Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Обход кривых, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, при помощи циркуля.

Пропорциональны ли две параллельные кривые? Параллельны ли две пропорциональные кривые?

В случае с ломаными линиями понятия параллельности и пропорциональности эквивалентны, так как любая ломаная есть часть многоугольника, а стороны подобных многоугольников параллельны. Это же верно и для дуг окружности. В таких случаях мысленное представление параллельных и пропорциональных кривых одинаково. Впрочем, если мы рассмотрим предельный случай, то заметим, что интуитивные представления о параллелизме и пропорциональности отличаются. К примеру, две следующие кривые параллельны в том смысле, что перпендикуляр, проведенный к первой из них в любой ее точке, будет перпендикуляром и ко второй, а часть этого перпендикуляра, заключенная между кривыми, всегда будет иметь одинаковую длину — иными словами, эти кривые располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга. Но ни одна из них не является уменьшенной или увеличенной копией другой, как в случае с пропорциональными кривыми.

Кривая, параллельная данной, не сохраняет углы исходной кривой.

На следующем рисунке можно четко увидеть, чем отличается исходная кривая или ломаная от линии, параллельной ей и расположенной на определенном расстоянии. Существуют две траектории, или кривые, параллельные углу прямоугольника, — внешняя и внутренняя. На внешней траектории угол исчезает, на внутренней образуется петля.

Внутренняя и внешняя параллели углу прямоугольника.

Продолжение описанной выше задачи можно увидеть в решетке церкви Сан-Феликс в городе Сабадель: в каждую из четырех внутренних окружностей вписано еще по четыре окружности.

Фрагмент розы в церкви Сан-Феликс в городе Сабадель в провинции Барселона.

Вы видите окружность, в которую вписаны четыре окружности меньшего размера, касающиеся друг друга. Их центры определяют квадрат. В каждую из четырех окружностей вписано еще четыре окружности по такой же схеме. Если мы продолжим неограниченно вписывать окружности по этому правилу, получим последовательность. Общее число окружностей в этой последовательности, С(n), будет определяться как сумма степеней 4:

C(n) = 1 + 4 + 42 + 43 +… + 4n = (4n+1- 1)/3

Однако мастеров интересовало не столько число окружностей, сколько соотношение между их радиусами. Если мы обозначим через R радиус большой окружности, то радиусы r четырех вписанных в нее окружностей будут равны:

2R = 2r + 2r√2 = > r = R/(1 + √2)

Подобная задача приведена в последней из обнаруженных на сегодняшний день сайгаку (мы уже говорили, что эта табличка была найдена в городе Тояма в 2005 году). Задача заключается в том, чтобы определить соотношение между r — радиусами восьми окружностей, расположенных в форме кольца и вписанных в другую, большую окружность, и R — радиусом большой окружности. В обобщенном варианте задачи требуется найти соотношение радиусов в случае, когда в большую окружность вписано не четыре и не восемь, а n окружностей, расположенных в форме кольца. Применив методы тригонометрии, получим решение:

Как видите, в Средние века математическая мысль существовала не только в Старом Свете. Архитектурные стили в самых разных частях мира строятся на диалоге круга и квадрата, поскольку эти геометрические фигуры играют главную роль во всех культовых сооружениях. На основе круга и (или) квадрата, параллельных и перпендикулярных прямых построены египетские пирамиды, вавилонские зиккураты, храмы, мавзолеи и другие религиозные сооружения.

Также на основе квадратов и кругов создаются самые разные трехмерные фигуры — полусферы буддийских ступ в Индии и Непале, увенчанные кубами, ступенчатые пирамиды доколумбовой Америки и даже спираль, устремленная в небо, в исламских мечетях Ближнего Востока.

Способ выражения верований — важнейшая часть культуры. Архитектура придает отношениям человека с богами осязаемую форму, и в религиозной архитектуре особую роль играет математика. В некоторых культурах математика также определяет обряды для верующих всех социальных групп. Например, на острове Бали женщины каждый день изготавливают емкости для подношений богам в форме различных геометрических фигур. При этом островитяне на практике воплощают математические идеи, воспринятые от родителей. Это знания, передаваемые из поколения в поколение, не связаны с формальной академической средой.

Человек, уважающий богов, не действует наобум. Он со всем тщанием подходит и к строительству храмов, и к посуде для подношений — если есть в жизни место совершенству, то именно в сфере религии. В свете всего вышесказанного можно утверждать, что совершенство во всех культурах связывается с геометрией, а математические идеи, созданные в разных культурах и описывающие эту взаимосвязь, объединяются понятием «этноматематика».

Глава 4

Как геометрия делает красивое прекрасным

Нельзя сказать, что использование геометрии само по себе делает вещи красивее. Но в названии этой главы мы хотим подчеркнуть, что во всех культурах высоко ценились качественно сделанные вещи, а качество во многих случаях достигалось именно благодаря математической точности. Именно в этом смысле Эрнст Гомбрих говорит о роли геометрии в искусстве в своей книге «Чувство порядка», посвященной декоративно-прикладному творчеству.

Действуйте геометрически

Аэропорты всего мира за несколько лет превратились в настоящие торговые центры. В них можно найти буквально все: киоски, аптеки, бары, рестораны, магазины часов, одежды, подарков и электроники. Пассажирам, ожидающим вылета, доступны самые разные товары.

Но магазинами дело не ограничивается: в некоторых аэропортах, в частности в сингапурском аэропорте Чанги, пассажиры могут посетить бесплатные выставки.

В одном из вестибюлей аэропорта были установлены панели экспозиции под названием «Go Geometric» («Действуйте геометрически»). В выставке подчеркивалась связь культуры и геометрии. Кроме того, посетителям предлагалось самим создать или воссоздать геометрические узоры, которые можно встретить в образцах архитектуры и декоративно-прикладного искусства народов Азии.

Выставка «Go Geometric» в сингапурском аэропорту Чанги.

На одном из стендов можно было напечатать на бумаге марку с особым узором — бесконечным узлом, одним из символов Будды. Этот узел так назван, потому что представляет собой линию, которую можно провести, не отрывая карандаша от бумаги. Обычно он используется в украшении самых разных предметов — так, его упрощенная версия украшает тарелку, изображенную на иллюстрации.

Стенд выставки в аэропорту Чанги и описи бесконечного узла на бумаге.

Почему этот узел называется бесконечным? Очевидно, потому, что он представляет собой циклическую линию. Если мы пройдем вдоль нее, начиная из любого места, то в конце концов вернемся в начальную точку. Эта линия непрерывная и замкнутая. Форма узла определяется сеткой, на которой он изображен, и расположением самой линии узла относительно сетки.

Две фигуры называются топологически эквивалентными, если одну из них можно получить из другой путем непрерывной деформации (без разрезов), и число отверстий в фигуре при этом не меняется. Так, топологически эквивалентны кольцо и рама картины. Аналогично, топологически эквивалентными являются бесконечный узел, изображенный выше, и следующая фигура. Кроме того, обе эти фигуры обладают осевой симметрией второго порядка (относительно поворота на 180°).

* * *

ТОПОЛОГИЯ

Топология — раздел математики, изучающий формы, но не размеры, то есть не длины, углы, площади или объемы. С точки зрения топологии все объекты мягкие и деформируемые. Если путем непрерывной деформации, то есть без разрезов и склеек, двум объектам можно придать одинаковую форму, такие объекты называются топологически эквивалентными. К примеру, все многоугольники топологически эквивалентны кругу. Это же можно сказать о многогранниках и сфере. Топологически эквивалентными также являются футболка и лист бумаги с четырьмя отверстиями. В топологии определяющим свойством фигуры является число ее отверстий. Кольцо топологически эквивалентно чашке, так как и кольцо, и чашка имеют одинаковое число отверстий, в отличие от стакана, в котором отверстий нет. Точно так же эквивалентными будут ложка и вилка, так как в них нет отверстий.

Цилиндр и кольцо топологически эквивалентны.

* * *

Цикл, обладающий осевой симметрией второго порядка, проходит через три вершины сетки на каждой стороне квадрата. Это же верно и в случае, когда на каждой стороне находится всего одна вершина.

Если число вершин сетки на каждой стороне квадрата четное, имеем другую разновидность цикла, с осевой симметрией четвертого порядка (относительно поворота на 90°).

За исключением случая, когда на каждой стороне располагается всего одна вершина, различные циклы такого типа (обладающие осевой симметрией четвертого порядка) можно определить для любого числа вершин на стороне квадрата, как четного, так и нечетного. Для сетки размером 4 x 4 это будут две вершины, для сетки размером 7 x 7 — три.

Если число вершин сетки на каждой стороне квадрата четное (сетка состоит из нечетного числа клеток), то не существует цикла, проходящего через все вершины и подобного исходному узлу.

Чтобы получить бесконечный узел, проходящий через все вершины сетки, нужно, чтобы число вершин на каждой стороне квадрата было нечетным, или, что аналогично, число клеток сетки — четным.

Теорема 1: Если сетка состоит из четного числа клеток, полученный узел будет бесконечным, подобно исходному, и будет обладать осевой симметрией второго порядка (относительно поворота на 180°).

Теорема 2: Для любого числа клеток сетки n2  при n = 2·k или n = 2·k + 1 определимы k циклов с осевой симметрией четвертого порядка.

Ранее мы показали, что в сетке из 49 клеток (n = 7 = 2·3 + 1) можно определить три цикла, обладающих осевой симметрией четвертого порядка. В сетке из 16 клеток (16 = (2·2)2) можно определить два таких цикла.

Вариации на тему симметрии

Геометрические узоры встречаются повсеместно и практически у всех народов. Первые геометрические петроглифы появились еще в древнейшие времена — их примеры найдены в пещере Бломбос (ЮАР) или в Раскрашенной пещере на Канарских островах (Испания). Узоры, созданные еще до нашей эры в Древнем Египте, Древней Греции и Византии, имеют более формальный характер. Уже в нашу эру римляне использовали геометрические узоры в мозаиках (расцвет этого вида искусства наблюдался в Венеции до начала эпохи Возрождения). В то же время был создан чисто геометрический римско-византийский узор, обладающий самоподобием (в этом он схож с фракталами).

Римско-византийский узор (ок. 700 года).

Основу этого узора составлял квадрат, разделенный на 16 клеток. Диагонали делят каждую клетку на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Один из них окрашивался в серый цвет, другой делился на четыре подобных ему треугольника. Один из этих маленьких треугольников окрашивался в светло-серый цвет, три оставшихся вновь делились на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Далее каждый из этих трех треугольников окружался еще тремя, таким образом получалось 3·3·16 = 9·16 = 144 новых треугольника. Эти действия могли повторяться бесконечно. На каждом этапе число треугольников утраивалось.

Этот узор обладает зеркальной симметрией вида cm, определяемой параллельными осями симметрии вдоль восходящих диагоналей каждой клетки.

Но есть культура, в которой искусство рисования геометрических узоров достигло поистине невероятных высот. Арабские узоры и мозаики встречаются на территории от Марокко до Индии и от Испании до Танзании. Их удивительную симметрию можно увидеть не только в мечетях, дворцах и медресе, но и в гостиницах, аэропортах и на самолетах. Исламские узоры берут начало в арабских узорах, созданных до 1000 года нашей эры.