Млечный Путь №2 (2) 2012

В июле 2001 года, когда АИ умер, стояла тяжелая, испепеляющая жара, словно обесцвечивающая все вокруг. И теперь, думая о его смерти, я вспоминаю эту погоду – и сразу мир делается поблекшим, похожим на застиранную рубашку. Да, боль утраты неизменна, она остается. Но рядом с ней – и ощущение счастья, которое мне принесла наша дружба длиной почти в четверть века, и благодарность судьбе за то, что эти годы – были …

Юрий Лебедев Не гладко даже на бумаге…

...

Опыт прочтения статьи Револьта Ивановича Пименова «Дифференциальные уравнения: насколько они оправданны?»

Револьт Иванович Пименов (1931–1990). Кто он? Вот краткий синопсис значимых событий его биографии. В 1949 году 18-летний Револьт Пименов, сын бывшего сотрудника ВЧК, написал заявление о выходе из комсомола «из-за расхождения его убеждений с существующими требованиями к комсомольцу», за что был помещен в психиатрическую лечебницу, но получил там справку о психическом здоровье. После этого закончил матмех Ленинградского университета по специальности «математик» и… создал нелегальную политическую организацию! За это был арестован в 1957 г. и осужден на десять лет. Во время отбытия наказания написал ряд работ по космологии и лингвистике и в 1963 г. досрочно освобожден по ходатайству академиков М. В. Келдыша, В. И. Смирнова и поэта А. Т. Твардовского. Освободившись, работал научным сотрудником Ленинградского отделения Математического института им. Стеклова Академии наук СССР, где в 1965 г. защитил кандидатскую диссертацию «Тензорная теория полуэвклидовых и полуримановых пространств», а в 1969 г. докторскую по теме «Пространства кинематического типа», хотя диплом о присуждении ученой степени доктора физико-математических наук получил только в 1988 г., поскольку в 1970 г. был снова арестован и осужден к пяти годам ссылки за распространение самиздата. Отбыв ссылку, работал в Коми филиале АН СССР, был одним из первых переводчиков на русский язык книги Дж. Толкина «Властелин колец». На его лекции по истории русской революции собиралось огромное количество народа со всего Сыктывкара. В 1989 г., академик А. Д. Сахаров специально приезжал в Сыктывкар чтобы поддержать выдвижение кандидатуры Р. И. Пименова в состав Верховного Совета СССР, которые он, к счастью для истории России, проиграл, ибо в 1990 г. был избран депутатом Верховного Совета РСФСР и, как член Конституционной комиссии, является одним из соавторов первого варианта новой конституции России.

О чем речь?

В одном мгновенье видеть Вечность,

Огромный мир – в зерне песка,

В единой горсти – бесконечность,

И небо – в чашечке цветка.

У. Блэйк

Какую же «единую горсть» выбрать для представления читателю огромного пименовского мира? Политика, история, философия? Описывать политическую деятельность Р. И. Пименова и те страдания, которые выпали через нее на его долю, все равно что рассказывать только о том, что Антуан Лоран Лавуазье был откупщиком и казнен за это.

Да и сам Револьт Иванович эту сторону своей жизни относил не к своей деятельности, а, скорее, к неизбежному проявлению своей моральной конституции.

Думается, самое правильное – обратиться к главному делу его жизни – космологии. Именно ее Р. И. Пименов считал своей основной специальностью. Но пименовское рассмотрение космологии основано не на физико-философском основании, а на математике. Хотя, по свидетельству его брата Н. И. Щербакова, «Р. И. считал себя космологом, математиком он представлялся людям несведущим в математике и незнающим что такое космология вообще. Математика же была для него простым инструментом». Но, как всякий истинный профессионал, Револьт Иванович понимал, что плодотворно работать можно только с «хорошим инструментом». И потому я рассмотрю только одну его работу: «Дифференциальные уравнения: насколько они оправданны?».

Через нее многомерный и глубокий талант Р. И. Пименова открывает читателю совершенно неожиданное видение будущей естественнонаучной картины Мироздания. Вместе с тем, ее судьба каким-то мистическим образом подобна судьбе самого автора.

Она размещена в Интернете, но ни один «серьезный» математический или философский журнал или сборник так и не предоставил своего пространства для ее размещения. И, по сообщению Н. А. Громова, соратника и ученика Р. И. Пименова, «в списке научных работ Р. И. Пименова… такая статья не значится».

Не вдаваясь в детали, сообщу, что при содействии известных философов И. А. Акчурина, В. И. Аршинова, В. В. Тарасенкова она появилась в одном из разделов сайта Института философии РАН – на сайте Московского международного синергетического форума http://www.synergetic.ru/science/differencialnye-uravnenia-naskolko-oni-opravdany.html.

Второй попыткой прорыва к читателю является файл, выставленный на сайте Российского междисциплинарного семинара по темпорологии.

http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/pimenov_diffury/pimenov_diffury.htm

Размышления о прочитанном привели к убеждению – осознание «внематематического смысла» специальных математических понятий меняет картину мироздания.

Если я прав, т. е. если в математике возникли действительно «взрывоопасные» для современной научной картины мира идеи, то знать об этом должны все, кто основывает свое мировоззрение на научной базе. И сами математики, и физики, и лирики и даже бюрократы всех степеней – все, кто живет и строит свои жизненные планы, не сомневаясь, что, если сверкнула молния, то вслед за этим громыхнет гром, что, если удастся весело доказать читателю, что понедельник начинается в субботу, – обязательно станешь знаменитым, что, наконец, «если долго мучиться, то что-нибудь получится».

Конечно, понять специфику устройства таких «математических мин» для человека, далекого от новейших открытий естественных наук, совсем не просто. Но, как говаривал Евклид еще 2300 лет назад, «в геометрии нет особого пути даже для царей». И 23 века поисков таких путей к успеху не привели. Так что тот, кто решит проверить правильность моего убеждения об идеях Р. И. Пименова, должен помнить мудрость М. Е. Салтыкова-Щедрина: «Не к тому будь готов, чтобы исполнить то или другое, а к тому, чтобы претерпеть».

Тех, кого не испугало это предупреждение, приглашаю последовать за мной в мир абстракций и чисел. Итак, что же новое открыл Р. И. Пименов в математическом инструментарии естествознания?

Принцип причинности

Часто простое кажется вздорным,

Черное белым, белое черным.

Мы выбираем, нас выбирают,

Как это часто не совпадает…

М. Танич

Если перевести содержание эпиграфа на физико-математический язык, то окажется, что эти строки выражают чрезвычайно сложную и фундаментальную философскую и естественнонаучную проблему ВЫБОРА. Ее можно сформулировать так:

нас ли выбирают обстоятельства (законы природы и начальные условия) для совершения тех или иных действий, или мы сами выбираем варианты поведения из предоставленных нам законами природы возможностей?

Первый вариант отражает концепцию детерминизма – движения по времени в соответствии с «объективными законами природы», предписывающими однозначную цепочку событий: причина – следствие. Пример: если шарик находится на гладкой горке (причина), то он обязательно скатится к определенной точке ее подножия (следствие). И, зная начальное его положение и «географию горки», мы по законам механики всегда можем вычислить положение в любой последующий миг. А если он находится на вершине? По какому склону он покатится? И тут детерминизм дает четкий ответ – ни по какому! Но стоит сместить шарик чуть-чуть (на бесконечно малое расстояние, на «дифференциал» от вершины) и точно знать, куда именно мы его сместили, детерминистические законы механики снова точно укажут результат его движения.

И в простых, и в более сложных случаях «наличие в природе дифференциала» определяет возможность предсказания поведения всей системы.

Напомню читателю смысл этого фундаментального математического понятия. По сути оно очень просто. Утверждается, что «кривую» линию можно заменить последовательностью маленьких отрезков прямой. Причем таким образом, что основные математические свойства исходной линии (ее суммарная длина, области пространства, через которые она проходит) почти не изменяются. Важно подчеркнуть, что это «почти» может быть сделано таким маленьким, что отличие не будет обнаружено при любой заданной степени точности. И до середины XX в. считалось, что такую операцию можно проделать с любой кривой.

Дифференциал – это и есть тот отрезок прямой, которым заменяют истинную кривую на коротком участке с соблюдением указанного условия. Коротком настолько, что его называют «бесконечно малым». Естественно при этом, что дифференциал не имеет никакой внутренней структуры и равномерно заполнен точками.

Физическим следствием такой математической процедуры является появление принципа причинности – если в данной точке кривой лежит начало «отрезка дифференциала» (причина), то в его конце однозначно возникает другая точка – следствие.

Второй вариант – это вариант со «свободой воли». Квантовая неопределенность – это только другая форма этого понятия. Здесь именно она, таинственная, но реальная способность к «свободному выбору» значения пары «причина – следствие» определяет направления движения во времени и творит действительность.

Что же осознал Р. И. Пименов? Оказалось, что техническое в математике понятие дифференциала незаслуженно заняло место физико-философского принципа причинности. Почему это произошло?

Непрерывность и причинность

Я много лет пиджак ношу,

Давно потерся и не нов он.

И я зову к себе портного

И перешить пиджак прошу

Б. Окуджава

Теперь перейдем к разбору сути эссе Р. И. Пименова. Оно посвящено обсуждению применимости традиционного математического аппарата к физической природе вещей.

Аппарат этот чрезвычайно сложен. Но, вслед за Р. И. Пименовым, нас будет интересовать «дифференциально-топологический этаж» математического здания. О дифференциале было сказано выше. Теперь рассмотрим еще два математических понятия – топология и гладкость .

В «Большом толковом словаре современного русского языка» Д. Н. Ушакова дано такое определение: «ТОПОЛО́ГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos – место и logos – учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур ( т. е. независящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т. п.)». Более строго можно сказать, что топология – это конкретное средство объединения близких элементов множества в особые непрерывные подмножества.

Важно отметить, что современная топология имеет дело не только с геометрическими множествами (линиями, фигурами, телами), но и с любыми множествами.

Конкретизируя математические абстракции, можно отметить, что очень богато топологиями, например, множество живущих на Земле людей – человечество. Расы, языки, темпераменты, ментальности, профессии и многие другие виды общностей могут являться конкретными топологическими принципами объединения людей в реальные целостные подмножества.

В математике топология занимается изучением в самом общем виде проявлений непрерывности пространства, т. е. его свойств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях – изгибах, растяжениях, сжатиях, скручивании и т. п. без разрывов .

В отличие от метрических геометрий, в топологии не рассматриваются свойства объектов, характеризующиеся расстоянием между парой элементов (точек). И топологически эквивалентными оказываются, например, куб и сфера. Надуйте резиновый куб, и он превратится в сферу!

Теперь о гладкости – «главном герое» эссе Р. И. Пименова. Вот как характеризует он современное понимание гладкости в математике: «…дифференциальная топология установила, что гладкость является совершенно самостоятельным объектом, НЕ ВЫВОДИМЫМ и НЕ СВОДИМЫМ ни из, ни к другим конструкциям».

Дифференциальная топология – это раздел топологии, основанный на аппарате дифференциального исчисления. И именно аксиомы математического анализа (прежде всего, существование бесконечно малых величин и их свойства) и являются основаниями для описания гладкости пространства.

Здесь хотелось бы предупредить читателя от одного распространенного заблуждения. Пространство в математике и физике – это не «бесструктурная и бесформенная пустота». В математике у пространства есть две обязательные характеристики – размерность и метрика. Размерность определяется по числу независимых характеристик (измерений), которые необходимы, чтобы определить точку в этом пространстве. А метрика – это способ задания расстояний между точками пространства. Например, две точки на шаре разделены расстоянием, которое может измеряться «по прямой» (в земных условиях – это прямой туннель из, скажем, Москвы до Иерусалима), а может – по «геодезической», которая равна кратчайшему маршруту самолета на этой трассе.

Чаще всего рассматривают и обсуждают обычное евклидово пространство n измерений. (Напомню, что евклидовыми называют те пространства, расстояния между точками которых измеряются так, как мы определили для «прямого туннеля» – по теореме Пифагора). И, если не оговаривается особо, то по умолчанию принимают n = 3. Чаще просто потому, что мы считаем «наше физическое пространство» трехмерным евклидовым. Но после открытия неевклидовых геометрий и гиперкомплексных чисел в поле зрения математики попали и многие другие пространства, и сегодня их со всеми вариациями и обобщениями существует, вероятно, не меньше, «чем Донов Педров в Бразилии».

Если отвлечься от математического «птичьего языка», то гладкость можно и не определять. Она «дана нам в ощущении» даже в отсутствие зрения, просто «на ощупь». Того же мнения о сущности гладкости придерживается и известный космолог Брайан Грин: «Понятие “гладкости” имеет конкретный математический смысл, но общеупотребительное значение слова “гладкость” хорошо передает суть этого понятия: гладкий – значит без складок, без проколов, без отдельных “нагроможденных” друг на друга кусков, без разрывов. Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит».

Обратим внимание – Б. Грин говорит здесь о гладкости трехмерного пространства. Это, как будет видно из дальнейшего, весьма важное обстоятельство!

Итак, существование дифференциала порождает гладкость во всех геометриях. А гладкость порождает причинность.

Все ли в этом мире гладко?

Кому-то стало дурно,

Казалось, жуть минуты

Простерлась от Кинбурна

До хуторов и фольварков

За мысом Тарканхутом.

Б. Пастернак

Математический аппарат дифференциального исчисления, основанный на представлении гладкости пространства, использовался и используется физиками для описания реальности во всех ее масштабах: от микромира стандартной квантовой механики с ее уравнениями Шредингера и Дирака, до макромира и даже всего универса в СТО и ОТО Эйнштейна, во всех мыслимых диапазонах скоростей и масс взаимодействующих тел.

Что из всего этого следует? Р. И. Пименов пишет: «…Сложившуюся ситуацию вроде можно было бы описать такими словами: фактически для оправдания как парадигмы дифференциальных уравнений, так и парадигмы детерминированности, использовался НЕЯВНЫЙ ПОСТУЛАТ о выделенности гладких движений».

Почему «парадигма детерминированности» или, другими словами, «стрела времени», попала в один ряд с парадигмой дифференциальных уравнений? Это стало неизбежным в начале XX века, когда физики осознанно ввели новый конструкт – «пространство-время», в котором время объединялось с пространством посредством особой метрики Минковского. И с тех пор детерминизм – однозначная связь прошлого с настоящим и будущим – стал элементом конструкции четырехмерного множества пространства-времени.

И до середины XX века «все было в порядке». Но вот, замечает Р. И. Пименов, «в семидесятые годы XX века Мандельброт выпустил книгу, где собрал богатый материал, убедительно вводивший в практический оборот многие из казавшихся безнадежно “абстрактными”, “заумными”, “патологическими” математических конструктов.

Заумными и патологическими их считали потому, что в них было невозможно ввести понятие дифференциала. Любой их самый маленький элемент (отрезок, площадка, объем) оказывался “сложно устроенным” и не имел “бесструктурных областей”, необходимых для существования дифференциалов.

И канторовы дисконтинуумы, и покрывающая всю плоскость кривая Пеано, и ковры-кривые Коха и Серпиньского выглядят теперь как обнаруженные в реальности “главы” из “геометрии природы”; они помогли понять лунный пейзаж, скопления галактик и многое другое столь же невыдуманное, а глазам предлежащее».

Ковер Серпиньского. Алгоритм его построения таков: берется квадрат, тремя горизонтальными и тремя вертикальными прямыми делится на девять равных квадратов и центральный удаляется (вырезается). На следующем шаге точно так же поступают с оставшимися восемью квадратами. В результате, при бесконечном числе итераций, из квадратной плоскости получается фантастический ковер, состоящий из бесчисленного количества квадратных дырок, площадь основы которого стремится к нулю.

Здесь не место описывать и разъяснять подробно новую «парадигму фракталов». В том смысле, который отражает взгляд Р. И. Пименова, можно характеризовать фрактал как не обязательно гладкое самоподобное множество. Проще говоря, любой элемент фрактала при увеличении масштаба его рассмотрения оказывается похожим сам на себя при прежнем масштабе. Посмотрите еще раз на ковер Серпиньского. Каждая его темная площадка при рассмотрении в микроскоп оказывается таким же «дырявым ковром», как и изображенный на рисунке. И чем сильнее увеличение микроскопа, тем на более глубоком уровне мы обнаруживаем это странное свойство. И нет предела такого углубления!

Для тех, кто не знаком с математическими описаниями фракталов, лучше всего будет набрать это слово в любом интернет-поисковике и любоваться неожиданными красотами графического выражения этих «”заумных” математических конструктов».

Например, таким, какой изображен на первой странице обложки журнала.

Для нас сейчас важно осознать, что с появлением фракталов укрепилось представление о том, что дифференциальные уравнения – не универсальное средство описания физической реальности! Загадочное свойство «фрактальной размерности» реальных объектов никак не соответствует ни математическому, ни «житейскому» пониманию гладкости пространства.

С появлением фракталов стало ясно, что ни уравнение Шредингера, ни уравнение Эйнштейна, казавшиеся универсальными инструментами, пригодными в принципе для описания любой физической реальности, как раз в принципе не только для любой, но и для нашей таковыми не являются. Не все гладко в нашем мире!

Мы выбираем!

Берите все, что видите, на веру,

Рыдайте вслух и радуйтесь взахлеб,

А жизненного опыта химеру

На этот случай сдайте в гардероб!..

Л. Филатов

Некоторое время можно было надеяться, что все-таки большинство известных физических явлений хотя бы приблизительно можно описать с помощью дифференциальных уравнений.

Анализ, выполненный математиками, показал, что в случаях размерностей 1,2,3 и даже отчасти 5 и 6, это соответствует математической реальности. И, поскольку мы считаем наше физическое пространство трехмерным, то его характеристика, данная Б. Грином, вполне корректна.

Но, как сообщает Р. Пименов, «…Обнаружилось, что в размерности четыре ситуация совершенно иная. В той самой размерности, которая нужнее всего физике. Ибо физике нужна еще координата t сверх координат ( x, y, z ): без t вообще о детерминации и говорить нелепо. Прежде всего, оказалось, что существуют такие 4-многообразия, на которых НЕЛЬЗЯ ВВЕСТИ НИКАКОЙ ГЛАДКОСТИ… Обнаружено, что на R4 существует несколько… различных гладкостей…»

Это утверждение Револьта Ивановича хорошо иллюстрирует доказанная в 1976 г. американскими математиками Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном теорема о том, что ЧЕТЫРЬМЯ различными красками можно раскрасить бесконечное число различных карт. А карта – это как раз топологическое многообразие. Как подсказал мне математик и блестящий толкователь «математических премудростей» А. В. Коганов, которому я признателен за весьма полезные замечания, множество RM можно сопоставить известной детской развивающей процедуре раскрашивания картинок: «каждый ретушер может выбрать свои цвета для деталей контурного изображения. И набор всех возможных раскрасок аналогичен множеству всех отображений множества деталей в множество цветов». А цвета – это «топологическая размерность».

Более того! Математика утверждает, как пишет Р. И. Пименов, что «… Даже в тех случаях, когда гладкость существует, она НЕ ЕДИНСТВЕННА для размерностей, начиная с 4… Объекты для разных гладкостей устроены существенно по-иному, они не изоморфны, значит, надо уметь ВЫБИРАТЬ СРЕДИ ЭТИХ ОБЪЕКТОВ. А мы не умеем. Нам не было нужды прежде проводить такой выбор, и мы не научились.

Может быть, мы научимся справляться с релятивностью гладкости. Не знаю. Я ведь пишу не о будущем, а о прошлом и о настоящем. В настоящем мы не умеем, в прошлом мы и не подозревали, что должны уметь».

Вот ключевая мысль пименовского эссе! Здесь Револьт Иванович обращает внимание на то, что разные гладкости не изоморфны.

Изоморфизм – «одинаковость формы». А если нет изоморфизма, значит, пространства имеют разные структуры, а неизоморфные объекты и «устроены по-разному».

Так, бурные политические события на рубеже тысячелетий привели к тому, что политические карты мира 1990 и 2011 гг. топологически совершенно разные объекты!

Почти одновременно с Р. И. Пименовым на экзотические гладкости и их применение к теории пространства-времени в 1987 году обратил внимание и А. К. Гуц, который тогда же обсуждал эти проблемы с Р. И. Пименовым.

Итак, даже в «классических случаях», описываемых «нашим» четырехмерным пространством-временем, мы, оказывается, каким-то образом ВЫБИРАЕМ среди множества РЕАЛЬНЫХ форм существования объектов только одну и живем в этом своем выборе!

Каков механизм этого выбора, как конкретно описать его математически – это и есть «прикладные вопросы», над которыми нужно работать. При этом, как заметил А. К. Гуц, «главная трудность состоит в том, что сама гладкость как-то не описывается без гладкости. Чего-то мы пока не понимаем».

Но вывод из «абстрактно-математических» результатов дифференциальной топологии вполне очевиден: физическое многомирие с математической точки зрения возможно.

Это ясно и самому Р. Пименову, который так говорит о мировоззренческих следствиях своего анализа применимости дифференциальных уравнений для описания реальности: «А это означает, что все, что писалось о детерминизме в XVIII–XX веках, НАДО ЗАЧЕРКНУТЬ. Ведь если у нас нет критерия „абсолютно различить“ гладкую траекторию от негладкой… то спрашивается, по каким же траекториям переносится „настоящее“ физическое воздействие?.. Вся идеология использования дифференциальных уравнений для детерминации будущего на основе настоящего и прошлого рушится из-за релятивизации гладкости… Детерминизм не был „выведен логически“ или „доказан математически“. Мы всего лишь ВЕРИЛИ В ДЕТЕРМИНИЗМ».

Со времен Лапласа принято считать, что у всякого следствия есть однозначная причина. «Классический математик» переводит это на математический язык – у любой функции есть дифференциал. В этом и состоит сущность лапласовского детерминизма.

После осознания сказанного Р. И. Пименовым, этот детерминизм, как мировоззренческий принцип, перестает быть всеобщим.

И круг задач, которые подчиняются парадигме дифференциальных уравнений, уже не всеобъемлющ. А среди первых разделов физики, актуальные интересы которых выходят за его пределы, следует указать на современную космологию.

Причинность в космологии

Тебе, Чей Сумрак был так ярок,

Чей Голос тихостью зовет, -

Приподними небесных арок

Все опускающийся свод.

А. Блок

Будучи именно космологом и понимая, что вслед за ним пойдут другие исследователи, не столь искушенные в математике, Р. И. Пименов подчеркивает: «Предупредим одно возражение, недоразумение, которое может родиться у нематематика, знакомого все же с достижениями современной физической космологии. В последней оживленно обсуждаются „сингулярности“, исследуются те или иные „особые точки“, где перестают быть применимыми методы дифференциальных уравнений. Может показаться, будто бы это и есть те самые „негладкие модели“, о которых мы пишем. Нет… Это особенности в УЖЕ СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ГЛАДКОСТИ. Нынешняя космология может (при усилии) справиться с КОНЕЧНЫМ числом особых точек, тогда как нарождающаяся концепция… скорее склонна к моделям, где особых точек бесконечно много и где они распределены всюду плотно, т. е. НЕУСТРАНИМО. Прибегнув к несколько легкомысленному сравнению, скажем так: упоминание в современной космологии сингулярностей подобно выезду горожан-туристов на лоно природы, максимум с одной-двумя ночевками и с прихваченными собою дарами города. А теория „непрерывного-не-гладкого“ подобна безвыездной жизни в тайге от рождения».

Это было написано 11 мая 1988 г. в Сыктывкаре, вдалеке от крупных научных центров, где он, как мы знаем, оказался совсем не по своей воле. Тем не менее «общий план» поля научного действа Р. И. Пименов видел удивительно ясно – современные ему космологические исследования в своем большинстве действительно были подобны «выезду горожан-туристов на лоно природы…»

Но в отдельных точках этого поля уже тогда возникли удивительные ростки новой теории – космологической инфляции. С 1980 года ее развивали известный советский физик А. А. Старобинский, американец А. Гут и, особенно интенсивно и плодотворно, скромный и робкий в те времена сотрудник ФИАН им. П. Н. Лебедева, А. Д. Линде. Его работы тех времен сегодня – космологическая классика.

И почти через 30 лет после оценки Р. И. Пименова, 10 июня 2007 года, в переполненном конференц-зале ФИАН им. П. Н. Лебедева, Андрей Дмитриевич Линде – теперь уже знаменитый космолог, профессор физики Стэнфордского университета – читал лекцию о сегодняшнем состоянии этой теории. В ней он, в частности, рассказывал о новом космологическом объекте, особенно ярко «проявившемся» в ходе развития этой теории – мультиверсе, или физическом многомирии. Вот как представил Андрей Дмитриевич один из вариантов «энергетической карты» этого объекта:

Комментируя этот слайд, А. Д. Линде сказал: «Каждый из этих пиков на самом деле является экспоненциально большой Вселенной, и в каждой из них свои законы физики, и они все еще продолжают меняться».

Нет, это не «миры Эверетта», не альтерверс. Это – мультиверс, один из четырех типологических видов физического многомирия по Тегмарку. Не правда ли, этот «пейзаж Мироздания», увиденный современной космологией, по своему духу и настроению уже отчетливо напоминает то, о чем Револьт Иванович писал как о «безвыездной жизни в тайге от рождения»? Но ясно, что математическая «теория „непрерывного-не-гладкого“» многомирия будет еще сложнее. И в «математическом дворце» кроме башни дифференциальных уравнений с лапласовской причинностью появится новый архитектурный элемент, какая-нибудь «пименовская галерея», с которой будет легко и удобно рассматривать детали строения «мультиверса по Линде».

Дорога в тысячу ли…

Дорога в тысячу ли начинается с одного

шага, – гласит пословица. Жалко, что от него

не зависит дорога обратно, превосходящая многократно

тысячу ли. Особенно отсчитывая от «о».

Одна ли тысяча ли, две ли тысячи ли…

И. Бродский

Ее строительство, собственно, уже началось. Как сообщил мне А. К. Гуц, еще «в Кишеневе (1988) я сказал Пименову о мысли использовать топосы для описания гладкого пространства-времени. Мысль проста – не задавать гладкость – неясно как это делать без гладкости – а написать синтетическую аксиоматику, т. е. формальную теорию, среди множества моделей которой будут разные гладкие модели. Его реакция была скорее отрицательной: его обескуражила возможность безобразно большого числа моделей. Мультиверс – так сейчас это называется! Ему хотелось сделать все традиционными методами. Но он меня поддержал. Дал силы. Уже на обратном пути, в самолете я сделал первые наброски. Моя статья вышла уже после его смерти в ДАН СССР и стала первой статьей по применению топосов в теории относительности». И, как отмечает Александр Константинович, «возможно, неединственность гладкости – это путеводная звезда». С ним согласен и профессор С. В. Сипаров: «В ходе построения финслеровой теории анизотропного пространства-времени выявляется неизбежность перехода от привычных гладких функций к функциям более широкого класса». А. В. Коганов отмечает, что «в точке, где нет гладкости изменения параметров процесса, появляется возможность продолжать процесс многими способами, поскольку возможные касательные к траектории заполняют некоторый сектор пространства. И это дает математическую модель свободы волевого выбора пути».

Однако, с сожалением констатирует А. К. Гуц, «больно сложно здесь продвигаться». Сложно настолько, что за прошедшие десятилетия после пионерских работ Р. И. Пименова и А. К. Гуца первая книга о разнообразии гладкостей вышла только в 2007 г. в Сингапуре.

… Вот что я вижу в тексте статьи Р. И. Пименова сегодня. Разумеется, у другого читателя может возникнуть иное восприятие, ведь, как гласит пословица, «свой глазок – смотрок!». Возможно, я чего-то не понял, возможно даже, что и Револьт Иванович в чем-то ошибался. Уж очень сложен лабиринт, в который превратилась современная математика.

Но безусловно одно – эту статью следует читать внимательно и многим. Тем, кого я убедил, будет важно утвердиться в новом отношении к принципу причинности. Те, кто не согласился со мною, должны найти в первоисточнике опровергающие мои рассуждения аргументы. Увлечение же молодого читателя, еще только ищущего объект приложения своих интеллектуальных сил, на огромную стройку математического дома, туда, где после обучения и овладения необходимым «инструментарием», он смог бы самостоятельно трудиться на постройке «пименовской галереи», которой сегодня очень не хватает энтузиастов-профессионалов, я считаю одной из главных целей этой своей статьи.

Эссе Р. И. Пименова о проблеме выбора. И далеко не только в математике: и физик, и философ, и просто любой «думающий человек» постоянно сталкивается с ней и постоянно ее решает. И я ставлю читателя перед выбором: принять ли вызов, брошенный Револьтом Ивановичем парадигме детерминизма, или верить в то, что «слаб человек и от нас ничего не зависит – прошлые причины породили нынешнее настоящее и мостят дорогу в неизбежное будущее…»

Михаил Шульман Новости космологии

Скорость света – все-таки предел!

В прошлом обзоре рассказывалось о бурной дискуссии по поводу того, что скорость движения потока нейтрино оказалась больше скорости света. Первые сообщения о регистрации мюонных нейтрино, движущихся со сверхсветовой скоростью, появились 23 сентября 2011 года. Тогда удалось установить (эксперимент группы OPERA), что нейтрино из CERN приходят в Гран-Сассо в среднем на 60 наносекунд раньше расчетного времени. Получалось, что частицы движутся с 1,0000248 световой скорости. И вот 8 июня 2012 года информационный портал «Лента. Ру» сообщил, что в этой дискуссии поставлена точка (http://www.lenta.ru/news/2012/06/08/cern/) : CERN официально опроверг информацию о сверхсветовых нейтрино.

По словам Серджио Бертолуччи, директора по исследованиям CERN, данные о сверхсветовых скоростях частиц стали результатом ошибки эксперимента, которую удалось обнаружить благодаря данным «конкурирующих» с OPERA экспериментов – Borexino, ICARUS и LVD. Во всех четырех экспериментах измерялись времена прибытия нейтринных пучков.

За несколько последних месяцев появилось большое количество разных объяснений удивительного явления, как теоретических, так и связанных с практической реализацией эксперимента. В частности, французские и итальянские астрофизики выдвигали гипотезу о том, что «сверхсветовые нейтрино» могут объяснить наблюдаемые свойства загадочных гамма-всплесков (http://lenta.ru/news/2011/09/27/grb/) .

На самом же деле все оказалось просто: оптико-волоконный кабель от приемника GPS был плохо соединен с компьютером. Между тем, расчеты времени прохождения сигнала по кабелю очень чувствительные к таким, казалось бы, маловажным деталям. Когда сугубо технический недосмотр исправили, физики заново вычислили, за какое время оптический сигнал проходил по кабелю – это время оказалось меньше на те самые 60 наносекунд!

http://lenta.ru/news/2012/02/23/neutrino/

Кто открыл расширение Вселенной?

Большой интерес научного сообщества вызвала дискуссия об истории главного открытия современной астрофизики – расширения Вселенной.

Как известно, в 1917 году Альберт Эйнштейн вывел из своих фундаментальных уравнений общей теории относительности решение для статической модели. В 1922 году российский физик Александр Фридман обнаружил, что уравнения Эйнштейна допускают динамическую Вселенную, однако он не связывал это открытие с астрономическими наблюдениями. За исключением Эйнштейна, который не считал динамические решения физически состоятельными, никто не обратил внимания на работы Фридмана. И только в 1927 году еще один выдающийся теоретик – бельгийский ученый и католический священник Жорж Лемэтр – также нашел нестационарное решение уравнений Эйнштейна. Если Фридман исследовал эти уравнения с чисто математических позиций, без каких-либо попыток связать их со свойствами реальной Вселенной, то совершенно независимая работа Лемэтра, напротив, была прямо вдохновлена идеей установления этих свойств в самом практическом смысле.

Лемэтр не только предложил решение (намного более ясное с физической точки зрения), в котором теоретически был сформулирован закон расширения Вселенной, но и проанализировал данные, полученные из наблюдений Эдвина Хаббла 1926 года о расстояниях до внегалактических объектов и данные Алана Слайфера по красным смещениям линий в спектрах галактик. С помощью этих данных Лемэтр впервые получил численную оценку коэффициента пропорциональности между скоростью удаления галактики и расстоянием до нее. Позже этот коэффициент получил название «параметр Хаббла».

Тем временем к 1929 году выдающийся американский астроном Эдвин Хаббл, проведя многочисленные тщательные измерения расстояний до галактик и их радиальных скоростей, сформулировал знаменитый закон, носящий его имя. Этот закон гласит, что подавляющее большинство галактик удаляется от нас, причем скорость удаления галактики пропорциональна расстоянию до нее. Такой вывод был сделан на основании эффекта смещения спектральных линий света, приходящего от галактик; этот эффект принято называть «красным смещением», а его связь с радиальной скоростью первоначально связывали с эффектом Доплера. Об этой связи первым написал сам Лемэтр в своей статье, хотя фактически из его анализа следовал иной (не кинематический) механизм явления – теперь его связывают со «старением» фотонов в процессе расширения Вселенной. Мы еще вернемся позже к обсуждению этого вопроса.

Так вот, тема проходившей в последнее время дискуссии была следующей: пытался ли Хаббл при издании перевода статьи Лемэтра на английский язык в 1931 году умалить роль Лемэтра, изъяв из перевода параграф, где автор статьи вычисляет значение коэффициента пропорциональности, ссылаясь на данные наблюдений.

В электронном Архиве научных публикаций (http://arxiv.org) , который в настоящее время является наиболее оперативным и полным источником серьезной научной информации по физике, астрономии и космологии в Интернете, не так давно появился ряд публикаций, авторы которых тщательно исследовали историю появления, редактирования и публикации английской версии статьи Лемэтра. Обсуждение было весьма эмоциональным, приводились аргументы и соображения в пользу того, что Хаббл вполне был способен сознательно подвергнуть статью цензуре (или как-то косвенно повлиять на редакцию), чтобы выпятить собственную роль в открытии. (Об этом можно прочитать в статьях: arXiv:1107.2281v2; arXiv:1108.0709v1; arXiv:1106.3928v2).

Наконец, в номере журнала «Nature» (10.11.2011) появилась статья израильского ученого, работающего в США, Марио Ливио «Тайна перевода статьи Лемэтра раскрыта» (Mario Livio «Mystery of the missing text solved»). Чтобы найти окончательный ответ, он получил разрешение от библиотекаря Королевского Астрономического Общества и шеф-редактора авторитетного журнала « Monthly Notices of the Royal Astronomical Society » изучить протоколы и переписку Совета Королевского Астрономического Общества за 1931 год. В результате архивного поиска Ливио обнаружил два решающих документа, из которых следовало, что английский текст статьи был написан самим Лемэтром, и пресловутый параграф из французского первоисточника он не включил в нее, поскольку объем астрономических данных увеличился, и они были хорошо известны к тому времени. Таким образом, репутация Хаббла оказалась восстановленной [16]

Особо отметим, что эта современная историко-научная дискуссия вовсе не о приоритетах. Сегодня, когда авторами крупных научных открытий являются, как правило, большие научные коллективы, индивидуальный приоритет «уходит в тень». Но важно, что добросовестность и добропорядочность ученых была и остается краеугольным камнем научной этики. И рассмотренная выше ситуация с «открытием» сверхсветовых нейтрино и, в еще большей степени, с их «закрытием», особенно показательна в этом отношении.

Эффект Доплера или «растяжение» световой волны?

Вернемся, однако, к объяснению «красного смещения». В 1927 году Ж. Лемэтр предпринял попытку объяснить этот эффект на основе общей теории относительности (ОТО) применительно к расширяющейся Вселенной. Хотя он использовал термин «эффект Доплера», фактически его модель явления опиралась не на величину относительной скорости (т. е. на кинематический фактор), а на величину расстояния до галактики в момент излучения ею фотона. Такая модель основана на фундаментальном утверждении общей теории относительности о том, что свет распространяется по геодезическим мировым линиям с постоянной скоростью. Геодезические линии – это линии кратчайшего расстояния между точками в пространстве данной кривизны. На плоскости они являются прямыми, а на сфере – дугами.

Из постоянства скорости следует, что в процессе пространственного расширения Вселенной пропорционально «растягивается» и время . Далее Лемэтр рассмотрел моменты излучения и наблюдения переднего и заднего гребней световой волны: поскольку на этапе наблюдения интервалы времени растянуты относительно этапа излучения . Он и сделал вывод о «красном смещении» светового кванта.

Наблюдения подтверждают вывод о растяжении времени: так, теоретически стандартный период времени между основными фазами кривой яркости сверхновой при наблюдениях действительно оказывается пропорциональным удаленности сверхновой от земного наблюдателя. Поэтому объяснение красного смещения, предложенное Лемэтром, является общепринятым. Однако такое объяснение входит в фундаментальное противоречие с законом сохранения энергии во Вселенной. Поскольку энергия светового кванта однозначно определяется длиной его волны – чем больше длина волны, тем меньше энергия, – то, если длина волны растет (квант «краснеет»), энергия световых квантов в процессе расширения Вселенной уменьшается. Но куда исчезает этот избыток энергии? Если энергия кванта в процессе движения не передается ничему, то ее уменьшение может иметь место лишь при нарушении закона сохранения энергии; если же квант терял бы часть своей энергии («старел»), передавая ее другим фотонам или частицам среды, то направление его движения изменялось бы, изображения далеких галактик были бы расплывчатыми, нечеткими и размытыми тем сильнее, чем дальше эта галактика находится. На самом же деле изображения как близких, так и далеких галактик достаточно четкие и не зависят от их удаленности от наблюдателя.

Поэтому появились работы, в которых изучалась возможность использования эффекта Доплера для объяснения красного смещения. Так, в недавней работе Фульвио Мелиа из США (arXiv:1202.0775v1) обращается внимание на весьма интересное обстоятельство: точно такое же выражение для параметра красного смещения получается в статической метрике (точнее, в шести различных моделях статической метрики), где расширение Вселенной вообще не имеет места, и речь может идти только об эффекте Доплера.

Более того, в работах Банна и Хогга ( Bunn, E. F., Hogg, D. W. 2009, AmJPh, 77, 688 (BH9) , а также М. Ходоровского (Michał J. Chodorowski, arXiv:0911.3536v3) авторы обосновывают тезис, согласно которому космологическое красное смещение имеет чисто кинематическую природу .

Однако, вопреки этим результатам, в работе Браека и Элгароу (Simen Braeck and Oystein Elgaroy, arXiv:1206.0927v1) выводится точная формула для космологического красного смещения. В правой части этой формулы стоит произведение обычного выражения для релятивистского ( кинематического ) эффекта Доплера и хорошо известного «гравитационного» отношения радиусов кривизны Вселенной в моменты излучения и наблюдения света для космологического красного смещения. Из формулы следует, что для сопутствующих наблюдателей, т. е. наблюдателей, движущихся вместе со световым квантом, красное смещение является эффектом, обусловленным исключительно расширением Вселенной, и оно может рассматриваться в качестве эффекта Доплера только тогда, когда расстояние между наблюдателем и источником света обращается в нуль (о переводах этих работ см. выше сноску 1). Что ж – дискуссия продолжается…

Ускоряется ли расширение Вселенной?

В обзоре научных новостей предыдущего выпуска мой коллега, ведя речь о присуждении Нобелевской премии по физике за 2011 год в связи с открытием ускоренного расширения Вселенной в нашу эпоху, справедливо писал: «Все эти подтверждения опираются именно на представления Стандартной космологической модели. Однако не следует думать, что вопрос об интерпретации экспериментальных данных, полученных лауреатами, закрыт».

Я бы хотел уточнить, что, строго говоря, экспериментально было открыто вовсе не ускоренное расширение Вселенной, а специфический астрофизический эффект: видимая яркость сверхновых типа Ia изменялась с расстоянием до них не совсем так, как ожидалось. Чтобы объяснить этот эффект, и была доработана Стандартная модель, в которую пришлось ввести новую степень свободы – так называемую космологическую постоянную, введенную (а потом исключенную из теории) когда-то еще самим Эйнштейном. Подобрав численное значение этой постоянной, авторы открытия добились удовлетворительного совпадения наблюдательных данных с теорией. Справедливости ради добавлю, что это же значение космологической постоянной хорошо соответствует данным по гравитационному линзированию (искривлению световых лучей при прохождении мимо массивных объектов) и эффекту Сюняева-Зельдовича (изменение интенсивности радиоизлучения космического фона при рассеянии на горячих электронах межзвездного и межгалактического газа).

Аналогичное возражение приводится в статье известного польского космолога Анджея Красиньски (Andrzej Krasinski, arXiv:1110.1828v1) : «Ускоренное расширение» Вселенной является не наблюдаемым феноменом, а элементом интерпретации наблюдений , к которой нас побуждают принятые большинством космологов модели. Сам Красиньски предлагает альтернативную возможность объяснения открытого эффекта пониженной светимости сверхновых на основе модели неоднородной Вселенной, в которой «ускоренное расширение» оказывается иллюзией (о переводах этих работ см. выше сноску 1).

Открытие века?

4 июля 2012 г. на семинаре CERN в Женеве произошло событие, которого ждали все, кто хотя бы краем уха следит за новостями науки. Суть этого события изложена в пресс-релизе CERN

(http://press.web.cern.ch/press/PressReleases/Releases2012/PR17.12E.html)

и состоит в том, что бозон Хиггса экспериментально «почти обнаружен».

Что это означает для современной физики? Рассказать об этом «в двух словах» так же трудно, как изложить содержание «Улисса» Джойса или «Войны и мира» Толстого в формате «Abstract». Тем не менее, в следующем обзоре научных новостей нашего журнала мы постараемся это сделать.

А пока отсылаем читателя к многочисленным комментариям в интернете – они помогут «войти в тему» тем, кто хочет этого.