Логика и аргументация: Учебн. пособие для вузов.

Посылки умозаключения являются энтимемами, поскольку большую из них можно превратить в полный силлогизм, добавив суждение: "Все, что противоречит истине, вызывает недоверие". Аналогично можно поступить с меньшей посылкой.

В заключение этого раздела обратим внимание на то, что теория, которую мы рассматривали до сих пор, не охватывает целого ряда силлогистических умозаключений и поэтому она называется узкой. В отличие от этого расширенная теория силлогизма анализирует такие формы силлогистических выводов, которые хотя и противоречат сформулированным выше правилам терминов и посылок, тем не менее приводят к логически необходимым и достоверным заключениям. Обратимся к конкретному примеру.

Некоторые грибы ядовиты.

Некоторые растения - грибы.

Некоторые растения ядовиты.

Как мы уже знаем, из двух частных посылок нельзя получить никакого заключения. Но это правило справедливо лишь для узкой теории силлогизма, в которой в качестве посылок используются простые атрибутивные суждения. Если же посылками являются выделяющие суждения, то полученное заключение будет вполне правомерным. Выделяющими называются суждения, в которых рассматривается не только отношение субъекта к предикату, но и предиката к субъекту. Например, в суждении "все ромбы - параллелограммы" объем субъекта составляет лишь часть объема предиката, ибо класс ромбов включается в класс параллелограммов. Поэтому, если мы рассматриваем приведенное суждение как выделяющее, тогда обязаны сказать, что все S есть Р, но не все Р есть S. Совсем иной характер имеет суждение "Все ромбы - равносторонние параллелограммы", потому что здесь объем субъекта полностью совпадает с объемом предиката. В этом случае выделяющее суждение будет иметь форму: "Все S есть Р, и все P есть S".

В узкой теории силлогизма учитывается только отношение субъекта к предикату, но не раскрывается отношение предиката к субъекту.

Если нам удается установить не только отношение субъекта к предикату, но и обратное отношение предиката к субъекту, т.е. использовать выделяющие суждения, тогда оказывается возможным обосновать логическую правомерность целого ряда силлогистических умозаключений, которые не охватываются узкой теорией силлогизма.

В приведенном выше примере объем понятия "грибы" целиком входит в объем понятия "растения", т.е. объем предиката входит в объем субъекта. Именно в силу такого выделяющего суждения в посылке, заключение оказывается правомерным, что наглядно можно представить с помощью круговых диаграмм изображенных на рис. 11.

Современный подход к силлогистике

Теория категорического силлогизма Аристотеля, как мы видели, рассматривает дедуктивные умозаключения из посылок, которые являются суждениями о принадлежности или непринадлежности свойства определенному классу предметов. Свойство же класса с современной точки зрения можно представить как функцию-высказывание с одной свободной переменной. Действительно, рассмотрим, например, функцию-высказывание Х > 0, т.е. множество всех положительных чисел. Как нетрудно понять, эта функция-высказывание выражает общее свойство всего класса положительных чисел. Аналогичным образом функция-высказывание "х обладает свойством проводить электричество" обозначает те и только те предметы, которым присуще указанное свойство. На основании этих примеров мы приходим к обобщению, что функцию-высказывание с одной свободной переменной можно заменить классом тех и только тех предметов, которые обладают некоторым общим свойством. Обратите внимание, что при этом переменная является единственной и свободной, т.е. не связанной с кванторами. Итак, всюду, где речь идет об общем свойстве предметов, его можно представить как функцию-высказывание или класс. Любой предмет, индивидуум или элемент класса, обладающий соответствующим свойством, будет принадлежать данному классу, что можно символически представить так:

x ∈ К,

где х - обозначает элемент;

К - класс таких элементов;

символ " ∈ "обозначает принадлежность элемента классу.

Эти соображения лежат в основе современного подхода к силлогистике, при котором рассуждения о свойствах заменяются рассуждениями о классах, а точнее, об объемах понятий классов.

Рассмотрим в этих целях основные отношения между классами, но предварительно введем некоторые новые понятия. Если каждый элемент класса K₁ есть одновременно элемент класса К₂, тогда класс K₁ есть подкласс класса К₂. Символически: K₁ ⊂ К₂ или К₂ ⊃ K₁. Говорят также, что класс K₁ входит или включается в класс K₂. Отношение включения обозначается символом "⊂".

Может случиться, что элементы одного класса будут элементами другого класса, а элементы последнего - элементами первого, т.е. если К₁ ⊂ К₂ и К₂ ⊂ К₁ , тогда К₁ = К₂.

Очевидно, что каждый класс может рассматриваться как подкласс самого себя, но в таком случае он представляет мало интереса, и поэтому такой подкласс называют несобственным. В отличие от этого собственным подклассом (частью класса) называют множество элементов, которые одновременно принадлежат обоим классам, причем элементы подкласса составляют лишь часть элементов класса.

Отношения между классами характеризуются следующими основными законами:

1. Для всякого класса К К ⊂ К.

2. Если K₁ ⊂ К₂, а К₂ ⊂ К₁, то К₁ = К₂.

3. Если К₁ ⊂ К₂, а К₂ ⊂ К₃, то К₁ ⊂ К₃.

4. Если К - не пустой подкласс класса L, и если классы L и М раздельны, то классы А и М также раздельны.

Первый из законов называется законом рефлексивности отношения включения, второй - законом тождества, третий - законом транзитивности, четвертый - характеризует взаимоисключение или раздельность подклассов, что наглядно видно на рис. 12.

Перечисленные законы вместе с некоторыми другими положениями составляют группу законов категорического силлогизма.

Отсюда можно заключить, что силлогистика, а также традиционная логика, основывающаяся на ней, может быть сведена к теории отношений между классами. Легко убедиться, что два произвольных класса К₁ и К₂ могут находиться друг к другу в следующих отношениях:

1) классы могут быть тождественными, т.е. К₁ = К₂;

2) класс K₁ может быть собственным подклассом К₂, т.е. К_{1 ⊂} К₂;

3) классы K₁ и К₂ частично совпадают или пересекаются;

4) классы К₁ и К₂ взаимно исключают друг друга или раздельны.

Такой переход от рассмотрения отношений между свойствами предметов к анализу отношений между классами предметов, обладающих этими свойствами, значительно облегчает исследование и, что особенно существенно, сводит традиционную силлогистику к теории отношений между классами. Отношения же между классами можно свести к исчислению одноместных предикатов. Для иллюстрации рассмотрим силлогизм модуса "Barbara", который в общем виде формулируется так: "Все М есть Р. Все S есть М. Поэтому все S есть Р", а символически записывается следующим образом:

(х) (М(х) → Р(х)), (х) (S(x) → М(х)) | = (х) (S(x) → Р(х)).

Предикаты, которые встречаются здесь, одноместные, выражающие отношение свойства к предмету. Современная же логика имеет дело с многоместными предикатами, характеризующими отношения между различными предметами. Отсюда становится ясным, что силлогистика составляет лишь небольшую часть логики предикатов. Поскольку, однако, силлогизмы формулируются на естественном языке, то они по-прежнему широко используются не только в повседневных, но и научных рассуждениях.

Условно-категорические и разделительно-категорические дедуктивные умозаключения

К несиллогистическим дедуктивным рассуждениям, которые изучались в традиционной логике и до сих пор часто используются на практике, относятся некоторые особые формы выводов. Большей частью они представляют собой комбинацию таких посылок, в которых категорические суждения объединяются с условными или с разделительными. Логически необходимый характер заключения в таких рассуждениях обеспечивается тем, что другие возможности вывода исключаются благодаря категорическому суждению.

Обратимся сначала к условно-категорическим умозаключениям, в которых одна посылка является условным суждением, а другая - простым категорическим суждением. Очевидно, что посылки такого рассуждения должны быть логически связанными друг с другом. Эта связь выражается в том, что термины, которые встречаются в категорическом суждении, должны также фигурировать либо в основании, либо в следствии условного суждения.

Условно-категорическое умозаключение имеет два правильных модуса. Первый из них называют утверждающим модусом (modus ponens).

Рассмотрим такой пример.

Если ток пропустить через проводник, то он нагревается.

Ток пропущен через проводник.

Следовательно, проводник нагревается.

Здесь вторая посылка, являющаяся категорическим суждением, подтверждает или обосновывает истинность основания условного суждения, а заключение утверждает истинность следствия. Условное суждение обычно начинается со слов "если", "поскольку", "так как", "потому что", которые предваряют его основание. Следствие же начинается словами "то", "поскольку" и т.п. С утверждающим модусом мы уже встречались при изучении суждений, но там речь шла о выводах из суждений, не расчлененных на субъект и предикат.

Утверждающий модус обычно используется для доказательства, когда удается обосновать истинность основания условного суждения, а тем самым доказать и истинность следствия.

Отрицающий модус (modus tollens) строится по аналогичной схеме, но в нем категорическое суждение во второй посылке отрицает следствие в условном суждении первой посылки. Рассмотрим пример:

Если ток пропустить через проводник, то он нагреется.

Проводник не нагрелся.

Следовательно, ток не был пропущен.

Этот модус служит для опровержения основания условного суждения, когда удается установить ложность его следствия.

Схематически утверждающий модус может быть представлен в следующем виде:

Если А, то В

А_

Следовательно, В.

Отрицающий модус представляется в такой форме:

Если А, то В

не-В

Следовательно, не-А.

Наряду с условной связью в математике и других точных науках широко используется эквивалентная связь между суждениями. Так, в теореме:

"Если в треугольнике углы равны, то и стороны его равны" умозаключение строится не по правилу утверждающего модуса, поскольку в данном случае используется дополнительная информация об эквивалентной связи между основанием и следствием.

Очень часто рассмотренные выше модусы употребляются не в развернутой, а в сокращенной форме, например: "Раз ток проходит через проводник, то он нагревается", поскольку при этом предполагается, что "ток действительно проходит через проводник".

Категорические суждения могут образовать посылки не только с условными, но и разделительными суждениями. Разделительно-категорическими умозаключениями называются такие, в которых одна из посылок - разделительное суждение, а другая - категорическое суждение. Разделительно-категорические умозаключения имеют два модуса.

Первый из них называется утверждающе-отрицающим модусом (modus ponendo tollens). В нем одна из посылок - разделительное суждение, другая - утверждает истинность одного из членов разделительного суждения.

Тела бывают твердые, либо жидкие, либо газообразные.

Данное тело газообразное.

Данное тело не твердое и не жидкое.

Схематическим этот модус может быть представлен так:

А либо В, либо С

А есть В

А не есть С.

Второй модус называется отрицающе - утверждающим (modus tollendo ponens), так как в нем категорическое суждение отрицает один из членов разделительного суждения, и поэтому заключение утверждает истинность другого члена разделительного суждения:

Тела бывают простые либо сложные.

Данное тело не простое.

Данное тело сложное.

Схематически:

А либо В, либо С

А не есть В

А есть С.

Обратите внимание, что во всех разделительных суждениях связка "либо" ("или") употребляется в исключающем смысле, т.е. утверждение одного из членов суждения исключает все другие члены. Поэтому, чтобы не допустить ошибки в разделительном суждении, необходимо перечислить все его взаимоисключающие члены. Например, из суждений (посылок) "Треугольники бывают остроугольные или тупоугольные" и "Данный треугольник тупоугольный" нельзя вывести правильного заключения, что "этот треугольник остроугольный", поскольку мы не указали в посылке существования прямоугольных треугольников.

Кроме условно-категорических и разделительно-категорических умозаключений существуют также чисто условные умозаключения, в которых обе посылки являются условными суждениями. Однако в сравнении с рассмотренными выше умозаключениями их модусы используются значительно реже, и мы их не будем специально касаться.

4.7. Логический анализ рассуждений в естественном языке

Исчисление предикатов дает возможность проводить логический анализ несравненно большего количества рассуждений, выраженных на естественном языке, чем исчисление высказываний. В самом деле, с помощью нового исчисления становится возможным представить символически количественные характеристики суждений. Именно для этого вводятся кванторы общности и существования, выражающие универсальные (общие) суждения и частные суждения. Но самое главное преимущество исчисления предикатов перед исчислением высказываний состоит в том, что оно дает возможность символически представить внутреннюю логическую структуру суждения. Такая структура выражается либо с помощью субъектно-предикатного отношения предмета (субъекта) и его свойства или признака (предиката), либо n-местного отношения между различными предметами.

Повседневные и многие научные рассуждения обычно ведутся на естественном языке. Но, как уже неоднократно упоминалось, такой язык развивался в интересах легкости общения, обмена мыслями в ущерб точности и ясности. Логические исчисления строятся для того, чтобы обеспечить необходимую точность нашим рассуждениям, вскрывать возникающие при этом ошибки и исправлять их. В простейших случаях такой анализ можно провести с помощью исчисления высказываний, в котором мы отвлекаемся от логической структуры суждений и рассматриваем их как нечто единое целое, как далее неразложимые атомы рассуждения. Но средств этого исчисления оказывается явно недостаточно, когда приходится анализировать многие наиболее распространенные рассуждения не только в науке, но и в повседневном мышлении. Силлогистика Аристотеля, как мы видели, охватывает неизмеримо больший класс рассуждений, но она оставляет вне рассмотрения рассуждения, в которых фигурируют различные типы отношений. Точный анализ именно таких отношений играет существенную роль в научном познании, в особенности в математике и ее приложениях, в точном естествознании. Поэтому возникновение логики отношений значительно раздвинуло границы применимости логического анализа. С другой стороны, применение символического языка и точных математических методов в новой символической логике, обогащенной логикой отношений, в огромной степени повысило эффективность, строгость и точность такого анализа.

Перевод рассуждений с естественного языка на язык исчисления высказываний, как мы видели в предыдущей главе, наталкивается на серьезные трудности потому, что сильно искажает реальный процесс рассуждений, в котором интересуются не только различными связями суждений друг с другом, но и структурой самих суждений. Исчисление предикатов дает возможность более адекватно отобразить рассуждения, ведущиеся на естественном языке.

Для исчисления предикатов прежде всего устанавливается универсум рассуждения или предметная область объектов, о которых идет речь. Заранее устанавливать, из каких именно объектов состоит универсум рассуждения, не требуется. Достаточно допустить, что такой универсум существует. Далее следует выбрать предикаты (или пропозициональные функции), с помощью которых формулируются логические отношения между переменными. Каждый из выбранных предикатов становится высказыванием, когда все его переменные принимают какое-либо значение из универсума рассуждений, т.е. когда переменные становятся объектами (элементами) универсума рассуждения. Полученное высказывание будет либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно. Затем выбирается соответствующая символика для окончательного перевода естественного рассуждения на язык исчисления предикатов. Разумеется, при этом приходится делать определенные упрощения, ибо логика ставит своей целью исследование связи мыслей в рассуждении, выводов из одних суждений к другим.

Преимущество исчисления предикатов перед силлогистикой Аристотеля состоит не только в более широком анализе различных видов умозаключений, но и в точности и ясности получаемых заключений. В этом можно убедиться, если представить в символической записи категорические суждения, которые рассматриваются в силлогистике Аристотеля. Общеутвердительное суждение в исчислении предикатов записывается в виде: (х) (S(x) → Р(х)), где S и Р обозначают соответственно субъект и предикат. Общеотрицательное суждение можно представить как ¬ (Ex) (S(x) ∧ Р(х)), частноутвердительное - как (Ex) (S(x) ∧ Р(х)), частноотрицательное - как (Ех) (S (х) ∧ ¬ Р(х)).

При переводе с естественного языка на символический как раз и обнаруживается двусмысленность употребления общих суждений, подобная той, которая связана с использованием в разговорном языке союза "или". В предыдущей главе, говоря о союзе "или", мы различали его употребление во включающем и исключающем смысле, т.е. объединительную и разделительную дизъюнкцию. Аналогично этому при логическом анализе общих суждений атрибутивного характера нет необходимости предполагать заранее универсум

рассуждения пустым множеством, хотя и в повседневных рассуждениях. В аристотелевской силлогистике также считают, что такой универсум является непустым множеством. Однако в современной логике допускают, что в суждении "Все S есть F" множество может оказаться и пустым, а само суждение следует тогда считать истинным. Подобных трудностей не возникает с употреблением частных суждений, где существование по крайней мере одного объекта множества постулируется квантором существования.

Современный подход к интерпретации общих категорических суждений более предпочтителен хотя бы потому, что заранее не всегда известно, пуста или не пуста область значений субъекта с определенными предикатами, т.е. существуют ли предметы с данными свойствами. Для того чтобы представить аристотелевскую интерпретацию силлогистики, достаточно дополнить символическое представление общего категорического суждения квантором существования.

Проверьте себя

1. Почему предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию? Пусть предикат выражает отношение "больше" по величине между числами: х > у.

1) При каких значениях х и у он образует истинные и ложные высказывания?

2) Тот же вопрос, если х = у.

2. Что называют универсумом рассуждения?

1) Определите универсум рассуждений формул х2 + 1 = 0 и х2 - 1 = 0.

2) Каков универсум определения "Все четные числа делятся на 2"?

3) Определите универсум рассуждения "Все студенты нашей группы получают стипендию".

3. Чем отличаются свойства от отношений и как они выражаются символически?

Переведите на символический язык следующие утверждения: