Помоги проекту - поделись книгой:
В свою очередь, сумма чисел определяется посредством объединения множеств. Так, когда мы говорим: «1 + 1 = 2», на самом деле мы утверждаем, что если даны два множества и кардинальное число каждого равно 1, то их общее кардинальное число будет равно 2 (рисунок 2 на предыдущей странице).
Таким же образом все математические понятия могут быть сведены к понятиям теории множеств. Мнение о том, что математика основана на теории множеств, серьезно повлияло на науку XX века и продолжает влиять на нее сейчас.
Последнее десятилетие XIX века началось для Кантора чрезвычайно благоприятно. Молодые математики принимали, изучали и применяли его теорию бесконечности, а Рихард Дедекинд тем временем предлагал сделать из теории множеств основу всей математической науки. К этим обстоятельствам добавилось еще одно событие, внушавшее оптимизм: в 1890 году было создано Немецкое математическое общество, и Кантор был избран его первым президентом. Он занимал эту должность до 1893 года.
Появление общества было результатом интенсивной работы, в которой оправившийся от депрессии Кантор принял активное участие и которая совпала с объединением Германии.
В начале XIX века страна в действительности была разделена на 38 политически независимых «государств», у которых, тем не менее, были общий язык, культура и история. Самым сильным из них была Пруссия. Примерно в 1860 году прусский первый министр, «железный канцлер» Отто фон Бисмарк начал процесс объединения, в ходе которого произошли три военных конфликта и были заключены несколько политических союзов. Процесс завершился 18 января 1871 года провозглашением Германской империи, объединенной под короной Вильгельма I, бывшего до этого королем Пруссии.
Артур Мориц Шенфлис (1853-1928), немецкий математик
Однако в конце 1880-х годов Кантор и его коллеги, среди которых знаменитый геометр Феликс Клейн (1849-1925), заметили, что хотя с момента объединения страны прошло уже почти 20 лет, в отдельных регионах еще сохранялась зависть к соседям, мешавшая плодотворному сотрудничеству. Поэтому многие ученые увлеклись идеей создания общества, которое объединило бы всех немецких математиков. Этот проект обрел реальные черты в 1890 году, а Кантор стал первым президентом новой ассоциации.
Открытие Немецкого математического общества состоялось в сентябре 1891 года, и в знак примирения со старым врагом Кантор лично пригласил Кронекера прочитать лекцию.
Тот принял приглашение, но, к сожалению, не смог приехать, так как в августе его жена стала жертвой несчастного случая и спустя месяц умерла. Кронекер пережил ее не намного: его не стало 29 декабря того же года.
В 1890-е годы Кантор, выздоровевший и примирившийся с научным сообществом, возобновил свои математические исследования. Их результатом стала публикация двух статей — последних, которые он отправил в печать при жизни. Первая называлась Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях») и была опубликована в 1892 году в первом ежегодном альманахе Немецкого математического общества.
Вторая статья стала одной из самых известных и была издана в двух частях: первая в 1895-м, а вторая в 1897 году. Обе вышли в журнале «Математические анналы» под заголовком Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre («К обоснованию учения о трансфинитных множествах»).
Из рассказа «Алеф» Хорхе Луиса Борхеса
Проанализируем содержание этих статей, но в обратном хронологическом порядке.
Историк Хосе Феррейрос совершенно справедливо утверждает, что теория трансфинитных множеств — это «научное завещание Кантора». Действительно, в этой работе ученый использует все основные понятия своей теории бесконечности, в частности кардинальных и ординальных чисел, и изучает их свойства и взаимоотношения.
Одним из нововведений стало обозначение бесконечных кардинальных чисел (мощностей) алефом, א. Это первая буква еврейского алфавита. Первое бесконечное кардинальное число, соответствующее множеству натуральных чисел, как любое другое счетное множество, Кантор назвал X0 (читается «алеф-нуль»);
X1— второе бесконечное кардинальное число, X2 — третье и так далее. Следовательно, множество всех ординальных чисел первого класса, то есть всех натуральных чисел, имеет мощность X0 . Добавив ординалы второго класса, мы получим мощность X1, третьего класса — множество с мощностью X2 и так далее (см. рисунок). После этого замечания вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, то есть верно ли предположение Кантора, что промежуточной мощности между мощностью натуральных и вещественных чисел не существует, видоизменяется: равна ли мощность вещественных чисел X1? (Обратим внимание, что меньшая бесконечная мощность — это X0, а непосредственно за ней идет X1 ; мы также знаем, что мощность вещественных чисел не равна X0 потому что они несчетны; поэтому, если она не равна X1, единственная альтернатива — что она больше этого значения.)
В своем «Обосновании» Кантор опирается на работу Дедекинда 1887 года, хотя и не ссылается на нее открыто. Как и Дедекинд, он считает, что натуральные числа — кардиналы конечных множеств, а их сумма получается посредством объединения. Однако Кантор распространил эту идею и на бесконечные кардинальные числа и открыл область, которую назвал трансфинитной арифметикой. С точки зрения теории множеств 1 + 1 = 2 означает, что если мы объединим два разных множества с мощностью каждого, равной 1, то получим множество с мощностью 2. Можно выразить это другим способом, сказав, что если к множеству с мощностью 1 мы прибавим еще один объект, то результатом будет множество с мощностью 2. Следуя логике этих рассуждений, если к натуральным числам (с мощностью X0 ) прибавить число -1, мы получим множество -1, 0, 1, 2, 3, 4,..., эквивалентное множеству натуральных чисел и, следовательно, имеющее мощность X0 (напомним, что два эквивалентных множества равномощны). Итак, прибавляя новый объект к множеству мощностью X0 , мы получим другое множество с мощностью X0 ; говоря языком трансфинитной арифметики, X0 + 1 = X0 (см. рисунок 3).
Аналогично мы можем доказать, что если к множеству с мощностью X0 прибавить два объекта, то результатом опять будет множество мощностью X0 , то есть X0 + 2 = X0 ; это же справедливо и для X0 +3 = X0 и X0 + 4= X0 , и так далее для всех натуральных чисел. Эти равенства свидетельствуют о том, что если к счетному множеству прибавить конечное количество объектов, мы снова получим счетное множество.
Что происходит с X0 + X0 ? Другими словами, какую мощность мы получим, объединив два счетных множества? В «Основаниях·» Кантор доказал, что объединением двух счетных множеств будет также счетное множество. Например, натуральные числа и отрицательные -1,-2, -3, -4,... в результате дадут множество целых чисел. Следовательно, мы можем сказать, что X0 + X0 = X0 .
Рассмотрим последний пример. Мы уже отметили, что у множества ординальных чисел первого класса (то есть натуральных) мощность равна X0 и что если мы прибавим к ним множество ординальных чисел второго класса (которое начинается c ω. ω + 1, ω + 2,...), то образованное множество будет иметь мощность X1 . Кантор же доказал, что и множество ординалов второго класса само по себе имеет мощность X1 . Если к множеству мощностью X1 (то есть только ординалов второго класса) прибавить множество мощностью X0 (ординалы первого класса), мы получим множество с мощностью X1 (ординалы первого и второго классов вместе); в терминах трансфинитной арифметики это означает, что X0 + X1 = X1 (см. рисунок 4).
В действительности мы можем доказать, что дважды сложив одно и то же бесконечное кардинальное число, в результате получим его же (как в случае с X0 + X0 = X0 ), и если мы сложим два разных бесконечных кардинальных числа, то результатом будет большее из них ( X0 + X1 = X1). Следовательно, можно утверждать, что X1 + X1 = X1 и X2 + X2 = X2 .
Рассмотрим еще одну операцию трансфинитной математики, но сначала необходимо ввести несколько терминов. Множество надо понимать как вещь в себе, отличную от членов, которые его составляют. Так, Q, множество всех рациональных чисел, и I, множество иррациональных, являются каждое одним объектом. Тогда мы можем представить множество, составленное только этими двумя объектами — Q и I, — которое мы условимся называть D. Членов D всего два: это Q и I, следовательно, его мощность равна 2. Не следует путать D с объединением Q и I, которое получается, если в одно множество собрать все члены двух множеств, и в результате дает множество всех вещественных чисел R. Число 3/2, например, является членом Q и R, но не D. Здесь можно провести аналогию со множеством, образованным планетами солнечной системы, назовем его 5. В нем восемь членов: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. С другой стороны, Земля сама по себе может быть представлена как множество, члены которого — человеческие существа.
В рамках трансфинитной арифметики помимо суммы мы можем определить произведение кардинальных чисел. Для этого надо обратиться к так называемому декартову произведению множеств. Если А и В — произвольные множества, их декартово произведение будет записываться как А x В и определяться как множество, образованное всеми парами, первые члены которых являются элементами А, а вторые — В. Как это делается в текстах по теории множеств, пара, образованная, например, числами 1 и 2, обозначается как (1,2). Порядок записи элементов очень важен, поскольку (1,2) — не та же самая пара, что (2,1). Поэтому обычно говорят об упорядоченных парах. Итак, если А — это множество, образованное числами 0 и 1, а В — числами 2,3 и 4, то А х В — это множество, состоящее из пар (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4). Обратим внимание на то, что А имеет мощность 2; В — мощность 3, а А х В — мощность 6. Как следствие из предыдущего примера, произведение мощности А на мощность В будет мощностью А x В (в отличие от того, что происходит в случае сложения, здесь не имеет значения, есть ли у А и В общие члены). Чему равно X0 х X0 ? Если мы возьмем множество всех натуральных чисел N (мощность которого, как мы знаем, равна X0 ), то исходя из предыдущего определения X0 ∙ X0 — мощность N x N (множество всех пар натуральных чисел). Далее будет доказано, что N х N счетное.
Мы — члены Земли, но не 5, поскольку не являемся планетами Солнечной системы. С точки зрения S каждая планета — самостоятельный объект, и не имеет никакого значения, как он образован. Аналогично, множество D определенное выше, состоит из двух членов, и для него не важно, из чего, в свою очередь, состоят они.
Теперь рассмотрим множества, образованные натуральными числами. Например, множество N, состоящее из всех натуральных чисел, множество четных чисел, нечетных, простых; множество, состоящее только из числа 45; только из тех чисел, которые оканчиваются на 8; состоящее только из чисел 5,7 и 22 и многие другие, каждое из которых, как в случае с Q и I, должно приниматься как самостоятельный объект. Итак, мы можем рассмотреть множество, члены которого — это все множества, могущие быть образованными при помощи натуральных чисел — как упомянутые выше, так и все остальные возможные множества. Это новое множество обычно обозначается 'P(N) и читается как «части N», а его члены, следовательно, — это множества, а не числа. Множество всех четных чисел — член 'P(N), как и множество, состоящее из числа 2; но само число 2 — не член 'P(N), так как его члены — только множества. Здесь для теории множеств проходит тонкое, но очень важное различие: число 2 и множество, состоящее из числа 2, — не одно и то же. Чтобы подчеркнуть это различие, множество из числа 2 обычно записывается как {2}. Фигурные скобки позволяют нам графически показать разницу между 2 — числом — и {2} — множеством. Так же, например, множество, образованное числами 2 и 34, обозначается {2, 34}, а множество четных чисел — {0, 2, 4, 6, 8,...} (см. рисунок). Таким образом, множество D упомянутое выше и состоящее из множеств Q и I, будет записано как {Q и I}.
Вопрос, на который Кантор ответил в своей статье 1892 года, гласит: «Какова мощность 'P(N) ?» Для ответа нужно найти удобный способ представления множеств, образованных натуральными числами. Для определения числового множества достаточно знать, какие числа принадлежат множеству, а какие нет. Представим, что двое, Алиса и Бруно, играют в игру: Алиса загадывает множество, а Бруно должен отгадать его. Для этого он по порядку называет натуральные числа: 0, 1,2, 3, 4,...; каждый раз, когда названное число входит в загаданное множество, Алиса говорит «Да», если нет — «Нет». Если она говорит: «Нет, да, нет, да, нет, да, нет, да,...», Бруно может заключить, что речь идет о множестве нечетных чисел. Если все ее ответы — «Да», то это множество 'P(N) ; если это множество простых чисел, то ответы будут: «Нет, нет, да, да, нет, да, нет, да, нет, нет, нет, да,...». Каждое «Да» мы можем заменить числом 1, а каждое «Нет» — числом 0. Таким образом, каждое множество, состоящее из натуральных чисел, будет являться бесконечной последовательностью нуля и единицы. Если мы перезапишем ответы Алисы, то множество нечетных чисел будет представлено последовательностью 010101..., множество 'P(N) — 11111..., а множество простых чисел — 001101010001... То есть каждой бесконечной последовательности нуля и единицы соответствует некое множество, и наоборот, каждому множеству соответствует бесконечная последовательность нуля и единицы. Это взаимно однозначное соответствие подразумевает, что вопрос о мощности 'P(N) и мощности всех бесконечных последовательностей нуля и единицы — одно и то же (см. рисунок).
В статье 1892 года «Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях» Кантор доказывает по существу две вещи. Прежде всего — что множество всех последовательностей нуля и единицы не является счетным, поэтому и 'P(N) несчетно. Для этого ученый использовал диагональный метод (см. главу 2). В действительности данный метод впервые появился именно в этой работе 1892 года. Доказательство несчетности, которое привел Кантор в 1874 году, следовало другой логике и основывалось на определении вещественных чисел.
Доказательство, что 'P(N) несчетное, основывается на алгоритме, описанном в главе 2 для вещественных чисел. Однако несчетность 'P(N) и R, даже если в ходе доказательства мы рассуждали так же, не гарантирует, что у них одинаковая мощность. Метод диагонали дает нам отрицательный результат, то есть позволяет убедиться, что ни у 'P(N), ни у R мощность не равна X0 , но не показывает, какую конкретно мощность имеет каждое из них, и не дает оснований заключить, что их мощности равны.
В статье 1892 года Кантор доказал, что эти множества равномощные, однако это нельзя заключить на основе диагонального метода; необходимо предъявить отдельное доказательство. Итак, требуется доказать, что 'P(N) и R эквивалентны или что R эквивалентно всем бесконечным последовательностям нуля и единицы.
Для начала вспомним, что способ привычной нам записи натуральных чисел основан на десятичной системе, так как для них необходимы все 10 цифр, а также на степенях числа 10. Когда мы записываем число 235, на самом деле мы пишем 2 · 102 + 3 х 101 + 5 · 100 (напомним, что 101 = 10, а 100 = 1). Нечто похожее происходит с числами, которые не являются целыми, но в этом случае используются степени с отрицательным знаком: 10-1 равное 0,1; 10-2, равное 0,01, и так далее. 0,76 на самом деле означает 7 ∙ 101 + 6 ∙ 10-2. Интересно подчеркнуть, что числа с бесконечным количеством цифр после запятой, такие как 0,3333..., можно представить в виде бесконечных сумм.
Действительно, 0,333... = 3 ∙ 10-1 + 3 ∙ 10-2 + 3 ∙ 10-3 + 3 ∙ 10-4 + ... Хотя десятичная запись используется чаще всего, она не единственно возможная: например, числа можно записывать на основе так называемой двоичной системы. Как явствует из ее названия, в ней используются только две цифры — 0 и 1, — а основана она на степенях числа 2. Число 13 в двоичной системе будет записано как 1101, поскольку 13 = 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20. Как и в предыдущем случае, этот способ записи не распространяется на целые числа. Например, в двоичной системе число 0,333... будет выглядеть как 0,01010101..., поскольку бесконечная сумма 0 ∙ 2-1 + 1 ∙ 2-2 + 1 ∙ 2-4 + 0 ∙ 2-5 + 1 ∙ 2-6 в результате даст 0,333... (записанное в десятичной системе).
Жак Адамар, французский математик (1865-1963), на конференции 1897 года
Теперь докажем, что множество всех вещественных чисел с 0 по 1 на отрезке числовой прямой эквивалентно 'P(М). Необходимо получить такой результат, при котором каждому числу с 0 по 1 точно соответствует множество натуральных чисел.
Возьмем число 0,333... Как найти эквивалентное ему множество? На рисунке показано, что сначала мы должны записать его в двоичной системе. Получив выражение 0,01010101..., возьмем только его часть после запятой, в данном случае 010101..., и посмотрим, какое множество соответствует этой последовательности. Поскольку это последовательность нечетных чисел, то 0,333... соответствует ей.
Таким же образом, если у нас есть множество, образованное, например, числами 2 и 3, и мы хотим узнать, какому числу оно соответствует, сначала мы должны представить его в виде последовательности нуля и единицы. В данном случае это будет выражение 00110000..., и рассмотрим его как цифры после запятой некоего числа, записанного в двоичной системе. Это число 0,001100000..., которое в десятичной системе будет выглядеть как 0,1875. Таким образом, множеству, состоящему из чисел 2 и 3, соответствует число 0,1875.
Итак, мы видим, что 'P(N) эквивалентно множеству всех чисел между 0 и 1. Но в главе 3 отмечалось, что оно эквивалентно R (любой отрезок эквивалентен всей прямой); таким образом, мы выводим, что 'P(N) эквивалентно R. Наконец, на вопрос, какова же мощность 'P(N), в 1892 году Кантор ответил, что она равна мощности R.
Рассмотрим еще одну операцию из области трансфинитной математики.
Вернемся к последовательностям нуля и единицы, но теперь рассмотрим только конечные. Сколько таких последовательностей мы можем образовать, если в них должно быть только две цифры? Всего четыре последовательности: 00, 01, 10 и 11. Если цифр три, то их будет восемь: 000, 001, 010, 100, 110, 101,011, 111, а если цифр всего четыре, то 16. Если цифра одна, то последовательностей будет только две: 0 и 1.
Итак, у нас есть 21 последовательности из одной цифры, 22 последовательности из двух цифр, 23 последовательности из трех цифр и так далее. Логично было бы предположить, что мощность последовательностей из «X0 цифр» будет равна 2X0. Действительно, в «Обоснованиях» Кантор дает определение возведению мощностей в степень и основывает его на понятии, которое он назвал покрытием. Когда мы составляем бесконечную последовательность из нуля и единицы, утверждает Кантор, мы покрываем каждый элемент N нулем или единицей.
Поделиться книгой: