Хаос и структура

Но, очевидно, иную картину начинают представлять собою в этих условиях и сами вещи. Пока шла речь о простом и неразложимом их отражении, они были представлены в мысли тоже в нере–флектированном виде. Мы рассматривали части вещи, но возникавший в нашем мышлении смысл вещи отнюдь еще не содержал в себе этих частей в самостоятельном виде. Как смысл вещи не был чем–то самостоятельным, а был всецело только ее отражением, так и эти частичные моменты смысла не были тут чем–то самостоятельным и не были еще предметом нашей рефлексии. Если теперь эти частичные моменты смысла мы тоже будем мыслить самостоятельными, однако так, чтобы они все же оставались в сфере смысла, то они станут, очевидно, видовыми понятиями вещи. Как отраженный смысл вещи, дробимый вещественно, но остающийся ее смыслом, есть родовое понятие, которое уже не просто есть результат отражения, но и — в своей отраженности есть нечто самостоятельное, призванное служить принципом познания вещей, т. е. их активного осмысления для познания, так и видовое понятие, не будучи просто каким–то моментом смысла (или отражения, соотношения), есть нечто самостоятельное (оно и момент смысла, и совершенно самостоятельная вещественная данность), и оно же само является теперь принципом познания, т. е. принципом подведения отдельных индивидуальностей под общий смысл.

Итак: 1) существует независимое переменное—материальная действительность, вещи; 2) существует ее и их существенное отражение, или единый и неделимый смысл, в качестве функции этого независимого переменного, и 3) существует функция от этой функции, т. е. принцип дробления единого и неделимого смысла вещи в связи с движением и изменением данного независимого переменного, т. е. вещей, т. е. принцип превращения этого смысла в родовое понятие и в его виды.

Чтобы определить теперь, где же тут производная, надо всю эту картину представить инфинитезимально, т. е. тут нам надо войти в существенное соприкосновение с учением о бесконечно–малом.

4. Могут ли наши понятия — все равно, в виде ли совокупности признаков родовых и видовых или в виде неделимой цельности — быть чем–то неподвижным? Можем ли мы, находясь на позициях диалектического материализма и допуская ту или иную устойчивость понятий, в то же время отрицать их подвижность, их переменность, их непрерывное становление? Нет, не можем. Но если это так, то и аргумент нашей функции непрерывно движется, и сама эта первообразная функция непрерывно движется, и всякая функция от этой первообразной тоже непрерывно движется. Однако если это всерьез так, то ведь этим уже продиктовано точное и совершенно определенное отношение между всеми этими становлениями, если точно и определенно происхождение и самой функции от независимого переменного. Наша функция, едино и цельно отражающая независимо существующую вещь, необходимым образом становится, непрерывно меняется, дробится на свои бесконечно умаляющиеся значения. И если мы ее поняли как существенное отражение вещи, как цельный и неделимый смысл вещи, то сейчас, значит, возникает вопрос о становлении этого существа вещи, о дроблении этого смысла, о расчленении этого едино–неделимого существа вещи, отраженного в мышлении, о развертывании едино–цельного отражения вещи в мысли.

До сих пор наше существенное отражение вещи имело значение некоего слепого факта, само оставаясь нерефлектированным. Можно видеть вещь в ее существе, можно ее рефлектировать как существенно отличную от всех прочих вещей; но это еще далеко не значит, что мы рефлектируем самый ее смысл, ее существенный образ. Рефлектировать вещь еще не значит рефлектировать образ вещи. И пока рефлектируется сама вещь, ее образ, хотя и раздельный в себе, все же остается для мысли чем–то нераздельным и нерасч–лененным. И — совсем другое дело, когда этот образ именно как таковой сопоставляется с его окружением, т. е. прежде всего с теми же самыми вещами, к которым он относится. Этот образ тогда получает точно осознаваемую нами границу со всем прочим, он превращается в нечто доступное делению и расчленению, он становится дробимой величиной.

5. Получающаяся таким образом структура есть, как мы знаем, не что иное, как видовое понятие, или, вообще говоря, элемент, смысловая частность, но в непрерывном становлении. Ведь в видовом понятии дан, прежде всего, общий и неделимый смысл (ибо, говоря «дворец», мы знаем уже, что такое «здание», и, говоря «дуб», мы уже знаем, что такое «дерево»). С другой стороны, вид есть смысловое дробление общего смысла, и дробление, как мы теперь утверждаем, непрерывное. Это развертывание общего смысла происходит с точки зрения ориентации этого общего смысла среди непрерывно становящихся вещей. Смысл непрерывно дробится, и притом смысловым же образом, но — исключительно в целях отражения все тех же материальных вещей. Под влиянием изменения вещей, под влиянием разнообразия вещей первоначальный неделимый смысл вещи тоже изменяется, тоже разнообразится, тоже развертывается. Результатом этого и является видовое понятие. Как очевидно, вместе с этим впервые появляется и развитая совокупность признаков понятия, ибо даже элементарная логика учит, что существенные признаки понятия образуются из рода ц видового отличия. Понятие непрерывно развертывается, «дифференцируется» в развитое понятийное содержание, в совокупность рода и вида, в совокупность признаков вообще, возникающих тоже в результате бесконечно–малых нарастаний.

Эту картину надо усвоить точнейшим образом, иначе нечего и думать проникнуть в логические секреты математического анализа. Чтобы понять этот последний, и в частности категорию производной, надо вытравить в себе решительно все эти навыки формально–логической метафизической неподвижности. Надо с корнем вырвать у себя все эти заскорузлые представления о неподвижности понятий. И потому никакое повторение и разъяснение этой идеи о непрерывной текучести никогда не может быть у нас лишним.

Поскольку существенное отражение вещи сравнивается теперь с самой вещью как нечто целое, а самая вещь представляется непрерывно становящейся, то и дробление едино–цельного смысла вещи также становится обязательно непрерывным. Видовые различия, зарождающиеся на фоне рода, тоже должны зарождаться непрерывно, путем сдвигов, едва отличающихся от нуля, путем бесконечно–малых приращений. Вопреки мертвому механицизму обычной логики, оперирующей закостенелыми родами, видами и признаками, мы должны требовать, чтобы признаки понятия возникали путем бесконечно–малых нарастаний, чтобы и они вливались один в другой, непрерывно становились, непрерывно и сплош–но наполняли все понятие.

6. Разумеется, остановиться на этом нельзя. Одна чистая непрерывность была бы смертью для мышления и познания. Но как же тогда надо учить о видовых различиях понятия и, значит, о развитой совокупности понятия, чтобы не погибла его непрерывность и чтобы оно все же было раздельным в себе? Совершенно ясно, что для избежания полного растворения в этой непрерывности необходимо овладеть ее законом, так чтобы сразу получили и бесконечно–мало дробимый смысл, и в то же время общий закон этого дробления. А так как дробление это есть результат сопоставления смысла вещи как чего–то целого с самой вещью, то этот закон должен быть также и законом ориентации изучаемого нами смысла вещи, отраженного в мышлении, на фоне становления самой вещи.

Другими словами, в нашем видовом понятии дома, дерева, сада и т. д. мы должны теперь найти некую твердую и существенную структуру, которая бы уже не менялась при переходе от одного вида к другому и которая бы уже не была связана с внешними свойствами данного вида так слепо и неотчленимо. Эта–то структура и есть закон для всех этих соотношений смысла вещи с самой вещью, т. е. для всех возможных здесь видовых понятий и развитой совокупности признаков. Вещей—множество, и они непрерывно меняются; их свойства стихийно вливаются одно в другое до полной неразличимости. Но есть закон для этих непрерывных изменений вещи, который внедряется в поток непрерывности и делает его раздельным и устойчивым. Он так же необходим для мышления, как необходима и непрерывность, ибо одна чистая непрерывность будучи абсолютной неразличимостью, есть такая же гибель для мышления, как и чистая прерывность. Чистая прерывность убивает в мысли ее жизнь, а чистая непрерывность убивает в ней смысл.

Тут–то вот и залегают признаки понятия в их реальном научном употреблении, которые и есть не что иное, как само же понятие, но в его сопоставлении с вещью, т. е. представленное в дробном виде. И дробность эта, будучи результатом становления, уже не есть та дискретная дробность признаков, о которой учит школьная логика, но дробность существенно связанная с непрерывным становлением понятия. Она есть именно устойчивый закон этого становления, предел этого становления, направление этого становления, смысл этого становления. Печать этого закона становления лежит на всем становлении, на каждом мельчайшем его мгновении (ибо это последнее может быть определено и вычислено, если известен общий закон, или направление, данного становления), а на самом законе лежит печать этого становления (ибо закон этот, будучи предельным и нестановящимся, есть все же закон не чего иного, но именно становления). Так дробится единая и неделимая функция смысла вещи, отраженного в мышлении, на бесконечное количество непрерывно нарастающих функций смыслов; и так возникает закон, предел, направление этого непрерывного процесса нарастания смысла вещи в зависимости от непрерывного нарастания самой вещи.

7. Попробуем теперь провести аналогию с дифференциальным исчислением более точно. Вспомним элементарное геометрическое истолкование производной в анализе и сравним с этим то, что в логике называется определением понятия через совокупность признаков.

Пусть мы имеем прямоугольные оси координат, т. е. горизонтальную ось абсцисс, или ось jc–ob, и вертикальную ось ординат, или ось у–оъ. Пусть у есть какая–нибудь функция от х. Тогда эта функция геометрически изобразится в виде некоей кривой. Значит, если ось абсцисс есть линия изменения вещи, а ось ординат—линия изменения отражения или мышления, то полученная у нас кривая у=ƒ(x) есть цельное и неделимое существенное отражение данной вещи в мышлении, некий законченный результат и образ этого отражения. Эта кривая есть цельный и существенный образ некоего материально независимого переменного; и она тут имеет значение как нечто едино–неделимое, как таковая.

Согласившись с этой простейшей установкой, спросим себя: что значит дифференцировать эту функцию, принявшую у нас геометрический образ данной кривой? Мы берем на этой кривой какие–нибудь две точки МиМ'и сравниваем поведение кривой (или ее направление) в этих точках с осью jc–ob. Мы сразу замечаем, что кривая в этих точках по–разному наклонена к оси х–ов, кроме того, в одной точке, М, кривая, скажем, дальше от оси х–оъ, в другой, М\ она ближе к этой оси. Это обстоятельство для нас очень важно, так как тут мы как раз получаем возможность судить о нашем существенном отражении как о чем–то целом, сравнивая его как целое с соответствующим ему становлением вещи, т. е. тут–то как раз мы и начинаем рефлектировать это отражение как таковое.

Другими словами, наблюдая этот «наклон», т. е. «наклон» неделимого смысла вещи к изменениям самой вещи, мы впервые получаем возможность расчленять этот неделимый смысл — правда, расчленять еще пока не очень совершенно, ибо у нас еще нет закона и принципа этого наклона в их чистом виде, а есть пока некоторые, бесчисленно многие цельные образы этого наклона, т. е. бесчисленное количество этих наклонов. Полагаем, что тут без труда узнается выдвинутое у нас выше видовое понятие. Каждый такой наклон нашей кривой, нашего неделимого существенного отражения к оси абсцисс, к стихии материального становления, уже достаточно точно рисует нам искомое нами взаимоотношение смысла вещи с вещью и вытекающее отсюда вещественное расчленение этого неделимого смысла. Это уже не есть нерасчлененное понятие, но расчленяемое, дробимое. И тут мы, несомненно, сталкиваемся с видовым понятием, так как во всех этих частных изгибах и наклонах проявляется общая и неделимая кривая, общая и неделимая функция материального становления. До сих пор она была чем–то целым в себе. Теперь же, ориентируясь на движение х, мы разлагаем ее на бесконечное количество частностей. Она теперь стала для нас родовым понятием, распадающимся на бесконечное количество видовых понятий, непрерывно и сплошно истекающих одно из другого и вливающихся одно в другое.

Здесь, между прочим, необходимо обратить самое серьезное внимание на то, как надо понимать отношение рода и вида и что дает для этого математика. В то время как с точки зрения формальной логики виды механически складываются в общий ящик рода и не ставится никакого вопроса о реальном взаимоотношении видов между собою и взаимоотношении видов со своим родом, на самом деле все виды данного рода, взятые вместе, образуют некоторую вполне определенную структуру. Род не есть просто темная и бесформенная яма, в которую сбрасываются видовые кирпичи. Род есть точная и законченная структура, и вид есть тот или иной элемент этой структуры, связанный с нею точнейшим и структурным же образом (о структурности понятия, образуемой определенным взаимоотношением его признаков, мы будем говорить ниже; но отсюда, разумеется, вытекает и структурность понятия как родовой общности). Поэтому иллюстрация родового понятия как той или иной кривой, строго определенной своими координатами, т. е. аналитически данной в виде функции, в которой строго предусмотрен весь решительно порядок операций и весь их характер, эта иллюстрация даже и не есть иллюстрация; это — точный геометрический и аналитический образ всякого родового понятия, его наглядно данная логическая сущность. И точно так же видовое понятие так понимаемого рода есть не что иное, как тот или другой изгиб этой кривой, как то или другое поведение ее в данной точке, как тот или другой наклон ее к оси х, т. е. то или другое ее функционирование, которое теперь специально рефлектируется с точки зрения изменения х, т. е. с точки зрения изменения той первоначальной материи, из которой появилась и она сама (она сама ведь функция от х).

Это структурное представление родовой общности ни на минуту нельзя упускать из виду. В этом залог того, что общность мы всегда понимаем не как устранение всего единичного и индивидуального, но именно как богатство всего един[ичн]ого и индивидуального. Давно уже пора в этом вопросе перейти от слов к делу и перестать понимать общность как пустое складочное место, как бездонную бочку, в которой пропадает все частное, что в нее вливается. Мы твердим, что общее есть богатство индивидуального; а как понимать такое общее, никто и не знает. Великие слова Ленина об общности как о богатстве индивидуального пора осуществить на деле. И предлагаемое нами инфинитезимальное и структурное понимание общности есть первый к тому шаг. Частное, индивидуальное, видовое есть для нас только результат рефлек–тирования некоей фигурной структурности, непрерывно демонстрирующей нам свои сплошь возникающие изгибы и наклоны.

Могут спросить: но почему такую кривую мы должны считать родовым понятием? Ведь она есть просто определенный единичный индивидуальный образ. Что в ней общего? Общим в ней является то, что она есть геометрическое выражение некоей функции. Функция эта совершенно одинаково разлита по всей кривой, которая является поэтому той же самой кривой решительно в каждой своей точке. Какие бы изгибы мы в ней ни наблюдали, все они обнимаются одним общим видом и структурой этой кривой. Поэтому кривая тут есть обязательно некая общность; и если она в то же время есть и нечто единичное, то это нисколько не мешает ее общности. Наоборот, если бы мы стали развертывать эту проблему диалектически (а делать это мы здесь не будем, чтобы не отвлекаться), то общность и единичность понятия как раз и должны были бы совпасть у нас в одном цельном образе.

Итак, общее понятие, родовое понятие, будучи не просто безразличной свалкой признаков, но определенным их взаимоотношением и взаимораспорядком, есть всегда точная смысловая фигур–ность, и видовым понятием является не что иное, как тот или иной изгиб или наклон в этой фигуре, рефлектируемые с точки зрения изменений соответствующей вещи, т. е. путем материального дробления самой этой фигуры.

Точно математически эта рефлексия представляется в следующем виде.

Мы взяли на нашей кривой две точки. Каждая из них определяется известным значением χ и соответственно известным значением Сравнивая положение обеих точек, легко увидеть, насколько изменился x и насколько изменился у, т. е. легко увидеть происходящее здесь приращение на оси абсцисс и приращение на оси ординат.

Тут учебники анализа дают обычно элементарный чертеж, на котором отчетливо виден т. н. треугольник приращений MQM1 образованный обоими приращениями MQ и QM' и прямой ММ' соединяющей обе точки на нашей кривой, т. е. обоими приращениями и секущей данной кривой, проходящей через две избранные нами точки. На этом чертеже отчетливо видно, что сделалось с нашей кривой за время ее перехода от точки Μ к точке М' если это изменение ориентировать на изменениях х. Взявши отношение

приращении обеих координат, мы отчетливо можем судить о том, что именно претерпела кривая как целое в условиях ее рефлектирования с точки зрения изменений соответствующего ей аргумента. Это отношение есть не что иное, как тангенс угла Μ MQ, т. е. угла наклона полученной нами секущей к оси абсцисс.

Логическое значение этого тангенса огромно. Ведь для логики это же и есть первоначальный смысл, отраженный от вещи, но уже не сам по себе, не в своей цельности и нерасчлененности, а в своем рефлектированном сопоставлении с отраженной в нем вещью. В этом тангенсе мы имеем образ вещи, характеризующий нашу кривую, наше существенное отражение вещи, как раз с точки зрения сопоставления с самой вещью, с изменением значений х. Этот тангенс отвечает на вопрос: как первоначальный смысл вещи, цельно и неделимо отраженный в мышлении, расчленяется и детализируется, если мы захотим его в целом сопоставить с реальным становлением вещи, которую он отражает.

Но что значит сопоставить понятие о вещи как таковое с реальным становлением самой вещи? Пусть мы имеем в мысли существенный образ человеческого жилища, но образ еще не реф–лектированный, или, так сказать, не осознанный. Мы наблюдаем многочисленные экземпляры человеческого жилища и все время применяем имеющееся у нас нерасчлененное понятие жилища. После длинного ряда наблюдений мы удостоверяемся, что, например, наличие окон для жилища не обязательно: люди на низших ступенях культуры не пользуются окнами. Так же оказывается необязательным отдельное существование крыши или дверей (в теперешнем смысле слова). Произведя такой пересмотр многочисленных жилищ, т. е. рассматривая родовое понятие жилища и помещая разные значения нашей вещи «жилище» по оси абсцисс, мы теперь вправе спросить: а что же делается с ординатой, если она есть линия отражения и мышления, и в какие же отношения с изменениями по оси абсцисс вступают изменения так понимаемой оси ординат, создавая те или иные расчленения в нашем исходном существенном, но пока не расчлененном образе вещи? Естественно, что этот существенный образ, или смысл, есть нечто определенное, что он дает полную установку и на отбор таких материальных элементов, которые тоже существенны. Возникает некий закон, по которому мы отбираем из материальной действительности то, что именно существенно для расчлененного и рефлектированного отражения.

Этот подбор из вещи разных ее материальных моментов, существенных для расчлененного понятия о ней, и есть не что иное, как совокупность признаков понятия. Но совокупность эта, как мы видим, дана тут не в чистом виде, не так, как она есть везде и всегда на этой кривой, но—только в связи именно с данной такой кривой. Эта совокупность признаков понятия нашей кривой прикована здесь к своим частным значениям, к своим временным и местным проявлениям и неотделима от них. Если вся кривая есть родовое понятие, то данное, определенное значение определяющей ее функции, т. е. ордината определенной точки на данной кривой, есть не что иное, как видовое понятие данной кривой. Поэтому и упомянутый выше закон не есть ни понятие кривой просто (ибо это есть, как мы знаем, тот самый род, который тут дробится по определенному закону, оставаясь бессменным решительно на всем протяжении кривой, т. е. сама функция), но и не то частное, видовое значение и проявление закона (ибо это есть данное значение функции, т. е. значение ее в данной точке). А это значит, что найденный нами тангенс является не чем иным, как математическим представлением логической природы только видового понятия, или частности, а не самого закона проявления этих видов. Это именно видовое понятие таково; оно не различает общего смысла вещи (безусловно в нем наличного) от данного вида вещи здесь и теперь. Полученный нами тангенс можно считать законом, по которому соотносятся нерасч–лененные понятия вещи с самой вещью. Но законом в определенном преломлении. Это закон данной специфической совокупности признаков родового понятия, ориентирующий это понятие на фоне становления вещи, отражением и функцией которого оно является. Этот закон дан здесь в своем частном проявлении, применительно к данному месту и времени.

Однако остается еще один шаг, и—категория логической производной получает последнюю математическую и логическую ясность и точность. Этот шаг ясен наперед: надо добиться общего выражения полученного нами закона. Надо отчленить общий закон от его частного проявления; и надо от видового понятия отделить самый закон его возникновения; надо получить видовое понятие как результат некоего принципа развертывания общего понятия, как становящееся основание для их появления. Если мы определяем жилище как приспособление для защиты от атмосферных явлений, то пусть мы уже не будем тут ставить вопросов: а какое это приспособление, большое или маленькое, вот это–то вот или вон то или — а какая это защита, хорошая или плохая, а какие это атмосферные явления, дождь, холод, зной, снег, град, гром и молния или еще что–нибудь. Нет, всё это—те или иные представления или виды жилища, более или менее общие, а не принцип деления понятия жилища. Нет, теперь уж пусть будет у нас приспособление вообще (неважно, какое именно в частности), защита вообще и атмосфера вообще. Но зато всю эту общность, взятую целиком, мы теперь преломляем сквозь призму какого–нибудь одного частного принципа. Мы берем, напр., время года и рассматриваем его как принцип развертывания родовой общности. Жилища, согласно этому принципу жилища, могут оказаться, напр., зимними и летними. Если такой принцип имеется, то, очевидно, он уже не будет просто тем или иным видовым понятием, но под него подойдет много отдельных видовых понятий. И если мы его формулируем отдельно, то этим мы отделим его и от каждого отдельного видового понятия, и от общего родового понятия. Этот принцип и направление возникновения видовых понятий на лоне общего родового понятия мы и называем логической производной данного родового понятия.

8. Здесь мы, наконец, можем внести во все наши рассуждения последнюю ясность—в целях получения категории производной функции, — привлекая одну простейшую и общеизвестную категорию из школьной логики.

Производная есть предел дробления родовой общности, или родового понятия, т. е. принцип этого дробления. То, что развертывается на лоне родового понятия, то, что непрерывно становится здесь, развертывается и становится по определенному принципу, дробится и делится по определенному принципу и основанию. Не встречаем ли мы здесь своего старого знакомого в школьной логике, знаменитое «основание деления», principium divisionis, без которого, как справедливо учит школьная логика, не может быть никакого планомерного деления рода на виды? Да, именно так. Производная от данного понятия и есть не что иное, как основание, или принцип, деления его на виды. Она есть не что иное, как ин–финитезимальный коррелят обычного формально–логического «основания деления».

В самом деле, основание деления, если его не понимать так вещественно изолированно, как это делает формальная логика, констатирующая только самый факт «основания деления», есть, конечно, предел для всех относящихся к нему видов. Это есть направление, в котором происходит деление. Пусть мы делим треугольники на известные три вида. Эти три вида треугольников предполагают, что мы рассматриваем треугольники с некоторой одной точки зрения, с точки зрения отношения его углов к прямому углу. Эта точка зрения, этот принцип, это основание и есть то, что руководит нами при перечислении трех видов треугольников. В логическом смысле «отношение углов треугольника к прямому углу» есть то, что каждый раз по–своему стремится выразить и прямоугольный, и остроугольный, и тупоугольный треугольник. Может ли это отношение выразиться где–нибудь целиком? Конечно, нет. Когда оно выражается определенным образом, напр., в прямоугольном треугольнике, то ведь кроме этого остаются невыраженными другие его возможности. Итак, основание деления рода на виды есть, несомненно, предел или принцип для выражения возникающих здесь отдельных видов. И если мы не будем считать, что виды складываются вроде как камешки в ящике, а будем фиксировать непрерывное появление видов на лоне рода, то—соответственно— и формально–логическое «основание деления» перестанет быть категорией, резко изолированной от видов, а станет к ним в такое отношение, чтобы было видно, как их бесконечное стремление, их непрерывное взаимослияние, их взаиморасхождение регулируется каким–то одним законом, который остается неизменным при любых изменениях, и что этот предельный закон и есть непрерывно функционирующее здесь «основание деления». Далее, в формальной логике большею частью не ставится вопроса о том, откуда же берется «основание деления», если его сравнить с тем родовым понятием, которое здесь делится. Это «основание деления» никак не связано здесь с видами, но оно также никак не связано и с делимым родом. Связь с видами мы только что установили как предел, регулирующий появлению видов. Как же теперь инфинитезимально связать это «основание деления» с делимым родовым понятием? Только понимание «основания деления» как производной способно дать тут удовлетворительное решение вопроса.

В самом деле, в понятии производной входит отношение между становлением функции и аргумента. Другими словами, здесь берется родовое понятие (функция) и отраженная в нем вещь (аргумент) и берется их отношение, т. е. они сравниваются. Что это значит? Что значит сравнить данное родовое понятие вещи с самой вещью? Это значит их соотнести, отразить одно на другом. Правда, родовое понятие уже с самого начала появилось как результат отражения вещи. Но когда оно впервые только появлялось, еще не ставился вопрос о его соотношении с вещью как чего–то целого и законченного. Как мы говорили выше, у нас тут рефлектирова–лась вещь (для получения ее отражения), но еще тем самым не рефлектировалось ее отражение, ее образ. Теперь же мы уже имеем цельный и законченный образ вещи, и теперь мы можем именно этот цельный и законченный образ вещи соотнести с самой вещью. И что же мы тут получаем? Мы тут получаем возможность рассматривать общее понятие с точки зрения изменений вещи, т. е. вносить в него самого эти вещественные изменения, — конечно, с их смысловой модификацией, которая требуется отобразительной и функциональной природой понятия и мышления.

Другими словами, мы имеем родовое понятие собаки, которое было просто существенным (и потому обобщенным) отражением Жучки или Мумки, и больше ничего. А теперь мы смотрим на те различия и изменения, которые существуют в Жучках и Мумках, и вносим их в наше родовое понятие собаки. Так мы замечаем, что собаки имеют разный цвет шерсти. И мы вносим в родовое понятие собаки, рассматриваемое как функция самой собаки, этот самый цвет, начинаем рассматривать понятие собаки с точки зрения цвета шерсти, т. е. начинаем делить родовое понятие собаки на виды с точки зрения того «основного деления», которое есть «цвет шерсти». Получаются собаки черные, белые, рыжие, пестрые и т. д.

Таким образом, понимание «основания деления» родового понятия как производной от этого понятия вскрывает очень сложный и глубокий процесс, возникающий во взаимоотношениях этого родового понятия с основанием деления его на виды. Процесс этот предполагает: 1) обладание уже готовым родовым понятием вещи как функцией вещи; 2) непрерывное его изменение, сопоставленное с таким же изменением вещи, или, вернее, смысловое отображение вещественных изменений в данном родовом понятии; и 3) нахождение точного принципа для этого сопоставления, для этого вещественного отображения в родовом понятии, т. е. для возникновения видов на лоне общего рода. Этой сложной картиной заменяется в инфинитезимальной логике слишком нехитрая формально–логическая теория «основания деления» понятий, состоящая из простого констатирования неизвестно откуда взявшегося «основания деления».

В школьной логике мы безоговорочно проповедуем: род делится на виды, из рода вытекают виды, виды выводятся из рода. Но как все это возможно? Ведь, строго говоря, из чистого понятия ровно ничего дедуцировать нельзя. Это—только темная и узколобая аберрация мысли думать, что из понятия вещи можно дедуцировать его виды. Из понятия дома как именно понятия совершенно невозможно дедуцировать ни понятия дворца, ни понятия лачуги, ни понятия храма, ни понятия конюшни. Если мы такую дедукцию производим, то только путем сопоставления данного понятия вещи с самой вещью, вернее, с изменением вещи, так что при этом наше понятие и оказывается охватывающим много разных видов данной вещи, т. е., попросту, делится на разные видовые понятия. И вот эту–то ценнейшую мысль для всякого реалистического понимания логики и выражает инфинитезимальное понимание «основания деления», т. е. понимание его как производной. «Основание деления» данного общего понятия действительно дедуцируется, выводится из самого понятия, есть его производная функция, но только так, что эта дедукция есть только сопоставление с соответствующей вещью как с независимым переменным, и только так, что это «основание деления» есть предел и принцип, закон для бесконечного числа непрерывно изливающихся друг в друга видовых понятий данного общего понятия.

Вот что такое производная математического анализа в ее логическом раскрытии, вот каков ее формально–логический коррелат, и вот каков должен быть принцип деления общего понятия.

Посмотрим, как тут рассуждают математики, и прежде всего обратим внимание на то, что такое тут искомое нами «общее». Не забудем, что мы здесь все время действуем в условиях бесконечного и непрерывного процесса. Мы исходим из бесконечного и непрерывного становления аргумента и устанавливаем такое же становление и зависимых от него функций. Найти здесь что–нибудь «общее» — это не значит найти какое–нибудь[205] абсолютно неподвижное общее. Наше общее тоже должно находиться в становлении или по крайней мере быть принципом становления. Исходя из этой общеин–финитезимальной позиции, математики рассуждают так.

Мы брали на нашей кривой две точки Μ и М' и вычисляли связанное с этим приращение по обеим осям координат. Приращение это было — определенных размеров, конечное приращение. Но, чтобы остаться на позиции бесконечно–малых, очевидно, надо говорить о бесконечно–малых приращениях, другими словами, надо исследовать, как меняется наша кривая в отношении к абсциссе в мельчайший, в исчезающе малый момент своего протекания. Для этого надо допустить, что наш χ изменяется на бесконечно–малую величину, и тогда таким же, вообще говоря, будет и приращение у, т. е. обе наши точки сблизятся на бесконечно–малое расстояние; а секущая ММ\ соединявшая обе точки кривой, превратится в пределе в касательную к нашей кривой в той точке А/, которую мы оставили неподвижной и к которой приближали на бесконечно–малое расстояние другую точку кривой Μ'. Стало быть, в условиях бесконечно–малых приращений аргумента и функции свидетелем поведения кривой в данной точке будет уже угол между касательной к ней в данной точке и осью абсцисс; и само отношение между этими приращениями функции и аргумента, взятое в пределе, при Ах, стремящемся к нулю, окажется тангенсом угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

Этот новый тангенс существенно отличается от прежнего. Прежний тангенс составлялся как отношение конечных приращений. Поэтому зависимость его не была общей. Этот тангенс характеризовал наклон к оси абсцисс некоей секущей, соединявшей две определенные точки на нашей кривой, находящиеся на конечном расстоянии друг от друга. Теперешний же тангенс есть предел отношения бесконечно–малых приращений ординаты и абсциссы, предел, к которому стремится отношение приращений функции и аргумента в условиях стремления приращения аргумента к нулю. Этот «наклон» и тангенс приходится, так сказать, на каждую инфинитезимальную единицу. Это есть производная от функции, взятая по ее аргументу, которая имеет общее выражение решительно на всем непрерывном протяжении нашей кривой; она есть нечто тождественное самой себе решительно везде. Поэтому и значимость ее на этот раз уже не частная, не частичная, но—совершенно общая, и притом инфинитезимально общая. Это — вполне определенная, единственным образом выраженная функция того же аргумента jc, принимающая бесконечно разнообразные значения в связи со становлением х.

Если задаться целью понять это построение не математически, а чисто логически, то, очевидно, здесь идет речь о нахождении такой смысловой общности видовых понятий, которая уже не была бы связана со всеми случайностями применения этого понятия в данной случайной ситуации, т. е. для данного видового понятия, но которая, наоборот, везде в этих случаях оставалась бы сама собой. Эта смысловая общность, как мы выше установили по Ленину, должна быть, кроме того, законом для всего относящегося сюда индивидуального, т. е. законом отбора и распределения всякого случайного материала и превращения ею в осмысленную действительность. Полученная выше производная как предел отношения приращений функции и аргумента, или, геометрически, как тангенс угла наклона касательной данной кривой к оси абсцисс, есть, с логической точки зрения, не что иное, как принцип бесконечной и непрерывной последовательности видовых значений данного понятия, как такое общее, которое содержит в себе бесчисленное количество индивидуальных, видовых проявлений выступающего здесь существенного отражения вещи, как закон изменения понятия вещи в зависимости от непрерывного становления самой вещи.

Вместе с тем мы достигаем и последней ясности, если привлечь ради аналогии одну категорию формальной логики, понятную уже для каждого школьника, это — категория «основания деления» понятия. — В самом деле, будем рассуждать как математики при геометрическом получении производной. Сближаем наши две точки на кривой, изображающие ее конечное нарастание. Это значит, что мы сближаем два вида одного родового понятия, напр. «бульдог» и «овчарка», из общего понятия «собака». Вот мы их сблизили на бесконечно–малое расстояние, т. е. когда разница между ними стала бесконечно близкой к нулю. Следовательно, тут нужен нуль в качестве предела. Наши две точки в пределе сливаются, наша секущая становится касательной, наши два видовых понятия в пределе сливаются в одно. Но во что же именно сливаются в пределе оба наши видовые понятия? Во что сливаются «бульдог» и «овчарка»? Тут, конечно, напрашивается мысль о слиянии двух видов в одном родовом понятии. Однако родовое понятие есть общность, безразличная к изменениям материального мира, а мы рассматривали видовые понятия как именно ориентированные на изменения материального мира, как именно материально специфицирующие общее родовое понятие. Следовательно, нам необходимо не просто слияние видов в роде, но обобщение их как разных примеров спецификации. Другими словами, нам нужно сейчас то общее, что находится во всех спецификациях данного родового понятия, а не просто само родовое понятие. Теометрически это есть предельное сближение двух точек кривой, т. е. доведение их материального изменения (по оси х–ов) до бесконечно–малого и соответствующего отражения (по оси j–ob) тоже до бесконечно–малого. А логически это есть — в пределе—то, что является одним и тем же и в понятии «бульдог», и в понятии «овчарка». Что же это? Порода. Порода есть тут тот самый принцип и основание, по которому мы делим понятие собаки. Она—тот, никогда не достижимый предел для отдельных пород, который, одинаково присутствуя во всех породах, регулирует их появление в условиях процесса становления «собаки» в виде тех или других пород. «Собака» везде и всегда определенным образом ориентирована относительно материального мира и его изменений (рост, строение ног, ушей, хвоста, психические способности и т. д.), и эта ориентация, этот «наклон» (выражаясь геометрически) и есть порода. Точно так же и в геометрии направление кривой в любой точке понимают как направление касательной к кривой в этой точке. Отсюда и приведенное выше определение производной от данной функции как тангенса угла наклона касательной, проведенной в той или иной точке кривой, изображающей данную функцию, к горизонту. Этот тангенс есть, так сказать, основание деления данной кривой на отдельные ее изгибы, наклоны и вообще направления. Именно по этому принципу мы различаем одну точку кривой от другой на фоне общей линии х–ов, или горизонта.

Совершенно ясно, что производная математического анализа есть «основание деления» понятий в логике. И ясны все преимущества математического анализа перед обычной логикой, поскольку «основание деления» понятия в формальной логике лишено всякого принципного и предельного значения и неясно его отношение ни к тому понятию, которое делится, ни к тому, которое получается в результате деления. Все это такие вещи, которые в формальной логике «сами собой разумеются». Главное же отличие производной от «основания деления» — это ее инфинитезимальный характер: она действует в условиях сплошной, непрерывной текучести и вещей, и определяемых ими понятий, и самого взаимоотношения вещей и понятий, в то время как «основание деления» понятия берется как нечто готовое неизвестно откуда, под него подводятся готовые, абсолютно изолированные друг от друга и потому опять–таки неизвестно откуда получаемые видовые понятия, и этими видами наполняется исходное родовое понятие, как мешок картошкой или бочка селедкой. Непрерывная текучесть мышления — вот тот единственный и неоцененный дар, который приносит с собою в логику категория производной функции.

Таково замечательное логическое значение математической категории производной функции. Она есть закон непрерывного становления, рассматриваемого как функция (или отражение) непрерывного становления самой вещи. Это совершенно ясно как логически, так и математически–аналитически и геометрически.

9. ПРЕИМУЩЕСТВА ИНФИНИТЕЗИМАЛbНОГО УЧЕНИЯ О ПОНЯТИИ В СРАВНЕНИИ С ТРАДИЦИОННЫМ ФОРМАЛbНО–ЛОГИЧЕСКИМ

Что дает нам эта инфинитезимальная теория понятия и его признаков в сравнении с обычным учением? Она дает не так уж[206] много; но традиционная теория совершенно не касается этих вопросов и ограничивается лишь внешним описанием того, какие бывают признаки понятия. Тут вполне наивно обходятся молчанием три фундаментальных вопроса.

1) Каково отношение признаков понятия (и их совокупности) к самому понятию (т. е. сводится ли последнее на них или нет, и если не сводится, то — что именно содержится в самом понятии такого, чего не было бы в его признаках)?

2) Какое отношение существует между самими признаками?

и 3) Каково логическое отношение понятия как совокупности признаков к соответствующим вещам?

При современном развитии научного сознания невозможно трусливо обходить эти вопросы и считать, что ответ на них понятен и сам собой, без всякого исследования. На все эти вопросы инфинитезимальная логика дает четкий и острый ответ, хотя, несомненно, это далеко не единственный подход к делу и возможно и много других ответов.

Во–первых, как относятся признаки понятия к самому понятию? Что признак понятия не есть само понятие, это ясно: желтый цвет яблока далеко еще не есть само яблоко, ибо желтизна может быть свойственна и другим предметам, а яблоко может и не быть желтым. Уже самое выражение «признак понятия» говорит за то, что признаки понятия не есть само понятие и само понятие не есть его признаки. Но если так, то в каком же отношении находятся между собою признаки понятия и само понятие? Ответ инфините–зимализма здесь четкий и острый: признаки понятия возникают в нем в результате бесконечного становления этого понятия согласно тому или иному принципу, т. е. в результате его соотношения с бесконечным становлением соответствующего ему независимого переменного, т. е. материальной действительности. Мы смотрим, как понятие вещи ведет себя в его инобытии, смотрим на него извне, с точки зрения становящихся вещей; и это открывает нам в нем ту определенную закономерность, которая и ориентирует его судьбу в его материальном инобытии. Отсюда сразу делаются понятными два обстоятельства: полная независимость признаков понятия от самого понятия, если их брать в их непосредственном содержании (это — потому, что понятие здесь выступает не само по себе, но так, как оно дано в независимо от него существующих вещах), и проявление в этих признаках понятия все же не чего другого, как именно самого же понятия (это — потому, что выступающее здесь в инобытийном становлении понятие все–таки остается не чем иным, как именно понятием).

Поэтому на поставленный вопрос мы, пользуясь методом бесконечно–малых, можем ответить так: понятие объединяется со своим отрицанием (или инобытием) в непрерывное становление, а это становление доходит до ставшего, т. е. до своего предела, что и есть принцип для установления той или иной совокупности признаков понятия. Признаки понятия, таким образом, не есть просто какие–то готовые шарики, положенные в готовый ящик, но они есть предельный результат становления понятия.

Когда обыватель говорит о дифференциации, то он мыслит просто различение и разделение. Дифференцировать тему, вопрос, изложение, мысль и т. д. — значит попросту расчленить. От этого момента, конечно, мы не можем отказываться в своем понимании дифференцирования. Но остановиться на этом—значит ограничить себя расчленением целого на конечные, неподвижные и взаимно–изолированные, взаимно–дискретные куски. Вместо этого мы пускаем наше целое в непрерывное становление, в непрерывное, исчеза–юще–малое дробление. Это—раз. Значит, наше «недифференцированное» понятие, прежде всего, течет, плывет, незаметно нарастает, сплошно и незаметно становится. Однако если бы наша дифференциация ограничилась только этим, то это было бы переходом в полную неразличимость, и наше понятие впало бы в противоположную крайность, перейдя из нерасчлененного состояния прямо в абсолютное растекание. Тут происходит еще и нечто другое. Оказывается, это растекание происходит по некоторому определенному закону. Это сплошное становление понятия не совершается как попало, но обладает некоторым вполне определенным принципом. Принцип этот и есть принцип возникновения частностей из общей целости и из родового единства понятия в зависимости от материальных изменений соответствующей вещи. Как бы разнообразно ни было понятие вещи в связи с разнообразными изменениями самой вещи, оно все же содержит в себе те или иные законы для всех этих своих разнообразных применений, оно есть то общее, которое—как принцип—содержит в себе неисчислимое богатство соответствующего индивидуального.

Итак, инфинитезимальное понимание понятия в связи с производной как с принципом определения понятия отличается от традиционного учения о понятии как совокупности признаков в четырех пунктах. 1) Признаки понятия веши есть функция самого понятия вещи, подобно тому как понятие вещи есть функция самой вещи. Этим совершенно точно определяется как раздельность вещи, понятия и признаков, так и их единство, вместо обычного смутного представления об этом в учебниках. Другими словами, признак понятия вещи есть отношение понятия к вещи или, точнее, отношение смысла вещи к становлению и изменению самой вещи, т. е. признак понятия вещи есть то, в чем тождественно понятие вещи и то или другое изменение вещи. При помощи своих признаков понятие ориентируется среди изменений материального мира. 2) Признаки понятия не есть результат механического дробления понятия и не есть нечто данное раз навсегда как некая окостеневшая вещь. Но, будучи, вообще говоря, функцией понятия, предполагают его непрерывное становление, так что признаки непрерывно возникают или отпадают—в процессе исследования у самого исследователя, в процессе истории науки, в процессе технического применения науки, в процессе общественно–политического, культурного и общеисторического преломления данного понятия и т. д. 3) Это непрерывное становление понятия вещи есть отражение непрерывного становления самой вещи, ибо признаки понятия есть только результат сопоставления смысла вещи с изменениями самой вещи, а становление признаков понятия вещи и есть становление самого понятия вещи. 4) Становление понятия и его признаков подчиняется определенному общему принципу (одному или нескольким), охватывающему все богатство индивидуальных значений и проявлений понятия в реальном познании вещей, каковой принцип и есть принцип установления данной совокупности признаков понятия в известный момент его функционирования в материальном мире и его познании (в то время как о познавательной ценности понятия как простой совокупности признаков традиционная теория обычно ничего не говорит).

С этой точки зрения понятие вместе со своими признаками есть некоторая относительно устойчивая цельность со своим собственным внутренним принципом и со своей собственной внешней структурой, что дает возможность рассматривать это понятие в некотором условном отрыве от бытия (подобно тому, что делает математика со своими абстрактными построениями) и что дает право на существование, между прочим, и формальной логике. Нет ничего плохого в том, чтобы рассматривать понятие как некоторый готовый результат и как некоторую относительную устойчивость, ибо в понятии наряду с подвижными и текучими элементами не может не быть и элементов устойчивых и более или менее постоянных. По этой причине формальная логика навсегда останется в науке и жизни как совершенно необходимый и неизбежный метод мышления, поскольку без нее мышление превратилось бы в чисто иррациональную текучесть и нельзя было бы говорить не только о раздельных признаках понятия, но и о самом понятии. Покамест человеческое знание будет выражать собою и отражать постоянство в мире и его более или менее устойчивые закономерности, покамест человеческое мышление будет отражать более или менее неизменные тенденции вечно изменяющейся действительности, до тех пор формальная логика будет сохранять свое право на существование и останется в принципе неуязвимой.

И тем не менее формальная логика только в совокупности с другими методами, а именно, методами, отражающими становление действительности, и, прежде всего только в соединении с диалектикой и инфинитезимальной логикой, может претендовать на обратное воздействие мышления на бытие, т. е. она в соединении с другими, более органическими методами мышления может претендовать на познавательное значение и на участие в переделывании действительности человеком. И поэтому, признавая за формальной логикой полное право на расчленение устойчивого понятия и на получение таких же устойчивых и разъединенных признаков понятия, мы должны признать такую ее позицию не в абсолютном смысле, но лишь как условную и относительную, как входящую в общую органическую жизнь мышления только в виде одного из ее многочисленных моментов. Это ясно в такой же мере, в какой мере неразъединимы в бытии и мышлении их прерывность и их непрерывность.

Во–вторых, как относятся между собою признаки понятия! Традиционная теория ограничивается здесь только «перечислением» признаков. Но это, конечно, не есть решение вопроса. Тут у школьных авторов тоже очень простой способ рассуждения — это сведение логики на вложение неподвижных вещественных объемов друг в друга. На самом же деле признаки понятия не просто наличны в понятии, но еще и определенным образом соотносятся. Если мяч мы будем определять как «резиновый шар с нагнетенным воздухом», то только слишком примитивная логика может говорить, что понятие мяча «состоит из признаков» — «резина», «шар», «нагнетать» и «воздух». Эти признаки, кроме того, что они наличны, еще и находятся в настолько точном и нерушимом соотношении, что их можно употреблять только в таком виде, а не иначе. Например, «резина» здесь есть только свойство, или качество, «шара», и ни в каком другом соотношении эти два признака между собою не находятся. Тут нельзя мыслить такие соотношения, как «резина» и «шар» или «резина без шара». Одно дело — «дом отца», другое дело — «отец дома». Предлог «с» в нашем определении шара вовсе не есть нечто необязательное или неопределенное, равно как это же есть и просто признак. Это вполне определенное соотношение между двумя (или несколькими) совершенно определенными признаками.

Вот это–то очень важное обстоятельство для характеристики взаимоотношения признаков и фиксируется с замечательной простотой при помощи категории функции. То, что понятие мы интерпретируем как функцию, это и есть попытка взять совокупность признаков понятия как результат соотношений, а не как просто формально перечисляемую сумму признаков вне всякой зависимости от их последовательности или взаимоотношения. Функция данного аргумента ведь есть не что иное, как результат определенного ряда действий, произведенных над аргументом. Если понятие у нас есть производная функция, то этим достаточно четко рисуется то, что в понятии признаки не просто перечислены, но еще и определенным образом соотнесены.

И наконец, в–третьих, каково логическое отношение понятия о вещи к самой вещи? Если миновать огромное количество ответов на этот вопрос, устаревших в настоящее время, и взять ответ наиболее у нас современный, то самое большее нам скажут, что это отношение есть отражение. Спору нет о том, что это — ответ наилучший. Однако он до чрезвычайности общий, и непроработка его грозит превратить все учение об отражении в простую фразу.

Конечно, понятие вещи есть отражение самой вещи. Но какое? Не всякое же отражение есть понятие. Прежде всего, это есть существенное отражение, отражение сущности вещи. Далее, сущность, или существо, вещи есть функция вещи. Хотя между вещью и ее смыслом существует не только функциональное отношение, но для логики важно, что тут наличествует именно функциональное отношение. Однако мало и этого. Не всякая сущность, или смысл, вещи есть понятие, и не всякая функция смысла есть понятие. Мы можем сколько угодно владеть смыслом вещи, но в то же время — не иметь понятия вещи. Ребенок, впервые натыкающийся на огонь и судорожно отдергивающий руку от него, прекрасно узнает смысл огня; но это еще не значит, что он владеет понятием огня. Понятие есть нечто гораздо более развитое, чем смысл. Понятие есть нечто такое, что есть результат сопоставления понимания с другими пониманиями, это понимание, соотнесенное со всем другим, ориентированное среди прочего, оформленное и осуществленное.

Таким образом, то, что называется понятием как совокупностью признаков, есть не просто отражение вещи, но известного рода переработка этого отражения. Метод бесконечно–малых мощно и отчетливо гласит, что эта переработка есть не что иное, как дифференцирование, или получение производной. Означенная переработка происходит здесь, как мы узнали выше, в переходе в становление, зависимое от становления вещи, и в переходе этой зависимости двух становлений к пределу.

Инфинитезимальная теория прекрасно рисует познавательную роль понятия, в то время как традиционная теория касается этого только в своем учении о происхождении понятия (априорном или чувственном), а происхождение ровно ничего не говорит на тему о логической и познавательной значимости и уже предполагает эту значимость известной (так, Кант учит вовсе не о том, что такое пространство, но о том, как и откуда оно происходит; а что такое само–то пространство, это уже ему известно до исследования). Инфинитезимальная же теория в нашем построении исследует в первую голову вопрос о познавательной и логической значимости понятия.

Понятие вещи есть отражение вещи. Однако это будет пустой и незначащей фразой, если мы четко не покажем конкретного строения самого понятия. Если понятие есть такое отражение, что оно есть абстрактная общность, не имеющая никакого отношения к индивидуальным вещам и к индивидуальным представлениям, то какое же это отражение? Это — пустая фраза, а не отражение. Если же понятие всерьез отражает вещь, то его общность должна сохранить в себе все бесконечное богатство индивидуального, что есть в вещах данного рода. Но так как это индивидуальное нельзя понимать здесь буквально (ибо тогда общее понятие просто растворилось бы в море частностей), то оно дано здесь как принцип получения индивидуального во всем его бесконечном и непрерывном нарастании, как метод охвата всех индивидуальных явлений, сюда относящихся, как закон непрерывного становления данного общего в любой частной и случайной обстановке, предел этого становления.

Такое вот понимание общего понятия действительно и всерьез хочет выставить на первый план именно познавательную роль понятия и показать ее на структуре самого понятия, а не отделаться здесь пустой и ничего не говорящей фразой. Но это понимание—всецело инфинитезимальное. Если понятие, дифференцируясь, создает свою производную функцию, то этим сразу охватывается и то, что оно есть отражение вещи, и то, что как сама вещь, так и оно само находятся в непрерывном становлении, и то, что оно содержит в себе принцип охвата бесконечного богатства относящихся к нему изменений материального мира.

Так три огромных вопроса о логической природе понятия (а стало быть, и мышления) получают с точки зрения учения о бесконечно–малых одно из самых глубоких и оригинальных решений.

Если мы хорошо усвоили понятие производной, можно перейти наконец и к понятиям дифференциала и интеграла в логике. После всего предыдущего исследования оно уже не составит для нас больших трудностей.

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ В ЛОГИКЕ

1. Для усвоения дифференциала как логической категории посмотрим, как рассуждают математики в их собственной науке.

Чтобы получить категорию дифференциала, уже надо иметь категорию производной. Что такое производная, мы знаем. Допустим, что у нас уже имеется производная у' от какой–нибудь функции у. Возьмем какое–нибудь любое, т. е. совершенно произвольное, приращение независимого переменного ∆х и возьмем произведение данной производной на это произвольно выбранное приращение х. Это произведение

dy=y'∆x

и есть не что иное, как дифференциал функции у.

Для тех, кто не имеет математического образования и сталкивается с этим выражением впервые, необходимо заметить, что выражение это имеет мало общего с получением производной. Хотя произвольно выбранное приращение независимого переменного, а значит, и сам дифференциал неизменно текут и непрерывно становятся, самый этот процесс бесконечно малого становления скрыт[207] здесь только в самой производной, но совершенно не имеется в виду ни в том, ни в другом приращении. Приращение независимого переменного Ах есть нечто совершенно не зависящее от нас, нечто вполне произвольное; это какое угодно приращение, а не только то бесконечно–малое, которое было нам необходимо для получения производной. В связи с этим и дифференциал, хотя он даже в двойном смысле предполагает непрерывность становления, во–первых, ту, благодаря которой возникает производная, и, во–вторых, свою собственную, — сам по себе все же является некоей определенной и устойчивой величиной и есть не становление, но результат этого становления, т. е. ставшее.

Математики говорят—очень выразительно — еще и так. Дифференциал функции есть функция двух разных переменных, ибо и производная, и произвольное приращение Δx тут совершенно независимы друг от друга. Произвольное приращение независимого переменного потому и называется произвольным, что оно не связано здесь никакими условиями. Α ∆х входившее у нас для получения производной, как бесконечно–малое не имеет ничего общего с нашим теперешним ‹∆у.

Предыдущее определение дифференциала функции мы можем определить и несколько иначе, давши более симметричную формулу. А именно, что такое это ΔχΊ Чтобы ответить на этот вопрос, определим, что такое был бы дифференциал от х, т. е. для случая, если функцией от χ является сам же χΊ Так как производная от самого независимого переменного равняется единице, то приведенную выше формулу мы можем переписать так:

dx=∆x,

т. е. для случая, когда χ есть независимое переменное, можно писать:

dy=y'dx.

Другими словами, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимого переменного.

2. Надо сказать, что, давая столь ясное и безупречное построение, математики очень мало сделали для его логического разъяснения (да они едва ли и были обязаны это делать, так что насколько формально ясна и отчетлива математическая идея дифференциала, настолько неясна и неотчетлива она логически).

Что такое дифференциал функции? Самое грубое разъяснение этого заключалось бы в том, что это — обыкновенная конечная величина. Позитивисты из математиков так обыкновенно и бахвалятся, что–де тут и задумываться не над чем: дифференциал, если его вычислить, есть 1, 2, 3 или какое–нибудь другое число или величина. По–видимому, это очень примитивное суждение. Таким образом можно аннулировать весь математический анализ, так как производная тоже может быть конечной величиной, интеграл — гоже конечная величина, всякий предел тоже есть нечто конечное или по крайней мере точно установленное, постоянное и т. д. и т. д. Математическое опровержение этого заключается в том, что дифференциал есть не просто величина, но—функция, т. е. предполагает наличие определенного закона получения этой величины. Кроме того, дифференциал даже и в виде функции отнюдь не всегда имеет определенное значение. Известны такие непрерывные функции, которые не во всех своих точках дифференцируемы, т. е. соответствующая им кривая не везде имеет касательную. Такие функции дифференцируются, т. е. имеют производную, но эта производная не во всех точках обладает определенным значением. Однако раз есть производная, есть и дифференциал, и раз производная не везде обладает определенным значением, то и дифференциал такой функции отнюдь не везде получает точное и определенное значение. Таким образом, сказка о дифференциале функции как о той или иной только конечной величине рушится сама собой.

Кроме того, если бы дифференциал был только конечной величиной, то это означало бы, что в определение интеграла нельзя вводить дифференциала, ибо иначе всякий интеграл оказался бы бесконечно большой величиной, потому что интеграл получается из дифференциала в результате предельного суммирования бесконечно умаляющихся величин. На самом же деле интеграл может сколько угодно быть конечной величиной. Следовательно, дифференциал отнюдь не есть нечто конечное в абсолютном смысле. Из того, что он может быть выражен конечным образом, отнюдь не вытекает конечность его собственной природы. В том, что мы чертим окружность, нет ровно ничего иррационального: взял циркуль и — черти. Но это еще не значит, что отношение окружности к диаметру есть рациональное число. При всей внешней конечности окружности, при всей простоте ее чертежа отношение ее длины к диаметру, оказывается, невозможно выразить никаким конечным числом знаков. Таким образом, конечность дифференциала не есть нечто абсолютное и она совсем не характеризует его сущности.

Вместе с тем категория дифференциала, разумеется, как–то связана с конечным. Какой–то конечный элемент входит в эту категорию, поскольку он есть функция производной (которая может быть конечной) и вполне произвольного приращения аргумента (которое здесь, следовательно, тоже может мыслиться и конечным). Таким образом, конечность входит в понятие дифференциала, но не исчерпывает его.

Часто можно встретить такое определение дифференциала. Это, говорят, есть бесконечно–малая величина, характеризующая приращение функции. Это определение также не исчерпывающе для дифференциала. Во–первых, дифференциал вовсе не есть только просто величина, но предполагает определенный принцип получения этой величины. Во–вторых, бесконечно–малое указывает не просто на величину, а на процесс бесконечного и непрерывного уменьшения величины. Дифференциал в этом случае всегда только и был бы процессом уменьшения. А по определению, дифференциал фактически выступает именно в качестве конечного (хотя, как мы установили выше, и не только в качестве конечного). Конечное никак невозможно исключить из дифференциала. А чистая процессуаль–ность как раз исключает.

В старые наивные времена, до Коши, появлялась мысль, что дифференциал есть просто нуль. Так рассуждал ни больше и ни меньше как великий Эйлер. Но как же это может быть? Ведь если всерьез принимать дифференциал за нуль, то дифференциальное частное было бы А это сами математики считают неопределенностью. Куда же делась бы в таком случае производная? Ведь производная связана не с нулями, а с приближением функции и аргумента к нулю. А это огромная разница. Если мы дифференциал объявим нулем, а потом будем вместе с математиками «раскрывать неопределенность» этого подставляя вместо нулей бесконечно умаляющиеся наращения, то это типичнейшее idem per idem[208]. Правда, сам Эйлер в этой теории нетверд и кое–где рассматривает дифференциалы вовсе не как нули, а как бесконечно–малые приращения.

Однако даже и мнение Эйлера я бы не отбросил целиком.

Рациональное зерно его заключается в том, что при рассмотрении в условиях уже готовой производной (а только при этих условиях и возникает речь о дифференциале) мы получаем эти dy и dx отнюдь не в качестве только стремления к нулю. Стремление к нулю и переход всего этого отношения к пределу необходимы для того, чтобы только впервые получить производную. Но теперь мы не нуждаемся в этом получении и производная у нас уже имеется (причем совершенно неважно, какими именно средствами она получена). Что же такое dyndxB такой ситуации? Если производная сейчас уже не есть переход к пределу, то и dy, dx не есть переход к пределу. И если производная сейчас толкуется как уже готовый предел, то и dy, dx должны быть тоже готовыми пределами. Но ведь их предел был нуль. Значит, в каком–то смысле и dy и dx стали нулями. Предел уже не вне их и не притягивает их из бесконечности, но всосался в них самих, растворился в них самих, стал едино с этим бесконечным процессом, подобно тому как и производную мы теперь рассматриваем в качестве уже готового предела, уже достигнутого, уже охватившего всю бесконечность стремящихся к нему приближений. Ясно, стало быть, что дифференциал в известном смысле обязательно есть нуль.

Итак, дифференциал не есть ни конечная величина, ни бесконечная, ни самый процесс становления конечности или бесконечности, ни нуль. Что же это такое? Кроме того, элементы конечности, элементы бесконечности, элементы становления и даже нуля, несомненно, наличны в понятии дифференциала. И все–таки он не есть ни одно из этих определений. И напрасно математики старались и стараются такими способами понять категорию дифференциала, столь ясную и понятную формально–математически. Необходимо какое–то объединение всех этих четырех моментов, чтобы получить ясный логический смысл дифференциала. Но что же это за объединение?

3. Дифференциал функции есть функция двух переменных — производной от данной функции и произвольного приращения аргумента. Что это значит?

Прежде всего, как участвует в дифференциале функции ее производная? Производная есть предел, — мы знаем чего именно. Что такое предел? Уже и относительно предела возникают, как мы знаем, многие из тех сомнений, которые затемняют категорию дифференциала. Уже и предел многие готовы понять как просто конечную величину, как будто бы 1, 2, 3 и т. д. уже в силу своей конечности есть некие пределы. Но поскольку понятие предела гораздо проще и понятнее дифференциала, то обыкновенно и не входят глубоко в логический анализ этого понятия. Что ж тут объяснять? Вот предел; а вот то, что к нему стремится. И — все ясно. Но на самом же деле это, как мы видели в логической теории предела, вовсе не так ясно и просто. Предел логически имеет значение только вместе с бесконечным и непрерывным процессом приближения к нему его инобытия. Иначе это не предел, а просто конечное число. Предел, как мы видим, есть — в логическом смысле— обязательно синтез конечного и бесконечного, и не просто синтез вообще, а некоторого рода специальный синтез, ибо становление тоже есть синтез конечного и бесконечного; да и само конечное тоже ведь только с наивно–метафизической точки зрения является просто конечным, и больше ничего. Только наивно–мстафизи–чески можно было бы гипостазировать категорию конечного в отрыве от всего прочего. На самом же деле всякое конечное число, даже единицу, как мы видели, можно представить состоящим из бесконечного количества отдельных достаточно мелких элементов. И всякий отрезок прямой, как бы он мал ни был в абсолютном смысле, состоит из бесконечного количества отрезков достаточно малых. Значит, тот синтез конечного и бесконечного, который характерен для предела, есть специфический синтез конечного и бесконечного. Это именно есть синтез достигнутости конца для бесконечного процесса; это ставшее того бесконечного становления, в котором находилось конечное. Тут важна пройденность бесконечного пути, чего нет в других указанных только что синтезах конечного и бесконечного. Однако не будем входить здесь в детали и ограничимся тем, что просто назовем этот синтез синтезом предела или предельным синтезом. Он прежде всего и возникает, когда речь заходит о дифференциале.

Итак, дифференциал функции как функция ее производной есть прежде всего функция синтеза предела, функция предельного синтеза. Этот момент чрезвычайно важен. Он указывает на то, что нечто правильное было в этих наивных исканиях математиков, когда дифференциал объявлялся то конечной, то бесконечной величиной, то нулем. Поскольку дифференциал есть определенная функция некоей предельности, уже одно это свидетельствует о том, что в дифференциале есть и нечто конечное, и нечто бесконечное, и даже нуль. Конечное и бесконечное содержится, как мы сейчас установили, во всяком пределе. А нуля не избежать потому, что производная (в виде которой и фигурирует предельность дифференциала) есть предел отношения величин, именно стремящихся к нулю. Таким образом, математики, дававшие указанные выше понимания дифференциала, не были абсолютно не правы, а давали только односторонние понимания.

Итак, в дифференциале есть синтез конечного и бесконечного — предельного типа. Но что же дальше? Дифференциал есть, как мы знаем, функция и еще одного переменного, именно — произвольного приращения аргумента. Что это значит? Это значит, что функция предельности, фигурирующая в нем, дана не в чистом виде, но в измененном. И изменение это произошло тут в направлении изменения аргумента. Аргумент потребовал здесь некоего конечного фиксирования этой предельности, т. е. функционирования ее на некотором конечном протяжении. Дифференциал, стало быть, есть очень сложный принцип получения величины: он не только требует соединения конечного и бесконечного по типу предела, но он еще и требует определенной области, где бы это соединение воплощалось. Сама область тут в абсолютном смысле не определена, как и вообще весь дифференциал (да и все инфинитезимальные понятия) есть не абсолютная величина, а только принцип ее возникновения. Но что какая–то вообще определенная область осуществления синтеза должна быть, это тут зафиксировано строго.

Что же такое тогда дифференциал? Если говорить образно и грубо, то это есть: как бы закругленное становление, остановившийся бесконечный и непрерывный процесс; такое течение, которое совершается в определенных берегах; как бы снимок, что ли, со становления, некоторый отрезок, вырезка из этой стихии становления; остановившийся смысл той непрерывной текучести, о смысле которой невозможно было до этого момента и спрашивать ввиду полной неразличимости этого течения. Это отрезок линии постепенного изменения цвета какого–нибудь предмета, когда, напр., желтое переходит в зеленое — начиная от точки, когда желтое совершает первый сдвиг, до той точки, когда оно уже целиком перестает быть желтым и становится зеленым. Тут везде непрерывность, а стало быть, и бесконечность, бесконечно–малое, процесс бесконечно малого нарастания. Но тут и прерывность, а стало быть, и конечное, ибо разница между желтым и зеленым есть разница вполне определенных, устойчивых и конечных категорий. И здесь, наконец, переход одного конечного к другому через бесконечность непрерывных изменений первого конечного, т. е. переход именно к пределу. Поэтому, давая логическую формулу дифференциала в раскрытом виде, можно было бы сказать так: дифференциал есть результат, т. е. пройденный путь (как целое)[209] от одного конечного к другому конечному через бесконечность непрерывных (бесконечно малых) изменений первого конечного. Тут мы имеем и конечное, и бесконечное, и их синтез, и их синтез в виде предела, и осуществленность этого предельного синтеза на конечном расстоянии (или разнице) двух конечных величин; и, наконец, тут мы имеем самый настоящий нуль, ибо дифференциал есть весь пройденный путь и достигнутость предела, а предел тут — не что иное, как нуль.

4. К предыдущему необходимо сделать одно замечание, которое в дальнейшем будет развито у нас в целую теорию, но которое сейчас необходимо сделать только в кратчайшем виде, просто для избежания возникающего здесь недоумения. Дело в том, что данное выше логическое определение дифференциала в своем существе не отличается от определения интеграла. В интеграле тоже есть и конечность, и бесконечность, и предел. Необходимо еще внести специ–фикум, чтобы получился именно дифференциал. Это мы и делаем ниже, в § [12]. Сейчас же только заметим, что различие этих понятий заключается не в их существе, но в их оперативном употреблении, в том, как ими пользуются в вычислениях и измерениях. Различие это метрическое. Если данный математический предмет рассматривается как единица измерения, как элемент более сложной цельности, то это есть дифференциал. Если же тот самый предмет фигурирует как результат изменения, как цельность известного множества элементов, то мы имеем здесь интеграл. Все это развивается у нас ниже, в § [12].

5. Предложенные нами рассуждения пытаются вскрыть логическую природу математического понятия дифференциала. Теперь мы можем обратиться к исследованию другой проблемы, родственной, но не тождественной с этой, именно к исследованию логического коррелята этого понятия. Другими словами, что такое дифференциал в самой логике, т. е. что такое дифференциал понятия? Раньше мы говорили о понятии дифференциала. Теперь стоит вопрос о дифференциале понятия. Вопрос этот, можно сказать, совсем не исследовался. Если о понятии дифференциала всегда шли споры и давались его многочисленные характеристики и если о применении метода бесконечно–малых в логике и философии тоже говорилось достаточно, то, кажется, еще никто не доходил до такой конкретности в постановке вопроса, чтобы прямо указать пальцем, где же именно в логическом мышлении мы имеем производную и где же именно дифференциал. А ведь без этого вся теория философского применения метода бесконечно–малых остается чрезвычайно абстрактной и далекой от живого мышления и ограничивается только намерениями и планами без перехода к достижениям. Надо прямо пальцем ткнуть в тот элемент логического мышления, который является коррелятом математического дифференциала. И этот элемент должен быть достаточно простым и понятным, чем–то совершенно элементарным, как элементарно и само математическое понятие дифференциала, выступающее уже на первых страницах учебников математического анализа. Больше того. Поскольку из всех типов логики формальная логика наиболее распространена и считается наиболее понятной и поскольку формальная логика есть известного рода методический коррелят для всякой другой логики, в том числе и для инфинитезимальной, необходимо найти категорию дифференциала—конечно, в соответствующем методическом преломлении — уже в самой формальной логике. Если дифференциал понятия есть нечто логически реальное, т. е. реальное, а не выдуманное достояние логического мышления, то наиболее простой и доказательный способ обнаружения логической значимости дифференциала — это указание его (в соответствующей формально–логической модификации) именно в самой же формальной логике.

Этим мы и займемся.

6. Тут, очевидно, надо логически расшифровать все то же произведение производной на произвольное приращение независимого переменного.

Что значит «произведение», «умножить»? Умножить данное число — значит повторить его слагаемым столько раз, сколько единиц содержится в множителе, т. е. воспроизвести, осуществить, воплотить так, как того требует множитель. Множимое здесь производная, т. е., согласно нашим выводам, принцип деления понятия. Множитель — то или иное приращение независимого переменного— есть, по нашему предположению, известное изменение в вещах, та или иная материальная перемена. Следовательно, принцип деления понятия надо изменить так, как того требует данная материальная перемена. Пусть принцип, или основание, деления есть у нас, скажем, «цвет», т. е. данное понятие мы делим по признаку цветности. Что же такое этот цвет, если его взять с точки зрения той или иной его материальной перемены? Это значит взять какой–нибудь цвет, напр. красный, желтый, белый. Красный, желтый, белый и т. д. есть, во–первых, просто цвет вообще, а во–вторых, та или иная его материальная спецификация. Умножить производную от функции (понимая под функцией общее понятие) на произвольно выбранное приращение независимого переменного—это и значит попросту специфицировать основание деления данного понятия. Если я карандаши делю по их цвету, то это значит, что я так или иначе специфицирую понятие цвета, т. е. говорю: черный карандаш, синий карандаш, красный карандаш и т. д.

Так что же тогда такое дифференциал понятия? Ясно, что это есть не что иное, как видовое различие понятия. Ведь видовое различие понятия и есть только конкретное воплощение «основания деления», т. е. такое «основание деления» понятия, которое известным образом материально специфицировано. Почему мы здесь говорим о материальной спецификации? Потому, что с нашей точки зрения, т. е. с точки зрения последовательно проводимой теории отражения диалектического материализма, ни из какого понятия совершенно невозможно вывести его видов, если нет перед этим самих видов. Если бы мы имели только понятие цвета и не знали бы, кроме того, что есть желтый, красный и т. д. цвета, то из одного этого понятия цвета мы совершенно не могли бы вывести желтый, красный и пр. цвета. Чтобы это понятие было специфицировано, т. е. чтобы из него вытекали какие–нибудь видовые понятия, необходимо его соотнести с теми или иными изменениями материального мира; надо из материального мира подыскать те или иные процессы, которые бы ему соответствовали. Если я уже знаю, что такое синий цвет, то я могу подвести его и под общее понятие цвета. Если же я его не знаю, то никакими силами я не смогу дедуцировать его из одного только понятия цвета. Следовательно, «основание деления», имеющееся у нас для данного понятия, должно быть именно материально специфицировано, т. е. должно быть соотнесено с вещами, с тем или другим их отрезком. Тогда мы получаем конкретный результат этого «основания деления». А он и есть видоразличие для данного понятия.

Эта простая и ясная идея до нас нигде не была раскрыта. О том, что такое дифференциал в понятии, не додумался еще ни один логик, даже из тех, которые считали нужным строить инфинитези–мальную логику. Между тем идея эта с очень выгодной стороны конкретизирует математическую категорию дифференциала и дает новое освещение заскорузлой формально–логической категории видового различия. Тут именно становится впервые понятным все глубочайшее различие метода бесконечно малых от метода конечных изоляций, которым пользуется формальная логика. Тут уже не общие рассуждения о том, что мышление есть некое движение, но эта подвижность показана на реальной и элементарной категории формальной логики.

В самом деле, что такое видовое различие в формальной логике? Оно даже и не определяется. Или говорится: это то, чем отличается одно видовое понятие от другого, т. е. тут допускается просто idem per idem. Кроме того, самый процесс наложения видового различия на род мыслится здесь внешне, поверхностно, т. е. никак не мыслится. Знаменитое правило: «Определение происходит через род и видовое различие» — совершенно не входит в то, как именно это «происходит». Видоразличие просто «присоединяется», «прибавляется» к роду, и — кончено. Считать это разъяснением того, как логически возникает определение понятия, совершенно невозможно. Что же вместо этого дает нам категория дифференциала?