Семиотические исследования

В первой методологической программе были зафиксированы как эти идеи, так и первые результаты их реализации (схема двухплоскостного строения знания, представление мыслительного процесса в виде «атомов» мышления – конечного набора операций мышления, сведение операций к схемам знакового замещения и т. п.) (см. об этом: 97). При этом в ранних работах Г. Щедровицкого была принципиальная неясность. С одной стороны, он трактует знание в контексте мыслительной деятельности, и тогда оно редуцируется (сводится) к знаку. С другой стороны, он сохраняет эпистемологическую трактовку знания. В этом случае знание характеризуется как структура формы и содержания (форма представляет содержание, содержание представлено в форме). Введя понятие «знаковая форма», Г. Щедровицкий пытается удержать эпистемологичекую трактовку знания; настаивая на деятельностной природе мышления, он вынужден сводить знания к знакам.

Сегодня я решаю эту дилемму следующим образом. Знание не тождественно знаку. Семиотический процесс является операциональной несущей основой знания. Другими словами, чтобы получить знание, необходимы замещение, означение и действия со знаками. Но знание возникает в сознании человека как бы «перпендикулярно», при условии своеобразного удвоения действительности. В сознании человека, получающего и понимающего знание, под влиянием требований коммуникации (например, необходимости при отсутствии предмета сообщить о нем другим членам общества) предмет начинает существовать двояко – и сам по себе, и как представленный в семиотической форме (слове, рисунке и т. п.). Знание «слон» фиксирует не только представление о слоне, сложившееся в обычной практике, но и представление о слоне, неотделимое от слова «слон». В обычном сознании эти два представления сливаются в одно целое – знание, но в контексте общения (коммуникации) и деятельности они расходятся и выполняют разные функции. Так, именно второе представление позволяет транслировать знание и действовать с ним как с самостоятельным объектом, в то же время первое представление – необходимое условие формирования и опознания эталона.

Указанное здесь представление о знании (схема знания) в той или иной форме осознавалось многими философами. Например, Аристотель фиксировал различие знания и объекта, причем содержание знания в его системе часто совпадает с сущностью объекта. Кант говорил о созерцании: «Каким бы образом и при помощи каких бы средств ни относилось познание к предметам, во всяком случае созерцание есть именно тот способ, каким познание непосредственно относится к ним и к которому как к средству стремится всякое мышление» (33, с.127). Почему мышление ставится в зависимость от созерцания? А потому, что в знании одно представление фиксируется (отражается) в другом. Мышление, рассматриваемое в качестве способа получения знаний, т. е. познания, и определяется как способность отражения («описания») предмета, как созерцание. Другими словами, о знании мы говорим не только в контексте коммуникации, но и в контексте познания, для знака же познавательная деятельность не обязательна. Вот почему я утверждаю, что знание хотя и возникает на семиотической основе, к знакам не сводится. Коммуникация, замещение, означение и другие действия со знаками создают в сознании условия для поляризации целостного представления о предмете: одно из них осознается как знание, второе – как объект знания или его содержание.

Если сравнить первую методологическую программу с исходным замыслом А. Зиновьева, то налицо разительное отличие: мышление было представлено не как сложное органическое целое, стороны и аспекты которого постепенно раскрываются в исследовании при восхождении от абстрактного к конкретному, а в виде естественнонаучной онтологии. Мышление разбивалось на процессы, процессы на операции, каждая операция изображалась с помощью замкнутой структурной схемы, напоминающей по форме химическую, а исторический процесс развития мышления сводился к набору структурных ситуаций (разрыв в деятельности, изобретение знаковых средств, позволяющих преодолеть этот разрыв, образование на основе знаковых средств новых знаний и операций мышления). Все это действительно позволяло вести эмпирическое исследование мышления, но мышления, взятого лишь со стороны объективированных знаковых средств, его продуктов (знаний, предметов, теорий), детерминант мышления (проблем и задач), процедур разного рода (сопоставления, замещения и др.). По сути, анализировалось не мышление как форма сознания и индивидуальной человеческой деятельности, а «вырезанная» (высвеченная) естественнонаучным подходом проекция объективных условий, определяющих мышление; эта проекция, как известно, получила название «мыслительной деятельности».

Обратим внимание на подход, реализуемый в тот период. Выступая против формальной логики, Г. П. Щедровицкий, Н. Г. Алексеев, И. С. Ладенко видели преимущество и даже пафос содержательно-генетической логики, с одной стороны, в деятельностной ее трактовке, позволяющей по-новому анализировать форму и содержание знания (они сводились к объектам и операциям), с другой – в семиотической трактовке мышления. В соответствии с последней мышление понималось как деятельность со знаками, позволяющая схватывать результаты сопоставления объектов знания с эталонами (т. е. содержание) в определенной форме (знаковой) и затем действовать с этой формой уже как с целостным самостоятельным объектом. Другими словами, деятельностная и семиотическая трактовки мышления фактически были исходными, но до поры до времени рассматривались как способы описания мышления, а не основная изучаемая реальность. Еще один важный момент – установка на объяснение развития мышления. Именно по этой линии Щедровицкий и его последователи противопоставляли свой подход формальной логике и традиционной лингвистике, которые объясняли прежде всего функционирование мышление и языка.

Анализ ранних работ Г. П. Щедровицкого показывает, что семиотическая трактовка мышления во многом сложилась под влиянием идей Л. С. Выготского. В работе 1957 г. «Языковое мышление» и его анализ» Щедровицкий, с одной стороны, критикует Выготского, но с другой – заимствует, естественно, видоизменяя, его представление о мышлении (см.: 96). Так, с одной стороны, мышление Щедровицкий рассматривает как знаковое многоплоскостное замещение, возникающее на самой ранней стадии развития ребенка (см. работу Г. П. Щедровицкого «О строении атрибутивного знания» (93)), с другой – мышление, с его точки зрения, представляет собой решения задач и проблем, понятийный способ работы и т. п. «Итак, приступая к исследованию мышления, – пишет Г. П. Щедровицкий, – мы должны начать с непосредственно созерцаемого, с языка, – со слова… знак языка имеет значение и поэтому он отражает или выражает. Это значение входит в состав слова, является «моментом» его структуры, таким же ингредиентом, как сам знак» (96, с.456). Ближе к концу статьи Щедровицкий отмечает, что «мышление представляет собой особую деятельность (с образами природы), отличную от деятельности чувственного отражения. А это, в свою очередь, значит, что знаки языка, выражающие понятия, относятся к своему особому объективному содержанию особым образом, т. е. имеют особое специфически мысленное, понятийное значение» (96, с.463).

Второе обстоятельство, определившее формирование первой программы, связано с внутренней логикой работы самих методологов. Как я старался показать на первых «Чтениях», посвященных памяти Щедровицкого, при создании схем и понятий содержательно-генетической логики методологи субъективно руководствовались поиском истины и желанием понять природу мышления, однако объективно (т. е. как это сегодня видится в реконструкции) решающее значение имели, с одной стороны, способы организации коллективной работы – жесткая критика, рефлексия, обсуждения, совместное решение определенных задач и т. п., с другой – возможность реализовать основные ценностные и методологические установки самих методологов (естественнонаучный подход, деятельностный, семиотический, исторический, идею развития и др.). Не должны ли мы, следовательно, утверждать, что характер мышления методологов был обусловлен не только естественнонаучными и логическими установками, но и ценностями и особенностями того уникального сообщества (союза преданных идее людей), который в тот период сложился?

Следующий этап исследования, закономерно с точки зрения естественнонаучного подхода вытекающий из предыдущего, – анализ факторов и механизма, определяющих развитие мышления и знаний. Поскольку естественнонаучный подход ориентирован на практику инженерного типа, где и должны использоваться естественнонаучные знания, исследователь стремится не только описать в теории основные процессы, объясняющие поведение интересующего его объекта, но и выявить и проанализировать условия (факторы, механизмы), определяющие (детерминирующие) эти процессы. Такие условия содержат как другие процессы изучаемого явления, влияющие на основные процессы, так и компоненты, на которые исследователь может воздействовать практически (например, техническим путем). Но для методологов ММК в качестве практики выступала не буквально инженерная, а частно-методологическая и социотехническая, включающая в себя нормирование мышления и организацию деятельности специалистов-предметников (ученых, проектировщиков, педагогов, инженеров, менеджеров и т. д.).

Последний момент является исключительно важным. В начале 60-х годов методологи пришли в ряд научно-исследовательских и проектных институтов, где и пытались нормировать и организовывать мышление ученых, инженеров и проектировщиков. При этом представления о мышлении, полученные в ходе исследования его генезиса (прежде всего на материале математики и естественных наук), постоянно переносились на мышление самих методологов, а также мышление ученых, инженеров и проектировщиков, и наоборот. В то же время понималось различие всех этих трех типов мышления (исторического, методологического и предметно-дисциплинарного). В качестве еще одного момента можно указать на поиск органических основ развивающегося мышления, под которыми понимались механизмы и структуры, обеспечивающие подобное развитие мышления и знаний.

Поскольку нормирование и организация мышления других специалистов рассматривались в тот период как главное звено работы, как деятельность, приводящая к развитию предметного мышления, суть мышления стали видеть именно в деятельности. Постепенно деятельность стала пониматься как особая реальность, во-первых, позволяющая развивать предметное мышление (в науке, инженерии, проектировании), во-вторых, законно переносить знания, полученные при изучении одних типов мышления, на другие типы мышления. Теоретико-деятельностные представления о «пятичленке» (структуре, содержащей блоки «задача», «объект», «процедура», «средства», «продукт»), о кооперации деятельности и позициях в ней (например, кооперации «практика», «методиста», «ученого», «методолога»), блок-схемное представление «машины науки», схемы воспроизводства деятельности и др. (см.: 98; 99) позволили не только объяснить, почему происходило развитие тех или иных процессов мышления и появление в связи с этим новых типов знаний, но также использовать все эти схемы и представления в качестве норм и организационных схем по отношению к другим специалистам. Предписывающий и нормативный статус таких схем и представлений объяснялся и оправдывался, с одной стороны, тем, что они описывают деятельность и мышление специалистов (ученых, проектировщиков, педагогов, инженеров и т. д.), с другой – наличием в методологии проектной установки (в этот период участники кружка осознавали свое занятие уже не как построение логики, а как методологическую деятельность). Считалось, что методологи не только научно описывают деятельность других специалистов (и свою в том числе), но и проектируют ее, внося в схемы деятельности связи, отношения и характеристики, необходимые для ее более эффективной организации и развития.

А мышление? Сначала считалось, что анализ деятельности как раз и есть реализация установки на исследование мышления как деятельности. Затем была поставлена специальная задача: описать мышление в рамках деятельностной онтологии; при этом Г. П. Щедровицкий предложил использовать идеи системно-структурного подхода, синтагматики и парадигматики, а также сферы деятельности (см.: 99, с. 479). Но решена эта задача так и не была.

Все указанные особенности второго этапа развития ММК были изложены в ряде работ, которые сегодня можно рассматривать как вторую программу – программу построения теории деятельности. При этом, как показал дальнейший ход событий, эта программа оказалась довольно быстро реализованной: в течение нескольких лет было построено столько схем и изображений деятельности, что их с лихвой хватало на описание любых эмпирических случаев. В результате Г. П. Щедровицкий пришел к выводу, что теория деятельности построена (я отмечал на «Чтениях», что в конце 60-х годов Щедровицкий сказал мне в частной беседе: «Главное уже сделано, основная задача теперь – распространение теории деятельности и методологии на все другие области мышления и дисциплины»). Но этот финал можно понять иначе: исследования и мышления и деятельности прекратились, построенные схемы и представления были объявлены онтологией, реальность была истолкована как деятельность, а методологическая работа свелась к построению на основе этих схем и представлений нормативных и организационных предписаний для себя и для других специалистов. Если же описываемый материал все же сопротивлялся, схемы теории деятельности достраивались и уточнялись. Но вся эта работа шла в рамках закрепленной онтологии и убеждения, что ничего, кроме деятельности, не существует.

Если теперь суммировать характеристики контекста моих ранних семиотических исследований, то можно указать на следующие моменты.

1. Знаки в значительной степени отождествлялись со знаниями и трактовались как средства развивающегося мышления, позднее – деятельности.

2. Главными методологическими установками являлись установки на естественнонаучное объяснение, деятельность и развитие.

3. Знакам приписывались три основные функции: замещать объекты или другие знаки, фиксировать выявляемое в деятельности (при сопоставлении объектов с эталонами) содержание, становиться самостоятельными объектами деятельности.

4. Развитие мышления объяснялось в такой схеме. На определенной ступени развития складываются «ситуации разрыва» (социальные напряжения, проблемы), которые разрешаются за счет изобретения знаков и перестройки исходной деятельности. Деятельность со знаками (но не только она) является условием формирования последующих ситуаций разрыва.

Приведу теперь пример семиотических исследований того периода, опустив ряд непринципиальных моментов (работа в ее исходном варианте относится к середине 60-х годов).

§ 2. Семиотический анализ элементов древней «математики»

Слово «математика» я взял в кавычки, поскольку счет, вычисление площадей и объемов и т. п. – действия, которые сегодня действительно относят к математике, в культуре Древнего Египта, Вавилона, Греции, Индии, Китая (именно этот период меня интересует) понимались иначе, прежде всего как сакральные знания. Я же хочу взглянуть на них как на знаки, решая при этом три основные задачи: описать типы «математических» знаний, понять, как они могли возникнуть и как развивались, в частности, как складывались системы знаков, образующих тело древней «математики».

Понятия, необходимые для семиотического анализа, я заимствую из содержательно-генетической логики. Здесь знаки рассматриваются, во-первых, как элементы структуры знания, во-вторых, как объекты, к которым применяются различные операции, в-третьих, как средства мыслительной деятельности (в последней, помимо средств, различаются задачи, объекты, процедуры, методы и продукты). Знания и знаки в семиотическом исследовании изображаются специальными схемами:

(схема 1)

(схема 2)

(схема 3)

Элемент (А) в этих схемах называется знаковой формой, элементы X и Y – объектами, Δ (дельта) – действием сопоставления, ∇ (набла) – действием построения. Читаются эти схемы так: объект Х включается в действие сопоставления (т. е. сопоставляется по какому-либо отношению с общественно фиксированным эталоном); в результате возникает объективное содержание ХΔ, которое выражается (стрелка вверх) в знаковой форме (А). Далее возможны разные варианты. Например, знак А относится обратно к объекту Х (стрелка вниз). Или с его помощью в действии ∇ создается новый объект Y, сходный по каким-то параметрам с объектом Х. Или знаковая форма (А) уже в качестве объекта А в свою очередь включается в действие сопоставления (здесь смена функции знака обозначена символом ↔), результат сопоставления фиксируется в знаковой форме (С); «знак С» уже как объект преобразуется (операция ♠) в объект С', в свою очередь с помощью «знака С' можно, например, создать объект Y.

Знаки-модели

Действия с этими знаками по определенным параметрам сходны с действиями с объектами X и Y, которые эти знаки-модели замещают. Благодаря этому свойству знаки-модели используются вместо объектов, когда с последними по какой-либо причине невозможно действовать. В качестве примера могут быть приведены «числа» примитивных народов Австралии, Африки, Америки (а также иногда маленьких детей): пальцы, камешки, ракушки; письменная нумерация древних народов – | || |||… (так записывали числа 1, 2, 3 и т. д. древние египтяне и финикийцы), ……. (числа народов майя) (см.: 15, с. 22; 14, с.7).

Фактически характеристика некоторых знаков как знаков-моделей есть указание на способ их употребления, но вторичным образом она фиксирует и строение их знаковой формы (материала самого знака). Подобно объектам X и Y (т. е. подсчитываемым совокупностям предметов) «числа» древних народов представляют собой совокупности (пальцев, камешков, ракушек, черточек, точек). Их точно так же (точнее значительно легче, чем реальные предметы) можно делить на части, группировать, пересчитывать. Поэтому там, где по каким-либо причинам невозможно было действовать с реальными предметными совокупностями X и Y, делили, объединяли в группы, пересчитывали замещающие их «числа». На схеме употребление знака-модели М можно изобразить так:

(схема 4)

Здесь Х – объект, с которым нужно осуществить операцию (например, деление на равные части или сложение равных частей), но это почему-либо невозможно. Объект Х замещается знаком-моделью М, с которым действуют (операция ♠ – деление или сложение) вместо Х. В результате получается новый знак – число М', с помощью которого создается (отсчитывается) предметная совокупность Y с нужными свойствами (она в равное число раз больше или меньше предметной совокупности Х).

Рассмотрим теперь, как могли возникнуть некоторые виды знаков-моделей. Для этого реконструируем (в качестве модельного гипотетического случая) один аспект производственной деятельности по созданию многотонных гигантских статуй (идолов духов) на острове Пасха; фактическую сторону дела я заимствую из книги Тура Хейердала «Путешествие на Кон-Тики». Каждый идол состоял из двух частей – туловища и парика. Парики сразу по нескольку десятков штук делались из красного камня, а туловища – из серого камня, причем карьеры, где добывался серый и красный камень, располагались далеко друг от друга. Предположим, что счет еще не сложился, а в племени каждый мастер был на счету. Чтобы при соединении париков с туловищами не оставалось лишних частей и, следовательно, не пропадала зря рабочая сила (ведь в изготовлении каждого парика и туловища принимали участие много мастеров и на это уходили много месяцев, иногда даже один-два года), необходимо было заранее знать, какую по величине совокупность туловищ и париков необходимо вырубить из камня. Но если еще не сложился счет, сделать это невозможно (т. е. перед нами типичная ситуация разрыва).

Проблема была решена, когда для согласования двух совокупностей (X и Y – париков и туловищей) были использованы маленькие камешки (объекты М). Конечно, первоначально камешки рассматривались наряду с исходными предметными совокупностями, например как отходы производства. Использование камешков М в новой функции позволяет ликвидировать ситуацию разрыва. Камешки соединяются сначала с туловищами (например, в игре кто-то представляет их как будущие парики), а затем переносятся к парикам и соединяются с ними (теперь их представляют как будущие туловища). В этом употреблении функция камешков состоит в том, чтобы перенести некоторое «количество» туловищ к парикам и тем самым задать количество париков, равное количеству туловищ. Это стало возможным, поскольку камешки оказались обладателями счастливых свойств: их можно легко переносить, передавать от одного человека к другому, делить на части, группировать, хранить сколь угодно долго, они не разрушаются от употребления. Другими словами, я перечислил семиотические свойства – с помощью знаков разрешаются ситуации разрыва, их можно транслировать, они не разрушаются от употребления.

Рассмотренная иллюстрация позволяет также понять, что действия со знаками-моделями М тождественны действиям с объектами Х только по отношению к определенной группе свойств, точнее определенному использованию знаков (в данном случае эти свойства и употребление задаются понятием количества); относительно других употреблений ни о каком тождестве говорить не приходится.

Знаки-символы

Для этих типов знаков знаковые действия не тождественны действиям с объектами Х, которые знаки-символы замещают. Если, например, мы рассмотрим процесс «сложения» чисел 1 и 2 (1+2=3), то увидим, что эта операция по своему строению не имеет ничего общего с объединением в пространстве двух реальных совокупностей, что, скажем, имеет место, когда складываются два числа древних египтян | и || (к числу | присоединяют число || и получают число |||). Примером знаков-символов могут служить не только современные числа, но и число 10 древних египтян – ∩, и шумеров – ∠. Нетрудно заметить, что эти числа не представляют собой совокупности из десяти элементов, их нельзя пересчитать или разбить на части. Хотя на более раннем этапе египетское число 10 представляло собой именно десять черточек – ||||||||||.

Знаки-символы могут использоваться, во-первых, для тех же целей, что и знаки-модели (например, счета), во-вторых, для осуществления различных формальных операций (умножение, деление, сложение, вычитание и пр.), в-третьих, они подобно знакам-символам могут стать самостоятельными объектами. Рассмотрим одну иллюстрацию – использование египетских чисел для пересчета военного отряда, построенного в 7 шеренг, в каждой из которой стоит по 12 воинов. Сначала египетский писец пересчитывает количество шеренг и число воинов в каждой шеренге. Затем перемножает число 7 на 12 (в древнем Египте умножение осуществлялось путем многократного сложения и удвоения чисел). Слева я записал операцию умножения, как она делалась в Египте, а справа для понимания современными числами:

Теперь ту же деятельность я изображу как действия со знаками-символами С.

(схема 5)

Здесь Х – количество воинов в отряде, С и С' – числа 7 и12, ♠ – операция египетского умножения, С' – результат умножения, число 84.

Рассмотрим происхождение некоторых видов знаков-символов, например, как могло сложиться египетское число 10. Сначала, как я уже отмечал, числа записывались с помощью определенного количества черточек, т. е. знаков-моделей М. Однако при подсчете больших совокупностей предметов и операциях с соответствующими числами возникали проблемы: не хватало писчего материала, а простые действия сложения, вычитания, деления на равные части или умножения были исключительно утомительными и долгими. Здесь на помощь приходят вспомогательные (разделительные) знаки. Поскольку единицей устного счета была десятка, в практике совокупности чисел М (в нашей интерпретации – это знаки-модели) стали разбивать на группы из десяти элементов (десять человек составляли единицу в войсках, налог сдавали и собирали по десяткам единиц и т. п.). Разбитые на десятки числа М подобно прочим числам «складывались», «вычитались», «делились» на равные части. Чтобы не путать одни десятки с другими, каждая группа из десяти элементов отделялась от других специальным иероглифом – ∩.

Эти иероглифы выступали в роли особых знаков С, которые можно отнести к знакам-индексам. Когда возникли указанные выше трудности с большими числами, вместо того, чтобы действовать со знаками-моделями стали работать со знаками-индексами, поскольку их было в десять раз меньше, чем чисел.

(схема 6)

Здесь М' – числа, разбитые на десятки, С – иероглифы, разделяющие десятки между собой.

С изменением употребления знаков-индексов С постепенно изменился и взгляд на их природу: эти знаки начинают пониматься тоже как числа, но особые – каждое новое число рассматривается как эквивалентное старому числу |||||||||| (десять). Другими словами, знак С (о) начинает обозначать определенный знак М (число десять), т. е. становится знаком-символом. Получается, что знаки-символы фиксируют содержания, сложившиеся на основе употребления знаков-моделей.

Знаки-обозначения

Генетически это, очевидно, исходный тип знаков. Примером их являются отдельные слова и термины. Знаки-обозначения О используются прежде всего для целей трасляции: и их помощью фиксируются определенные содержания в некоторый момент времени в одном «месте» (ситуации) деятельности и восстанавливаются те же самые содержания в другой момент времени и в другом «месте».

(схема 7)

§ 3. Семиотическое «производство» Древнего мира

Рассмотрим теперь на двух примерах более сложные случаи использования знаков-моделей и знаков-символов. Оба примера относится к Древнему Египту и Вавилону, где сложились формулы вычисления площадей прямоугольных полей и способы решения задач, которые мы сегодня относим к уравнениям с двумя неизвестными. Но сначала о мировоззрении людей того времени.

Известно, что они верили в многочисленных богов и ни шагу не могли без них ступить. Совместное участие людей и богов в поддержании жизни и миропорядка в культуре древних царств было закреплено с помощью мифов и сакральных преданий. Их сценарий сводился к следующему: боги создали этот мир и порядок, заплатив за это своей жизнью или кровью, в благодарность люди должны приносить жертвы богам и исполнять установленные ими законы.

Но что конкретно означало для людей выполнение «договора», заключенного между богами и людьми при создании мира и самих людей? Ацтеки вели так называемые «цветущие войны», чтобы приносить своему богу-Солнцу кровавые жертвы (кровь пленных). Но это был крайний вариант развития событий. Обычно же речь шла о другом: о соблюдении законов, а также об отчислении весьма значительных налогов (главным образом, в натуральной форме – зерно, пиво, оружие, рабочая сила), идущих на содержание царского двора, армии и храмов богов. Но воспринимались эти налоги именно как жертва, как способ, совершенно необходимый, чтобы поддержать мир и порядок, чтобы боги выполняли свое назначение, без которого нет ни мира, ни порядка, ни самой жизни людей. Если же по какой-либо причине миропорядок нарушался, то это воспринималось как гнев богов и грозило гибелью всего. Поэтому нарушенный порядок стремились восстановить любой ценой, чего бы это ни стоило. Из этих усилий, как ни странно, рождались элементы сакрально понимаемых науки, права, астрономии, искусства. Проиллюстрируем последнее.

Например, геометрия, точнее практика, в которой использовались алгоритмы вычисления площадей полей правильной формы, а также их планы и расчеты элементов, была изобретена, когда нужно было восстанавливать границы полей, смываемых каждый год Нилом и Евфратом (см.: 14; 15; 44). И как еще, как ни катастрофу, мог древний египтянин или шумер понимать такой разлив: вода унесла межевые камни, какой теперь брать налог – неизвестно, а если налог не будет вовремя получен, боги разгневаются и отвернутся от человека, да и сама жизнь будет под угрозой. Но рассмотрим подробнее, как, например, сложился алгоритм вычисления прямоугольного поля.

Так как разливы рек смывали границы полей, перед древними народами каждый год вставала задача – восстанавливать границы, при этом необходимо было, чтобы каждый земледелец получил ровно столько земли, сколько он имел до разлива реки. Судя по археологическим данным и сохранившимся названиям мер площади, данная проблема частично была разрешена, когда размер каждого поля стали фиксировать не только границами, но и тем количеством зерна, которое шло на засев поля. Действительно, наиболее древняя мера площади у всех древних народов – «зерно» – совпадает с мерой веса, имеющей то же название.

(схема 8)

Здесь Х – поле, подлежащее восстановлению, Y – восстановленное поле примерно той же величины, М – количество мер зерна, идущее на восстановление поля.

Однако восстановление полей с помощью зерна не всегда было возможным или удобным: часто необходимо было восстановить поле, не засеивая его, засеивать можно было по-разному, получив больше или меньше площади, и т. д. Эмпирический материал подсказывает, что был изобретен новый способ восстановления полей: теперь для восстановления прямоугольного поля Y, равного по величине полю Х, подсчитывали количество оставленных плугом в поле гряд С (их толщина была стандартной), а также длину одной их гряд С'. В языке древних народов «гряда» – это не только название части поля, но и мера площади.

(схема 9)

Введение эталонной гряды, подсчет количества гряд и их длины тоже не разрешали всех затруднений, поскольку в древнем земледелии постоянно приходилось решать задачи на сравнение по величине двух и более полей. Предположим, имеются два поля, которые надо сравнить. В первом поле 25 гряд и каждая гряда имеет протяженность 30 шагов, а в другом – 50 гряд протяженностью в 20 шагов. Спрашивается, какое поле больше и на сколько? Сделать это, сравнивая числа, невозможно: у первого поля бо́льшая протяженность гряды, но, с другой стороны, меньше гряд. Однако поля можно сравнить по величине, если у них или одинаковое количество гряд или одинаковая протяженность (длина) гряды. Именно к этой ситуации старались прийти древние писцы и землемеры. Заметив, сравнивая урожаи полей, что величина поля не изменится, если длину гряды (количество гряд) увеличить в n раз, и соответственно количество гряд (длину гряды) уменьшить в n раз, они стали преобразовывать поля, но не реально, а в плоскости замещающих их знаков (чисел). Например, чтобы решить приведенную здесь задачу, нужно количество гряд в первом поле увеличить в два раза (25×2=50), а длину гряды, соответственно, уменьшить в два раза (30:2=15). Так как в Древнем мире обычно сравнивали большое количество полей разной величины (например, в Древнем Вавилоне сразу сравнивали несколько сотен полей), то постепенно сложилась практика приведения длины гряды к самой маленькой длине полей и, в конце концов, к единице длины (один шаг, локоть). Соответственно, чтобы не изменилась величина поля, количество гряд умножали на длину полей. Например, для полей, величина которых выражается числами – 10,40, 5,25, 15,20, 2,30, получалась следующая таблица:

или после соответствующих арифметических операций:

Поскольку слева всегда получается число 1, то величина поля выражается только числами и операциями в правом столбце, т. е. произведением длины гряды на количество гряд. Естественно предположить, что этот факт рано или поздно был осознан древними писцами, они стали опускать числа 1 левого столбца и построили принципиально новый способ вычислений: сначала измеряли количество гряд и длину средней гряды (у прямоугольного поля – это любая гряда, у трапециидального и треугольного – среднее арифметическое самой большой и самой маленькой длины), а затем вычисляли величину поля, перемножив полученные числа (14; 15; 44). Но если бы, например, шумерскому писцу, впервые нашедшему формулу вычисления площади прямого поля, сказали, что он что-то там сочинил или придумал, он бы все это отверг как кощунство и неверие в богов. Выводя данную формулу, он считал, что всего лишь описывает, как нечто было устроено богом, что сам бог в обмен на его усердие и богопочитание открывает ему знание этого устройства.

Рассмотренный здесь этап как действия со знаками можно записать так:

(схема 10)

Здесь ♠ – описанные выше операции преобразования с числами, вплоть до конечной – умножения числа С на С'.