Помоги проекту - поделись книгой:
Если Р — произвольное множество чисел, то производным от Р множеством Кантор называл группу чисел, которые можно аппроксимировать через последовательности, состоящие из элементов Р. Он обозначил такое множество Р. Если Q — множество рациональных чисел, то предыдущий пример показывает, что Q' = R, где R обозначает множество всех вещественных чисел.
Давид Гильберт, немецкий математик
В статьях начала 1870-х годов Кантор представлял определение производного множества в терминах потенциально бесконечных множеств. Но сама структура Q' отсылает к актуальной бесконечности, поскольку Q заключает в себе все рациональные числа. С другой стороны, определение Q' приводит нас к последовательностям и к определению вещественных чисел. Рассмотрим теперь, как проблема тригонометрических рядов подтолкнула Кантора к двум основным темам его последующих математических исследований — к актуальной бесконечности и к задаче о континууме.
Теперь возьмем множество Р, состоящее исключительно из чисел 0, 1 и 2. Множество Р, по определению Кантора, содержит все числа, которые можно аппроксимировать посредством последовательностей, состоящих из бесконечных различающихся элементов Р. Очевидно, что бесконечных и различающихся элементов Р не существует, поскольку их в этом множестве всего три.
Так как создать даже одну последовательность элементов Р невозможно, то в Р ничего нет. В этом случае, как писал Кантор, Р аннулируется. Сегодня мы бы сказали, что Р — пустое множество, то есть в нем нет составляющих, но мы оставим выражение Кантора. Чтобы понять условие единственности, найденное Кантором, вернемся к примеру производного Q' и убедимся, что оно также является множеством чисел, а значит, мы можем рассчитать его производное. Кантор записывал производное от производного Q как Q". Поскольку оно тоже является множеством, то мы можем рассчитать и его производное, которое будет записано как Q(3); а его производное — как Q(4), и так далее.
В случае с Q эта цепь производных не дает интересного результата, потому что Q', Q", Q(3), Q(4),... являются множествами вещественных чисел, а значит, продолжая получать их производные, мы не достигнем ничего нового. Но существуют такие множества Р (о них мы не будем говорить подробно), производные которых Р', Р", Р(3), Р(4) ... являются разными множествами или такими, что в конце концов процесс получения производных Р', Р", Р(3), Р(4) ... аннулируется. Например, можно найти множество Р, для которого Р состоит из чисел 0, 1 и 2. В этом случае Р", производное от Р', аннулируется. В других случаях аннулируется Р' в третьих — Р(3)или Р(4) и так далее. Разумеется, для Q этот процесс никогда не закончится, потому что на всех его этапах мы получим множество вещественных чисел R. Условие единственности, найденное Кантором, состоит в следующем: если Р — множество абсцисс точек прерывания периодического графика, то для того чтобы был всего один способ разложить его в тригонометрический ряд, достаточно, чтобы процесс Р', Р", Р(3), Р(4),... рано или поздно заканчивался. Так Кантор смог ясно и точно изложить условие, обеспечивающее единственно возможный способ разложения на ряд Фурье, и решил задачу, поставленную перед ним Гейне в 1869 году.
В 1860-е годы Гейне доказал, что способ разложения периодического графика будет единственным, если он непрерывен, а также если в каждом его периоде конечное количество «прерываний». Решение Кантора подходит для обоих результатов и для случаев бесконечного количества прерываний в каждом периоде.
То есть если наблюдается непрерывность, разложение будет единственным, если в каждом периоде конечное количество прерываний — результат будет тем же. Продолжая эти рассуждения, Кантор создавал гипотезы, которые звучали примерно так: «Если в каждом периоде есть бесконечное количество прерываний, но их «немного», то разложение будет единственным». «Бесконечные, но их немного» — эта фраза может показаться противоречивой, но не для Кантора. Для него «немногое бесконечное» означало «счетное бесконечное», то есть прерывания бесконечны, но их мощность при этом должна быть меньше мощности вещественных чисел.
Шарль Эрмит, французский математик, 1883 год
Итак, Кантор постулировал — и доказал это в своих «Основаниях общей теории многообразий» 1883 года, — что процесс получения производных Р', Р", Р(3), Р(4) ... в определенный момент аннулируется именно в тех случаях, когда оба множества Р и Р' конечны или счетны. Надо отметить, что Кантор уже высказывал такое предположение в 1872 году. Почему на доказательство ему потребовалось десять лет? На самом деле трудность была не столько технической, сколько психологической.
