Помоги проекту - поделись книгой:
Ответить на вопрос, какова мощность множества всех бесконечных последовательностей, состоящих из 0 и 1, — значит покрыть N, используя два этих элемента. Всего способов «покрытия» чисел 0, 1 и 2 с использованием двух элементов — 23; покрытия чисел 0, 1, 2 и 3 — 24, значит, как писал Кантор, по определению, мощность всех способов покрытия N двумя элементами равна 2X0 . К тому же, поскольку множество всех последовательностей нуля и единицы эквивалентно R, мы можем заключить, что и мощность R равна 2X0 . Поэтому континуум-гипотезу можно сформулировать и как вопрос «равно ли 2X0 X1 ?».
Если бы мы покрывали N тремя элементами, то получили бы мощность 3X0; другими словами, множество всех бесконечных последовательностей 0, 1 и 2 имеет мощность 3X0. Но не стоит путаться. Сперва можно подумать, что 3X0 больше 2X0 , однако это не так. На самом деле 2X0 = 3X0. Чтобы доказать это, достаточно увидеть, что множество последовательностей нуля и единицы эквивалентно множеству последовательностей 0,1 и 2. За этим доказательством стоит идея, что поскольку последовательности нуля и единицы могут рассматриваться как числа, записанные в двоичной системе, таким же образом и последовательности 0, 1 и 2 могут быть представлены как числа, записанные в троичной системе. Таким образом, соответствие между двумя множествами устанавливается посредством изменения системы исчисления.
Исходя из определения степени мощностей, мы можем сказать, что, поскольку мощность ординальных чисел второго класса равна X1? для этих ординальных чисел существует 2X1 возможных покрытий; также, хотя и кажется очевидным, что 2X1 больше 2X0 , это еще не было доказано. Подчеркнем, что данное утверждение действительно нуждается в доказательстве. Мы не можем просто сказать, что поскольку X1 больше X0 , то и 2X1 обязательно больше 2X0 , — мы ведь уже видели, что хотя 3 и больше 2, при этом X13 не больше 2X0 . Отсюда следует: когда речь идет о бесконечности, то, что кажется само собой разумеющимся, не всегда верно. Как мы можем представить покрытие ординальных чисел второго класса? Заметим, что если дано количество X1 ординальных чисел второго класса, то каждое из его покрытий будет иметь X1 цифр, то есть по цифре на ординал.
У покрытий ординалов второго класса более сложная структура, чем у N. Чтобы определить покрытие N, достаточно просто сказать, что оно «начинается с 01 и продолжается, повторяя эти цифры». Эта фраза полностью описывает покрытие 010101..., поскольку, пользуясь этим единственным правилом, мы знаем, какой цифрой — 0 или 1 — покрывать каждое натуральное число.
Но этого определения недостаточно для полного описания покрытия ординальных чисел второго класса, так как они устроены сложнее, чем натуральные числа. Ординалы второго класса начинаются с ω, ω + 1, ω + 2, ..., после бесконечного числа этапов переходят κω + ω,ω + ω+ 1,ω + ω + 2,..., после бесконечных переходов — к ω + ω + ω... и после бесконечного числа бесконечных переходов — κω + ω + ω + ω... (ω, взятому бесконечное число раз), ω + ω + ω + ω... (ω, взятое бесконечное число раз) + 1... и так далее.
Таким образом, если мы говорим, что покрытие ординалов второго класса «начинается с 01 и состоит из повторения этих цифр», это подскажет нам, какова будет только первая часть последовательности ω, ω + 1, ω + 2,... Перейдя κω + ω, мы должны указать способ начать покрытие заново. Оно может быть снова 01 или каким-то другим. И опять, когда мы дойдем до ω + ω + ω, мы должны будем начать все сначала; потом все сначала, дойдя до ω + ω + ω + ω, и так далее.
Если мы решим начинать каждый раз с 01, то у нас получится «базовое» покрытие N 010101..., которое будет повторяться несчетное количество раз.
Континуум-гипотеза гласит, что 2X0 = X1. Кантор не смог ни доказать, ни опровергнуть это утверждение. Обобщенная континуум-гипотеза была сформулирована Кантором в его «Обоснованиях» и расширяет предыдущую. По ней, не только 2X0 = X1 но и 2X1 = X2, 2X2 = X3, 2X3 = X4 и так далее. При жизни ученый так и не узнал, верные эти гипотезы или ложные.
ГЛАВА 5
Парадоксы бесконечности
В одном письме 1902 года английский логик Бертран Рассел сформулировал очень простой вопрос, спровоцировавший, тем не менее, глубокий «кризис» в математической науке. Он затянулся почти на 30 лет, а его последствия ощутимы и сегодня. Вопрос Рассела был таков: «Является ли это множество, о котором я говорю, частью самого себя?»
В 1883 году, когда Кантор написал статью «Основы общего учения о многообразиях», он уже понимал, что его теория содержит как минимум один парадокс. Но что такое парадокс? На самом деле это слово используется в литературе и разговорном языке в разных значениях, не всегда совпадающих друг с другом. В логике парадокс обнаруживается, когда в рамках одной теории можно одновременно доказать существование и несуществование какого-либо объекта или когда свойства чего-либо противоречат друг другу. Таким образом, парадокс означает, что с точки зрения логики теория несостоятельна. В этом смысле можно утверждать, что Кантор действительно обнаружил в своей теории парадокс, или логическое противоречие, а это всегда плохой признак, поскольку он означает, что в основе теории есть ошибка — лакуна, которую надо обнаружить и устранить.
Иногда же слово «парадокс» используется как синоним «удивительного» или «противоречащего ожиданиям», а никак не «логического противоречия». Например, X0 + 1 = X0 «парадоксально», поскольку мы воспринимаем только конечные количества и думаем, что при добавлении нового элемента к определенному множеству в результате их количество увеличится. С другой стороны, X0 + 1 = X0 свидетельствует о том, что в случае с бесконечностью количество останется прежним.
Хоть это и удивительно, но равенство X0 + 1 = X0 не является парадоксом в смысле логики, поскольку оно не таит в себе никакого логического противоречия. Оно просто подчеркивает, что правила, по которым существуют бесконечные количества, отличаются от конечных.
Мы будем использовать термин «парадокс» в первом значении, имея в виду логическое несоответствие какой-либо теории. Вернемся же к парадоксу, который Кантор обнаружил в 1883 году. Он заключался в том, что последовательность ординальных чисел порождается в соответствии с двумя принципами. Первый гласит, что за каждым ординалом идет непосредственно следующий; по этому принципу сразу за ω идет ординал ω + 1.
Рэймонд Смаллиан, американский логик, «Сатана, Кантор и бесконечность, в также другие головоломки», 1992 год
Второй принцип утверждает, что если дана произвольная бесконечная последовательность ординальных чисел, непосредственно за ней всегда будет идти еще один ординал, который не является членом этой последовательности. Данный принцип гарантирует, что, например, за бесконечной последовательностью 0, 1,2, 3, 4,... идет новый ординал ω, а за бесконечной последовательностью ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,... — новый ординал ω + ω. Парадокс появляется, когда мы пытаемся применить второй принцип порождения к последовательности, образованной всеми ординалами, назовем ее С. Действительно, согласно второму принципу, если мы возьмем последовательность всех ординалов С, то сразу же за ней будет идти новый ординал, который не является частью С. Обозначим его как О (греческая буква омикрон). Поскольку С содержит все ординалы, то в нем будет и О. Но ведь его там нет. Получается, что О обладает двумя противоречащими друг другу характеристиками: он не является частью С, но одновременно является. Мы обнаружили парадокс (см. рисунок).
Чтобы решить эту проблему, Кантор ввел третий принцип порождения — третье правило, по которому второй принцип не может применяться к полной последовательности всех ординальных чисел. Другими словами, Кантор заявил, что О не существует.
Хотя это правило действительно решает парадокс, оно не кажется удовлетворительным. Мы как бы даем пациенту обезболивающее, но не находим причину его болезни. Для того чтобы обнаружить эффективное решение, нужно узнать, какой недуг вызвал боль, то есть какая ошибка лежит в основе теории, приведшей к парадоксу.
По мнению Кантора, его глубинной причиной была необходимость сделать различие, которое он ввел в статье 1883 года, между трансфинитным и абсолютно бесконечным. Ученый писал, что к области трансфинитного относятся все бесконечные множества, которые может познать человеческий разум и которыми он может оперировать, как, например, множество вещественных чисел или ординальных чисел первого, второго или третьего классов или еще какой-либо определенный класс. В области абсолютного мы сталкиваемся с множествами, которые «слишком велики» для нашего ума; среди них находится множество, образованное всеми ординальными числами, и универсальное множество (которое включает в себя абсолютно все и о котором речь шла в предыдущей главе). По этому поводу в статье 1883 года Кантор писал так:
Абсолютное, считает Кантор, подчиняется другим правилам, нежели трансфинитное, — правилам, которые мы даже не можем сформулировать, потому что не можем их познать. Следовательно, парадокс рождается, в сущности, из-за ошибочной попытки применить к абсолюту правила трансфинитного. Третий принцип порождения ординальных чисел, состоящий в том, что определенное правило трансфинитного не применимо к определенному абсолютному множеству, таким образом, создан не специально для конкретного случая, а является следствием философии, на которой основывается теория множеств. Аналогично решение парадокса Кантора (см. предыдущую главу) заключается, по мнению самого ученого, в том, чтобы просто-напросто заявить, что к универсальному множеству, относящемуся к области абсолюта, нельзя применить теорему, которая утверждает, что за каждым множеством идет еще одно с большей мощностью (см. рисунок). Надо сказать, что в действительности в работе 1883 года замечания об абсолютном, подобные приведенному выше, чаще встречаются в примечаниях, внесенных в основной текст позже, и наличие в теории множеств противоречий было на тот момент только что открыто. Сдержанность Кантора, возможно, должна была предотвратить нападки на его теорию и была результатом трезвого расчета. Об этом свидетельствует письмо, которое Кантор написал Гильберту 15 ноября 1899 года. В нем, говоря о своей философии и о различии между трансфинитным и абсолютным, он упоминает следующее: «Философия, которую вы можете найти в «Основах», изданных в 1883 году, особенно на последних страницах, выражена довольно ясно, но частично непонятно, и это сделано намеренно».
Дедекинд, который тоже работал в то время с понятиями теории множеств, казалось, не замечал никаких парадоксов, и сам Кантор после депрессии, поразившей его в 1884 году, полностью оставил эту тему на продолжительное время. Вопрос парадоксов теории множеств канул в Лету и был «открыт вновь» в 1897 году.
С 9 по 11 августа 1897 года в Цюрихе (Швейцария) проходил Первый международный конгресс математиков, в котором приняли участие более 200 ученых из 16 стран мира, в том числе Гильберт и Кантор. На этом конгрессе теория множеств получила международное признание, а многие выступления были посвящены применению понятий теории множеств — в основном в области исчисления.
Давид Гильберт на Втором международном конгрессе математиков
В беседах, которые участники вели между заседаниями, постоянно проявлялся волнующий всех вопрос... об открытии парадокса в теории множеств. В марте 1897 года в бюллетене Палермитанского математического кружка итальянский логик и математик Чезаре Бурали-Форти (1861-1931) опубликовал статью под названием «Вопрос о трансфинитных числах», в которой вновь открывал парадокс об ординальных числах. В 1883 году Кантор не дал точной формулировки парадокса, и он стал известен только после знаменитой работы Бурали- Форти, посему и получил его имя. Интересно, что итальянский ученый тоже присутствовал на конгрессе и выступил с докладом, правда по геометрии.
Гильберт, большой сторонник теории множеств, был крайне обеспокоен выявлением парадокса и в 1897 году начал интенсивную переписку с Кантором. В ходе этого обсуждения Кантор вновь выразил свою убежденность в том, что всех парадоксов в теории множеств можно было избежать, проведя различие между трансфинитным и абсолютным, хотя в письмах он не использовал эти термины, а говорил о «доступном» и «недоступном» (а иногда о «существенных» и «несущественных» множествах).
По Кантору, доступные множества — это такие множества, которые мы можем назвать и свойства которых мы можем изучить; недоступные же находятся вне нашего понимания, поэтому если мы будем пытаться анализировать их, то рискуем столкнуться с противоречиями. Проблема была не во множествах самих по себе, а в конечном и ограниченном рассудке, неспособном понять определенный тип множеств. Гильберта не убеждала такая постановка вопроса, он полагал, что если мы в состоянии постичь определение множества, то должны быть в состоянии и познать все его свойства. Мысль о том, что существуют непознаваемые математические объекты, была противна философии математики Гильберта, которую можно охарактеризовать его знаменитой максимой «Мы должны знать. Мы будем знать», произнесенной на конференции в честь открытия Второго международного конгресса математиков в 1900 году. Она выражает его твердую уверенность в том, что неразрешимых математических задач не существует. Интереснейший спор в письмах между Гильбертом и Кантором трагически прервался в 1899 году, так и не завершившись решением, которое устроило бы обе стороны.
В конце 1899 года Кантор готовил третью часть своей статьи «Обоснование учения о трансфинитных множествах», которую хотел посвятить главным образом изложению своего решения парадоксов теории множеств, но 16 декабря 1899 года его работу прервала трагическая гибель младшего сына Рудольфа. Ему было всего 13 лет.
Эта ужасная потеря, от которой Кантор так никогда и не оправился, повлекла за собой серьезное душевное расстройство. А может, болезнь скрыто протекала и до этого, а трагедия сделала ее явной. В последующие годы периоды просветления сменялись депрессией. Несколько раз ученый оказывался в психиатрической лечебнице в Галле. В годы болезни Кантор вернулся к теме авторства Шекспира и Бэкона, которую он на самом деле никогда не оставлял. Об этом свидетельствует фраза в письме Гильберту 15 ноября 1899 года: «Этой зимой я дам пять уроков в Берлине и пять в Лейпциге на ту же тему [вопрос о Шекспире и Бэконе], в которой я разобрался до конца; господа филологи будут поражены».
В подтверждение того, что после 1900 года его интерес к этому вопросу стал настоящим «помешательством», можно привести случай, произошедший в 1911 году. В сентябре того года Кантор как почетный академик был приглашен в Шотландию на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета. После обнаружения в 1902 году так называемого парадокса Рассела вопрос о логических противоречиях в теории множеств в математике вышел на первый план. Поэтому, когда Кантор взошел на трибуну университета, чтобы прочитать доклад, все ожидали услышать рассуждения о парадоксах бесконечности. Кантор же стал говорить о Бэконе как авторе шекспировских пьес. Тем не менее в следующем году Сент- Эндрюсский университет присудил Кантору степень почетного доктора, но ученый в тот момент был уже серьезно болен и не смог присутствовать на церемонии.
Георг Кантор, 1883 год
Несмотря ни на что в первые годы своей болезни Кантор не оставлял занятия математикой. Он продолжал преподавать в Галле, хотя периодически подолгу отсутствовал из-за болезни (например, весь 1909 год), он выступил с лекциями о парадоксах теории множеств на собрании Немецкого математического общества в сентябре 1903 года, а также в Гейдельберге (Германия) в августе 1904 года. Однако он так и не закончил третью часть своих «Обоснований» и не опубликовал больше ни одной статьи по математике.
В 1913 году Кантор вышел на пенсию. В последние годы жизни из-за Первой мировой войны он столкнулся с нехваткой питания. Из-за войны же широкое празднование, которое его немецкие коллеги планировали устроить по случаю 70-летая ученого, вследствие экономического кризиса свелось к небольшой вечеринке в узком дружеском кругу. В июне 1917 года Кантор в последний раз оказался в психиатрической клинике в Галле, где и скончался от сердечного приступа 6 января 1918 года.
В Галльском университете установлен памятник в виде большого бронзового куба. Каждая из четырех его граней посвящена профессору, работавшему в этом учебном заведении.
Одна из них, разумеется, — дань уважения Кантору. На ней изображен рельефный портрет ученого, а справа высечена надпись: «Георг Кантор, математик, создатель теории множеств, 1845-1918». Под портретом стоит равенство с = 2X0 , где с — первая буква латинского слова «континуум» (continuo), обозначающая мощность вещественных чисел. Справа от равенства — схема доказательства счетности всех рациональных чисел. Наконец, под равенством с = 2X0 приведена фраза из статьи Кантора 1883 года: «Сущность математики состоит в ее свободе».
Но нам не нужен монумент, чтобы помнить о Канторе, потому что он ясно говорит с нами со страниц своих писем и статей.
Пока существует математика, он будет жить в своей теории бесконечности.
Что же произошло с парадоксами теории множеств? Как они были решены и были ли? В 1880-е годы Дедекинд, а позже и Кантор предложили определять натуральные числа и операции между ними на основе понятий теории множеств. Это предложение было равнозначно тому, чтобы обосновать все области математики теорией множеств. Как возможно, что исчисление остается основанным на понятиях множеств, если натуральные числа определяются исходя из этих же понятий? Это объясняется тем, что на основе натуральных чисел можно определить целые, а целые, в свою очередь, определяют рациональные, рациональные — вещественные (говоря языком теории множеств), а вещественные являются основой исчисления.
Немецкий логик и математик Готлоб Фреге (1848-1925) задумался над той же задачей: привести всю математику к понятиям теории множеств. Таким образом он соглашался с Кантором и Дедекиндом, но стиль его математической аргументации был другим. На протяжении веков образцом математических рассуждений было сочинение Евклида «Начала» — фундаментальный труд по древнегреческой геометрии, созданный в III веке до н.э. Логическая структура «Начал» опирается на аксиомы — утверждения, которые считаются верными без доказательства, а на основе аксиом посредством логических рассуждений выводятся все остальные истины, в данном случае геометрические свойства.
Евклид разделил свои аксиомы на две группы: к первой относятся постулаты, утверждения о конкретных геометрических объектах, а ко второй — так называемые «общие понятия», общие правила логики, которые можно применить к любой ситуации, не только в геометрии. Примером общего понятия является утверждение, что если два объекта равны третьему, это значит, что они равны между собой (см. рисунок).
Система аксиом Евклида относится не только к геометрическим объектам как таковым, а дает нам и более общие правила для объектов. Другими словами, система аксиом говорит не только о свойствах геометрических объектов, но и позволяет нам сделать выводы из этих свойств.
Теория множеств Кантора, на которую опирался и Дедекинд, не имела такой изящной логической структуры: в ней не было аксиом. В отличие от Евклида, Кантор не составил никакого списка фундаментальных свойств, на которых основывал свои доказательства. Он ограничивался тем, что давал определения (например, ординальных чисел), часто используя разговорный язык, и на их основе делал выводы, продиктованные ему более или менее интуитивной логикой. Для Фреге это было неприемлемо. Он считал, что теория множеств должна иметь евклидову структуру, то есть начинаться с четкого и ясного списка определений и аксиом (а также общих понятий), чтобы на их основе можно было строго вывести все утверждения теории.
Но Фреге пошел еще дальше: он сожалел, что в математике вообще, а не только в теории множеств, использовался разговорный язык и что в ней часто взывали к «практическому разуму», что он называл «психологизмом». Он считал, что у математики должен быть свой особый язык со специально созданными для него символами и правила логической дедукции (по которым, исходя из определенных посылок, мы можем прийти к неким выводам) должны выражаться с максимальной точностью, используя этот язык.
Как мы сказали, эта обеспокоенность Фреге «психологизмом» относилась к математике вообще, а не только к теории множеств, его первые предложения по созданию математического языка были сделаны еще до нее. Тем не менее, когда во второй половине 1880-х годов одновременно с Дедекиндом Фреге задумал обосновать всю математику теорией множеств, он сконцентрировался на применении созданного им языка именно к этой теории. Ученый посвятил годы разработке символов и правил четкого языка и впервые рассказал о нем в своей книге Begriffsschrift («Исчисление понятий») 1878 года. Язык Фреге отличается от привычного нам со всех точек зрения, в записи он больше похож на линейный рисунок, чем на текст. Возможно, так было задумано специально, чтобы как можно больше отдалить математический язык от разговорного. Тем не менее это имело негативное последствие, так как предложенную систему было чрезвычайно трудно понять, и сочинение Фреге не получило такого распространения у заинтересованной публики, какое могло бы.
В 1902 году Фреге только что отправил в печать второй том своих «Основ арифметики» (в этой работе он развивал идею основания математики на теории множеств), когда получил письмо от английского логика Бертрана Рассела (1872-1970). Оно было отправлено 16 июня 1902 года из Фрайдей Хилла (Хаслмир, Великобритания) и занимало чуть меньше страницы. Рассел писал, что прочитал первый том «Основ», хвалил его и заявлял, что полностью разделяет задумку Фреге. «И тем не менее, — добавлял Рассел, — я нашел небольшое осложнение».
В чем же оно состояло? Одна из аксиом, которую Фреге подводил под теорию множеств, заключалась в так называемом принципе выделения. Другими словами, согласно ей, каждому свойству соответствует множество, состоящее из всех объектов, которые обладают этим свойством. Например, свойство «быть книгой по математике» соответствует множеству, образованному всеми книгами по математике; свойству «быть рациональным числом» соответствует множество всех рациональных чисел и так далее. В письме Фреге Рассел сформулировал следующий вопрос: что произойдет, если мы рассмотрим свойство «быть множеством, которое не является членом самого себя?»
По аксиоме Фреге, говорит Рассел, этому свойству соответствует множество — назовем его F, — образованное всеми множествами, которые соблюдают параметр не быть членами самих себя. Таким образом, вопрос звучит так: «F — член самого себя?»
Если да, то, как и все члены, оно обладало бы свойством, определяющим множество, но F не должно быть членом самого себя. Мы приходим к противоречию, так как исходим из одного предположения, а получаем противоположный вывод. Таким образом, эта предпосылка не может быть верной. Тогда F не является членом самого себя.
Но в этом случае оно не соответствует свойству, определяющему F, так как должно быть членом самого себя. Мы сталкиваемся с еще одним противоречием (см. рисунок).
Резюмируем: F не может быть членом самого себя, но не может и не быть им. Это невозможно с точки зрения логики. Множество Fy существование которого гарантирует принцип выделения, не может существовать, потому что это порождает логическое противоречие. Принцип выделения, казавшийся таким невинным, ведет к парадоксу. Сегодня парадокс множеств, которые не являются членами самих себя, известен как парадокс Рассела.
Парадоксы Бурали-Форти и Кантора, конечно, вызвали обеспокоенность в научном сообществе, но это не было неподконтрольным волнением.
Действительно, проблема парадоксов требовала решения, но оба они относились к таким объектам, как множество всех ординальных чисел и универсальное множество, которые никогда не фигурировали в какой-либо другой области математики, использующей понятия теории множеств. С другой стороны, помимо предложенного Кантором решения, многие другие ученые полагали, что чтобы устранить парадоксы, достаточно внести в теорию множеств технические поправки, например в определение. В общем, хотя все и признавали наличие проблемы, казалось, что она касается очень ограниченной области теории множеств и, разумеется, имеет решение.
Парадокс Рассела, напротив, вызвал гораздо более глубокий кризис, так как аксиому, утверждающую, что каждому свойству соответствует множество, использовали на протяжении нескольких лет все ученые, применявшие понятия теории множеств. Доказав, что эта аксиома противоречива, Рассел не только обрушил всю систему Фреге, но и заставил усомниться во всех достижениях, основанных на теории множеств. В частности, была поставлена под вопрос верность исчисления. Более того, принцип выделения в действительности кажется очевидным, а если такое невинное на первый взгляд утверждение оказывается настолько противоречивым, какие опасности таятся в других аксиомах или предположениях, которые так или иначе математики доверчиво использовали в своих утверждениях?
Поделиться книгой: