Хаос и структура

y+∆y=ƒ(x+∆x)

2) определяется отсюда приращение функции —

∆y=ƒ(x+∆x)-y

∆y=ƒ(x+∆x)-ƒ(x)

3) берется отношение приращений ∆у и ∆x

4) происходит переход к пределу, считая, что ∆х стремится к 0. Отсюда —

Таков в общей форме процесс всякого дифференцирования. Правда, этот общий прием не всегда удобен, но об этих деталях говорить не будем.

Что же касается вопроса о классификации функций, которая только и может внести логический стройный порядок в этот отдел дифференциального исчисления, то и этого вопроса в данном месте касаться не стоит. Вопрос о классификации функций отнюдь не такой легкий, как это представляют себе математические руководства. Легкость достигается тем, что обычно перечисляют только простейшие и легчайшие функции и отбрасывают более сложные, а потом начинают вводить их без всякого предупреждения.

Так, неизвестно, в каком месте надо излагать гиперболические функции. Тригонометрические функции хотя и излагаются сейчас же после дифференцирования «алгебраических» функций, но неизвестно почему. Неизвестно также, что, собственно, такое «тригонометрические» функции. Обычное определение их как отношения определенных линий к радиусу круга—слишком внешнее определение; оно в сущности ничего не говорит. Уже одно выражение их при помощи числа е в известных формулах Эйлера указывает на полную их загадочность и таинственность; и не так–то просто найти их вполне существенное определение. Эллиптические функции справедливо отнесены в отдел теории функций комплексного переменного. Но положение самого этого отдела в системе анализа совершенно неопределенно. Казалось бы, естественно было бы излагать функции комплексного переменного вслед за рациональными и иррациональными функциями, поскольку само понятие комплексной величины есть неограниченное завершение понятия величины вообще. Тем не менее ни в дифференцировании, ни в интегрировании функций обычно этих функций не помещают, а помещают их почему–то в отдел «аналитических» функций, причем опять невозможно разобрать, что такое аналитические функции. С одной[230] стороны, аналитические функции комплексного переменного поставлены в ближайшую связь. С другой стороны, оказывается, что аналитические — это все вообще функции (так как аналитические—те, которые дифференцируемы). И т. д., и т. д., и т. д.

Вся эта неразбериха, не свидетельствующая о логической силе математиков, требует кропотливого анализа, который невозможно провести здесь, не удаляясь далеко в сторону, хотя только логически стройная классификация функций и могла бы внести порядок и последовательность в рассматриваемый отдел дифференциального (и соответственно—интегрального) исчисления. Сюда же относится, конечно, дифференцирование неявных функций, нахождение частных производных и производных высшего порядка. Это естественно вытекает из самого понятия дифференцирования.

Второй большой отдел дифференциального исчисления—это учение о рядах. Положение этого отдела в системе анализа— вполне специфическое. Ряды, конечно, нельзя помещать где попало. Логическое место их определяется тем основным обстоятельством, что ряд представляет собой инобытие производной. Если производная является образом пребывания функции в инобытии, то ряд является образом пребывания самой производной в инобытии.

Если производная—тезис, то ряд есть антитезис или, вернее, такой антитезис, который воплощает в себе в инобытийном[231] порядке тезис, производную. Чтобы это понять с полной четкостью, необходимо проанализировать диалектически хотя бы один какой–нибудь ряд. Для такого примера мы и возьмем простейший ряд—ряд Маклорена.

Этот ряд—

состоит из двух элементов, вдвинутых один в другой, — именно из ряда последовательно данных производных, начиная с самой функции при нулевом значении аргумента, —

ƒ(0),ƒ',ƒ",ƒ"', …

и из разложения в ряд ех—

Что такое ряд производных, у которых последовательно повышается порядок? Производная есть, как мы видели, закон инобытия той или иной идеальной взаимозависимости. Производная от этой производной, или производная второго порядка, есть переход этого самого закона в инобытие. Производная третьего порядка есть еще новый инобытийный закон этого второго закона. И т. д. Ясно, стало быть, что если производная есть инобытие функции, то ряд производных последовательно повышающегося порядка есть инобытие самого перехода функции в инобытие, инобытие самого становления, инобытийное становление становления функции в инобытии, отрицание отрицания функции в инобытии. Переходя в инобытие и порождая из себя производную, функция отрицает себя. Но, продолжая неизменно дробить этот свой переход в инобытие и тем порождать производные все более и более высокого порядка, функция отрицает свое отрицание, исчерпывает свое отрицание и тем стремится к новому утверждению — к утверждению себя в инобытии не только как становящейся, но и как ставшей.

Однако этого еще недостаточно для того, чтобы действительно совершилось отрицание функции. Дело в том, что производные последовательно повышающегося порядка, взятые сами .по себе, вполне висят в воздухе; они ни к чему не прикреплены; и неизвестно, какие из них брать и как их брать. Тут утверждается только то, что вообще существуют такие производные; но на что они тут употреблены, об этом сама их отвлеченная последовательность ничего не говорит. Надо, стало быть, привязать эти висящие в воздухе ино–бытийные образы к каким–нибудь фактам, чтобы они стали не только теоретической возможностью, но и реально–субстанциальным существованием функции в инобытии, т. е. чтобы действительно получилось разложение функции в ряд. Однако привязать эти отвлеченно данные производные в целях инобытийного осуществления можно только к таким фактам, которые сами даны в становлении. В математике, в теории пределов, рассматривается одно такое тело, которое представляет собой как раз становящуюся единицу. Это именно число с. Ведь это е, которое разлагается:

очевидно, представляет собой единицу, сложенную с отношением ее ко всем возможным другим числам, кроме единицы, причем эти числа уходят в бесконечность. Ясно, что число е есть не что иное, как единица, но такая единица, которая разработана и перекрыта становящимся слоем взаимоотношения ее со всем окружающим числовым инобытием. Но ведь мы должны прикрепить ряд наших производных не просто к единице, но к определенному аргументу разлагаемой функции. Функция, переходя в инобытие, перестраивает существующее в ней отношение к аргументу. И, создавая инобытие своего инобытия, она все равно должна как–то оставаться связанной с судьбой своего аргумента. Поэтому наши производные должны быть осуществлены не просто на становящейся единице, на разложении е в ряд, но на таком е, которое в себе воплощает упомянутый аргумент, которое имеет смысл этого аргумента. Потому производные объединяются с разложением в ряд ех. А это и значит, что мы получаем упомянутые два элемента, из которых диалектически состоит ряд Маклорена.

Если понятна диалектическая структура ряда Маклорена, то, конечно, должен быть понятен и ряд Тейлора (путем простой замены jc на х—я), и ряд Коши (путем замены χ на приращение h). Более подробная диалектика рядов и их классификация, конечно, должны составлять предмет специального исследования. Следует заметить, что понятие ряда существенно связано с теоремой о среднем значении: ряд и есть осуществление этой теоремы. Поэтому рассуждение о рядах должно быть предварено изложением теорем Ролля, Лагранжа и Коши, составляющих, таким образом, тоже центральное содержание этого отдела дифференциального исчисления.

Наконец, третья большая проблема дифференциального исчисления— это т. н. исследование функций. Данный отдел анализа обладает всеми чертами синтетической природы. Если простое дифференцирование функции дает ее производную, а ряды дают становление этой производной в инобытии, то исследование функций возвращается опять к самой функции и рассматривает ее в свете ее инобытийных превращений. В дифференцировании мы переходим от первообразной функции к ее производной, в рядах—от ее производной переходим к дальнейшим производным, поскольку они воплощают первообразную функцию в инобытии. Исследование функции возвращает наши мысли опять к конструированию функции, но не функции самой по себе, а функции постольку, поскольку на ней отражаются ее судьбы, когда она пребывала в инобытии.

Самой типичной проблемой в области этого исследования является проблема minim [um]a и maxim [um ]а функции. Мы интересуемся знать, при каких условиях, в частности при каком значении аргумента, данная функция имеет наибольшее или наименьшее значение. Оказывается, что максимум и минимум функции бывает тогда, когда первая производная ее равняется нулю. Это последнее приравнение производной нулю и дает возможность вычислить искомое значение аргумента. Не нужно только подобное «исследование функций» понимать исключительно геометрически, как это часто делают. «Исследование функций» имеет значение не только для вычерчивания кривых, но и для чисто аналитического рассмотрения значения функции. Это не мешает, конечно, тому, чтобы при вычерчивании кривых по данным аналитическим выражениям с особенной ясностью и выпуклостью выступали все результаты такого «исследования функций». Так, все эти точки максимума и минимума, точки перегиба, т. н. особые точки, симметрия кривой относительно осей координат, исследование на ассимптоты и пр., — все эти моменты прекрасно иллюстрируют «исследование функций», хотя это только иллюстрация и зависит она всецело от аналитических соображений. Во всех этих проблемах вполне ясно положение всей области «исследования функций». Это то, что объединяет и синтезирует пребывание функции как исходной для своих инобытийных судеб с функцией как возвращающейся к себе из этих инобытийных судеб.

2. Интегральное исчисление. Выше мы определили интеграл как предел суммы всех дифференциалов. Другими словами, это ставшая функция, как тоже у нас указывалось. Функция уходит в инобытие, в становление. В этом становлении она исчерпывает себя и тем самым как бы заново определяется, становится и образуется, как свой собственный диалектический дублет. Уже ряды являются таким образованием и самым восстановлением функции в недрах инобытия. Но ряды дают эту функцию со всей ее инобытийной тяжестью, во всей ее субстанциальной положенности. Функция же может вместить в себе все свои инобытийные функции, не просто давая их в расчлененно–внеположном виде, но и в виде сплошной собранности и определенности. Эту роль и играет интеграл.

Поясним примером. Пусть имеется какой–нибудь физический источник света, и пусть лучи этого света распространяются в окружающее его темное пространство. Когда эти лучи освещают окружающее темное пространство, инобытие, то можно брать именно это самое инобытие во всей его вещественности и можно брать только освещающие его лучи. Возьмем вещи, расположенные вокруг свечи, — книги, стулья, столы, диваны и пр. Это будет вещественное инобытие свечи, определенным образом освещенное. И свет, излучаемый свечой, мы можем взять как цельную картину всех вещей, находящихся в комнате вокруг свечи. Это значит, грубо говоря, что функцию, т. е. лучи света, мы разложили в ряд. Тут мы как бы дали синтетическую картину всех действий данных световых лучей на окружающие, инобытийные предметы. Так можно было бы понять феномен разложения функции в ряд. Совсем другое будет в данном случае интеграл.

Уже в понятии «исследования функций» мы гораздо ближе вошли в существо функции, чем это возможно в случае с рядами. В «исследовании функций» мы уже возвращаемся к самой функции из ее инобытийных судеб. И если в понятии ряда возвращение функции к самой себе мыслится лишь в пределах ее инобытийной вещественности, то в «исследовании» оно дано уже как оставление этой инобытийной вещественности и сосредоточение на чисто смысловой инобытийности функции. В интеграле к этой смысловой инобытийности присоединяется функция в своей собственной субстанциальности. Если в рядах дана инобытийная вещественность, окружающая функцию, осмысленная через распластанность и как бы растянутость функции в инобытии, то в «исследовании функций» эта инобытийная вещественность уже отсутствует, а оставлена только инобытийная, но в то же время чисто смысловая растянутость и распластанность функции; эта растянутость и распластанность и является здесь предметом «исследования». Однако в «исследовании» эта чисто инобытийная осмысленность не прикреплена к самой субстанции первообразной функции, она как бы висит в воздухе; «исследуется» картина жизни функции, как результат и отголосок пребывания ее в недрах инобытийной вещественности, но вне рассмотрения судьбы самой–то функции, ее самостоятельной субстанции. Функция, взятая как таковая, как самостоятельная субстанция, и на ее фоне—смысловая картина всех ее инобытийных перевоплощений, эта функция уже не есть просто предмет того, что в анализе называется «исследованием», но это есть интеграл. В «исследовании» мы изучаем не вещи, освещенные свечой, но самый свет, ею излучаемый и получающий те или другие оттенки в зависимости от освещаемых предметов. А интеграл—это есть не только не вещи, освещенные при помощи световых лучей, но даже и не самый свет, излучаемый свечой (хотя и содержащий в себе всю реальную окрашенность вещей); это есть сама свеча, но не просто как таковая, а еще и рассмотренная с точки зрения всех световых оттенков, образующихся в результате освещения ею отражающих вещей, свет ее в своей конкретной выявленности и определенности.

Таким образом, 1) ряды разложения функции, 2) исследование функции, 3) функция как предел суммирования, или как интеграл, — это есть последовательная интенсификация смысловой значимости функции, возвращающейся к самой себе из своего инобытийного самоотчуждения.

Получивши понятие интеграла, мы тем самым получаем первый и основной отдел интегрального исчисления—интегрирование функций. Разделение этого отдела будет, очевидно, повторением общей классификации функций. Это классификация, которую мы провели бы в дифференциальном исчислении, она же останется и здесь, в интегральном исчислении. Поэтому единообразие структуры этих отделов математического анализа вполне обеспечено.

Дальнейшим этапом упомянутой интенсификации является понятие определенного интеграла.

Когда функция дифференцируется, получаемая при этом производная имеет, как мы видели, вполне определенное значение. Когда же мы производим действие интегрирования, идя от производной к первообразной функции, мы отнюдь не получаем окончательно определенной величины. Пусть, напр., дан угловой коэффициент касательной к какой–нибудь кривой и требуется найти уравнение самой кривой, т. е. пусть дана некая производная и требуется найти интеграл. Полученное в результате этого интегрирования уравнение кривой останется тем же самым, на каком бы расстоянии от центра координат мы ее ни проводили. Полученный интеграл говорит только о структуре кривой, но ровно ничего не говорит о ее абсолютном положении на плоскости системы координат. Поэтому, получая такой интеграл, именуют его неопределенным и прибавляют к нему т. н. постоянные интеграции, +с. Так, если упомянутый угловой коэффициент касательной есть 2х, то полученный интеграл имеет вид

у=х2 + с.

Образующаяся таким образом парабола совпадает своей осью с осью у_у но в зависимости от значения с она будет пересекать ось у на том или ином расстоянии от центра. Разумеется, этих расстояний может быть бесконечное количество, и с может принимать любые значения, нисколько не влияя на структуру самой параболы.

Мы можем, однако, задаться целью получить не просто параболу, но и ее абсолютное положение в данной системе координат. Другими словами, мы можем задаться получить интеграл не вообще, но в определенных пределах. Наш аргумент χ принимает в таком случае не всякие значения, какие попало, но значения лишь в данных пределах—скажем, от х—а до х = b. Тогда соответственно получается и два неопределенных интеграла—для х = а и для х — b. Если мы теперь возьмем все то, что произошло между этими пределами, т. е. возьмем разницу между этими интегралами, то уже всякая неопределенность исчезнет, и наш интеграл будет ограничен строго определенными пределами. Это и есть т. н. определенный интеграл, и обозначается он так:

где а есть нижний предел, a b—верхний, и весь интеграл равен

I=ƒ(b) — ƒ(a).

Существует специальная теория определенных интегралов — специальный отдел интегрального исчисления. Тут трактуются вопросы о перестановке пределов, о делении промежутка интегрирования определенного интеграла, об определенном интеграле как функции своих пределов, о бесконечных пределах интеграла и о случаях прерывности подынтегральной функции, об изменении пределов в связи с заменой переменных и пр.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении, получивши понятие производной, мы могли распространить это понятие до производных высшего порядка и до частных производных, — мы можем распространить и понятие интеграла. Если возможна производная от производной, полученной тоже как производная, и т. д., т. е. если возможны производные первого, второго, третьего и т. д. порядка, то, очевидно, возможны интегралы не только вообще, но также интегралы двойные и тройные. Равным образом при наличии нескольких независимых переменных возможно и дифференцирование, и интегрирование по какому–нибудь одному переменному (и тогда прочие переменные принимаются за постоянные), т. е. возможны частные производные и частные интегралы.

Кратное и частное интегрирование еще более углубляет и расширяет понятие интеграла.

Этим, однако, далеко не ограничивается область интегрального исчисления. Тут, можно сказать, только начало этой сложнейшей и глубочайшей науки. В поисках дальнейшего углубления и расширения операций под интегралами мы сталкиваемся с рядом дисциплин математического анализа, которые уже требуют для себя ясного и четкого места в общей диалектической системе.

Определенный интеграл есть интеграл, полученный из процесса изменения аргумента χ между данными пределами. Он несет на себе печать ограниченности области изменения аргумента. Можно еще далее усложнять получение интеграла из инобытийных судеб функции. Можно оперировать не только с производными, но и с теми или другими их модификациями в недрах инобытия. Можно идти к интегралу не просто от производной, но от производной в ее той или иной обусловленности и окружающим инобытием. Мы уже видели, что производная может переходить в свою производную, эта последняя—еще в дальнейшую, и т. д. Однако это есть не единственная инобытийная модификация производной. Можно и не переходить в чистое становление, а ограничиться чисто статическим инобытием. Так, если мы имеем х, то такое, напр., выражение, как , есть некая инобытийная модификация х, нисколько не становящаяся (в диалектическом смысле), а чисто статическая, потому что здесь дан ряд статических изменений, претерпеваемых х–ом. Точно так же и производную можно брать в ее инобытии не обязательно под формой чистого становления, а только лишь под формой статической измененности. И следовательно, может возникнуть задача получения интеграла именно при помощи такой статически–инобытийной обработанной производной.

В данном случае мы имеем дело, несомненно, с инобытием производной и с инобытием в его субстанциальной положенности. И вот спрашивается: как перейти от такой статически–инобытийной положенной производной к соответствующему интегралу? Это и есть предмет 1ч>й науки, входящей в состав математического анализа, которая носит название интегрирования дифференциальных уравнений.

Что такое дифференциальное уравнение и что значит—решить дифференциальное уравнение? Под дифференциальным уравнением понимается такое, которое содержит в себе дифференциалы, или производные, а решить его — значит найти такое соотношение переменных, которое бы ему удовлетворило в смысле тождества. Пусть, напр., имеется уравнение

уn+у=о,

где уn есть производная второго порядка от первообразной функции у. Решить такое уравнение—значит найти выражение для у, которое бы не содержало никаких производных, или дифференциалов, но содержало бы только х. Здесь мы не можем поступить так, как обычно при непосредственном интегрировании функции. Мы находим здесь вторую производную в сложении со значением первообразной функции и должны исходить из суммы этих двух функций. Дана, стало быть, определенная инобытийная переработка производной. Возьмем другое дифференциальное уравнение:

(x+y)dx+xdy=0.

Здесь два дифференциала даны в своеобразном переплетении с аргументом χ и с самой первообразной функцией, т. е. тут тоже определенная инобытийная переработка производной; и нужна специальная манипуляция, чтобы дать такую комбинацию χ и у, в которой бы отсутствовали всякие dx и dy. Приравнение нулю указывает на то, что инобытийная переработка производной (в данном случае — в виде двух дифференциалов) прикреплена здесь к инобытийной субстанциальности своими прочными корнями. Требуется оторваться от этой инобытийной скованности и перейти к первообразной функции, данной как чистый интеграл, несмотря ни на какую связанность производной в этом инобытии. Полученный интеграл, очевидно, будет нести на себе смысловую энергию не просто производной, но и всех ее инобытийных переплетений. Если производную мы вообще понимаем как закон реального инобытия идеальной взаимозависимости, то, очевидно, интегрирование дифференциального уравнения дает интеграл не как просто возвращение от закона реального инобытия идеальной взаимозависимости к самой этой взаимозависимости, но как возвращение к ней от тех или других модификаций и осложнений данного закона реального инобытия, от той или иной его инобытийной переплетенности с другими фактами инобытия.

Таково диалектическое место интегрирования дифференциальных уравнений.

Четкое понимание диалектического места этого вида интегрирования дает возможность найти такое же место и еще для одной дисциплины, входящей в математический анализ, которая в одном отношении даже выходит уже за пределы интегрального исчисления. Прежде чем ее назвать, формулируем еще раз достигнутый нами результат в диалектической интерпретации интегрального исчисления.

Неопределенный интеграл есть возвращение функции к самой себе из недр своего становящегося инобытия, но возвращение пока лишь чисто структурное, пока еще лишенное абсолютно–количественной определенности. Определенный интеграл есть это же возвращение, но уже не просто в смысле структуры, а еще и, кроме того, в смысле количественном; для самопроявлений находимой структуры функции положены четкие количественные пределы. Далее—какая возможна еще дальнейшая интенсификация интегральной определенности, или, другими словами, интенсификация самой интегральности? В определенном интеграле дана определенность границ, очертания. Что может диалектически противостоять этой определенности? Конечно, — определенность того, что содержится внутри границ, внутри очерченных пределов. Это и будет инобытием той определенности, которую содержит в себе определенный интеграл. Такая определенность будет, конечно, зависеть не просто от предельных точек значения аргумента х, но, главным образом, от поведения самой производной, и притом поведения не производной как производной (это имеется в виду уже во всяком неопределенном интеграле), но производной в ее переплетении с другими моментами, дающими ей ту или другую инобытийную определенность и тем самым вносящими эту определенность в недра самого интеграла. Таким образом достигается определенность интеграла внутри его собственных границ; и если определенный интеграл возникает как определенность его количественных границ, то интегрированное дифференциальное уравнение возникает как определенность интеграла внутри тех границ, с появлением которых тоже дается сам определенный интеграл. Ясно, что обе дисциплины интегрального исчисления — теория определенных интегралов и интегрирование дифференциальных уравнений — находятся в четком диалектическом взаимоотрицании.

Возникает вопрос: где же синтез этих двух видов интегральной определенности? Теория определенных интегралов дает определение границ, внешнего очертания, контура интеграла, и притом — в чисто количественном смысле. Интегрирование дифференциальных уравнений дает для интеграла определенность внутреннюю, возникающую как результат инобытийной определенности производной. В первом случае изменяется аргумент в определенных пределах, и за ним пассивно следует функция. Во втором случае не только меняется χ, но самостоятельность проявляет и сама функция, поскольку она берется не только в своей зависимости от аргумента, но и в своей внеаргументной определенности, зафиксированной «в структуре дифференциального уравнения. Значит, должен возникнуть диалектический синтез двух интегральных опре–деленностей, синтез внешнеколичественный (в смысле пределов, границ) и внутреннеструктурный (в смысле определенной заполненности упомянутых пределов). Этот синтез и дан в той науке, которую в общем виде можно назвать функциональным исчислением и которая более известна в своем частном виде под именем вариационного исчисления.

Сущность вариационного исчисления базируется на расширении самого понятия функции. Сейчас мы укажем, почему в этом и надо искать формулированный только что диалектический синтез двух интегральных определенностей.

Обычно в анализе мы имеем аргумент jc и зависящую от него функцию у. Меняется x, меняется и зависящая от него функция. Можно, однако, под аргументом понимать не просто х, а целую функцию и говорить, таким образом, о зависимости функции от функции. В сущности, и здесь нет ничего нового по сравнению с тем же дифференциальным исчислением, где можно найти сколько угодно зависимостей функции и где дается определенное правило дифференцирования таких «сложных» функций. И не в этом специ–фикум функционального и вариационного исчисления. Здесь имеется в виду не просто зависимость функции от функции, т. е. зависимость функции от количественного значения функции, но тут — зависимость функции от изменения вида функции, от последовательной деформации самой структуры функции. Роль аргумента принимает здесь на себя самый вид функции. Изменяется вид, структура функции, и—соответственно—меняется количествен–ное значение функции, а отсюда—соответственно—возникает то или иное значение интеграла.

Когда в диалектике возникает вопрос о синтезировании границы и ограниченного, всегда ищется категория, которая бы сразу дала и охватила как границу, так и ограниченное, чтобы оба эти начала превратились в нечто цельное, неделимое и даже неразличимое. В определенном интеграле дана определенность границ интеграла в связи с определенностью области изменения аргумента. В интегрировании дифференциального уравнения дана определенность содержания интеграла в связи с определенным содержанием изменения функции. Оба эти взаимопротивоположные момента — граница и содержание—даны количественно, хотя уже в содержании, как в том, что противоположно границе, уже содержится качественный момент, предполагающийся, но не использованный как чистая качественность, а использованный пока только количественно. Стало быть, синтез теории определенных интегралов и интегрирования дифференциальных уравнений есть в сущности синтез формы и содержания, предела и определяемого, границы и ограничиваемого.

Предел и граница в глубине своей есть нечто качественное, хотя и возникает ради отличения одного от другого, т. е. ради количественных противоположений. Содержание, напротив того, есть нечто количественное, поскольку оно есть результат раздробления того, что очерчено определенными границами, — хотя возникает это содержание, как нечто заполняющее данные границы, т. е. ради качественной самостоятельности. Синтез того и другого не есть уже и не качество, и не количество, а то, в чем они совпали и отожествились, т. е. структура, вид, форма, или, как Гегель сказал бы, «мера» (Maass), т. е. размеренность, измеренность, лик, лицо качества, принявшего в себя все количественные определения. Пока форма и содержание фиксируются в отдельности, им присуща количественность или незримо наличная, но диалектически еще не положенная, не зафиксированная качественность, или обратно — качественность в условиях невыявленной количественности. Синтез их — одинаково полагает и то и другое и одновременно снимает их ради большей общности и смысловой взаимопронизанности. В определенном интеграле — ограниченность пределов; в интегрированном дифференциальном уравнении — положенность внутренних определений; в вариационном исчислении разыскивается интеграл, который является и результатом изменения аргумента χ в определенных пределах (и потому тут ищется всегда определенный интеграл), и результатом изменений самой функции (и потому тут дана изменяемость самой структуры функции). Подчеркиваем, что здесь разыскивается определенный интеграл в условиях изменения именно структуры функции, потому что чисто количественные изменения функции привели бы не к диалектическому синтезу формы и содержания, но к чисто внешнему и механическому их объединению.

Простейший пример:

Здесь χ—аргумент, у—функция, у' — первая производная, х₀ и x₁ —крайние пределы изменения значений аргумента. Вариационное исчисление ставит своею целью нахождение условий для максимума и минимума определенного интеграла I, когда y=f(x) сама меняется по своему виду. Тут исследуют: при какой зависимости у от х, входящей в состав подынтегральной функции, данный интеграл будет иметь максимальное или минимальное значение? В дифференциальном исчислении в учении о maxi[mu]m и minim [um] вопрос ставится так: при каком значении χ функция у достигает максимума или минимума (причем это значение находится из наблюдения за поведением производных)? В вариационном исчислении не только все исследование совершается в направлении, обратном дифференциальному исчислению (как это и вообще в интегральном исчислении), но, кроме того, в этом обратном направлении путь совершается не только от производной, но еще и от ее связанности с другими действиями, так что лучше уже говорить, — от новой функции, куда производная входит лишь как составной элемент, да еще в этой функции содержится вариируемая первообразная функция, т. е. функция, изменяющаяся в своей структуре. Получаемый таким способом интеграл несет на себе энергию определенности области изменения аргумента, энергию самостоятельной определенности, зависящей от этого аргумента функции, и, наконец, энергию изменений структурной определенности функции.

МАТЕМАТИКА И ДИАЛЕКТИКА.

К ЛОГИЧЕСКОМУ ОБОСНОВАНИЮ АКСИОМАТИКИ ТРАНСФИНИТОВ

Философия есть такое знание, которое, хотя и не сводится на совокупность прочих наук, все–таки касается решительно всякой науки, и для всякой науки у нее готовы логические предписания, которые она довольно бесцеремонно диктует и требует безоговорочного признания. Хорошо это или плохо, я не знаю; но я знаю, что современная математика, несомненно, выиграла бы, если бы ее работники немного более чутко и внимательно относились к философии и логике. Присматриваясь к некоторым построениям современных математиков, с удивлением замечаешь, что под ворохом всяких обозначений, символов, значков и страшных, пугающих терминов, что математики любят нагромождать выше всякой меры, кроются самые элементарные и примитивные проблемы, которые в философии давным–давно или решены, или решались. Если бы нашелся светлый ум, который бы сумел выразить некоторые математические теоремы без всей этой удручающей суеты значков и обязательного стремления свести все на «формулы», то философски грамотный читатель поразился бы той близостью и даже тождеством проблем, которыми всегда занимались и занимаются философы и математики. В настоящей статье я хочу приоткрыть для философов одну такую область математики и показать, что здесь ставятся и решаются как раз те самые вопросы, которые интересовали всегда и философов и которые решаются всяким философом, если он задался целью дать строгую и систематическую разработку логики. Эта математическая наука есть учение о трансфинитных числах, или, общее, учение о множествах. Однако я бы уклонился от простой логической интерпретации учения о множествах. Я преследую задачу несколько более трудную и ответственную и хочу дать не просто интерпретацию, но и тот метод решения проблем учения о трансфинитах, который, как я убедился, чужд современным математикам и игнорирование которого приводит их к тяжкому тупику «противоречий» и «парадоксов», заставляющему многих унывать и сетовать на ограниченность человеческого знания. Что человек знает маловато и что каждую крупинку знания приходится брать с бою, — это давно известно и против этого трудно спорить. Но раз мы уж решились обнять умом такие понятия, как «бесконечность», «предел», «трансфинитное число» и т. д. и т. д., то уж унывать нечего. Или вообще надо бросить заниматься математикой, или, если заниматься, то надо доводить ее до конца и не считать «парадоксы» каким–то провиденциальным пределом, запрещающим переходить в царство полного знания. Математики оперируют «бесконечностями» так, как, может быть, иной не оперирует своими ногами, чтобы ходить, или руками, чтобы работать. И раз хватило смелости «обнять необъятное», то давайте уж обнимать до конца и давайте ставить все точки над чтобы уяснить себе, наконец, полную логическую природу бесконечного.

Я утверждаю, что единственный метод, способный дать мысли полное овладение категорией бесконечности и категорией «множества», есть диалектический метод. И я покажу, как философ чисто диалектически выводит из первоначальных принципов то же самое, что математик находит постепенно и несистематично, барахтаясь в бездне математических построений и прибегая к единственному средству обобщения—к своеобразной индукции над эмпирически наблюдаемым логическим материалом. Мы увидим, как учение о трансфинитах с необходимостью, но уже строго систематически вытекает из основ мысли как таковой и как тут, в диалектике, мы сразу получаем метод для построения сначала аксиоматики, а потом и конкретного содержания всякой математической науки.

Для этого попробуем сначала формулировать основы диалектического метода вообще. И прежде всего необходимо сказать, что не есть диалектика.

I

Во–первых, необходимо отбросить обывательское и повседневное отношение к термину «диалектика», которое видит в нем указание на спор, на умственную эквилибристику, на умение оперировать головоломными отвлеченностями. Такое понимание диалектики никакого отношения к существу дела не имеет. Точно так же широкая публика, желая указать на нереальность, глупость и ненужность, наивность данного рассуждения, говорит: вы рассуждаете платонически. Разумеется, такое словоупотребление никакого отношения к Платону не имеет. Или часто говорят: я погрузился в нирвану. Нирвана есть в соответствующей религии экстаз ума, доводящий до полного подавления всего вне–умного. Тем не менее мы без всякого затруднения говорим о нирване, отождествляя ее, приблизительно, с обломовщиной. Разумеется, такое популярное и слишком упрощенное понимание Платона и нирваны никак не может руководствовать нами в серьезном изучении того и другого. Равным образом, и о диалектике судить на основании того, что думают о ней профаны и люди обыденного опыта, недостойно человека, любящего мысль и рассуждение. Диалектика не есть ни спор, ни акробатство ума, ни головоломная эквилибристика мысли. И владеть диалектическим методом отнюдь не значит уметь блестяще побеждать в споре или создавать и решать выдуманные и нереальные софизмы.

Во–вторых, диалектика не есть натуралистическая метафизика. Под метафизикой я понимаю овеществление абстрактных понятий. Так, напр., человек обладает способностью действовать, волей; воля в реальном человеке неразрывно связана с целым океаном других способностей, и связь эта бесконечно разнообразна и глубока. Но вот, находятся философы, которые, взявши понятие воли, конечно, отличное по своему смыслу от всех других переживаний, хотя фактически и связанное с ними, гипостазируют, овеществляют это понятие и учат о том, что в основе мира лежит воля, что мир есть воля, что мир живет по типу волевых процессов, и т. д. Так можно гипостазировать понятия сознания, мысли, мышления, ощущения, материи и т. д. и т. д.; и все это будут разные формы натуралистической (т. е. овеществляющей абстрактное) или абстрактно–натуралистической метафизики[232]. Такая метафизика оперирует только с вещами и с их причинным взаимоотношением, хотя и может понимать эти вещи очень невежественно, на манер той или другой формы спиритуализма. Разумеется, диалектика, если она не хочет погрязнуть действительно в субъективистическом мире вымышленных проблем, должна также оперировать не с чем другим, как с вещами. Но это не просто так, как оперирует с ними повседневный опыт или эмпирическая наука. Это какое–то особенное оперирование; и указание на вещи просто еще ничего не говорит о свойствах этого оперирования. Итак, диалектика не есть оперирование со слепыми и эмпирически–случайными вещами в их причинном взаимоотношении, и потому она не есть ни эмпирическая наука с ее индуктивно установленными законами, ни абстрактно–натуралистическая метафизика с ее реальными или вымышленными обобщениями над миром вещей, к какой бы сфере эти последние ни относить. Вопреки первому — обыденному — представлению о диалектике как об искусстве спорить мы должны сказать, что диалектика есть строжайший научно–философский метод. Вопреки второму— натуралистическому — пониманию ее мы должна квалифицировать ее как сферу чистого смысла. Диалектика говорит не о вещах, не о фактах, но о смысле вещей и фактов. Вещи и факты можно передвинуть, взвесить, изменить. Смысл не передвинешь и не взвесишь. Этот карандаш я могу сломать, но самый смысл, самое понятие карандаша нельзя сломать и уничтожить. Вот об этой чисто смысловой стороне действительности и говорит диалектика, предоставляя говорить о действительности как о причинно–взаимосоотносящихся фактах — отдельным эмпирическим наукам.

В–третьих, что не есть диалектика в этой сфере чистого смысла? С какими еще методами и установками встречаемся мы в этой сфере? Тут, прежде всего, нас ожидает феноменологический метод, имеющий в современной философии весьма значительное распространение. Феноменология, как она создана в наши дни Гуссерлем, также изучает не вещи, но их смысл, не факты, но их смысловые лики. Она также избегает опоры на ощущения слепо и случайно протекающих явлений и пытается фиксировать в них то, без чего не может быть самих явлений, того смыслового и существенного, что именно и воспринимается как погруженное в алогический поток эмпирических явлений.

Но современная феноменология отличается одним существенным признаком, который противопоставляет ее диалектике. Именно, феноменологический метод есть метод описания, а не объяснения смысла. Феноменологи обычно думают, что объяснять можно только натуралистически и метафизически, и предлагают выход из этого в виде принятия метода описания. Но, во–первых, метафизик также может не объяснять, а описывать и констатировать, и натуралист, овеществляющий абстрактные понятия, также может не задаваться целями объяснения и конструирования, а оставаться всецело на почве описания утверждаемых им вещностей. Во–вторых же, не ясно, почему нельзя объяснять вне–натуралистически, вне–метафизически? Всякий вывод частного из чего–нибудь более общего есть уже объяснение частного, и объяснение чисто логическое, а не вещное. Возможно же чисто смысловое объяснение смысла, и оно ничего общего не будет иметь с объяснением смысла из каких–нибудь фактов, физических или метафизических. Вот это–то смысловое объяснение смысла (не вещно–причинное, а именно смысловое и именно объяснение) и есть диалектика. Диалектика не просто констатирует те или иные формы или виды смысла, но объясняет, как они связаны между собою. Она не просто дает статическую картину того, что есть, но вскрывает ту динамику смысла, которая именно привела смысл к данной картине. Например, феноменолог, рассматривая целое, видит, что оно не есть простая сумма частей. Он и говорит: целое больше суммы всех своих частей. Но, с другой стороны, он же сам видит и констатирует, что в данном целом и нет ничего, кроме этих частей. Получается так, что если рассматривать целое по частям, то ничего, кроме этих частей, и нет в целом. Чтобы из частей получилось целое, отнюдь не надо прибавлять к ним какую–то еще новую часть. С другой же стороны, если рассматривать целое именно как целое, то ясно всякому, что оно не делится на свои части и что оно именно больше суммы своих частей. Как тут быть? Феноменолог выходит из этого затруднения весьма просто. Когда ему надо подчеркнуть подлинную стихию целого, цельность, он будет говорить, что целое есть некое положительное содержание, которое больше суммы своих частей. Когда же ему надо подчеркнуть вещную составленность целого из отдельных фактов и вещей, он скажет, что в целом нет ничего, кроме его частей. Описательно такая позиция совершенно безупречна, потому что описательно целое действительно и больше суммы своих частей, и равняется ей. Но совершенно другой оборот получает дело, если задаться вопросом о том, как объяснить это противоречие? Почему вдруг так получается, что то и другое, несмотря на взаимную противоречивость, одинаково требуются мыслью и мысль не может уступать ни того, ни другого? Вот объяснением этого противоречия, объяснением чисто же логическим, и занимается диалектика. Равным образом, объяснение взаимоотношения смысла и факта, бесконечного и конечного, сознания и бытия и т. д. и т. д. может дать только диалектика, в то время как феноменология просто констатирует и описывает без всякого объяснения. Феноменология описательно устанавливает изолированные формы и виды смысла, трактуя каждую такую форму как некую цельность, несводимую на те или другие подчиненные моменты. Диалектика же связывает все такие цельности одна с другою и показывает, как одна из них порождает другую, как одна из них с необходимостью вытекает из другой и как все они вместе дают самопорождающуюся систему смысла, или разума. Феноменология—описание, диалектика — конструкция.

Могут сказать, что феноменология также учитывает взаимосвязь отдельных цельностей между собою. Конечно, феноменологии ничто не мешает заниматься и объяснением связи цельностей. Но тогда спросим, что же такое это объяснение и эта связь? Можно объяснять натуралистически, привлекая причинную связь эмпирически наблюдаемых вещей. От такого объяснения феноменологи отказываются. Но тогда остается чисто смысловая связь. Как же ее понимать? Если мы будем изучать ее в пределах каждого изолированного факта, как это делают нынешние феноменологи, тогда связь смыслов остается неизученной. И феноменологи обыкновенно предоставляют объяснение этой связи наукам об эмпирическом мире, о мире «естественной установки». Факты как–то создаются и как–то существуют, — это, говорят они, не наше дело. Мы говорим не о фактах, но о смыслах. Ясно, что такая позиция есть, в сущности, дуалистическая позиция, близко напоминающая кан–товский дуализм «вещей в себе» и «явлений». Если феноменология так объясняет смыслы, что связь их продолжает диктоваться эмпирически–индуктивными обобщениями, то это, конечно, не есть полное смысловое объяснение. Если же феноменология даст объяснение так, что уже не придется ссылаться на «мир фактов», и так, что «мир фактов» также окажется миром смысла, хотя и специфически модифицированным, — то тем самым феноменология перестанет быть самой собой и станет диалектикой, объединится с нею. — Итак, от феноменологии диалектика отличается чисто смысловым конструированием чисто смыслового взаимопорождения сферы чистого смысла (и прежде всего, конечно, категорий).

В–четвертых, диалектиками себя называют сторонники трансцендентальной философии типа Когена и Наторпа (последний имеется в виду до 1926 г.). Сущность этой философии также сводится к фиксированию чисто смысловых категорий. Тут настоящая чистота объективного смысла и настоящее утверждение только одной смысловой «реальности» (в отличие от натуралистической «действительности»). Однако этот тип трансцендентализма рассматривает смысл исключительно в стихии его смыслового становления. Идея для него—не лик, не формы, не смысловая картина, но—только гипотеза, становящаяся установка, задача и метод, чисто «как» функция. В этом — коренное расхождение с диалектикой. Феноменологический и трансцендентальный методы—две стороны, которые должны быть объединены в подлинном философском методе; они—две крайности, абстрактно выделенные из цельного, единого метода и применяемые каждая в отрыве от целого. Феноменология фиксирует статические лики, отказываясь от конструирования всей динамической их стихии; она не понимает, откуда взялись эти лики и что их ждет в будущем, в смысловом, конечно, будущем. Трансцендентализм, наоборот, конструирует динамическую стихию цельной идеи и смысла, ее смысловую действенность и функционирование, но не видит и не хочет видеть самого лика того, что действует и функционирует, самой картины того, что дает закон и метод и что осмысливает вещи. Его интересует не смысл, но осмысливание. Диалектика же говорит о законченных и статических смыслах только в меру выведенности их из основ самой мысли, в меру порожденности их стихией самой мысли, равно как и о порождении, о динамике смысла—только лишь в меру тех законченных оформлений, которые именно порождены и динамически осмысленно возникли. Таким образом, от трансцендентализма диалектика отличается конструированием визуально–осмысленных данностей смысла, представляющих собою не–становя–щуюся и завершенную картинность идеи.

В–пятых, диалектика есть противоположность формальной логике. Опять–таки, и то и другое относится и к чистой сфере смысла, и оперирует с чистыми понятиями, а не с вещами, и дает конструкции тех или других форм мысли и смысла. Но мы жестоко ошибемся, отождествивши эти два метода. Под формальной логикой мы понимаем учение о смысле, возникающее на почве т. н. законов мышления, т. е. закона тождества, противоречия и исключенного третьего. Закон тождества, гласящий, что Λ — А или, точнее, что А в одно и то же время и в одном и том же отношении тождественно A_f т. е. самому себе, этот закон, оставаясь в диалектике в полной силе, добавляется, однако, законом, ему совершенно противоположным, а именно тем, что одно и то же А в одно и то же время и в одном и том же отношении различно с собою, нетождественно себе. А и есть А, и не есть А. Соответствующим образом модифицируются в диалектике и оба другие закона «формальной логики». Оказывается, сама же мысль, сам разум требует противоречия себе, самопротиворечия, и сама же мысль, сам разум требует преодоления этого противоречия в еще новом утверждении. Диалектика, которая не есть логика противоречия, — не есть диалектика, но — только формальная логика. И [есть ] очень много авторов, именующих себя диалектиками и в то же время совершенно не владеющих этим методом, растворяя необходимую тут антиномику в систему непротиворечивых, упорно не–тождественных между собою полаганий смысла. Противоречие, его преодоление и утверждение нового противоречия есть душа и жизнь диалектики. Поэтому от замороженных и оцепенелых конструкций формальной логики диалектика отличается именно антиномико–синтетической структурой смысла.

Сводя все предыдущие отрицательные и положительные определения диалектики (в специальном трактате их можно было бы значительно расширить, разъяснить и углубить), мы получаем следующую характеристику диалектического метода в его существе и наибольшей общности.

1) Диалектика есть сфера чистого смысла. В этом она отлична как от всякой натуралистической метафизики, оперирующей гипостазированными абстрактными понятиями, так и от отдельных наук, основанных на эмпирическом изучении через чувственные восприятия множества фактов и индуктивном их обобщении. Диалектика не гипостазирует, не овеществляет абстрактные понятия (ибо в ней и нет ничего, кроме понятий), не изучает эмпирическое множество текучих фактов (ибо фиксирует их нетекучий смысл) и не делает никаких индуктивных обобщений (ибо в сфере смысла все одинаково обще).

2) Диалектика есть осмысленно–объяснительное конструирование смыслового взаимопорождения отдельных моментов цельной сферы разума, так что оказывается понятным, каково логическое происхождение и отдельных моментов смысла, и всей сферы смысла вообще. Этим диалектика отличается от феноменологии, основанной на описании изолированных форм смысла, связь и взаимопорождение которых мыслится тут только натуралистически и отводится в сферу т. н. мира естественной установки. Диалектика не описывает, но объясняет и выводит не только логическое, но и алогическое — из цельного единства смысла вообще.

3) Диалектика есть фиксирование в самопорождающейся стихии смысла завершенных и умно–оптических, визуально–смысловых оформлений, нерушимо пребывающих в непрерывно подвижной стихии смысла. Этим диалектика отличается от трансцендентализма типа Когена, основанного на интерпретации смысла как «чистой возможности», «закона», «принципа», «метода», «постановки проблемы», «гипотезиса». Диалектика не ограничивается только стихией становящегося (хотя бы и чисто смыслового) смысла, но признает последнее только в связи с порождением отсюда закругленных и визуально–данных уму оформлений.

4) Диалектика есть антиномико–синтетическое конструирование сферы смысла как самопорождающегося и самопреодолевающегося противоречия. Этим она отличается от т. н. формальной логики, основанной на законах тождества, противоречия и исключенного третьего. Диалектика есть конструирование смысла, который сам себя порождает, т. е. смысл этот есть и порождающее, и порождаемое, т. е. он и тождествен с собою, и отличен от себя, т. е. закон тождества дополняется тут законом различия в тождестве. И вообще, никакое определение невозможно без ограничения; ограничение же есть некоторое отрицание; отрицание же в сфере смысла есть отрицание осмысленного утверждения. Итак, отрицание и утверждение в сфере смысла как отличаются между собою, так и отождествляются. След., закон исключенного третьего дополняется законом неисключенного третьего. И т. д.

Отдавши себе отчет в существе и задачах диалектики, попробуем теперь произвести первоначальные и необходимейшие диалектические построения, с тем чтобы показать, что учение о множествах есть не что иное, как именно эти первоначальные и необходимейшие построения в сфере чистого смысла.

II

Математика есть наиболее отвлеченная сфера чистого смысла. Чтобы сравнивать ее с диалектикой, необходимо и диалектику начать с наиболее отвлеченных и общих построений. Диалектику, кроме того, и по другим соображениям удобно начинать с самого общего, чтобы потом постепенно подойти и к конкретному, частному. Поэтому попробуем с максимальной краткостью формулировать первый отдел диалектики, который можно назвать учением о сущности, или о смысле.

I. Если мы возьмем некое «одно» (какое это «одно» по своему содержанию, тут нас не может интересовать, ибо мы берем как раз чистое «одно», чистое «сущее», одно и «сущее» само по себе), то, взятое в своем чистом виде, т. е. когда нет никакого «иного» к нему, оно не есть и никакое одно. Одно (сущее), если оно подлинно одно, необходимым образом отличается от всего «иного», и если этого «иного» нет, то нет и никакого одного. Оно немыслимо, не существует и есть какое–то сверх–мыслимое, сверх–сущее одно.

II. а) Однако это одно мы мыслим именно существующим. Существовать в мысли—значит быть отличенным от всего другого. Отсюда 1) одно для своего осмысленного существования в мысли, т. е. чтобы быть смыслом, или моментом смысла, чтобы быть предметом мысли, требует кроме себя как такового еще категории различия. Одно различно с иным—таково первое необходимое утверждение диалектики. Но различное с иным не должно ли быть предварительно тождественно себе? Может ли одно быть отличным от чего–нибудь, если мы еще не знаем, что это «одно» есть именно одно и то же «одно», т. е. что оно самотождественно? Разумеется, 2) одно необходимым образом тождественно с самим собою, и след., ему присуща категория тождества. Итак, «одно» отлично от «иного» и тождественно с самим собою. Но тут же мысль требует и утверждений, противоречащих этим. В самом деле, «одно», говорим мы, отлично от «иного». Но ведь это «иное» тоже есть некое одно. Если бы оно не было таковым, оно было бы ничем, и можно ли было бы тогда говорить, что первоначальное «одно» отлично от него? Итак, «иное» также есть одно. 3) Это значит, что одно отлично от самого себя. Одно — не иное; иное = одному; след., одно не есть одно, одно отлично от себя самого. Далее, одно, как гласит наша первоначальная установка, тождественно себе, т. е. одному. Но одно, как мы сейчас только что нашли, не есть одно, отлично от себя. Стало быть, одно тождественно такому одному, которое отлично от себя, т. е. иному. 4) Другими словами, одно тождественно иному. Или: одно тождественно себе, одному; но это последнее есть иное одного; след., одно тождественно иному. Сводя найденные диалектические построения, необходимые для мыслимо–сти «одного» (1—4), мы получаем следующие аксиомы мыслимо–сти всякого одного.

1. а) Одно (нечто, сущее) отлично от иного.

b) Одно тождественно с иным.

2. а) Одно тождественно с собою.

b) Одно отлично от себя.

Кратко говоря, одно есть самотождественное различие. Это на первый взгляд весьма странное утверждение ничего не содержит в себе парадоксального или ошибочного. Ниже мы увидим, где подлинный смысл такого утверждения. Если мы имеем целое и его части, то о нем мы вполне можем, и если подумать, то и должны утверждать, что оно не только тождественно себе (в чем едва ли кто–нибудь будет сомневаться), но отлично от себя, ибо оно фактически состоит из частей и ничего в нем, кроме частей, нет, а тем не менее целое не есть сумма частей. Как целое, оно тождественно себе; как совокупность частей, оно отлично от себя. Но также надо рассуждать и в отношении «иного». Как целое, оно, разумеется, отлично от всего иного, ибо потому мы и именуем его специально, что оно ото всего отличается. Но как сумма всех своих частей, целое отлично от себя самого, т. е. иное, инаковость, содержит в самом себе и даже благодаря этой инаковости только и становится суммой частей; стало быть, оно тождественно с «иным». — Однако тождество и различие еще не обосновывают вполне мыс–лимости «одного».

b) Одно есть тогда одно, когда оно отлично от многого, т. е. когда проведена для него определенная граница. Граница и есть то самое, что заставляет одно быть сразу и отличным от иного, и тождественным с ним. Но представим себе, что мы имеем только категории различия и тождества и больше никаких других категорий «одному» не присуще. Если бы это было так и в действительности, то, имея некое одно, мы никогда не смогли бы перейти к «иному». Чтобы отличить «одно» от «иного», надо перейти от «одного» к «иному». Если нельзя перейти, нельзя двигаться, нельзя и различать, нельзя отождествлять, ибо что же именно тогда различается и отождествляется? 1) Значит, необходима категория движения. Чтобы одно отличить от иного, надо от одного перейти к иному; и чтобы одно отличить от него самого, т. е. отличить его от его частей, надо продвинуться и вообще двигаться в пределах этого одного. Итак, одно движется и внутри себя, и вовне, в ином. 2) Но допустим, что одно только движется <…>

МЕТАМАТЕМАТИКА АЛЕКСЕЯ ЛОСЕВА

Из Хаоса родимого Гляди — Звезда, Звезда!.. Из Нет непримиримого — Слепительное Да!..

Вяч. Иванов. Огненосцы

Перед нами новая книга А. Ф. Лосева, и это означает, что из глухой пелены небытия явился новый пласт творчества выдающегося мыслителя, а сам момент важного обретения нашей культуры нуждается в символической окраске подобающей яркости. Что же главное в этом творчестве, мощном и длительном, разностороннем и, вместе, необычайно цельном? Всякая мыслительная конструкция, всякое умопостроение (и умонастроение) у Лосева пронизаны универсальной интуицией, именно, интуицией «слепительного Да». В мире нет ничего, кроме света, а тьма и любые прочие, по излюбленному авторскому выражению, «степени затемнения» призваны только оттенять, окаймлять, обрамлять четкие контуры и видимые точки, являя неразрывное единение темного фона и лучезарного лика. Разум воистину призван равноправно сопрячь Тьму и Свет, Хаос и Логос, призван обнаружить хаокосмическую Гармонию.

§ 1. НЕДОСТАЮЩЕЕ ЗВЕНО