Сколько этапов потребуется преодолеть, чтобы процесс Р', Р", Р(3), Р(4) ... аннулировался? Это может произойти и на первом этапе, и на втором, и на третьем и так далее, но не все так просто.
Вернемся к последовательности 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;..., которая постепенно все больше приближается к числу π.
Обычно в таких случаях говорят, что последовательность «приближается к числу π бесконечно»; причем «бесконечно» должно пониматься потенциально, то есть числа 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... стремятся к π, но никогда его не достигнут.
В ходе своих исследований Кантор нашел пример, в котором Р', Р", Р(3), Р(4) ... были разными множествами, но процесс получения их производных не аннулировался ни при каком конечном количестве переходов. Так он смог выявить множество P(∞). Символ ∞, введенный Джоном Валлисом в 1655 году, обычно использовался в исчислении для обозначения потенциальной бесконечности. Так же как числа 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... все больше походят на число π, к множеству F“) все больше приближаются последовательные множества Р', Р", Р(3), Р(4) ... Однако в приведенном примере Кантор также обнаружил, что ix°°) состоит из чисел 0, 1 и 2, а следовательно, его производное аннулируется. Но каково же производное множества P(∞)? Если производное от Р(3) — это Р(4), а производное от Р(4) - Р(5), логично было бы предположить, что производное от P(∞) — это P(∞+1). Это означало бы, что процесс аннулируется после
∞ + 1 переходов. Что означает «∞ + 1»?
Кантор нашел случаи, в которых процесс аннулировался на этапе ∞ + 2, или ∞ + 3, или ∞ + ∞, но не мог объяснить эти символы. Точнее, признать их тем, чем они были на самом деле, ему мешал уже упомянутый психологический барьер.
В этом письме Дедекинду Кантор сообщает: в 1882 году он понял, что символы ∞, ∞ + 1, ∞ + 2, ..., ∞ + ∞, ∞ + ∞ + 1, ... являются не чем иным, как трансфинитными числами, то есть такими, которые позволяют считать за пределами натуральных чисел. В первую очередь, он назвал их ординальными и, чтобы подчеркнуть, что они являются актуально бесконечными, символ оо, ассоциирующийся с потенциальной бесконечностью, заменил греческой буквой ω.
Что такое ординальные числа? Как утверждал Кантор в своей работе 1883 года, существуют два принципа порождения ординальных чисел. Первый состоит в том, что за каждым ординальным числом непосредственно идет следующее. Согласно второму принципу, если есть последовательность ординальных чисел, то и за ней сразу же идет ординальное число.
Первое ординальное число — 0, за ним идет, разумеется, 1, потом 2, 3 и так далее. Ординальные числа 0, 1,2, 3,... являются конечными, или, как говорил Кантор, числами «первого класса».
По второму принципу порождения, за последовательностью 0, 1,2, 3, 4,... стоит ординальное число: имеется в виду ω, первое трансфинитное ординальное число. Затем следуют ω + 1, ω + 2, ω + 3, ...; дальше, опять применив второй принцип порождения, мы получим новое ординальное число ω + ω, а после него — ω + ω + 1, ω + ω + 2,...
Резюмируя, ряд ординальных чисел начинается так: 0,1,2, 3,...,ω,ω + 1,ω + 2,...,ω + ω+1,ω + ω + 2,...,ω + ω + ω + 1,...,где многоточие обозначает бесконечное количество членов.
Теперь вернемся к ординалу ω и подумаем о множестве всех предшествующих ему чисел, то есть обо всех ординальных числах меньше ω. Это множество состоит из чисел 0, 1,2, 3,..., и поскольку оно счетное, Кантор утверждает, что ω — ординал «второго класса». У ординалов первого класса конечное количество предшественников, а у второго класса — счетное. Ординальное число, например ω + 1, всегда будет числом второго класса, потому что ему предшествуют числа 0,1,2,3,..., ω, образующие счетное множество. Ординальные числа ω, со + 1, ω + 2, ..., ω + ω+ 1, ω + ω + 2,..., ω + ω + ω + 1,... относятся ко второму классу. Теперь обратимся к последовательности всех ординалов второго класса: согласно второму принципу порождения, сразу же за ними идет еще одно ординальное число. Обычно оно обозначается символом Ω. Возникает вопрос: к какому классу относится Ω?
В статье 1883 года Кантор смог доказать, что все числа, предшествующие Ω, то есть и первого, и второго классов, составляют несчетное множество. Следовательно, число Ω не принадлежит ко второму классу, а является первым ординалом «третьего класса». Еще большую важность имеет тот факт, что Кантор доказал: множествам первого и второго классов соответствует кардинальное число, идущее непосредственно за кардинальным числом натуральных чисел.
Обратим внимание на изящество системы Кантора (см. рисунок): множество ординальных чисел первого класса счетное, а его кардинальное число — самое маленькое из всех бесконечных кардинальных чисел. Если мы добавим числа второго класса, то получим следующее непосредственно за ним кардинальное число. Если добавим числа третьего класса — следующее и так далее для четвертого, пятого и других классов. В 1883 году у этих кардинальных чисел еще не было отдельного названия. Кантор дал им имя в 1895 году.
В «Основаниях общей теории многообразий» математик писал, что всегда предполагал существование кардинальных чисел, больших, чем у вещественных чисел, но до того момента ему не удавалось найти никакого примера. Эта система ординалов («изящная спираль ординалов и кардиналов», по определению историка Хосе Феррейроса) позволила ему наконец доказать существование бесконечного числа уровней бесконечности.
Где в этой системе располагается кардинальное число вещественных чисел? Как мы видели, чтобы получить кардинальное число, идущее непосредственно за кардинальным числом натуральных чисел, надо прибавить первый класс ко второму. Напомним также: континуум-гипотеза гласит, что это кардинальное число вещественных чисел. Это значит, что если бы континуум-гипотеза была верной, то вся наша теория обрела бы элегантную последовательность, так как первый класс дал бы нам кардинальное число натуральных чисел, а второй класс — вещественных чисел. Сделав это открытие, Кантор понял, что континуум-гипотеза — краеугольный камень его теории, и стал одержим ее доказательством. Однако это ему не удалось, и, возможно, разочарование от неудачи стало одной из причин депрессии, поразившей его в мае 1884 года. Кантор не дожил до того момента, когда смог бы удостовериться, верна гипотеза или нет.
Одно из возражений, предъявленных Кантору тогда, состояло в том, что ординальных чисел просто-напросто не существует.
В ответе Кантор опирался на свою философию математики, в соответствии с которой любой объект, получивший определение от математика, существует по той простой причине, что его определили, с одним лишь условием, что это определение не должно вести к логическим противоречиям. Но верно ли то, что свойства ординальных чисел не ведут к противоречиям? Вернемся ко второму принципу порождения: если дана любая последовательность ординальных чисел, то всегда будет еще одно ординальное число, большее, чем все ее составляющие. В свете этого принципа, если мы берем последовательность, состоящую из всех ординальных чисел, то должно быть еще одно ординальное число, большее, чем все они. Но как может существовать еще один ординал, если все они уже входят в последовательность? Мы сталкиваемся с логическим противоречием. Кантор обнаружил его в 1882 году.
Дабы разрешить это противоречие, в статье 1883 года он ввел третий принцип порождения ординалов, по которому второй принцип не может применяться к последовательности всех ординальных чисел. Это была своеобразная «заплатка», чтобы устранить парадокс.
Логические противоречия в математической теории — всегда плохой признак, так как они свидетельствуют об ошибке в самом ее основании. И хотя в данном случае парадокс можно было решить, как это Кантор и сделал, добавив третий принцип, само его появление служит сигналом тревоги. Однако ученый не выказал волнений по этому поводу — напротив, принял это с облегчением и радостью.
Уже говорилось, что Святой Августин и ряд богословов считали бесконечность исключительно божественной характеристикой, а попытки человеческого разума понять ее — ересью. Эта мысль терзала Кантора, который всегда был религиозен. Но парадокс — таким, как понимал его он, — освобождал его от этого груза.
Кантор разделил бесконечное на два уровня: нижний относится к трансфинитному и включает в себя множества натуральных, вещественных, ординальных чисел класса I, II, III,... и все понятия его теории, за исключением множества всех ординальных чисел. Последнее находилось на абсолютном уровне бесконечности, которое относилось к сфере божественного.
Кантор считал, что человеческий разум может постичь трансфинитное. Но возникающий парадокс указывал на то, что абсолютный, божественный, уровень — выше его способностей. Он появляется не из-за ошибки в теории, а из-за попытки человека удержать понятие, которое превосходит его умственные возможности. Так, оставляя уровень бесконечности Богу, Кантор — в первую очередь человек, а потом уже математик — смог успокоить свою религиозную совесть. И если говорить о логических нестыковках в теории Кантора, многие математики, в том числе и его сторонники, не соглашались с подобной интерпретацией парадоксов.
ГЛАВА 5
Алефы
Было бы наивно предположить, что «бесконечность плюс бесконечность» даст просто «бесконечность» и к ней нельзя ничего добавить. Однако во второй половине 1890-х годов Георг Кантор опубликовал статью, в которой ввел обозначение для бесконечных кардинальных чисел — букву «алеф» еврейского алфавита. С ее помощью он создал «арифметику бесконечности», которая показала, что вопрос «сложения бесконечности и бесконечности» требует более пристального рассмотрения.
В первой половине XX века немецкий физик Макс Планк (1858-1947) писал:
Планк имел в виду квантовую механику — теорию, которая произвела революцию в физике XX века, но это замечание прекрасно подходит и для теории Кантора. Действительно, многие математики поколения, родившегося в последние десятилетия XIX века, далекие от предрассудков своих старших коллег, видели в теории бесконечности интересный и стимулирующий потенциал. Одним из самых известных сторонников Кантора был Давид Гильберт, блестящий немецкий математик, родившийся в 1862 году. Когда в начале XX века в теории бесконечности были обнаружены парадоксы и многие из тех, кто сначала верил в нее, начали сомневаться, Гильберт стал главным защитником идей Кантора.
В 1900 году Гильберт был приглашен на конференцию, посвященную открытию Второго международного конгресса математиков в Париже. Это было свидетельством признания его академических заслуг.
На знаменитой конференции Гильберт представил 23 задачи, которые не могли быть решены на тот момент и которые, как он полагал, задали бы направление развитию математики в XX веке. Первым пунктом списка значилась задача, в которой требовалось подтвердить или опровергнуть континуум- гипотезу (напомним, она была сформулирована Кантором в 1878 году, и согласно ей между мощностью множеств натуральных и вещественных чисел отсутствует промежуточная).
Благодаря новому поколению математиков, к 1890 году теория множеств и теория бесконечности не только оказались приняты, но и стали основой многих новых областей математики, появившихся в те годы. Прежде всего, понятия теории множеств, в частности различия между счетными и несчетными множествами, являются фундаментальными в теории меры — обобщении исчисления, созданном в последние годы XIX века французскими математиками Эмилем Борелем (1871-1956) и Анри Лебегом (1875-1941). Также они имеют основополагающее значение в топологии — еще одной обобщенной теории исчисления, которая зародилась в тот же период в работах другого французского математика Анри Пуанкаре (1854-1912) (хотя впоследствии из-за большого количества вскрытых парадоксов Пуанкаре стал одним из противников теории множеств).
В это время обрела форму идея того, что теория множеств может быть основой всей математики. Но что конкретно это значило? На протяжении веков образцом математической мысли была классическая древнегреческая геометрия. Более того, считалось, что самый четкий способ объяснения математических понятий — это представление их посредством геометрии. Число, в частности иррациональное число, можно было представить как отрезок, а числовые операции — как построения.
Декарт в сочинении «Правила для руководства ума», написанном в 1620-е годы, объясняет, что умножение двух чисел, то есть двух отрезков, в сущности состоит в том, чтобы построить прямоугольник, сторонами которого и будут эти отрезки. Отметим: Декарт не говорит, как мы сейчас, что произведение сторон позволит нам получить площадь прямоугольника. Он утверждает, что прямоугольник является произведением двух чисел; понятия и операции воспринимались как геометрические объекты и построения.
Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик
Это господство геометрии в XIX веке стало постепенно сходить на нет — процесс был назван арифметизацией исчисления. В результате математические понятия, особенно связанные с исчислением, перестали пониматься через призму геометрии и отныне основывались исключительно на числах. Однако если числа — это не отрезки, то что тогда? Некоторые математики, среди которых был и Рихард Дедекинд, увидели ответ на этот вопрос в теории множеств. Если определения чисел и операции с ними больше не отталкивались от геометрических понятий, то их место могли бы занять понятия теории множеств.
В 1872 году Дедекинд уже использовал теорию множеств для определения вещественных чисел, но в нем предполагалось существование рациональных чисел, а они, в свою очередь, определяются на основе натуральных.
Как мы определяем натуральные числа, которые находятся в начале этой цепи понятий (рисунок 1)?
Дедекинд ответил на этот вопрос в статье Was sind und was sollen die Zahlen {«Что такое числа и для чего они служат»), опубликованной в 1887 году как самостоятельная монография. В ней Дедекинд использует определение множества, предложенное Кантором в 1883 году (Дедекинд называл множества «системой элементов»), а также объединения множеств. По мнению ученого, натуральные числа — всего лишь кардинальные числа конечных множеств. Он называет число 0 кардинальным числом пустого множества (такого, в котором нет членов), 1 — кардинальным числом любого множества с одним членом и так далее.
Поделиться книгой: