных исторических источников и невозможность осуществить такое с научной точки зрения.

Первое соображение, заставляющее признать тепловой луч легендой, основано на исторических аргументах. У нас нет никаких свидетельств об этом событии в заслуживающих доверия

ЛУЧИ СМЕРТИ В КИНО И НА ТЕЛЕВИДЕНИИ

Кинематограф обессмертил Архимеда в нескольких фильмах. Так, этот ученый показан седобородым и глубоким стариком в полнометражной ленте «Кабирия» (1914) — одном из первых исторических приключенческих фильмов, прообразе жанра пеплум. Режиссер Джованни Пастроне (более известный под псевдонимом Пьеро Фоско) снял историю римской девочки по имени Кабирия, живущей в эпоху Второй Пунической войны. В картине показано, как Архимед наносит поражение римскому флоту с помощью зажигательных зеркал, что способствовало закреплению в массовом сознании легенды о «тепловом луче», известном также как луч смерти.

Кадр из фильма «Кабирия» с Энрико Джемелли в роли Архимеда.

Тепловой луч на телевидении

Не так давно, в 2006 году, тепловой луч стал «героем» научно-популярной телепрограммы «Разрушители мифов», в серии под названием «Архимедов луч смерти». В съемках потребовалась помощь группы студентов Массачусетского технологического института, которым в 2005 году удалось поджечь аналогичным образом лодку, хотя и при определенных особых условиях. «Охотники за мифами» Джейми Хайнеман и Адам Сэвидж повторили эксперимент в Сан-Франциско с уменьшенной моделью триремы. Заключение было следующим: подобное событие могло случиться только утром (сиракузское побережье смотрит на восток), при идеальных погодных условиях и если корабль стоит неподвижно очень долгое время. В результате поджог флота, описываемый в легенде, был признан маловероятным событием.

источниках: мы не находим упоминания о нем ни у Плутарха, ни у Тита Ливия, ни у Полибия. Если бы зажигательные зеркала упоминались в жизнеописании Марцелла или в другом историческом труде, то сомнений было бы меньше, но их отсутствие в исторических источниках заставляет относиться к этой легенде более скептически. Полибий родился через 12 лет после осады Сиракуз и явно слышал о ней свидетельства очевидцев, которые не колеблясь вставлял в свои книги. Однако никаких более-менее близких по времени к упомянутым событиям рассказов о зеркалах не сохранилось. Практически первый, кто рассказал о них,— Гален Пергамский, греческий врач II века, который в своем труде о темпераментах писал: «Архимед сжег вражеские корабли пирейей». Однако и это свидетельство ненадежно, потому что «пирейя» может обозначать как зеркала, так и любые другие зажигательные средства, например горящие стрелы. И только в VI веке можно найти текст, где явно говорится о данном эпизоде, а именно — в книге Анфимия из Тралл (ок. 474—?) «Необыкновенные машины». Анфимий вошел в историю как архитектор (вместе с Исидором Милетским) Софийского собора в Константинополе. В упомянутом труде он рассуждает о возможности зажигать определенные вещества с помощью отраженного света. Хотя он и допускает, что Архимеду удалось поджечь римские корабли, но приходит к выводу, что для этого ему пришлось бы воспользоваться огромными параболическими зеркалами.

Остальные упоминания о тепловом луче еще более поздние и касаются, в частности, такой фигуры, как Прокл, инженер византийского императора Анастасия I. Греческий историк Иоанн Зонара (XII век) рассказывает, что Проклу удалось таким образом поджечь флот Виталиана в Константинополе. Мы здесь не приводим различные источники того времени и более поздних эпох, где упоминается данная тема: в любом случае они вторичны.

Еще одно основание признать зажигательные зеркала легендой, как уже было сказано, — это соображения научные и технические. Многие ученые долгое время пытались доказать, что речь идет о мифе, но были и другие, склонные доверять рассказу о зеркалах. Французский философ и математик Декарт (1596-1650) в своей книге «Диоптрика» начисто отрицал возможность данного опыта. Он утверждал, что используемое для подобных целей зеркало должно иметь огромные размеры, а точность его изготовления должна быть невероятной.

У геометра, решающего задачу, воображения не меньше, чем у поэта, хотя они и обращаются с предметом своего творчества по-разному: первый его расчленяет и анализирует, второй собирает и украшает. [...] Из всех великих людей древности, возможно, только Архимед заслуживает права быть поставленным в один ряд с Гомером.

Жан Батист ле Рон д’Аламбер (1717—1783), физик, математик, философ и астроном