Логика для юристов: Учебник.

а) p, q, r, s, p₁,q₁,... — пропозициональные символы (пропозициональные переменные);

б) , , , ,  — логические термины (логические константы);

в) (,) — скобки.

Определение формулы:

а) пропозициональная переменная есть формула;

б) если А есть формула и В есть формула, то A, (А  В),(A  B), (А  В), (А  В) — формулы;

в) ничто иное не есть формула.

Согласно определению, выражения (рq), ((рq)  (р  r)),  p, r являются формулами, а выражения (p  q) , r ,  (р  s) — нет.

Примем соглашения об опускании скобок в формулах. Будем опускать внешние скобки. Условимся считать, что знак  связывает теснее, чем знаки , , , ; знак  — теснее, чем , , ;  — теснее, чем , ;  теснее, чем . Исходя из сказанного, в формулах ((рq)  (rs)), (р  (р  q)) можно опустить скобки следующим образом:

р  q  r  s,  р  (р  q).

Упражнение 4

Восстановите скобки в следующих формулах:

1. р  q  r;

2.  q  ( p  r)  q;

3. р  q  р  r  р  q;

4. р  q  r  р  (q  r).

При табличном построении логики высказываний логические константы определяются посредством таблиц истинности. При этом принимается, что каждое высказывание имеет одно значение — или “истина”, или “ложь”.

Приведем эти табличные определения логических констант еще раз:

А	В	А  В	A  В	А  В	А  В
и	и	и	и	и	и
и	л	л	и	л	л
л	и	л	и	и	л
л	л	л	л	и	и

Назовем формулу, являющуюся пропозициональной переменной, элементарной, формулу, содержащую логические константы, — сложной. В сложной формуле можно выделить логическую константу, называемую главной логической константой формулы. Поясним, как это можно сделать.

Каждую сложную формулу логики высказываний можно единственным образом представить в виде  А, или А  В, или A  В, А  В или А  В. Буквами А и В здесь обозначаются формулы, являющиеся частями сложной формулы. Подформулы, конечно, в свою очередь могут быть сложными формулами.

Представив таким образом сложную формулу, мы выделяем в ней последнюю по построению логическую константу, которая и называется главной логической константой формулы.

Найдем главную логическую константу формулы  p  q  p  q.

Восстановим скобки в этой формуле:

(( p  q)  (р  q)).

Эту формулу единственным образом можно представить в форме А  В. Ее главным знаком является знак импликации. Можно представить в виде “дерева” процесс построения этой формулы:

р				q
i				^
^р		<l	Р
1^		^	^	^
Ьр	V			(pn^q)
	2			4
	^			i

p q

↓ ↓

 p q p  q

1↓ ↓ ↓ 3↓

( p  q) (p q)

2 4

↓ ↓

(( p  q)(p q))

5

Стрелки показывают, что из формул (или формулы), от которых они направлены, образована формула, к которой они направлены. Цифры под логическими константами указывают порядковый номер константы по построению формулы. Последняя по построению константа имеет номер 5.

Упражнение 5

Найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул.

1. (р  q)  r  р r;

2. р  q  r р ( q r);

3. ((p q)  q)  q;

4.  (р р ).

Построим таблицу истинности для формулы р q  q. В таблице под главной константой формулы будем писать истинностные значения формулы в целом. В этой формуле главной логической константой является знак импликации. Чтобы установить истинностные значения всей формулы, необходимо установить истинностные значения подформул, составляющих ее, т.е. формул р q и  q. Истинностные значения этих формул будем соответственно писать под логическими константами  и . В результате получим таблицу истинности:

p	q	р q  q
и	и	и л л
и	л	и и и
л	и	и л л
л	л	л и и

Проанализируем первую строку таблицы. В первой строке пропозициональные переменные р и q имеют значение и. Чтобы установить истинностное значение формулы в целом, следует установить истинностные значения подформул р q и  q . При значении и переменных р и q р q имеет значение и, при значении и переменной q формула  q имеет значение л, что видно из таблиц истинности для дизъюнкции и отрицания, приведенных выше.

p	q	р q  q
и	и	и л

Оказывается, антецедент формулы в целом, являющейся импликацией, имеет значение и, а консеквент — л. В приведенной выше таблице для импликации в этом случае импликация имеет значение л:

p	q	р q  q
и	и	и л л

Можно упростить построение таблиц истинности, если значения пропозициональных переменных писать под переменными, входящими в саму формулу.

В приведенном выше табличном определении отрицания всего две строки, а в определениях для конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности — по четыре строки. Как установить число строк в таблице в общем случае, т.е. как установить, сколько может быть различных возможных наборов значений переменных, входящих в формулу?

Число строк в таблице истинности определяется по следующей формуле: число строк таблицы = 2n, где п — число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу, а число 2 показывает число истинностных значений (и, л).

Учитывая сказанное, построим таблицу истинности для формулы:

(р  (q  r))  ((р  q)  (р  r)).

Формула содержит три различные переменные. Следовательно, число строк в таблице = 2n, 23=8. Разделим число строк пополам и напишем под первой пропозициональной переменной (первой слева) в столбик четыре раза и и четыре раза л:

(р  (q  r))  ((р  q)  (р  r)).

и

и

и

и

л

л

л

л

Каждую половину всех строк, т.е. в данном случае каждые четыре строки, в свою очередь разделим пополам и напишем под второй по вхождению слева пропозициональной переменной, отличной от первой пропозициональной переменной, в обеих половинах строк два раза и и два раза л:

(р  (q  r))  ((р  q)  (р  r)).

и и

и ___и_______________________

и л