Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн

Эта концепция света была подтверждена работами Джеймса Клерка Максвелла (около 1860 г.), который предложил идентифицировать свет с электромагнитной волной, т. е., как мы уже сказали, с колебательным явлением, где электрическое поле преобразуется в ходе своего распространения в магнитное поле, и наоборот. Эксперименты Генриха Герца, проведенные в 1886–1888 гг., установили существование электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью 300 000 км/с, и показали их способность отражаться, преломляться и интерферировать совершенно аналогично световым волнам. Таким образом, после 1887 г. вопрос казался исчерпанным: свет является электромагнитной волной, энергия которой распределяется непрерывно в пространстве.

Червивое яблоко

Как мы только что сказали, эксперименты Генриха Герца установили существование электромагнитных волн и, как казалось, окончательно подтвердили волновую природу света. Вместе с тем, по странной исторической иронии, осуществляя свои эксперименты, Герц случайно обнаружил новый феномен, который благодаря работе Эйнштейна, опубликованной в марте 1905 г., станет одним из самых убедительных доказательств корпускулярной природы света. Этот феномен называется «фотоэлектрическим эффектом», поскольку сочетает в себе свет (на греческом photos) и электричество. За теоретическое открытие фундаментального закона, описывающего фотоэлектрический эффект, в 1921 г. Эйнштейну была присуждена Нобелевская премия.

Чтобы почувствовать, насколько экспериментальное открытие может выглядеть загадочным, не имея какого-либо теоретического объяснения, полезно описать явление, обнаруженное Герцом в 1886 г. Герц получал электромагнитные волны, создавая колебание электрического заряда между двумя медными шарами, расположенными недалеко друг от друга и подключенными к катушке индуктивности. В процессе электрических колебаний между медными шарами формировалась «электрическая дуга», т. е. сильная световая вспышка, возникающая в результате электрической ионизации воздушного зазора между медными проводниками. Этот «осциллятор Герца» генерировал электромагнитные волны радиочастотного диапазона (невидимые, таким образом, человеческим глазом). Для обнаружения этих радиоволн Герц использовал медный стержень, изогнутый в форме кольца, с небольшим зазором между концами (один из них был заострен, тогда как другой имел округлую форму). Когда частота колебаний осциллятора Герца была специальным образом согласована с размером кольца-приемника, Герц мог детектировать электромагнитные волны, фиксируя формирование небольших электрических искр в зазоре. Поскольку фиксировать маленькие искорки было весьма непросто, у Герца возникла идея поместить кольцо-приемник в черный ящик, чтобы легче различать вспышки. Однако, к его удивлению, помещение кольца-приемника в ящик влияло на искры, делая их значительно менее яркими! После детального экспериментального анализа Герц понял, что причину этого странного явления следовало искать во влиянии ультрафиолетового излучения, испускаемого электрической дугой, возникающей между медными шариками производящего радиоволны осциллятора. Герц опубликовал свои наблюдения в 1887 г., однако ему не удалось дать какого-либо объяснения механизма, посредством которого свечение в ультрафиолетовом спектре могло влиять на яркость искр, возникающих в кольце.

После Герца фотоэлектрический эффект экспериментально изучался на протяжении 30 лет. Открытие электрона (примерно в 1897 г.), сделанное благодаря работам Жана Перрена и Джозефа Джона Томсона, позволило лучше понять механизм, лежащий в основе фотоэлектрического эффекта: поверхность твердого тела (меди в случае опыта Герца), освещенная ультрафиолетовым излучением, испускает электроны. Но самый замечательный результат был получен в 1900 г. бывшим ассистентом Герца Филиппом Ленардом. Именно Ленард обнаружил те аспекты этого явления, которые никак не могли вписаться в обычные представления о свете как о волне с энергией, непрерывно распространяющейся в пространстве. Например, один из самых неожиданных эффектов, обнаруженных Ленардом, заключается в следующем: Ленард исследовал эмиссию электронов твердым телом под действием ультрафиолетового излучения, частота которого варьировалась. Он обнаружил, что, когда частота ультрафиолетового излучения становится меньше определенного порогового значения, освещаемая поверхность перестает испускать электроны. Ленард увеличивал интенсивность ультрафиолетового излучения и ожидал в течение значительного времени, однако ничего не менялось! Ни один электрон не покидал освещаемой поверхности. И это притом, что энергии падающей на поверхность световой волны было более чем достаточно для выбивания электронов из твердого тела и передачи им энергии движения. Как объяснить, что одинаковое и, в принципе, вполне достаточное количество световой энергии оказывается совершенно неспособным выдернуть электроны из поверхности, стоит только частоте колебаний света стать меньше определенного порогового значения?

Эйнштейн читал с энтузиазмом работы Ленарда с 1901 г., когда он заканчивал Цюрихский политех. Примерно в то же время он читал и другие работы о природе света, в том числе работу Макса Планка, опубликованную в 1900 г., где указывалось на то, что при обмене энергией между материей и светом происходят странные вещи. Молодой Эйнштейн обладал исключительным талантом выявлять области физики, где было что-то новое и требующее понимания. Чтобы оценить ход мысли, который привел его к разработке революционной гипотезы о квантах света, вернемся немного назад и объясним, о чем шла речь в основополагающих работах Планка.

Черное и красное

В обычном понимании «черным» называется тело, поглощающее падающий на его поверхность свет без какого-либо отражения. В действительности, поскольку свет, воспринимаемый человеческим глазом, находится в так называемой видимой части спектра, т. е. имеет длину волны от 0,4 до 0,8 мкм, тела, которые мы воспринимаем как «черные», могли бы выглядеть «инфрацветными» или «ультрацветными» для существ, способных видеть инфракрасное или ультрафиолетовое излучение. В физике бывает полезно рассматривать различные предельные ситуации, позволяющие упростить описание происходящего. Так вот, в упрощенном описании черное тело определяется как идеальное тело, которое поглощает любой свет, падающий на его поверхность, без всякого отражения или дифракции независимо от длины волны этого света. Тот факт, что тело является черным, т. е. идеальным абсорбером, не мешает ему, в принципе, стать излучателем света. Для этого его достаточно нагреть. Из повседневного опыта мы знаем, например, что кусок металла, выглядящий черным при комнатной температуре, становится красным при достаточном нагреве и даже белым, если его температура становится еще выше. Такое изменение цвета определяет зависимость излучающей способности «черного тела» от температуры.

В качестве практической реализации черного тела можно представить себе небольшое отверстие, проделанное в корпусе печи. Такое отверстие можно считать черным телом в том смысле, что оно полностью поглощает свет: действительно, любой свет, попадающий в это отверстие, будет проникать в печь и, многократно отражаясь и рассеиваясь, полностью поглощаться внутренними стенками. Другими словами, это ловушка для любого падающего излучения. Таким образом, анализ излучающей способности черного тела эквивалентен анализу при фиксированной температуре стенок распределения теплового излучения внутри печи в зависимости от частоты электромагнитных волн, из которых это излучение состоит.

Данная функция распределения теплового излучения печи в зависимости от частоты была хорошо изучена, экспериментально и теоретически, в Германии и Австрии во второй половине XIX в.{113} В 1896 г. Вильгельм Вин предложил простую математическую формулу для описания этого распределения теплоты печи по частоте, или, иначе, закон излучения черного тела. В течение четырех лет казалось, что закон Вина прекрасно описывает излучение черного тела. Однако в 1900 г. измерения, проведенные в Берлине двумя группами экспериментаторов, показали, что закон Вина, хорошо работающий для относительно больших частот света, не дает правильного описания излучения в области малых частот (т. е. больших длин волн). 19 октября 1900 г. эти результаты позволили физику-теоретику Максу Планку (также работавшему в Берлине) предложить другую, более сложную математическую формулу для описания излучения черного тела. Действительно, как было вскоре подтверждено, новый закон почти идеально воспроизводил экспериментальные результаты.

В этом законе Планка излучения черного тела содержался зачаток одной из самых серьезных революций в истории науки. Планк построил свой закон на основании того, что в английском языке называется educated guess (умная догадка), т. е. гипотезы, основанной на хорошем знании термодинамики черного тела в том виде, как она виделась в то время. Он сразу понял, что его закон должен содержать новую информацию о физике взаимодействия между светом и материей. В течение нескольких месяцев после своей догадки он многократно пытался, используя все свои знания, вывести этот один из наиболее фундаментальных законов физики своего времени. Однако раз за разом ему не удавалось этого сделать. О масштабе его личности как физика можно судить по тому, что даже неоднократные неудачи не смогли заставить его отказаться от поисков в этой новой неисследованной области. В течение многих лет он работал над законом излучения черного тела, поскольку понимал (как показал Вильгельм Вин), что это был один из немногих универсальных законов физики. Действительно универсальных законов физики очень мало. И поэтому он хотел глубже понять, что данный закон говорит о природе. Как он писал позже:

«В течение шести лет я боролся с теорией черного тела. Я должен был найти теоретическое объяснение любой ценой, кроме отказа от двух основных принципов термодинамики, имеющих безусловный и всеобщий характер».

Когда все его попытки вывести предложенную ранее гипотезу потерпели неудачу, он прибег к тому, что называется «жестом отчаяния»: стремясь по-прежнему оставаться в рамках законов физики XIX в., он решил по-новому интерпретировать некоторые из правил статистической физики так, чтобы из них следовал «правильный результат», т. е. результат, эквивалентный предположенному им ранее закону для черного тела. Мы вернемся ниже к предложенной Планком интерпретации и к точке зрения, которая была по этому поводу у молодого Эйнштейна.

Беспорядок и подсчет конфигураций блох

Итак, вернемся к содержанию статьи Эйнштейна, опубликованной в марте 1905 г. Эта статья состоит из нескольких независимых разделов, посвященных разным аспектам теории света и его взаимодействий с веществом. Первый раздел содержит неявную критику работ Планка, о которых мы только что говорили. Фактически Эйнштейн заключает, что правильное применение известных в то время законов физики неминуемо приводит к совершенно определенному закону для излучения черного тела. Этот закон{114}, однако, имеет два существенных недостатка: (i) он категорически не согласуется с экспериментальными измерениями в области больших частот, где применим закон Вина; и (ii) этот закон физически абсурден, поскольку предсказывает, что любая горячая печь или просто дрова должны выдавать бесконечное количество излучения преимущественно в области очень высоких частот. Другими словами, согласно физике XIX в., присев погреться у костра, можно испечься до смерти независимо от температуры огня! На основании этого результата Эйнштейн, безусловно, приходит к выводу, что работы Планка, в которых утверждалась возможность, оставаясь в рамках физики XIX в., вывести другой закон для черного тела, были математически и физически непоследовательны. Однако его статья не содержит явной критики работ Планка. Это может показаться странным, поскольку переписка Эйнштейна того времени показывает, что полный юношеского огня он всегда был готов критиковать своих коллег-физиков, и в том числе весьма знаменитых. Возможно, в сдержанном стиле статьи Эйнштейна следует искать влияние его ближайшего друга Микеле Бессо, того самого, который помог ему в поиске основной идеи теории относительности. Действительно, в 1928 г. Бессо писал Эйнштейну:

«С моей стороны, я был твоим слушателем на протяжении 1904–1905 гг., и, возможно, я лишил тебя какой-то части твоей славы, помогая формулировать твои сообщения по проблеме квантов, но взамен я оставил тебе возможность обрести нового друга, Планка».

Так или иначе, этот первый результат подорвал уверенность Эйнштейна в законе черного тела, предложенном Планком. В связи с этим в оставшейся части статьи он пользуется исключительно предложенным ранее законом Вина, имеющим хорошие экспериментальные подтверждения для достаточно высоких частот. Исходя из закона Вина и используя законы термодинамики, ему удается вычислить «энтропию» f излучения заданной частоты, содержащегося в заданном объеме V. Напомним, что энтропией физической системы называется определенная мера беспорядка, которая отражает факт нашего, вообще говоря, неполного знания об этой системе.

Чтобы разъяснить понятие энтропии и ее связь с идеей беспорядка, приведем один пример. Рассмотрим шахматную доску или квадрат восемь на восемь, содержащий, таким образом, 64 клетки. В начальный момент времени разместим определенное количество блох на одной из клеток этой шахматной доски и позволим блохам передвигаться свободно, т. е. прыгать в любых направлениях. Будем исходить из того, что края шахматной доски достаточно высоки и не позволяют блохам выпрыгнуть наружу. Спустя некоторое время, в течение которого блохи прыгали повсюду, они распределятся почти равномерно по всем клеткам шахматной доски. Это конечное состояние, очевидно, менее упорядоченное, нежели исходное состояние, в котором, как мы знаем, все блохи были собраны на одной клетке. Можно пойти дальше и количественно оценить увеличение беспорядка между начальным и конечным состояниями, для этого необходимо подсчитать число возможных конфигураций «системы блох». В конечном состоянии каждая блоха может находится с равной вероятностью на любой из 64 клеток шахматной доски. Таким образом, число возможных (равновероятных) состояний для одной блохи равно 64. Если у нас есть две блохи (предполагаемые независимыми и различимыми), то число возможных конфигураций для такой системы из двух блох равно 64 × 64, т. е. 64². Для трех блох мы получим 64³, и в общем случае можно заключить, что число возможных (равновероятных) конфигураций для системы из n блох будет равно 64n. Заметим, поскольку в начальном состоянии все блохи находились на одной определенной клетке, то в этом состоянии мы имели одну-единственную и четко заданную конфигурацию системы блох.

В целом, основной вывод, который следует из рассмотренного примера, состоит в следующем. Если мы позволяем определенному количеству, скажем n, блох занимать площадь, в 64 раза большую площади, на которой они находились изначально, то число возможных конфигураций для такой системы умножается на 64n. Если бы мы рассмотрели другое отношение площадей, скажем конечную площадь в 10 раз больше начальной, то число возможных конфигураций умножилось бы на 10n. И если бы мы рассмотрели не блох на шахматной доске, а, скажем, мух, исходно ограниченных небольшим объемом и затем выпущенных летать по всему объему комнаты, то число возможных конфигураций нужно было бы умножить на фактор rn, где r – отношение конечного объема к начальному, а n – количество мух. Существенным моментом для дальнейшего обсуждения является то, что число n независимых элементов (или «корпускул») рассматриваемой системы появляется в виде отношения объемов, доступных для системы в конечном и начальном состояниях.

Энтропия и беспорядок

В физике, если имеется система, для которой указаны лишь некоторые глобальные макроскопические характеристики, такие как ее полная энергия и объем, в котором она находится, энтропией называется логарифм числа возможных микроскопических конфигураций системы (также называемых «микроскопическими состояниями»). Напомним, что логарифм числа, по существу, определяется как количество цифр его десятичного представления, стоящих перед запятой, минус один{115}. Например, логарифм 10 равен 1, логарифм 100 равен 2, логарифм одного миллиона равен 6. Отметим также, что логарифм единицы равен нулю. Другими словами, логарифм L заданного числа N удовлетворяет условию: N = 10L. Понятие энтропии было введено в середине XIX в. Рудольфом Клаузиусом, когда он пытался лучше понять основополагающую работу Сади Карно. Клаузиус показал, как можно определить энтропию системы, исходя из знания ее термодинамических характеристик, и предложил в качестве аксиомы хорошо известный всем второй принцип термодинамики, согласно которому энтропия изолированной системы может только возрастать. [Напомним, что первый принцип термодинамики гласит, что энергия сохраняется.] Несколько лет спустя венский физик Людвиг Больцман понял, что второй закон термодинамики имеет под собой статистические основания{116} и что энтропия системы должна быть пропорциональна логарифму числа возможных микроскопических состояний{117}. Это позволило осознать второй закон термодинамики как простое выражение естественной тенденции изолированных систем стремиться к беспорядку. Примером может служить рассмотренная выше система блох, которая из начального «упорядоченного» состояния спонтанно развивается, последовательно занимая всевозможные доступные состояния, и, таким образом, большую часть времени находится в некотором обобщенном состоянии, утратив свой «первоначальный порядок».

Неизвестное уравнение E = hf

В 1905 г. Эйнштейн был одним из немногих физиков, понимавших глубокую связь между энтропией и числом микроскопических состояний{118}. Он знал, как, исходя из закона Вина для излучения внутри печи, рассчитать энтропию и затем количество возможных микроскопических состояний для излучения (с фиксированной частотой f), существующего в печи с заданным объемом. Отсюда он вывел коэффициент, на который умножалось число возможных микроскопических состояний излучения, когда доступный для системы объем увеличивался в r раз. Он обнаружил, что этот мультипликативный фактор числа состояний (или, другими словами, фактор «увеличения микроскопического беспорядка») имел тот вид, который мы получили выше в случае блох или мух, распространяющихся в большом объеме: он задавался определенной степенью отношения r, скажем rn. Эйнштейн делает из этого вывод, что показатель n, возникающий в мультипликативном факторе числа микроскопических состояний, может быть истолкован как «число независимых частиц света», присутствующих в излучении частоты f в печи. Такова была его главная аргументация, лежащая в основе революционной идеи о том, что свет, как бушель блох, обладает дискретной структурой и состоит из отдельных световых гранул, названных им «квантами света».

Более того, его рассуждения позволили определить точное значение показателя n, т. е. количество независимых квантов света, присутствующих в излучении. Фактически он нашел, что число n определяется отношением полной энергии излучения (с частотой f) к выражению типа hf, где h – универсальная постоянная, а f – частота излучения. Эйнштейн пришел к выводу, что все происходит так, «как если бы» свет состоял из гранул и каждая гранула света имела бы энергию E, пропорциональную частоте света f – E = hf. Универсальная константа h имеет примерное значение 6,626 × 10−27 г · см² · с−1 и называется «постоянная Планка»{119}.

Уравнение E = hf, полученное Эйнштейном в марте 1905 г., имеет, возможно, даже более фундаментальное значение, чем уравнение E = mc², выведенное им в сентябре того же года. Тем не менее первое уравнение мало известно, тогда как второе знают все. Необходимо заметить прежде всего, что Макс Планк был первым, кто связал, еще в декабре 1900 г., частоту f излучения черного тела с количеством энергии E = hf. Тем не менее уравнение E = hf стало приобретать свой полноценный физический смысл лишь после выхода статей Эйнштейна в 1905 и 1906 гг. Именно по этой причине это уравнение часто называют уравнением Планка – Эйнштейна.

Вопреки обычному представлению, фигурирующему в основной массе научно-популярной литературы, Планк в 1900 г. никоим образом не утверждал, что энергия материи, образующей стенки печи (и тем более энергия света), должна быть физически «квантована» в единицах E = hf, т. е. может принимать лишь значения 0, hf, 2hf, 3hf, 4hf… Планк использовал E = hf, или то, что он назвал «элементами энергии», как вычислительный прием для придания смысла «количеству микроскопических состояний» материи печных стен. В общих чертах он использовал эти элементы энергии точно так же, как мы использовали в приведенном выше примере шахматную доску (с конечным числом клеток) для расчета количества возможных конфигураций блох, распределенных на некоторой площади. В конце концов, все, что имело значение в такой оценке, – это отношение между площадью, доступной в конечном состоянии, и начальной площадью. При этом сам размер элементарной клетки шахматной доски не входил в окончательный результат{120}. Однако Планк понимал, что результат его вычислений зависит от фактического размера «элементарной клетки», энергии E = hf, которую он использовал, хотя и надеялся на возможность в будущем придать вычислению некоторый смысл, оставаясь в рамках физических представлений своего времени, т. е. базируясь на представлениях об энергии вещества, принимающей всевозможные значения от нуля до бесконечности, и о свете, описываемом как непрерывная волна.

Эйнштейн был первым{121}, кто осознал связь между дискретностью физических величин (сейчас это называется квантовой дискретностью) и универсальной постоянной h. Если Планка можно считать первооткрывателем (в 1900 г.) новой универсальной физической константы (который понимал с самого начала, что это открытие было зарей новой эпохи физики), то Эйнштейн (в 1905–1907 гг.) стал инициатором создания физики явлений квантовой дискретности (который хорошо понимал, насколько «революционным» было это новое направление).

Первые следствия неизвестного уравнения

Получив фундаментальный результат, в соответствии с которым свет состоит из гранул, несущих энергию E = hf, Эйнштейн заканчивает свою мартовскую статью 1905 г. тем, что выводит из этого утверждения некоторые следствия, доступные для экспериментальной проверки. Наиболее известные из них касаются фотоэлектрического эффекта (именно они после экспериментальной проверки приведут к присуждению Эйнштейну Нобелевской премии). Выше мы объяснили, почему Ленарду казалось странным, что даже при очень большой интенсивности свет не может выбить электроны из поверхности твердого тела, когда частота f световой волны становится меньше определенного порогового значения. Гипотеза световых квантов Эйнштейна легко объясняет этот феномен.

Действительно, если предположить, что основной процесс, в результате которого электроны покидают твердое тело, заключается в «передаче энергии» квантов света E = hf электрону, то из закона сохранения энергии следует, что энергия движения (или «кинетическая энергия») электрона после его выхода из твердого тела есть E_движ = hf − W, где W – энергия (т. е. работа), необходимая для высвобождения электрона. Это простая математическая формула показывает (поскольку энергия движения должна быть положительной), что электроны возможно высвободить, только если частота света больше порогового значения f_порог = W/h. Кроме того, когда частота f больше, чем fпорог, эта формула дает очень простое выражение для взаимосвязи между энергией движения электрона и частотой света: E_движ = h (f − fпорог). Она позволяла сделать весьма точное предсказание, поскольку Эйнштейн вдобавок указывал численное значение коэффициента пропорциональности h, который в силу универсальности его природы совершенно не зависел от характера твердого тела, откуда экстрагируются электроны. Потребовалось более 10 лет экспериментальной работы, чтобы детально проверить прогноз Эйнштейна. Наиболее точные проверки были получены американским физиком Робертом Милликеном в 1915 г. Сошлемся на то, что сам Милликен говорил (в 1948 г.) о своих результатах:

«Я потратил 10 лет своей жизни, пытаясь проверить уравнение, предложенное Эйнштейном в 1905 г., и, вопреки моим ожиданиям, в 1915 г. был вынужден признать его однозначное подтверждение, несмотря на его необоснованный характер, поскольку мне казалось тогда, что это уравнение противоречит всем нашим представлениям об интерференции света».

Выше мы уже упоминали высказывание Макса Планка (датируемое 1913 г.), в котором он утверждает, что Эйнштейн «ошибся» с его гипотезой световых квантов. Укажем также, что вплоть до января 1924 г. Нильс Бор, Хендрик Антон Крамерс и Джон Кларк Слейтер ставили под сомнение квантовую теорию света Эйнштейна. Все это лишний раз показывает «весьма революционный» характер мартовской статьи Эйнштейна 1905 г. Но молодой сотрудник патентного бюро не останавливался на достигнутом. В 1905–1924 гг. он продолжал исследовать квантовые дискретности и их физические последствия. Кратко обозначим некоторые наиболее важные результаты, полученные Эйнштейном.

Материя и кванты

Берн, Швейцария, март 1906 г.

Вопреки тому, что часто пишут, предположение о том, что энергия материи физически «квантуется» (т. е. может принимать лишь определенные дискретные значения), первым высказал Эйнштейн в марте 1906 г., а не Планк в 1900 г. (результаты Планка, полученные в 1900 г., обсуждались ранее). В продолжение статьи, о которой мы говорили выше, в марте 1906 г. Эйнштейн возвращается к указанному им ранее противоречию между физическими представлениями того времени и экспериментально подтвержденным законом излучения черного тела. Он показывает, что закон черного тела, предложенный Планком в 1900 г., который был в полном согласии с результатами экспериментов, проведенных в Берлине, может быть выведен из общих законов статистической физики (путем подсчета возможных микроскопических состояний) только в предположении, что энергия каждого «материального осциллятора», присутствующего в стенках печи, принимает исключительно дискретные значения: 0, hf, 2hf, 3hf… Здесь, как и у Планка, атомы в стенках нагретой печи, считающиеся ответственными за поглощение и эмиссию теплового излучения черного тела, моделируются, как электрические заряды, прикрепленные к пружине и осциллирующие вблизи равновесного положения. Величина f задает частоту колебаний этой пружины. Требуется предположить также, что стенки заполнены бесконечным количеством осцилляторов, охватывающих всевозможные частоты, поскольку каждый отдельный осциллятор (т. е. заряд, прикрепленный к пружине) не будет чувствителен к свету, имеющему частоту, отличную от частоты f этого конкретного осциллятора.

Можно заметить, что предложенное Эйнштейном в 1906 г. уравнение для квантования энергии материи, E = nhf, где n – целое число (n = 0, 1, 2, 3, …), сильно напоминает уравнение, предложенное годом раньше для энергии световых квантов. Однако оно имеет другой физический смысл (который также отличается от физического смысла «элементов энергии», предложенных Планком в 1900 г.). Здесь E обозначает энергию материальной системы (массу, прикрепленную к пружине), а f задает частоту колебания этой массы. В полном противоречии с законами ньютоновской механики (а также их «релятивистской» модификацией, построенной на базе теории относительности), согласно которым масса, прикрепленная к пружине, может колебаться с произвольной амплитудой и, таким образом, произвольной энергией, Эйнштейн взял на себя смелость утверждать, что энергия колебаний пружины может принимать лишь дискретные значения из ряда 0, hf, 2hf, …, исключая какие-либо промежуточные значения. Хотя эта идея была не менее революционной, нежели гипотеза существования световых квантов, физическое сообщество приняло ее значительно быстрее. Первым это сделал Планк примерно в 1908 г. Необходимо отметить, что эта гипотеза, хотя и противоречила ньютоновской механике, не имела жестких противоречий с хорошо известными экспериментальными фактами. Численное значение постоянной h было весьма мало, в результате чего в лабораторных условиях не удавалось обнаружить квантование энергии обычного (т. е. макроскопического) механического осциллятора. Гипотеза световых квантов, как казалось, находится в сильнейшем противоречии со многими экспериментальными проверками, подтверждавшими волновую природу света (хотя еще в 1905 г. Эйнштейн указывал на то, что оптические лабораторные измерения оперируют лишь средними величинами и поэтому, в принципе, могут объясняться в рамках корпускулярной теории света).

Ледяной алмаз

Берн, Швейцария, ноябрь 1906 г.

В конце 1906 г. Эйнштейн все еще работал в патентном бюро и поэтому по-прежнему мог посвящать лишь немного свободного времени физике. Тем не менее у него было решающее преимущество перед большинством физиков – он был единственным, кто по-настоящему верил в квантование энергии материи. Это в некоторой степени компенсировало ему недостаток времени и давало возможность спокойно думать о всевозможных последствиях явления квантования не только в контексте излучения черного тела, но и других физических систем. Возможно, он вспомнил загадочные экспериментальные результаты, которые были получены среди прочего его профессором физики в Политехническом институте в Цюрихе. Генрих Вебер изучал «удельную теплоемкость» некоторых твердых тел и, в частности, алмазов. «Теплоемкостью» тела называется количество теплоты, которое необходимо сообщить этому телу для того, чтобы повысить его температуру на один градус Цельсия. Конечно, это величина пропорциональна массе рассматриваемого тела. Поэтому полезно рассматривать теплоемкость некоторого образца тела, содержащего определенное количество атомов (скажем, 6,022 × 10²³, которое называется «число Авогадро»). Мы будем называть эту последнюю величину «удельной теплоемкостью» рассматриваемого твердого тела.

В 1819 г. французские физики Пьер Дюлонг и Алексис Пти сделали поразительное открытие. Они обнаружили, что удельная теплоемкость большого количества простых элементов всегда одна и та же! Она равна примерно 6 калориям на один градус (и на один моль). Эта замечательная универсальность теплоемкости (простых) твердых тел нашла теоретическое объяснение 50 лет спустя в работах Людвига Больцмана. Объяснение Больцмана было основано на его последних результатах, касающихся статистической интерпретации теплоты. По сути, Больцман интерпретировал теплоту твердых тел как энергию вибрации каждого отдельного атома вокруг положения равновесия. В своих расчетах 1876 г., сделанных на основе предложенной им ранее статистической теории, он вывел зависимость между энергией вибрации и температурой тела, полностью согласующуюся с результатами Дюлонга и Пти{122}.

Однако в 1876 г. было обнаружено, что некоторые твердые тела имели значительно меньшую удельную теплоемкость, чем 6 калорий на один градус. Это, в частности, относилось к бору, кремнию и алмазу (или графиту, который так же, как и алмаз, состоит из атомов углерода). В 1875 г. Вебер значительно прояснил данный вопрос, показав, что эти три исключения «возвращаются в общий ряд» при высоких температурах. Он экспериментально установил, что удельная теплоемкость зависит от температуры тела и, когда температура становится достаточно большой, приближается к тому самому простому универсальному значению, которое указывали Дюлонг и Пти. Тем не менее оставалось непонятным, почему при уменьшении температуры удельная теплоемкость этих трех материалов становится гораздо меньше, чем 6 калорий на один градус, предсказанных на основании «классической» статистической физики. [Здесь под классической подразумевается физика в том виде, как она виделась до квантовой революции.] В особенности это касалось алмаза, теплоемкость которого принимала значение порядка 1,4 уже при обычных температурах окружающей среды. Иными словами, речь шла о новом явлении, возникающем не только при очень низких температурах.

В ноябре 1906 г. Эйнштейн понял, что идея квантования энергии колебаний механического осциллятора, которую он предложил в марте, служит ключом к решению указанной проблемы. Основная физическая причина состояла в следующем. Согласно Больцману, теплота твердого тела представлялась как энергия колебаний его атомов около положения равновесия. Точный расчет, выполненный Больцманом, предполагал, что эта колебательная энергия может непрерывно меняться от нуля до бесконечности. Из этого он заключал, что энергия вибрации при некоторой температуре T должна быть пропорциональна абсолютной величине T. Эйнштейн воспроизвел те же расчеты, но наложил дополнительное требование – энергия колебания каждого атома, осциллирующего с частотой f, должна принимать только квантованные значения 0, hf, 2hf, 3hf… Тогда он обнаружил, что удельная теплоемкость, равная нулю при очень низких температурах, постепенно возрастает и в конечном счете принимает значение, предсказанное Больцманом, в тот момент, когда энергия теплового движения атомов становится значительно больше чем E = hf. Интуитивно можно понять этот результат Эйнштейна, представляя теплоту окружающего воздуха как силу воздействия, а каждый атом – ребенком на качелях. Если амплитуда колебаний качелей не может непрерывно возрастать от нуля, а может лишь «перепрыгивать» с нулевой амплитуды на первую ненулевую амплитуду «возбуждения», затем на вторую, еще более высокую, и т. д., то слишком слабая сила воздействия будет недостаточна, чтобы совершить первый перескок, и ребенок останется в самом нижнем энергетическом состоянии, т. е. с нулевой энергией возбуждения{123}.

Затем Эйнштейн сравнил свои предположения с экспериментальными результатами Вебера и др. и обнаружил, что простая математическая формула, которую он вывел для удельной теплоемкости твердого тела, прекрасно описывала экспериментальные данные{124}. Тот факт, что алмаз ведет себя по-особому при обычных температурах, исходя из квантовых рассуждений, объясняется просто тем, что алмаз обладает высокой твердостью. Дорогие читатели, я надеюсь, что отныне, прикоснувшись к драгоценному камню и почувствовав, сколько тепла нужно для его нагрева, вы будете вспоминать, что это является повседневным подтверждением предложенной Эйнштейном в 1906 г. идеи о квантовании колебательной энергии всех материальных осцилляторов!

Идея, ведущая к лазеру

С 1905 по 1911 г. Эйнштейну удавалось весьма плодотворно совмещать несколько независимых направлений исследования: теорию относительности; беспорядочное (или броуновское) движение, связанное с теплотой; квантовые явления; а также обобщение теории относительности в условиях присутствия силы тяжести. Однако в 1911–1916 гг. он сосредоточивает почти всю свою энергию на том, что впоследствии получит название общей теории относительности. Хотя примерно в 1911 г. Эйнштейн уже понимал, что его принцип эквивалентности (см. главу 3), скорее всего, является ключом к абсолютно новому разделу физики, он так долго безуспешно пытался понять природу квантов, что был счастлив хоть на какое-то время отвлечься от исследований этого направления. Его разочарование в проблеме интерпретации явлений квантовой дискретности можно почувствовать, читая то, что он пишет Микеле Бессо в мае 1911 г.:

«Меня больше не интересует вопрос, существуют эти кванты на самом деле или нет. Я также не пытаюсь более понять их строение, ибо знаю уже, что мой мозг не в состоянии двигаться в этом направлении. Но я тем не менее пытаюсь внимательно исследовать все возможные последствия этого явления, чтобы понять, каково поле применения концепции квантов».

Основная проблема Эйнштейна и всех тех, кого интересовали квантовые явления, заключалась в серьезном логическом противоречии между разными предположениями, которые требовалось принять для объяснения всех наблюдаемых фактов. Например, эксперименты по интерференции света объяснялись посредством волнового описания, тогда как фотоэлектрический эффект благодаря Эйнштейну можно было понять, предполагая, что свет – это совокупность почти независимых корпускул. Можно было бы наивно надеяться (как надеялись Планк и Лоренц), что свет «на самом деле» есть волна и что корпускулярные аспекты являются лишь какими-то артефактами, возникающими при взаимодействии света и материи. Но, используя связь между энтропией и вероятностью, Эйнштейн показал в 1909 г., что флуктуации энергии излучения черного тела в единице объема определяются суммой двух разных вкладов: один из них можно было понять, интерпретируя свет как случайную суперпозицию непрерывных волн, а другой можно было объяснить, только предполагая, что свет – это совокупность независимых локализованных частиц. Затем Эйнштейн писал:

«Я думаю, что следующий этап развития теоретической физики даст нам теорию света, которую можно будет трактовать как своего рода слияние волновой теории и теории излучения [частиц]».

Несмотря на настойчивые попытки с 1909 по 1911 г., Эйнштейн не смог найти ясного теоретического обоснования, позволяющего описать «смешивание» волновых и корпускулярных аспектов поведения света. Отсюда и проистекает его разочарование, выраженное в письме верному другу, Микеле Бессо, в 1911 г.

В 1916 г., чтобы «отдохнуть» после титанической работы, проделанной при построении общей теории относительности (работы, которой он был занят последние годы и которая была, наконец, успешно завершена), Эйнштейн снова возвращается к своей «абсолютно революционной» идее о квантовой природе света и получает несколько результатов, имеющих фундаментальное значение для физики XX в. Его отправной точкой была идея объединения концепции световых квантов с идеей Нильса Бора о квантовании энергии атома.

В 1913 г. Нильс Бор обобщил идею Эйнштейна (1906 г.), согласно которой энергия «осциллятора», т. е. прикрепленного к пружине груза, может принимать лишь дискретные значения 0, hf, 2hf, …, где f – частота колебания. На основании этого Нильс Бор выдвигает смелое предположение, что энергия любой системы атомов не может принимать значения вне определенного дискретного ряда: E₀, E₁, E₂… Затем он допускает, что свет, излучаемый атомом, может иметь лишь определенные частоты (так называемые «частоты перехода»), связанные с разницей между двумя допустимыми энергиями, своего рода обобщением уравнения Планка – Эйнштейна: например, hf₁₀ = E₁ − E₀ определяет частоту для излучения, ассоциированного с «квантовым переходом», в котором атом «переходит» из начального состояния с энергией E₁ в конечное состояние с энергией E₀. И, наконец, наиболее инновационный аспект работы Бора заключается в том, что он постулирует новый принцип для определения дискретного набора возможных энергий. В простейшем случае атома водорода (один электрон, движущийся по орбите вокруг протона) его новый принцип заключается в требовании, чтобы «действие» орбитального (кругового) движения электрона, а именно, произведение импульса электрона p = mv на длину его круговой орбиты равнялось произведению некоторого целого числа на знаменитую постоянную Планка h.

В 1916 г. Эйнштейн рассмотрел следующую ситуацию: имеется совокупность атомов (с дискретным спектром допустимых значений энергий E₀, E₁, E₂, …), помещенных в печь, стенки которой нагреты до определенной температуры. Напомним, что такая печь генерирует внутри излучение, энергия которого распределяется по всем частотам. Это распределение соответствует тому, что называется «законом излучения черного тела». В тот момент Эйнштейн не предполагал необходимость знания этого закона. Затем он пишет, что данная система, рассматриваемая как целое (т. е. включая саму печь, излучение и атомный газ внутри печи), достигает того, что называется «термодинамическим равновесием», т. е. состояния равновесия, в котором в среднем каждая часть системы сохраняет постоянную энергию, несмотря на непрекращающийся обмен энергией в каждый момент времени. Не вдаваясь в детали, скажем лишь, что новые результаты Эйнштейна заключаются в следующем{125}: (i) доказательство того, что кванты света, излучаемого или поглощаемого атомами во время некоторого «квантового перехода» между двумя допустимыми значениями энергии (скажем, E₀ и E₁), несут импульс p = hf / c, где f – «частота перехода», связанная с разностью двух рассматриваемых значений энергии, а c – скорость света; и (ii) открытие нового «квантового» процесса: облучение атома излучением с частотой f «вынуждает» атом совершить переход из более высокого энергетического состояния (E₁) в более низкое (E0), сопровождаемый испусканием кванта света c энергией hf и импульсом hf / c, направленным вдоль падающего излучения. [Во время этого процесса вынужденного излучения атом «отскакивает назад» с противоположным импульсом.]

Эти два открытия оказали огромное влияние на развитие физики XX в. Первый результат по сути представлял беспрецедентное, чисто теоретическое открытие новой элементарной частицы – «фотона»{126}, т. е. частицы света, которая обладала как энергией E = hf, так и импульсом p = hf/c. Новая концепция значительно обогатила введенную 11 лет назад (опять же Эйнштейном) теорию «световых квантов».

Наконец, второй результат, касающийся направленного вынужденного излучения атомов, облучаемых падающим излучением, представляет собой основную идею лазера, значение которого в области фундаментальных исследований, так же как и в области современных технологий, сложно переоценить. Речь здесь не идет о том, что Эйнштейн был «первооткрывателем идеи лазера» в 1916 г. Конечно, нет, такое утверждение несправедливо преуменьшало бы важность многих других теоретических и экспериментальных достижений (полученных, в частности, благодаря американцам Чарлзу Таунсу и Артуру Шавлову, русским Николаю Басову и Александру Прохорову и французам Альфреду Кастлеру{127} и Жану Бросселю), которые привели в итоге к созданию лазера и современной квантовой оптике. Но мы хотим обратить ваше внимание на ту непрерывность развития цепочки знаний, которая идет от чисто теоретических вопросов о реальности световых квантов до многочисленных прикладных результатов, лежащих сейчас в основе нашей повседневной жизни.

Свет и материя

В конце июня 1924 г. Эйнштейн получил письмо от молодого индийского физика Шатьендраната Бозе. Хотя имя Бозе ему было незнакомо, Эйнштейн сразу же заинтересовался новой идеей, предложенной Бозе и использованной им в статье, приложенной к письму. В ней Бозе предлагает более основательно исследовать идею (сформулированную Эйнштейном) о том, что свет состоит из световых корпускул, переносящих энергию и импульс. Более конкретно, Бозе описал излучение черного тела, т. е. свет в нагретом до определенной температуры резервуаре, как газ из световых квантов. Затем он применил статистические методы Больцмана{128}, модифицированные квантовыми соображениями Планка и Эйнштейна, для вычисления термодинамических свойств такого газа и пришел, таким образом, к новому выводу закона распределения по частоте излучения черного тела. Напомним, что этот закон, после того как он был «угадан» Планком в октябре 1900 г., уже становился предметом нескольких теоретических исследований, направленных на его обоснование: исследования, предпринятые Планком в декабре 1900 г., а также Эйнштейном в 1906 г. и в более широком контексте в 1916 г. Несмотря на то что сам по себе вывод Бозе имел определенные недостатки, у него было одно большое преимущество перед предыдущими, поскольку он не требовал обращения ни к теории электромагнитных волн Максвелла, ни к свойствам взаимодействия материи и света. Бозе ограничивался исключительно статистическими свойствами газа, состоящего из световых квантов, перемещающихся внутри резервуара.

Сделав собственноручный перевод статьи Бозе на немецкий и затем отправив ее для публикации в один из немецких журналов по физике, Эйнштейн приходит к пониманию, что новая идея, содержащаяся в этой статье, может быть значительно обобщена. В общих чертах рассуждения Эйнштейна заключались в следующем: до 1905 г. было общепринято думать, что свет и материя устроены принципиально по-разному, а именно: свет описывался как непрерывная волна, тогда как материя описывалась как совокупность отдельных миниатюрных частиц. В 1905–1916 гг. Эйнштейн показал, что описание света как совокупности «корпускул света» – по существу, в виде газа из частиц – было весьма плодотворным. Бозе продемонстрировал, как, применяя квантовые идеи (сформулированные Планком и Эйнштейном) к статистике такого газа, можно обнаружить те свойства, которые получались ранее исходя из волновой природы света. Все это показывало, что при использовании идеи «квантов» имеется глубокое сходство между светом и материей. Таким образом, у Эйнштейна возникла идея в рамках квантового подхода распространить статистические расчеты Бозе на изучение термодинамических свойств газа частиц материи.

В ходе этой работы Эйнштейн получил несколько новых фундаментальных результатов, которые оказали большое влияние на развитие физики XX в. Укажем лишь два из этих концептуальных достижений. Первое связано с открытием нового физического явления, которое имеет чисто квантовое происхождение и обычно называется «конденсацией Бозе – Эйнштейна», хотя фактически оно было открыто Эйнштейном единолично в статьях, которые он написал после прочтения работы Бозе. Это явление квантовой «конденсации» означает, что значительная часть общего числа частиц материального газа может (при достаточно большой плотности) находиться в наиболее низком энергетическом квантовом состоянии, т. е. в таком, которое классически соответствует частице «в состоянии покоя» (т. е. частице, не имеющей кинетической энергии). Эффект квантовой конденсации играет важную роль в современной физике, поскольку является основой таких замечательных явлений, как сверхтекучесть и сверхпроводимость, а также потому, что найденная недавно реализация этого эффекта в физике газов из ультрахолодных атомов (или молекул) открывает путь для замечательных достижений в науке и технике{129}. Заметим между делом, что, как и в случае с некоторыми более ранними «революционными» открытиями Эйнштейна, этот результат был встречен довольно прохладно его коллегами, которые ставили под сомнение реальность явления квантовой конденсации. Физическая значимость этого явления была осознана лишь спустя 15 лет после его предсказания Эйнштейном.

Второй выдающийся результат Эйнштейна в 1924 г. касается сходства между светом и материей. Используя один из своих любимых теоретических методов, а именно метод термодинамических флуктуаций, Эйнштейн изучает флуктуации числа (квантовых) частиц материи, содержащихся в некотором элементарном объеме рассматриваемого газа. Этот анализ представляет собой обобщение того метода, который Эйнштейн применял в случае флуктуаций излучения черного тела. Он выводит, что данные флуктуации определяются суммой{130} двух членов. Первый из них хорошо известен и представляет собой обычную статистическую флуктуацию, ожидаемую в случае заданного количества классических частиц (т. е. рассматриваемых без учета квантовых эффектов). Второй член имеет иную природу, и Эйнштейн предлагает интерпретировать его «как вклад, учитывающий флуктуации, которые возникают в результате интерференции некоторого процесса излучения, специальным образом ассоциированного с рассматриваемым газом». Другими словами, применяя в обратном направлении логику, позволяющую считать свет (известный своими волновыми свойствами) обладающим корпускулярными свойствами (а именно, состоящим из световых квантов), Эйнштейн предлагает здесь считать частицы материи обладающими волновыми свойствами. Возможно, Эйнштейн пришел к этому выводу в сентябре{131} 1924 г. В конце ноября или в начале декабря 1924 г. он читает диссертацию Луи де Бройля, присланную ему Полем Ланжевеном, и понимает, что Луи де Бройль уже предлагал (еще в 1923 г.) идею о необходимости ассоциировать «волновое поле с любой частицей материи».

Таким образом, во второй статье, посвященной «квантовой теории идеального газа», завершенной в декабре 1924 г., Эйнштейн после объяснения термодинамических причин необходимости ассоциировать «процесс излучения c газом» частиц материи прямо упоминает «весьма примечательное» утверждение Луи де Бройля и далее выявляет необходимые волновые свойства, связанные с частицей материи. Это суть (a posteriori) естественное обобщение результатов Эйнштейна, касающихся световых квантов. Световую волну, обладающую частотой f, а следовательно, периодом колебания T = 1/f и длиной{132} L = cT, Эйнштейн связывает с частицей, обладающей энергией E = hf = h/T и несущей импульс p = hf/c = h/L. Что касается Луи де Бройля, то он, в свою очередь, предложил ассоциировать с любой частицей, обладающей энергией E и импульсом p, волну с периодом T и длиной L так, что выполняются условия{133} E = h/T и p = h/L.

Этой работой, написанной в декабре 1924 г., заканчивается список тех действительно гениальных достижений Эйнштейна, которые заложили основу трех величайших научных теорий – специальной теории относительности, общей теории относительности и квантовой теории – и тем самым определили суть развития физики XX в. Эйнштейн привнес также другие важные научные идеи (одни из которых начинают раскрываться лишь сейчас, а другие до сих пор остаются неосознанными), но стоит признать, что с 1925 г. он перестал быть центральной фигурой мировой теоретической физики. Тем не менее мы еще увидим скрытую важность его исследований, которыми он занимался остаток жизни.

Глава 6

Спор со Сфинксом

Меня не сильно радуют чудесные открытия последнего времени, поскольку я не вижу, чтобы они хоть как-то помогали мне разбираться с фундаментальными вопросами. Я чувствую себя ребенком, который никак не может выучить алфавит, хотя, как ни странно, я все еще не теряю надежду. В конце концов, мы имеем дело не с дамой приятной во всех отношениях, а с настоящим Сфинксом!

– Эйнштейн, письмо Максу фон Лауэ, 23 марта 1934 г.

Решающий разговор

Берлин, Германия, начало 1926 г.

В этот день в начале 1926 г. молодой Вернер Гейзенберг, входя в зал физических семинаров Берлинского университета, сильно волновался{134}. Ему было всего 24 года, когда его пригласили прочитать лекцию на тему недавно возникшей «новой квантовой механики». В последний раз лихорадочно просматривая свои записи, он видел, как весь цвет мирового физического сообщества рассаживается в первом ряду: Макс Планк, Вальтер Нернст, Макс фон Лауэ и др. Лица этих ученых, известных своими фундаментальными открытиями, были прямо-таки воплощением серьезности и строгой сосредоточенности германской академической жизни. Когда лекция уже должна была начаться, появился тот, кто вызывал у Гейзенберга наибольшее восхищение, работами которого он любовался с юношеского возраста, когда впервые открыл для себя общую теорию относительности в книге «Пространство, Время, Материя»{135}, и письма которого иногда зачитывал его профессор и научный руководитель в Мюнхене Арнольд Зоммерфельд в качестве иллюстраций к своему курсу. Альберт Эйнштейн вошел в зал и занял место в первом ряду, адресовав Гейзенбергу легкую улыбку, отчасти извиняясь за свое опоздание, отчасти ободряя молодого человека.

Набравшись уверенности, Гейзенберг приступил к описанию физических концепций и математического аппарата новой квантовой теории. В действительности за последние несколько месяцев с необычайной быстротой был разработан практически новый математический формализм, который, как ожидалось, должен был прийти на смену «старой» теории квантов, а точнее, на смену тому разрозненному набору противоречивых идей, появившихся между 1900 и 1924 гг. в результате попыток объяснить квантовую дискретность (существование этой дискретности становилось все более очевидным из анализа различных физических явлений). Открытие, положившее начало теории квантов, – явная структура излучения черного тела – было сделано здесь же, в Берлине, благодаря исключительно точным измерениям Отто Люммера, Эрнста Принсгейма, Генриха Рубенса и Фердинанда Курльбаума, а также благодаря теоретическому «жесту отчаяния» Макса Планка. Но, конечно, больше всего показывали необходимость глубокого пересмотра физических основ ряд посвященных квантам работ Эйнштейна, выпущенных в период между 1905 г. и декабрем 1924 г. К тому же начиная с 1913 г. смелые теории Нильса Бора ясно говорили о том, как можно применять квантовые идеи в атомной физике.

Новый квантовый формализм, о котором рассказывал Гейзенберг, возник из идей Бора относительно структуры атомов и некоторых концепций, предложенных Эйнштейном в 1916 г. в связи с взаимодействием между атомом и электромагнитным излучением. Среди прочего Эйнштейн ввел коэффициенты A, измеряющие вероятность (в единицу времени), с которой атом, изначально находящийся в заданном (квантовом) «состоянии», может совершить «квантовый переход» в другое «состояние» с более низкой энергией с испусканием в произвольный момент времени и в произвольном направлении кванта света{136}. В исследование физики квантовых переходов Гейзенберга вовлекли его научный руководитель в Мюнхене Арнольд Зоммерфельд, а затем Макс Борн в Геттингене. В октябре 1923 г., после защиты диссертации в возрасте 22 лет, он стал ассистентом Борна и в 1923 и 1924 гг. работал под его руководством, изучая основные идеи и методы. В частности, он освоил использование новых коэффициентов a наряду с эйнштейновскими коэффициентами А, связанными с квантовыми переходами между двумя состояниями атома. Грубо говоря, новые коэффициенты а, называемые «амплитудами квантовых переходов»{137}, были таковы, что их квадраты равнялись эйнштейновским коэффициентам А.

Основная идея, которая легла в основу новой квантовой теории, пришла Гейзенбергу в начале июня 1925 г., когда он поправлялся после обострения сенной лихорадки, пребывая на острове Гельголанд на севере Германии. Идея состояла в замене обычного понятия непрерывной траектории, описывающей возможное движение электрона{138} в атоме, набором амплитуд а, связанных с переходами между возможными квантовыми состояниями атома. Каждая амплитуда перехода определяется двумя числами: числом, фиксирующим начальное состояние энергии из дискретного набора возможных квантовых состояний атома, и числом, фиксирующим конечное состояние. Полный набор амплитуд, таким образом, аналогичен шахматной доске или таблице умножения{139}, каждая элементарная ячейка которой задается двумя числами: координатами по «горизонтали» и по «вертикали».

Пока Гейзенберг объяснял мотивы, которые привели его к идее замены описания посредством непрерывных траекторий электрона в атоме на такие таблицы амплитуд переходов, он с беспокойством поглядывал в сторону Эйнштейна, пытаясь понять его реакцию на эти «колдовские таблицы умножения»{140}. Хотя ему и не удалось убедить Эйнштейна, его явно удалось заинтересовать, в особенности когда в конце выступления Гейзенберг заметил, что новые «правила умножения» для таблиц амплитуд, введенных им и развитых совместно с Максом Борном и Паскуалем Йорданом, позволили воспроизвести результат Эйнштейна, говоривший, что флуктуации энергии излучения, заключенного в некотором подобъеме, состоят из двух отдельных членов: первый связан с волновым характером излучения, а второй – с его корпускулярным характером{141}. Этот результат, заключил Гейзенберг, показывает, что новый квантовый формализм способен описывать одновременно как волновые, так и корпускулярный аспекты непрерывных полей (таких как электромагнитное поле).

После семинара Эйнштейн подошел поздравить Гейзенберга с его выдающимися результатами и пригласил составить ему компанию на пути домой, чтобы подробнее обсудить нововведения, лежащие в основе нового формализма. По возвращении домой Эйнштейн попросил его еще раз уточнить физическую мотивацию, ведущую к идее замены непрерывных траекторий бесконечной таблицей амплитуд переходов.

Послушаем ключевую часть их диалога, воспроизведенную впоследствии самим Гейзенбергом{142}:

ГЕЙЗЕНБЕРГ:…Поскольку в теории естественно вводить лишь наблюдаемые величины, мне казалось правильным не вводить ничего, кроме частот и амплитуд{143}, выступающих в роли, так сказать, представителей орбит электронов.

ЭЙНШТЕЙН: Неужели вы всерьез думаете, что в физической теории можно ограничится лишь введением наблюдаемых величин?

ГЕЙЗЕНБЕРГ: Я думал, что вы использовали буквально эту же идею в качестве основы вашей теории относительности. Вы специально подчеркивали, что нельзя говорить об абсолютном времени, потому как никто не может наблюдать это абсолютное время. Вы говорили, что только показания часов, сделанные в движущейся или покоящейся системе, являются определяющими для измерения времени.

ЭЙНШТЕЙН: Возможно, я действительно использовал подобного рода философию, но от этого идея не становится менее абсурдной. Или я бы сказал более осторожно, что с эвристической точки зрения возможно было бы полезно помнить, что является по-настоящему наблюдаемым. Однако, в принципе, глубоко ошибочно стремиться строить теорию исключительно на наблюдаемых величинах. В реальности все происходит как раз наоборот. Только теория решает, что является наблюдаемым, а что нет.

Мы выделили последнюю фразу, поскольку она еще долго звучала в голове молодого Гейзенберга и сыграла важную (хотя и малоизвестную) роль в дальнейшем развитии квантовой теории. Скажем лишь, что этот «урок» (теория сама решает, что является наблюдаемым) был усвоен Эйнштейном в результате долгих лет блужданий в поисках конструкции общей теории относительности. В течение многих лет связь между координатами пространства и времени и измерениями длин и промежутков времени (кристально ясная в специальной теории относительности) оставалась весьма туманной в общей теории относительности. Эйнштейн сумел разобраться с причиной такого долгого непонимания лишь в конце 1915 г., когда, уже построив теорию, осознал, что математический формализм теории относительности сам позволяет определить a posteriori то, что является наблюдаемым, когда пространство-время деформируется материей.

«Волны тут, кванты там!»

В начале 1926 г., приблизительно в то же время, когда Гейзенберг выступал на семинаре в Берлине, другой математический формализм был предложен австрийским теоретиком Эрвином Шредингером в качестве замены «старой» теории квантов Планка – Эйнштейна – Бора. Этот формализм, называемый «волновой механикой», согласно самому Шредингеру, уходил корнями в идеи Луи де Бройля, а также в «короткие, но удивительно прозорливые» заметки, сделанные Эйнштейном (в его письмах и статье 1924 г., обсуждавшейся в предыдущей главе). Эта волновая механика казалась абсолютно отличной от матричной механики Борна – Гейзенберга – Йордана. В одной состояние рассматриваемой физической системы (скажем, электрон, движущийся по орбите вокруг ядра атома водорода) описывалось волновой амплитудой А, непрерывной функцией{144} времени и координат электрона, а другая говорила лишь о дискретных переходах между различными возможными стационарными состояниями атома и описывала их посредством бесконечных таблиц амплитуд переходов a_nm. Два описания, казалось, были диаметрально противоположны друг другу. Первое давало полностью непрерывную картину (как во времени, так и в конфигурационном пространстве системы), тогда как предметом изучения второго были исключительно дискретные переходы системы. Однако, несмотря на это, Шредингер сумел достаточно быстро показать математическую эквивалентность двух подходов. А именно, он доказал, что знание «волнового уравнения», описывающего распространение непрерывной амплитуды А, позволяет в то же время находить возможные стационарные состояния системы, их квантовые энергии и бесконечные таблицы амплитуд переходов между этими состояниями. Грубо говоря, возможные стационарные состояния были аналогичны ряду состояний чистой вибрации упругого объекта, такого, например, как струна фортепиано, которая может звучать в основном тоне или же в обертоне, соответствующем более высокой гармонике (вторая на октаву выше первой, третья на квинту выше второй и т. д.).

На самом деле, какое-то время казалось, что шредингеровское волновое описание было более полным, нежели дискретное описание Борна – Гейзенберга – Йордана. В частности, шредингеровское описание наводило на мысль, что можно даже просто «выбросить» идею квантовой дискретности (несмотря на то что оно позволяло объяснить многие явления, включая эйнштейновскую теорию атомных переходов) и описывать реальность исключительно с точки зрения непрерывных волн.

Изначально Эйнштейн воспринял формализм Шредингера с удовлетворением и даже некоторым облегчением, поскольку этот подход казался ближе его интуитивным представлениям о реальности, нежели колдовские таблицы умножения, используемые Гейзенбергом и компанией. Однако вскоре он был разочарован. В первую очередь потому, что волновая амплитуда А распространяется уже не в обычном трехмерном пространстве: для системы из двух частиц это было шестимерное пространство, для системы из трех частиц – девятимерное, для четырех – двенадцатимерное и т. д. К тому же в волновой механике возникали большие сложности при описании всевозможных экспериментальных фактов, которые в течение 20 лет подводили Эйнштейна и других исследователей к необходимости введения дискретной структуры в квантовой механике. В августе 1926 г. в письме Паулю Эренфесту Эйнштейн следующим образом подытоживает свои чувства:

«Волны тут, кванты там! Реальность тех и других прочнее камня. Но дьявол свел их вместе (и этот союз так же реален и прекрасен)».

Эту неудовлетворенность в отношении парадоксального поведения природы, проявляющей одновременно волновые и корпускулярные свойства, Эйнштейн сохранял до конца своей жизни. Как мы увидим, то, что убедило большинство ученых, не смогло развеять его сомнений.

«Духовое поле» Эйнштейна, «амплитуда вероятности» Борна и «соотношения неопределенностей» Гейзенберга

Нашей целью здесь не является детальное обсуждение развития физической интерпретации математического формализма квантовой теории. Мы собираемся лишь описать ту важную, хотя иногда и скрытую роль, которую в этом развитии сыграли определенные идеи Эйнштейна.

Первое существенное продвижение было сделано Максом Борном летом 1926 г. Как он сам описывал{145}: «Моим отправным пунктом стало соображение Эйнштейна, касающееся взаимосвязи между полем волны и квантом света. Он [Эйнштейн] сказал приблизительно следующее: волны служат лишь для того, чтобы управлять световыми корпускулами, и в этом смысле он говорил про “духовые поля”, определяющие вероятность выбора того или иного пути… квантом света…» Эти соображения Эйнштейна про некоторое «духовое поле», или «управляющее поле», приватно обсуждались им в 1920-х гг. со многими учеными (Макс Борн, Юджин Вигнер и др.), однако они никогда не публиковались. Как бы то ни было, вполне возможно, именно эти соображения мотивировали Борна на интерпретацию волновой амплитуды A (t, q) физической системы как «амплитуды вероятности» того, что система будет находиться в момент времени t в определенной конфигурации, описываемой переменными q. [Как говорилось выше, когда рассматривается одна частица, q обозначает три пространственные координаты, тогда как в системе из двух частиц q обозначает шесть координат, необходимых для задания положения обеих частиц, и т. д.] Борн далее уточняет (в сноске, добавленной при перечитывании корректуры), что вероятность найти систему в конфигурации q пропорциональна квадрату{146} амплитуды A (q). И затем подытоживает суть предложенной им интерпретации квантовой теории: «Движение частиц подчиняется закону вероятности, тогда как сама вероятность эволюционирует в соответствии с законом причинности».

Вторая часть этой цитаты намекает на тот факт, что «волновое уравнение Шредингера», написанное им в начале 1926 г., является детерминистским уравнением распространения, т. е. уравнением, позволяющим однозначным образом определить временную эволюцию амплитуды А, если известно ее значение в произвольный начальный момент.

«Вероятностная интерпретация» Борна стала серьезным концептуальным прорывом, хотя она принесла больше проблем, нежели решений. Фактически эта интерпретация была лишь гипотезой и требовала подтверждения исходя из математического формализма квантовой теории. Именно так думал Гейзенберг в конце 1926-го и в начале 1927 г. В то время Вернер Гейзенберг работал в группе Нильса Бора в Копенгагене. Он активно обсуждал с Бором возможную физическую интерпретацию математического формализма, так что их беседы иногда затягивались до поздней ночи. В феврале 1927 г., когда Гейзенберг остался один в Копенгагене, поскольку Бор катался на лыжах в Норвегии, ему в голову пришла новая идея о том, как совместить волновое и корпускулярное описания одной и той же квантовой частицы (скажем, электрона). Как он сам рассказывал{147}, воспоминания о его беседе с Эйнштейном годом ранее сыграли решающую роль в его рассуждении:

«Это было около полуночи, когда я неожиданно вспомнил мои беседы с Эйнштейном и, в частности, его фразу: “Только теория решает, что является наблюдаемым, а что нет”. Я вдруг сообразил, что здесь-то и нужно искать ключ к загадке, которая так занимала нас [его и Бора]. Тогда я решил совершить ночную прогулку по парку, чтобы подумать над значением этой фразы Эйнштейна».

Именно во время этой ночной прогулки, когда он размышлял о значении фразы Эйнштейна, Гейзенберг открыл свои знаменитые «соотношения неопределенностей»{148}, которые гласят, что произведение «неопределенности» положения частицы и «неопределенности» ее количества движения (или импульса){149} обязано быть больше постоянной Планка h{150}.

Гейзенберг понял, что соотношения неопределенностей позволяют прояснить условия, при которых квантовую частицу можно одновременно описывать и как волну, и как частицу. Например, ранее казалось, что наблюдение в детекторах прямых треков частиц, видимых на макроскопическом уровне, обязывает описывать частицу исключительно как локализованную корпускулу. Однако соотношения неопределенностей показывали, что ненулевая ширина трека хорошо согласуется с проявлением волнового поведения частицы на масштабах расстояний, сравнимых с этой шириной.

Когда Бор вернулся из отпуска в Норвегии, Гейзенберг принялся с энтузиазмом объяснять ему свои новые идеи, возникшие на основе философского утверждения Эйнштейна («Только теория решает, что является наблюдаемым, а что нет»).

Между тем Бор имел собственные соображения по этому поводу и, в частности, был убежден, что интерпретацию квантовой механики необходимо основывать не на логической дедукции, продиктованной самой теорией (как предлагал Эйнштейн), но на новой эпистемологической концепции, введенной ad hoc для толкования квантовой теории и именуемой «принципом дополнительности». Как рассказывал Гейзенберг, в представлении Бора «дополнительность должна была описывать ситуацию, когда можно ухватить одно и то же явление двумя разными способами интерпретации (например, волновым и корпускулярным). Эти два способа должны были взаимно исключаться, при этом дополняя друг друга таким образом, что только суперпозиция двух моделей могла предоставить исчерпывающее описание феномена».

Спор между молодым Гейзенбергом (которому было тогда 25 лет) и Бором (чья работа 1913 г. существенно повлияла на развитие квантовой теории) набирал силу. Гейзенберг восхищался Бором как ученым и почитал его, как отца. Он ожидал, что Бор по достоинству оценит новизну концептуального продвижения, которое представляло собой открытие соотношений неопределенностей. Бор, однако, был весьма сдержан, он критиковал технические детали и, в частности, утверждал, что лишь его идея дополнительности является достаточно общей, чтобы служить основой согласованной интерпретации квантовой теории. Напряжение между двумя физиками нарастало, влияя на их личные отношения. Столкнувшись с непреодолимым упрямством Бора, Гейзенберг был вынужден оставить попытки убедить его в обоснованности общего эпистемологического подхода, предложенного Эйнштейном, и с неохотой принял необходимость использовать язык интерпретации, основанный на принципе дополнительности. Он самостоятельно опубликовал открытие соотношений неопределенностей и их следствий для интерпретации квантовой реальности, оставив Бора писать подробный трактат на тему принципа дополнительности, представленный им через несколько месяцев на Сольвеевском конгрессе осенью 1927 г.

Переломный момент

Пятый Сольвеевский конгресс, состоявшийся в Брюсселе осенью 1927 г., был важнейшим событием. Он стал переломным моментом не только для мирового сообщества физиков-теоретиков{151}, но и для научной карьеры Эйнштейна. На этом конгрессе Эйнштейн выступил в роли оппонента новой интерпретации квантовой теории, предложенной Бором на основе идей Борна (о вероятностной интерпретации амплитуды A), Гейзенберга (о соотношении неопределенностей), а также на основе концепции дополнительности. Физики-теоретики с большим интересом ожидали реакцию Эйнштейна. Для всех он был не только величайшим физиком современности, но и тем, чьи революционные идеи лежали в основе открытия и понимания квантовой реальности. Физики молодого поколения (Гейзенберг, Йордан, Паули и др.) боготворили Эйнштейна и видели себя его скромными последователями. Собирался ли духовный отец теоретической физики благословить в купели дополнительности новое квантовое дитя, которое все считали его собственным интеллектуальным отпрыском? Оказалось, нет! Эйнштейн не верил в интерпретацию квантовой теории, отстаиваемую Бором.

Для большинства разочарование было огромным. Некоторые (например, Пауль Эренфест) доходили до того, что сравнивали эйнштейновскую позицию в отношении новой квантовой механики с позицией противников теории относительности, ошеломленных новизной идей Эйнштейна и отказывающихся менять «свои старые представления». Я думаю, что весьма распространенное представление Эйнштейна в образе эдакого стареющего революционера, отвергающего новые квантовые идеи, поскольку они противоречат его представлениям о том, что есть a priori реальность, не является точным. Это не значит, что я считаю ошибочной позицию Бора и большинства физиков, последовавших за ним в разработке так называемой «копенгагенской интерпретации» квантовой теории. Далеко не так! С практической точки зрения консенсус, который был выработан на Сольвеевском конгрессе 1927 г. в отношении «копенгагенской интерпретации», способствовал развитию новых квантовых идей и позволил им найти приложения в различных областях физики. Значительная часть физики и техники XX в. базируется на применении квантовой теории (физика твердого тела, атомная физика, физика высоких энергий и т. д.){152}. Интерпретационная схема, предложенная Бором на этом Сольвеевском конгрессе, помогла «отбросить» неясные эпистемологические аспекты квантовой теории и начать исследование нового мира, открытого с помощью ее математического формализма. Однако сейчас, я думаю, настало время (в частности, в связи со столетием революционных идей, предложенных Эйнштейном в 1905 г.) более точно описать позицию Эйнштейна в отношении квантовой теории и заодно признать обоснованность его эпистемологических возражений, так же как и прозорливый характер его работ, сделанных после 1927 г.

По большому счету, я думаю, что Бору не удалось убедить Эйнштейна, поскольку идея дополнительности представляла собой лишь своего рода ширму, скрывающую концептуальную неясность и недостаточную техническую определенность. В письме Шредингеру (разделявшему его сомнения), написанном в мае 1928 г., Эйнштейн сравнил «копенгагенскую интерпретацию» с мягкой подушкой, на которой можно усыпить свой разум и не задаваться более вопросами о квантовой реальности:

«Успокоительная философия (или, даже лучше сказать, религия?) Гейзенберга – Бора так комфортно устроена, что выступает скорее в роли мягкой подушки, от которой истинно верующим нелегко оторваться».

Позднее (в 1939 г.), когда Бор еще более укрепился в статусе апостола дополнительности, ставшей панацеей от всех проблем интерпретации, указанных Эйнштейном, Шредингером и др., Эйнштейн (в письме Шредингеру) сравнил Бора с «мистиком, запрещающим любые вопросы о том, что существует независимо от наблюдателя…»