Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews

5.2. Тестирование AR-структуры на стационарность с помощью функции импульсного ответа

Теперь остановимся еще на одном важном инструменте, который дает EViews для оценки устойчивости статистических моделей к внешним шокам (в нашем случае под ними подразумеваются резкие скачки курса доллара). Это тестирование AR-структуры авторегрессионного процесса на импульсный ответ (IMPULSE RESPONSE). При этом у нас появляется возможность получить также и оценку инновационной неопределенности, возникающей в этом авторегрессионном процессе в результате воздействия внешнего шока.

Алгоритм № 14

Тестирование на импульсный ответ AR-структуры нестационарного процесса, описываемого уравнением

USDOLLAR = а × USDOLLAR(-1) + b × USDOLLAR(-2)

Шаг 1. Построение функции импульсного и накопленного импульсного ответа

Чтобы провести исследование AR-структуры на импульсный ответ (IMPULSE RESPONSE), нам необходимо в диалоговом мини-окне ARMA DIAGNOSTIC VIEWS (посмотреть диагностику ARMA) выбрать опции IMPULSE RESPONSE и TABLE, а также определить предполагаемую величину импульса (внешнего шока или величину отклонения курса доллара) (рис. 5.3). При этом по умолчанию используется опция ONE STANDARD DEVIATION (одно стандартное отклонение), а длительность проводимого теста ограничивается 24 периодами (см. опцию PERIODS). Однако при необходимости количество тестируемых периодов можно изменить, как, впрочем, изменить и заданную величину импульса. В последнем случае надо в опции IMPULSE выбрать вариант USER SPECIFIED (по усмотрению пользователя) и самому установить требуемую величину начального импульса (внешнего шока).

Шаг 2. Интерпретация функции импульсного и накопленного импульсного ответа

В опции IMPULSE мы решили выбрать вариант по умолчанию — ONE STANDARD DEVIATION (одно стандартное отклонение). В случае выбора этой опции исходная величина внешнего шока приравнивается к стандартной ошибке коэффициента регрессии факторной лаговой переменной, т. е. к стандартной ошибке коэффициента регрессии USDOLLAR(-1) = 0,06527. При этом предполагается, что на первом шаге, когда внешний шок отсутствует, величина импульсного ответа равна стандартной ошибке уравнения регрессии -0,817803 (см. табл. 4.1).

В результате получим табл. 5.3, в которой содержится информация, характеризующая величину стандартной ошибки импульсного ответа AR-структуры на рост инновационной неопределенности, значения которой помещены в двух разделах Std. Err. Если бы вместо опции ONE STANDARD DEVIATION была бы выбрана опция USER SPECIFIED (по усмотрению пользователя), то тогда вместо величины инновационной неопределенности мы получили бы в разделах Std. Err. величину внешнего шока в виде стандартных ошибок факторной переменной, нарастающей по мере повышения инновационной неопределенности.

Таким образом, величина стандартной ошибки функции импульсного ответа позволяет оценить, как модель ARMA реагирует на единовременное шоковое воздействие (однократное резкое изменение курса доллара). В таблице 5.3 также приводится величина стандартной ошибки функции накопленного импульсного ответа. Последнюю функцию можно интерпретировать и как ответ на очередной текущий импульс (шоковое воздействие), но при условии, что аналогичные шоковые воздействия происходят непрерывно в течение всего исследуемого времени, начиная с 1-го периода.

Важным свойством стационарных моделей является то обстоятельство, что у них уровень инновационной неопределенности, как и величина ответа на импульс, асимптотически — по мере нарастания выборки (количества периодов) — стремятся к нулю. Это свидетельствует об устойчивости стационарных процессов к единовременным шоковым воздействиям. Причем в случае анализа стационарного AR-процесса EViews дает внизу вывода итогов асимптотическую оценку как величины импульсного ответа, так и уровня инновационной неопределенности с указанием, что они равны нулю. Однако в табл. 5.3 этих оценок нет, поскольку исследуется нестационарный процесс, в котором обе эти величины постоянно нарастают, не имея при этом четко ограниченных пределов.

Как легко увидеть в табл. 5.3, в 1-м периоде величина инновационной неопределенности незначительна, а ошибка импульсного ответа равна стандартной ошибке уравнения регрессии. Во 2-м периоде инновационная неопределенность возрастает в силу воздействия внешнего шока, величина которого приравнивается к стандартной ошибке коэффициента регрессии независимой лаговой переменой USDOLLAR(-1). Далее в последующие периоды величина инновационной неопределенности (см. оба столбца Std. Err.) нарастает как в функции импульсного, так еще больше и в функции накопленного импульсного ответа. Так, уровень инновационной неопределенности в функции импульсного ответа увеличивается с 0,03962 в 1 — м периоде до 0,16794 в 25-м периоде; соответственно в функции накопленного импульсного ответа эти цифры выросли с 0,03962 в 1-м периоде до 3,28261 в 25-м периоде.

Если при тестировании AR-структуры нестационарного процесса увеличить количество исследуемых периодов, то в результате уровень инновационной неопределенности и величина стандартной ошибки импульсного ответа в нестационарной модели еще больше вырастут к концу последнего периода.

Так, если в диалоговом мини-окне ARMA DIAGNOSTIC VIEWS в опции PERIODS установить 50 периодов вместо используемых по умолчанию 24, то уровень инновационной неопределенности в функции импульсного ответа будет равен 0,27308, а в функции накопленного импульсного ответа — 8,65349. Соответственно при 100 периодах эти цифры в последнем периоде будут существенно выше и равны 0,56117 и 28,4379.

Шаг 3. Построение графика функций импульсного и накопленного импульсного ответа

При желании функции импульсного и накопленного импульсного ответа можно получить и в графическом виде. С этой целью в диалоговом мини-окне ARMA DIAGNOSTIC VIEWS необходимо выбрать опции IMPULSE RESPONSE и GRAPH. Если мы при этом оставим те же опции, что установили при выводе данных, размещенных в табл. 5.3, то тогда получим следующие графики роста величины импульсного и накопленного импульсного ответа (рис. 5.4). Помимо удобств, связанных с наглядностью, эти графики позволяют также увидеть нижние и верхние границы интервалов, в рамках которых рассчитанная в EViews величина импульсного и накопленного импульсного ответа может колебаться. В качестве доверительного интервала для оценки величины этих функций берется диапазон в размере двух стандартных отклонений.

5.3. Влияние резких изменений курса доллара на смещение коэффициентов регрессии

Продолжим далее наш анализ устойчивости к воздействию внешних шоков нестационарного AR-процесса, описанного уравнением USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2). С этой целью составим рейтинг наиболее резких изменений в курсе доллара, зафиксированных за период с августа 1998 г. по апрель 2010 г. При этом в качестве критерия для отбора будем использовать величину изменения курса доллара за один месяц в процентах по модулю. В результате получилась табл. 5.4. Из нее следует, что три самых крупных колебания курса доллара наблюдались в сентябре и августе 1998 г., а также в январе 2009 г. Кроме того, из этой таблицы (см. раздел «Скачок курса доллара по сравнению с предыдущим месяцем, руб.») можно сделать вывод, что резкие скачки доллара по преимуществу были положительными. Так, из 20 наблюдений, включенных в этот рейтинг, в 15 случаях рубль резко укреплялся и лишь в пяти случаях резко падал. Причем в шестерку самых волатильных месяцев вошли только те месяцы, когда был зафиксирован резкий рост, а не падение курса доллара. С фундаментальной точки зрения это объясняется многолетней политикой Банка России по поддержанию слабого курса рубля, а с точки зрения статистического анализа этот факт можно подтвердить с помощью описательной статистики (см. табл. 4.4), показывающей значительную правостороннюю асимметрию в остатках.

Таблица 5.4, в которую включена топ-двадцатка самых волатильных (с августа 1998 г.) месяцев, понадобится для того, чтобы оценить надежность нашей прогностической модели. Вполне очевидно, что слишком сильные колебания курса доллара довольно существенно сказывались на качестве прогноза. Своего рода рекорд по неточности предсказания можно было бы установить в конце сентября 1998 г. при прогнозировании курса доллара на октябрь 1998 г. на основе данных за период с июня 1992 г. по сентябрь 1998 г. Проверим это утверждение. Однако прежде нам надо научиться оперативно изменять выборку данных в EViews, поскольку каждый раз импортировать новые данные нерационально в смысле затрат времени (см. алгоритм действий № 15).

Алгоритм действий № 15

Как в EViews можно быстро изменить выборку данных

Чтобы смоделировать ситуацию реального прогноза на октябрь 1998 г., необходимо оставить во временном ряде данные лишь за период с июня 1992 г. по сентябрь 1998 г. С этой целью надо в верхней строке рабочего файла выбрать опции QUICK /SAMPLE (быстро/выборка), после чего появится диалоговое мини-окно SAMPLE, в котором мы должны ввести текст: ©first 1998m08. Введенный в диалоговое мини-окно текст означает, что в выборке должны остаться данные с первого наблюдения по август 1998 г. Для справки заметим, что если бы мы захотели ограничить выборку снизу (например, с сентября 1998 г. до последнего наблюдения), то тогда команда в диалоговом мини-окне SAMPLE выглядела бы так: 1998т09@ last. А если бы нам потребовалось вновь использовать всю выборку, то в этом случае в диалоговое мини-окно надо было бы ввести команду @all.

После сокращения выборки (период уменьшили до 74 наблюдений — с июня 1992 г. по сентябрь 1998 г.) займемся решением уравнения регрессии (см. алгоритм действий № 6 «Как решить уравнение регрессии в EViews»). А затем делаем прогноз и соответственно сразу же находим остатки (см. алгоритм действий № 8 «Как оценить точность статистической модели в EViews»). Вывод данных по уравнению регрессии у нас представлен в табл. 5.5.

В результате, согласно точечному прогнозу, составленному по этому уравнению регрессии, американский доллар в октябре 1998 г. должен был бы стоить 43 руб. 02 коп.! На самом деле за всю историю наблюдений за валютным рынком стоимость доллара никогда не достигала таких значений, а фактический его курс в конце октября 1998 г. равнялся 16 руб. 1 коп. Таким образом, разница (или остаток) составила 27 руб. и 1 коп.!!! Впрочем, столь неудачный прогноз — все-таки единственное исключение из всего временного ряда. Для справки заметим, что аналогичный прогноз, сделанный на ноябрь 1998 г., а тем более все последующие прогнозы уже не столь существенно отклонялись от фактического курса доллара. Так, согласно прогнозу на ноябрь 1998 г., рассчитанному на основе рыночных данных по курсу доллара за период с июня 1992 г. по октябрь 1998 г., американский доллар должен был стоить 16 руб. 75 коп. Однако фактическая стоимость доллара оказалась равна 17 руб. 88 коп., т. е. разница (остаток) составила 1 руб. 13 коп.

В чем же причины столь серьезной ошибки в прогнозе на октябрь 1998 г., сделанном с помощью уравнения регрессии USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2)? Причина вполне очевидна — беспрецедентный 103,2 %-ный скачок курса доллара в сентябре 1998 г. по сравнению с предыдущим месяцем. В результате этого колоссального внешнего шока оба коэффициента b и с в уравнении регрессии резко сместились в сторону предсказания необычно высокого роста, что характерно для статистических моделей с нестационарной ARMA-структурой. Смещение коэффициентов регрессии наглядно показано в табл. 5.6: если в уравнении регрессии, на основе которого был составлен прогноз на сентябрь 1998 г., первый коэффициент регрессии b был равен 1,6309, а второй коэффициент с = -0,6185, то уже в следующем месяце эти коэффициенты выросли соответственно до 4,3165 и -3,3297. Именно это значительное смещение в коэффициентах регрессии и привело к серьезному искажению в прогнозе на октябрь 1998 г. В пользу этого говорит и тот факт, что если бы мы воспользовались при прогнозе на октябрь 1998 г. коэффициентами регрессии, на основе которых делался прогноз на сентябрь 1998 г., то ошибка в прогнозе у нас получилось бы меньше. Наш прогноз равнялся бы 21 руб. 31 коп., т. е. разница с фактическим курсом доллара, равным 16 руб. 1 коп., составила бы 5 руб. 30 коп.

5.4. Стандартные и стьюдентизированные остатки, влияние выбросов на точность уравнения регрессии

Очевидно, что любое резкое повышение курса доллара приводит к возникновению так называемых выбросов, т. е. необычно больших остатков (разницы между фактическим и прогнозным курсом доллара), отрицательно влияющих на точность последующих прогнозов. Их определение можно взять в соответствующей литературе: «Выбросом среди остатков называется остаток, который по абсолютной величине значительно превосходит остальные и отличается от среднего по остаткам на три, четыре или даже более стандартных отклонений»[13].

Следовательно, решая уравнение регрессии, надо всегда проверять величину полученных остатков, а также оценивать риск, связанный с влиянием выбросов на смещение коэффициентов в уравнении регрессии. Очевидно, что в случае выявления во временном ряде наблюдения, имеющего остаток, равный трем и более стандартным отклонениям, нужно всегда проводить тщательный анализ с точки зрения его влияния на точность составленного прогноза. Впрочем, во многих статистических программах критическими считаются и те случаи, когда величина остатка больше двух стандартных отклонений.

Теперь посмотрим, какие результаты дал бы анализ остатков по прогнозу на октябрь 1998 г., сделанному на основе данных по курсу доллара с июня 1992 г. по сентябрь 1998 г.

Алгоритм действий № 16

Как в Excel можно найти стандартные остатки

В Excel анализ остатков на наличие в них выбросов проводится следующим образом. Решая уравнение регрессии, нужно действовать согласно алгоритму № 3 «Как решить уравнение регрессии в Excel». После того как на экране появится диалоговое мини-окно РЕГРЕССИЯ, в параметре ОСТАТКИ нужно установить две опции: ОСТАТКИ и СТАНДАРТИЗИРОВАННЫЕ ОСТАТКИ (рис. 5.5).

Используя в Excel опции ОСТАТКИ и СТАНДАРТИЗИРОВАННЫЕ ОСТАТКИ, мы получили после решения уравнения регрессии следующие данные по остаткам, часть из которых (за 1997–1998 гг.) поместили в табл. 5.7. Нужно сразу заметить, что в Excel стандартные (в литературе чаще используется последнее определение, хотя иногда встречается и термин «стандартизированные») остатки находятся путем деления их фактических, а не абсолютных значений. Поэтому в нашей таблице есть наблюдения как с положительными (в том случае, когда прогноз оказался ниже фактического курса доллара), так и с отрицательными (когда прогноз оказался выше фактического курса доллара) стандартными остатками.

Анализируя по табл. 5.7 динамику стандартных остатков, легко заметить, что своего максимума они достигли в августе и сентябре 1998 г.

Чтобы обратить внимание читателей к этим двум наблюдениям, их выделили жирным шрифтом. При этом можно увидеть, что в то время как стандартные остатки в августе 1998 г. оказались равны 2,931979 и были меньше трех стандартных отклонений, то в сентябре 1998 г. их величина составила 4,922042, приблизившись тем самым к пяти стандартным отклонениям. Таким образом, с уверенностью можно констатировать, что сентябрьский остаток представляет собой выброс — это весьма осложняет получение (по применяемой статистической модели) точного прогноза на октябрь 1998 г. Впрочем, выбросом можно считать и остатки, полученные в августе 1998 г., если снизить уровень для выбросов до двух стандартных отклонений.

Помимо стандартных остатков для анализа выбросов используются также стьюдентизированные остатки, которые представляют собой частное от деления обычного остатка на оценку его стандартного отклонения. Хотя теоретически все случайные ошибки, полученные после решения уравнения регрессии, считаются независимыми и имеющими одну и ту же дисперсию, однако в действительности конкретные остатки в силу своего различенного положения во временном ряду отнюдь не независимы и, следовательно, не имеют одинаковых дисперсий[14]. Поэтому чтобы учесть эту разницу в дисперсии остатков, их необходимо стьюдентизировать, т. е. оценить с учетом их положения в выборке. Формулу по расчету стьюдентизированных остатков мы дадим далее, а сейчас приведем алгоритм действий, с помощью которого можно быстро получить стьюдентизированные остатки. Правда, в Excel такая возможность отсутствует, но в последних версиях EViews эту процедуру можно реализовать с помощью статистики влияния остатков (INFLUENCE STATISTICS). Чтобы уяснить, как это делается, надо прочитать алгоритм действий № 17.

Алгоритм действий № 17

Диагностика в EViews влияния стьюдентизированных остатков на уравнение регрессии для прогностической модели

USDOLLAR = а × USDOLLAR(-1) + b × USDOLLAR(-2)

Шаг 1. Как получить стьюдентизированные остатки

После решения уравнения регрессии (на основе рыночных данных по курсу доллара за период с июня 1992 г. по сентябрь 1998 г.) в строке EQUATION выбираем опции VIEW/STABILITY DIAGNOSTICS/INFLUENCE STATISTICS. В результате на экране появляется диалоговое мини-окно INFLUENCE STATISTICS, которое нужно соответствующим образом заполнить, чтобы провести диагностику остатков (рис. 5.6). Чтобы получить как графический, так и табличный вариант по статистике влияния остатков в параметре OUTPUT TYPE (тип выходной статистики), следует установить опции GRAPH (график) и TABLE (таблица). Далее в параметре OUTPUT STATISTICS (выходная статистика) ставим галочку у опции RSTUDENT (стьюдентизированные остатки) и рядом пишем RS — название файла, который будет помещен в рабочий файл.

Шаг 2. Интерпретация влияния стьюдентизированных остатков на точность прогноза

В результате шага 1 получены диаграмма (она приведена на рис. 5.7) и табл. 5.8. Интерпретация диаграммы довольно проста, поскольку на ней представлен график значений стьюдентизированных остатков, который с обеих сторон выделен пунктирной линией и обозначает область допустимых значений, равных ± 2. Когда стьюдентизированные остатки выходят за пределы этой пунктирной линии, в этом наблюдении их можно считать выбросами. Легко заметить, что особенно велик стьюдентизированный остаток, полученный в сентябре 1998 г.

В таблице 5.8 приведена часть полученных с помощью EViews значений стьюдентизированных остатков (за период с января 1997 г. по сентябрь 1998 г.). При этом стьюдентизированные остатки, которые считаются выбросами (их величина больше или меньше 2), при выводе итогов обозначаются EViews красным шрифтом (в таблице они подчеркнуты). При этом область допустимых значений определяется с помощью уже известной нам t-статистики. В частности, выбросами считаются остатки, которые получены не только в сентябре, но и в августе 1998 г. Если сравнить стандартные остатки из табл. 5.7 со стьюдентизированными остатками, то легко заметить, что значения последних — за счет выросшей дисперсии между наблюдениями — наиболее сильно отличаются от значений первых для августа и сентября 1998 г.

Некоторые математические подробности по расчету стьюдентизированных остатков в EViews

Теоретически все случайные ошибки предполагаются независимыми и имеющими одну и ту же дисперсию σ2, однако в действительности конкретные остатки отнюдь не независимы и, следовательно, не имеют одинаковых дисперсий. В действительности дисперсия остатков зависит не только от величины σ2, но и от h_i — i-го диагонального элемента матрицы вида Х_t(Х`Х)-1Х_t, с которой мы уже познакомились в главе 3.

Стьюдентизированные остатки в EVews рассчитываются по формуле

где е_t — остаток для конкретного наблюдения, полученный по уравнению регрессии, построенному с учетом всех наблюдений временного ряда;

s(i) — стандартное отклонение остатков, полученное по уравнению регрессии, построенному по тому же временному ряду без учета наблюдения i;

h_t — i-ный диагональный элемент матрицы вида Х_t(ХХ)-1Х_t.

При необходимости i-ный диагональный элемент матрицы Х_t(ХХ)-1Х_t можно найти для каждого наблюдения, если в диалоговом мини-окне INFLUENCE STATISTICS установить опцию ПАТ MATRIX (т. е. матрица Х_t(ХХ)-1Х_t).

Например, величина стьюдентизированного остатка для сентября 1998 г. равна

Распределение стьюдентизированных остатков подчиняется t-статистике, получаемой в результате подстановки фиктивной переменной в первоначальное уравнение регрессии. Причем фиктивная переменная для интересующего нас наблюдения i равна 1, а для всех остальных наблюдений она равна 0. Таким образом, стьюдентизированный остаток можно интерпретировать как тест на значимость остатка определенного наблюдения с точки зрения его влияния на уравнение регрессии.

Следует заметить, что если у кого-то из читателей нет последней версии EViews или иных программ, умеющих рассчитывать стьюдентизированные остатки, то в принципе для обнаружения выбросов вполне возможно пользоваться стандартными остатками. Во всяком случае, как утверждают Н. Дрейпер и Г Смит, в подавляющем большинстве случаев, хотя и не во всех, для обнаружения выбросов вполне достаточно пользоваться графиками обычных и стандартных остатков[15].

Чтобы убедиться в справедливости этих слов, мы провели небольшой эксперимент. С этой целью уравнение регрессии USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2) решено на основе данных за период с июня 1992 г. по апрель 2010 г., а затем рассмотрены полученные остатки (табл. 5.9). В том случае, когда стьюдентизированные остатки диагностируют выбросы, стандартные остатки также их выявляют (если к выбросам отнести остатки, имеющие два стандартных отклонения). Правда, поскольку стьюдентизированные остатки учитывают не только стандартное отклонение, но и дисперсию между различными наблюдениями (формула (5.6)), то величина стьюдентизированных остатков всегда выше. Причем особенно заметна эта разница относительно сентября 1998 г. и января 2009 г., т. е. когда на валютном рынке наблюдалась максимальная волатильность, обусловленная в первом случае августовским дефолтом 1998 г., а во втором случае — глобальным финансовым кризисом 2008–2009 гг.

5.5. Тесты Чоу на наличие структурной стабильности во временно м ряде

Диагностика выбросов в остатках является не единственным инструментом для выявления проблем, мешающих повышению точности прогностических моделей. В этом смысле, пожалуй, еще большее значение имеет тест Грегори Чоу на наличие структурной стабильности временного ряда. Поэтому следующим нашим шагом будет оценка на основе этого теста стабильности временного ряда за период с июня 1992 г. по апрель 2010 г. С методикой проведения этого теста можно познакомиться в алгоритме действий № 18.

Алгоритм действий № 18

Методика проведения теста Чоу на наличие структурной стабильности во временно м ряде для прогностической модели

USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2)

Шаг 1. Основные идеи, на которых строится тест Чоу на наличие структурной стабильности

Тест Чоу на диагностирование структурной стабильности проводится следующим образом. Сначала берется временной ряд (например, данные по ежемесячному курсу доллара за период с июня 1992 г. по апрель 2010 г.), относительно которого выдвигается нулевая гипотеза о его структурной стабильности. Потом этот временной ряд делится на два периода наблюдений, граница между которыми проводится в момент времени t, т. е. в момент предполагаемых структурных изменений. (При необходимости EViews позволяет проводить тест на наличие во временном ряде структурных изменений не только в какой-то один момент времени t, но и сразу для нескольких моментов, деля выборку на несколько соответствующих периодов.)

Проверка нулевой гипотезы идет путем сравнения разницы между суммой квадратов остатков, которую мы получаем, построив уравнение регрессии для единого временного ряда, и суммой квадратов остатков, получаемой при построении уравнения регрессии отдельно для каждого периода этого ряда. При этом в соответствии с методикой, предложенной Г. Чоу, определяется фактическое значение F-критерия и LR-статистики (log likelihood ratio statistic — соотношение статистики логарифмов правдоподобия). Если уровни значимости F-критерия и LR-статистики оказываются меньше 0,05, то тогда нулевая гипотеза о структурной стабильности временнoго ряда отвергается, а следовательно, влияние структурных изменений признается существенным.

Шаг 2. Проведение в EViews теста Чоу на наличие структурной стабильности

В соответствии с данными табл. 5.4 вполне логично предположить, что самые значительные структурные изменения в исследуемом временном ряде могли произойти после самого крупного скачка курса доллара, имевшего место в сентябре 1998 г. Поэтому мы решили выделить в нашем временном ряде период с октября 1998 г. по апрель 2010 г. При этом для корректного проведения теста необходимо, чтобы количество наблюдений в каждом из выделенных периодов временнoго ряда было по меньшей мере равно количеству параметров в оцененной нами статистической модели. Впрочем, это требование соблюдено, поскольку в анализируемой статистической модели всего лишь два параметра, а в самом малом выделенном периоде временного ряда имеется 74 наблюдения.

Чтобы в EViews провести тест Чоу на наличие структурной стабильности, в меню оцененного уравнения регрессии необходимо воспользоваться опциями VIEW/STABILITY TESTS/CHOW BREAKPOINT TEST… (смотреть/тесты на стабильность/тест Чоу на структурные изменения). В результате открывается диалоговое мини-окно CHOW TESTS (тесты Чоу), в котором нужно указать конкретное наблюдение, когда произошло предполагаемое структурное изменение во временном ряде. В этом случае в мини-окно введено обозначение — 98m10, т. е. указан октябрь 1998 г. (рис. 5.8). Следовательно, можно посмотреть, произошли ли структурные изменения в октябре 1998 г.

После того как мы щелкнули кнопку ОК, в мини-окне CHOWTESTS появился вывод данных по результатам тестирования, которые приведены в табл. 5.10. Поскольку уровни значимости (Probability) как F-критерия (F-statistic), так и LR-статистики (Log likelihood ratio — соотношения логарифмов правдоподобия) у нас оказались равны нулю, т. е. получились меньше критического значения, равного 0,05, следовательно, нулевая гипотеза о наличии структурной стабильности во временном ряде в октябре 1998 г. отвергается.

Некоторые математические подробности для теста Чоу на наличие структурной стабильности во временном ряде

После того как была выдвинута нулевая гипотеза о структурной стабильности временного ряда, далее нам приходится решать несколько уравнений регрессии USDOLL AR = a × USDOLL AR(−1) + b × USDOLL AR(−2) как относительно единого временного ряда, так и относительно каждого выделенного периода наблюдений. Напомним, что в этом случае мы предположили, что структурная нестабильность возникла в октябре 1998 г., а потому временной ряд нами разделен на два периода: с июня 1992 г. по сентябрь 1998 г. и с октября 1998 г. по апрель 2010 г. Таким образом, мы находим сумму квадратов остатков, полученных как по единому уравнению регрессии для всего временнoго ряда, так и по остальным уравнениям регрессии (назовем их совокупность объединенной кусочно-линейной прогностической моделью) для каждого выделенного периода наблюдений.

Далее складываем суммы квадратов остатков, полученных в объединенной кусочно-линейной прогностической модели, по формуле

После чего находим фактическое значение F-критерия по формуле

где SSед_ост — сумма квадратов остатков, полученных по единому уравнению регрессии для всего временного ряда;

п — количество наблюдений во всем временном ряде;

k — количество параметров в уравнении.

Затем в Excel с помощью функции РРАСП находим значимость фактического F-критерия:

FPACП(F_факт); числитель степеней свободы; знаменатель степеней свободы) = FPACП(42,111; 2; 209) = 0.

Таким образом, поскольку значимость фактического F-критерия равна нулю, это позволяет нам отвергнуть нулевую гипотезу о структурной стабильности временнoго ряда.

LR-статистика в этом тесте рассчитывается путем сравнения ограниченного и неограниченного максимума функции логарифма правдоподобия. Причем LR-статистика — при нулевой гипотезе об отсутствии структурных изменений — имеет асимптотическое χ2 (хи-квадрат) распределение со степенями свободы, равными

(т — 1 )k,