Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Фридрих Людвиг Готлоб Фреге родился в Висмаре (Германия) 8 ноября 1848 года. В 1869 году он поступил на математический факультет Йенского университета, также в Германии, но в 1871 году перевелся в Геттинген, где кроме математики изучал физику, химию и философию. В 1872 году удостоился докторской степени, предложив новый логически точный геометрический язык. В 1902 году Фреге получил письмо от Рассела, в котором говорилось о парадоксе множеств, не являющихся членами самих себя, и впал в глубокое уныние. Он попытался перестроить всю систему и для этого изменил аксиому, порождавшую парадокс, но тогда она породила еще несколько — Фреге понадобился не один год, чтобы заметить их. Большая часть его работ по логике и философии на момент его смерти были еще не опубликованы. Фреге завещал их своему приемному сыну Альфреду с такими словами:

«Не пренебрегай моими рукописями. Если не все в них золото, то золото там все же есть. Думаю, придет время, и многое в них будет оценено гораздо выше, чем теперь. Смотри, чтобы ничто из них не потерялось. В них я оставляю тебе значительную часть самого себя».

Фреге умер в Бад-Клайнене (Германия) 26 июля 1925 года.

Что на этом пути нам, продвигающимся все дальше, не удается достичь никакой непереходимой границы, получить хотя бы только приближенное постижение абсолютного — это не подлежит для меня никакому сомнению.

Георг Кантор, 1883 год

Кризис, вызванный парадоксом Рассела, вышел за границы теории множеств: ученые поставили под вопрос все свои рассуждения и даже стали спрашивать себя, что же на самом деле изучает математика. Этот глубокий кризис известен сегодня под названием «кризиса оснований». Он вызвал множество споров, иногда очень горячих, продлившихся почти 30 лет.

РЕШЕНИЕ

В начале XX века многие математики были уверены, что для решения проблемы парадоксов теории множеств достаточно добиться верной формулировки ее аксиом. Первый шаг в этом направлении сделал немецкий математик Эрнст Цермело (1871-1953). В 1919 году немецкий математик Абрахам Френкель (1891-1965) усовершенствовал систему аксиом Цермело, добавив к ней неучтенные прежде необходимые аксиомы. Сегодня она называется системой Цермело — Френкеля, а в специальной литературе по теории множеств обозначается аббревиатурой ZF. Эти аксиомы составляют стандартные формулировки теории множеств и позволяют решить все известные парадоксы. Слово «известные» было добавлено чешским математиком Куртом Гёделем (1906-1978), который доказал, что не существует безошибочного способа гарантировать, что система аксиом не содержит парадоксов. Таким образом, хотя в глубине души математики убеждены, что ZF не приведет к логическим противоречиям (и действительно, с 1919 года они не были выявлены), не существует математически точного доказательства того, что они никогда не возникнут.

Каждая сторона этого памятника в Галльском университете посвящена профессору, работавшему здесь. Сторона слева — Виктору Клемпереру (1881-1960), профессору философии, сторона справа — Кантору.

Сторона памятника, посвященная Кантору. Под изображением ученого высечено равенство x = X02 . а внизу — фраза из его работы 1883 года: «Сущность математики состоит в ее свободе».

Перечислим аксиомы Цермело — Френкеля.

1. Два множества равны, если в них одинаковое количество членов.

2. Существует пустое множество.

3. Если даны х и y, всегда существует пара, состоящая из них обоих.

4. Объединение двух или больше множеств также является множеством.

5. Существует по крайней мере одно бесконечное множество.

6. Только свойства, которые можно выразить исходя из остальных аксиом, могут быть использованы для определения множества.

7. Если дано произвольное множество, всегда существует множество, образованное его частями (см. главу 5).

8. Если дана семья — конечная или бесконечная — непустых множеств (то есть каждое из них содержит как минимум один член), всегда существует множество, которое содержит по члену из каждого множества этой семьи (см. рисунок на следующей странице).

9. Ни одно множество не является членом самого себя.

Аксиома 9 подразумевает, что универсального множества не существует, потому что оно содержало бы само себя, а аксиома это запрещает. Действительно, если записать аксиомы подходящим символическим языком, то можно доказать, что, исходя из аксиомы 6, универсальное множество даже не может быть определено. Парадокс Кантора возникает, когда речь заходит именно о мощности универсального множества. Но если его не существует, то нет и парадокса.

Парадокс Рассела связан с множеством F, образованным всеми множествами, которые не являются членами самих себя. Но аксиома 9 гласит, что все множества соблюдают условие, определяющее F; следовательно, F будет множеством всех множеств. Но поскольку оно и само является множеством, по аксиоме 9, то не может существовать (на самом деле, как и в случае с универсальным множеством, можно доказать, что даже нельзя определить теоретически). А раз оно не существует, то не будет и парадокса Рассела.

Парадокс Бурали-Форти решается аналогичным способом — через доказательство того, что множества всех ординальных чисел не существует.

Схема, объясняющая аксиому выбора. От каждого множества выбирается по члену и из них формируется новое множество.

РЕШЕНИЕ КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЫ

Несмотря на успех ZF, в XX веке были предложены и другие системы аксиом для теории множеств. Обычно они обозначаются инициалами ученого, который сформулировал их первым. Так, существует система NBG (Джона фон Неймана, Пола Бернайса и Курта Гёделя) и система МК (Роберта Ли Морза и Джона Лероя Келли). Эти системы не равнозначны. Это не просто разные формулировки одной и той же идеи — различия лежат в самих их основаниях. В частности, не все системы предлагают одно и то же решение парадоксов. Самой популярной система ZF стала отчасти потому, что она же и самая простая, но и у других есть свои сторонники. Прочие системы сводятся к тому, что множеств, которые Кантор называл «недоступными», не существует, как в ZF, либо, как в NBG и МК, существование «недоступных» множеств допускается, но провозглашается, что они подчиняются правилам, отличным от других множеств.

Таким образом, современная теория множеств возвращается к идее Кантора о том, что решение парадоксов должно опираться на различие между «доступными» и «недоступными» множествами. Но значит ли все это, что существует несколько разных теорий множеств? И существуют ли недоступные множества? На эти вопросы пока нет ответов, которые бы удовлетворили всех математиков. Обобщая, можно выделить два подхода к их решению: платонизм и формализм.

Платонизм — это течение, согласно которому математические объекты действительно существуют вне зависимости от человеческого разума, и сущность работы математиков состоит в том, чтобы открыть характеристики этих объектов. Согласно данному подходу, есть одна верная теория множеств. Тот факт, что на сегодняшний день существует несколько систем аксиом, говорит о том, что математики пока не смогли определить, какая из них является верной. Платоники считают, что как только будет определена настоящая теория множеств, то, что она будет говорить о недоступных множествах, и станет правдой.

Формалисты, напротив, полагают, что математика — плод человеческой мысли и во многом похожа на музыку или литературу. Согласно этой точке зрения, математика, в сущности,— это «языковая игра», в которой есть твердые основы, аксиомы и такие же четкие логические правила, позволяющие, опираясь на них, приходить к неким выводам. Работа математика состоит в том, чтобы понять, куда нас ведут правила игры. Она не отличается от того, что делает шахматист, когда ищет удачный ход, находясь на определенной клетке доски.

В рамках формализма вопрос о существовании «недоступных» множеств лишен смысла: по правилам одних систем они существуют, по правилам других — нет; это все, что можно сказать по данной теме. В обоих подходах есть свои нюансы, сильные и слабые стороны, и оба используются сегодня математиками. Спор между платонистами и формалистами — следствие кризиса оснований. Кантор не дожил до него, но если бы он знал об этой дискуссии, чью сторону принял бы? Он полагал, что математики абсолютно свободны в определении понятий и в расстановке приоритетов — с одним лишь условием: в результате не возникает логических противоречий. Такой подход приближал его к формализму. Однако в то же время в некоторых работах он как будто отстаивал мнение о том, что понятия, определенные математиками, имеют собственное объективное существование в разуме Бога. Это сближает его с платонизмом.

Противостояние платонизма и формализма также связано с решением проблемы континуум-гипотезы. Напомним, что она была сформулирована Кантором и утверждает, что 2X₀ = X₁.

В 1940 году Курт Гедель доказал, что в рамках любой из обычно используемых систем аксиом для теории множеств невозможно доказать ложность этого равенства. А в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934-2007) доказал, в свою очередь, что невозможно доказать и то, что оно верное. Таким образом, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута ни одной из использующихся сейчас систем аксиом. Так верная она или ложная? Для формалистов этот вопрос не имеет смысла: аксиомы — всего лишь правила игры, установленные произвольно, они не описывают никакую внешнюю «истину».

Согласно этой точке зрения, к любой теории множеств можно добавить новую аксиому, которая позволит или подтвердить, или опровергнуть континуум-гипотезу. Платоники же считают, что вне зависимости от наших аксиом равенство 2X₀ = X₁ является либо объективно верным, либо ложным, и рано или поздно будет найдена такая система аксиом, которая решит этот вопрос однозначно. Таким образом, в рамках формализма этот вопрос закрыт, в рамках платонизма — остается открытым.

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

В 1935 году впервые собрался Николя Бурбаки. Эта фраза кажется странной, но в действительности Николя Бурбаки — не человек, а коллективный псевдоним, который взяла себе группа преимущественно французских математиков. Целью первой встречи группы было установление способов достижения назначенной цели (над которыми Бурбаки работает и сейчас, хотя члены группы, разумеется, сменились).

Как мы увидели, аксиомы Цермело — Френкеля (речь только об этих конкретных аксиомах, потому что они чаще всего используются) позволили наконец решить проблему парадоксов теории множеств, расчистив путь для программы Фреге по обоснованию математики на понятиях множеств. Его попытался возобновить Рассел, но безуспешно. Целью Бурбаки было завершить проект Фреге. Для этого на первом собрании в 1935 году математики договорились написать серию томов под названием «Начала математики», каждый из которых был бы посвящен отдельной области этой науки. В каждой книге разбираемые понятия рассмотрены с максимально возможной логической строгостью, чтобы создать устойчивую базу для дальнейшего развития. Так или иначе, основой этих определений была теория множеств.

На сегодняшний день из-под пера Бурбаки вышло более дюжины томов. Несмотря на критику слишком сухого стиля, они имели и продолжают иметь огромное влияние на установление логических основ современной математики. С другой стороны, хотя сочинения Бурбаки должны были стать базой для работы других ученых — исследователей, которые создают и открывают новые понятия и теоремы, — их влияние распространилось и на преподавание математики, особенно во второй половине XX века, посредством так называемой «современной математики».

НИКОЛЯ БУРБАКИ

Согласно вымышленной биографии, Николя Бурбаки был генералом французской армии греческого происхождения. Уйдя в отставку, он якобы посвятил себя изучению математики и жил в несуществующем городе Нанкаго: скорее всего, это название является комбинацией городов Нанси во Франции и Чикаго в США, так как некоторые создатели Бурбаки были тесно связаны с тамошними университетами. «Николя Бурбаки» — это коллективный псевдоним, который избрала себе в середине 1930-х годов группа математиков, в основном французских.

Считается, что они выбрали его отчасти в шутку, отчасти чтобы не подписывать длинным списком фамилий работы, сделанные несколькими учеными.

Несмотря на то что почти все члены группы стремились сохранить в тайне свою принадлежность к ней, сейчас нам известно, что под псевдонимом Бурбаки скрывались от 10 до 20 участников, а среди создателей группы были такие известные французские математики, как Андре Вейль (1906-1998), Жан Дьедонне (1906-1992) и Клод Шевалле (1909-1984).

Портрет вымышленного генерала Николя Бурбаки.

В то время в рамках этого направления было предложено преподавать все математические понятия исходя из идей теории множеств, даже в начальной школе (что вызвало прямо противоположные мнения). Однако это педагогическое течение утратило почти весь свой авторитет и полностью заброшено.

И тем не менее теория множеств жива и прекрасно себя чувствует. Как и задумывали Кантор, Дедекинд и Фреге и благодаря работе Бурбаки, сегодня она стала основой всей математики.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.

Bunch, B.H., Matemdtica insolita (Paradojas у paralogismos), Mexico, Reverte, 1997.

Cantor, G., Fundamentes para una teoria general de conjuntos (Escritos у correspondencia selecta), edicion de Jose Ferreiros; Barcelona, Critica, 2006.

Hawking, S. (compilador у comentarista), Dios creo los ndmeros (Los descubrimientos matemdticos que cambiaron la historia), Barcelona, Critica, 2010.

Kasner, E., Newman, J., Matemdticos e imagination, Barcelona, Salvat, 1994.

Lavine, S., Comprendiendo el infinite, Mexico, Fondo de Cultura Economica, 2005.

Martinön, A. (compilador), Las matemdticos del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.

Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.

Smullyan, R., Satan, Cantor у el infinito, Barcelona, Gedisa, 1995.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.

Указатель

Acta Mathematica 94-96, 114

ZF 154, 158

аксиомы Цермело — Френкеля 154, 156, 160

алеф 122, 123

Аристотель 8-10, 24-28, 31, 33, 38, 54, 79, 86

арифметика

ординальная 128

трансфинитная 123-126

Архимед 77

бесконечность

актуальная 9-11, 20, 23-28, 36, 38-40, 42, 56, 68, 72- 73, 90, 91, 102, 106, 142

потенциальная 9, 10, 20, 23-26, 36, 42, 69, 72, 98, 99, 102, 105, 106

Больцано, Бернард 10, 92

Борель, Эмиль 116, 117

Борхес, Хорхе Луис 31, 122

Бурали-Форти, Чезаре 144, 145, 152

Бурбаки, Николя 160-162

Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм 13, 19, 37, 37, 43, 47, 54, 55, 69, 82-83

взаимно однозначное соответствие 38-40, 41, 45-48, 51, 54, 60, 62, 65-69, 127, 129-132

Галилей, Галилео 10, 27, 28-31, 37-39, 54

Гейне, Генрих Эдуард 36, 93, 95, 99, 100, 103, 104

Гедель, Курт 154, 158, 159

Гильберт, Давид 44, 102, 115, 116, 118, 143-145

отель Гильберта 44

Гутман, Валл и 13, 37

Дедекинд, Рихард 13, 17, 18, 26, 37, 40, 43, 47, 59-61, 69, 78, 82, 84, 89-94, 106, 118, 119, 123, 143, 148, 150, 162

дедекиндово сечение 92

пересечения 119

диагональный метод 13, 48-51, 54, 130

Евклид 148, 149