Помоги проекту - поделись книгой:
Таким образом, 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; 3,14159265; 3,141592653; 3,1415926535... - фундаментальная последовательность.
По мнению Кантора, особенность, определяющая вещественные числа, заключается в том, что каждой фундаментальной последовательности соответствует вещественное число, и наоборот, каждому вещественному числу соответствует фундаментальная последовательность. Другими словами, каждое вещественное число определяется фундаментальной последовательностью. В приведенном выше примере последовательность определяет, разумеется, число π.
Не следует путать все вышесказанное со взаимно однозначным соответствием между фундаментальными соответствиями и вещественными числами, потому что, хотя каждой последовательности соответствует только одно вещественное число, на самом деле разные последовательности могут соответствовать одному и тому же числу. Например, последовательность 3,1; 3,141; 3,14159; 3,1415926; 3,141592653; ..., которая получается, если прибавлять каждый раз по два знака числа π, — это другая последовательность по сравнению с предыдущей, но она тоже соответствует числу π.
Откуда же тогда нам известно, что существует число 0,110001000000000000000001000..., то есть число Лиувилля? Как мы можем убедиться, что это действительно вещественное число? (Кронекер, напомним, так не считал.) По Кантору, достаточно показать, что ему соответствует фундаментальная последовательность. В данном случае это 0,1; 0,11; 0,110001;... Существование этой фундаментальной последовательности гарантирует существование числа.
Теперь рассмотрим, как определение Кантора выражает мысль о том, что каждой точке числовой оси соответствует вещественное число.
Числа 0 и 1 наносятся на прямую произвольно, но после этого позиции вещественных чисел строго определены. Предположим, у нас есть точка Р, для которой мы не подобрали никакого соответствующего рационального числа (см. рисунок 13). Как мы можем доказать, что этой точке соответствует число (разумеется, рациональное)?
Возьмем последовательность точек, которые соответствуют рациональным точкам и постепенно все больше приближаются к Р. Они образуют фундаментальную последовательность, которой будет соответствовать вещественное число, и оно же будет соответствовать точке Р. На рисунке 13 представлен пример, где точка Р соответствует числу π.
Однако, по мнению Кантора (и тут мы подходим к идее бесконечности), еще одним фундаментальным свойством континуума является тот факт, что он несчетен (множество счетно, если эквивалентно натуральным числам). В серии из шести статей, опубликованных с 1879 по 1882 год в Mathematische Annalen, среди прочих вопросов о бесконечных множествах он рассмотрел альтернативные определения континуума, в которых несчетность являлась одной из его основных характеристик.
Тот факт, что точки отрезка образуют несчетное множество, позволяет решить парадокс Аристотеля. Если отрезок состоит из точек, то, поскольку у каждой точки нулевая длина, общая длина отрезка должна составить 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0. Сколько нулей мы складываем? Ответ: бесконечное количество нулей; но какова мощность этой бесконечности?
Когда мы пишем 0 + 0 + 0 + 0 +..., мощность складываемых нулей равна ******** ..., то есть она такая же, как у натуральных чисел. Мы складываем счетное количество нулей! Сумма счетного количества нулей действительно равна нулю, поэтому континуум не может быть счетным.
Но у несчетных сумм свои правила, которые отличаются от правил счетных сумм, и интересно, что сумма несчетного количества нулей может быть больше нуля. Таким образом, как говорил Кантор, мы видим, что различие между счетностью и несчетностью имеет решающее значение в определении вещественных чисел и, следовательно, в исчислении. Но картина еще не завершена. Почему в заголовке статьи, в которой Кантор дает определение вещественным числам, упоминаются «тригонометрические ряды»? Что это такое и какую роль они сыграли в развитии научной мысли Кантора? Об этом — в следующей главе.
ГЛАВА 4
Бесконечные ординальные числа
В 1883 году Георг Кантор опубликовал статью «Основы общего учения о многообразиях», которая стала кульминацией его математического творчества. В ней он впервые дал определение множеству бесконечных чисел, которые назвал ординальными. Зерно идей, изложенных в этой работе, уже присутствовало в статье, которую Кантор написал десятью годами ранее, но для того чтобы полностью развить их, ему требовалось преодолеть интеллектуальные предубеждения своей эпохи.
В подходе к математике Георга Кантора и Рихарда Дедекинда было много общего. В частности, оба соглашались с необходимостью ввести в нее понятие множества. Но что это такое — «понятие теории множеств»?
В статье 1883 года, озаглавленной «Основы общего учения о многообразиях» с подзаголовком «Математически-философский опыт учения о бесконечном» и изданной Кантором самостоятельно в виде отдельной монографии (с «самыми удивительными, самыми неожиданными идеями»), он отмечал:
«Множество», таким образом, — это синоним «группы», в том смысле, в котором мы обычно употребляем это слово. Данное определение сыграло важнейшую роль в развитии математики, установив, что множество — это объект, отличный по своей сути от своих составляющих. Несколько лет спустя британский логик Бертран Рассел (1872-1970) проиллюстрировал это различие словами: «Табун лошадей — не то же самое, что лошадь».
Рихард Дедекинд в письме немецкому математику Феликсу Бернштейну, 1899 год
Так, множество всех рациональных чисел, которое обычно обозначается буквой Q, имеет особые характеристики. Они относятся только к Q в целом, но не к рациональным числам по отдельности, например счетность. В случае, когда мы говорим о Q как о совокупности актуально существующей, определение множества подразумевает, что мы должны принять идею актуальной бесконечности.
Мы можем совершать операции с числами — складывать или умножать — так же, как с множествами (например, объединять). Если есть два множества, их объединение даст другое множество, включающее в себя все объекты, из которых состоят эти два множества. Если мы возьмем множество натуральных чисел N, членами которого являются 0, 1,2, 3, ..., и множество отрицательных целых чисел Ν', то их объединением будет множество целых чисел, которое обычно обозначается буквой Ζ (первой буквой немецкого слова Zahl, «число») и содержит одновременно члены N и Ν'. В записи математическими символами это выглядело бы так: N U Ν’ = Ζ (см. рисунок).
Одна из особенностей, которую Кантор описал в своей статье 1895 года, проиллюстрирована на рисунке: объединение двух счетных множеств всегда дает в результате счетное множество. Изучение свойств, которые относятся либо к множествам, либо к объектам самим по себе, составляет предмет так называемой теории множеств, и Кантор считается ее создателем, поскольку первым начал исследовать эти свойства. Одним из важнейших аспектов теории множеств является изучение мощности бесконечных множеств. Именно поэтому говорят, что теория множеств и теория математической бесконечности — это, в сущности, одна и та же теория.
Выходит, что теория множеств родилась в 1883 году? Почему же тогда задолго до этого, в 1872 году, Кантор и Дедекинд уже сошлись на том, что в математику необходимо ввести понятия множеств?
В 1872 году Кантор опубликовал статью, в которой было предложено решение проблемы континуума. Решение состояло в том, чтобы найти такое определение вещественных чисел, которое не опиралось бы на геометрические понятия. Важно отметить, что уже тогда Кантор знал: эта задача приведет его к актуально бесконечным множествам.
В том же году Дедекинд опубликовал решение вопроса континуума, близкое к предложенному Кантором и основанное на так называемых дедекиндовых сечениях. Теперь понятно, почему в 1872 году двое ученых сочли, что их взгляды на математику настолько схожи.
Тем не менее до середины 1880-х годов и Кантор, и Дедекинд допускали только существование групп, образованных числами или геометрическими точками, а не любыми объектами. Таким образом, отвечая на поставленный вопрос, мы можем сказать, что хотя в 1870-е годы Кантор и Дедекинд уже использовали связанный со множествами понятийный аппарат в своих работах, эти термины еще не были развиты до конца, так как применялись только к группам, состоящим из чисел или геометрических точек. Возможность того, что множество может состоять из любых объектов, Кантор принял во внимание только в 1883 году, но и то ограничился множествами, образованными числами, хоть и особого вида.
Необходимо подчеркнуть, что концептуальный переход к принятию идеи того, что множества могут быть образованы любыми объектами, уже был заложен в определении мощности, которое Кантор обнародовал в 1877 году. Утверждая, что мощность — это свойство группы, коллекции, которое возникает при абстрагировании от природы составляющих его членов, он подчеркивает: не важно, какими членами оно образовано.
Если мы возьмем любую группу и заменим, например, числа или точки буквами, идеями или любыми другими объектами, то ее мощность останется такой же, поскольку понятие мощности не зависит от природы членов коллекции.
Статья 1883 года «Основы общего учения о многообразиях» стала кульминацией научной карьеры Кантора. К сожалению, этот период его жизни был также отмечен серьезными личными проблемами.
Эдуард Гейне, руководивший первыми исследованиями Кантора в Галле, умер 21 октября 1881 году. Тогда ученый задался амбициозной целью. Раз ему не удавалось перейти в престижный университет вроде Берлинского или Геттингенского, он решил привести в Галле знаменитых ученых, которым было близко его учение о бесконечности, и создать исследовательский центр. В качестве первого шага он убедил дирекцию университета предложить одно освободившееся место Дедекинду.
К большому удивлению и разочарованию Кантора, тот отклонил это предложение, и место было отдано Альберту Вангерину — второстепенному геометру, далекому от идей Кантора.
Причины, побудившие Дедекинда отказаться, нам точно не известны. К тому времени он уже 20 лет жил в родном Брауншвейге, где возглавлял коллегиум, в котором когда-то учился сам, и занимался исследовательской работой в своем темпе, без давления со стороны. Поэтому, возможно, причиной было банальное нежелание менять стиль жизни.
Георг Кантор — немецкому математику Феликсу Бернштейну, 1899 год
В любом случае Кантора этот отказ очень обидел, и дружба стала быстро угасать, а в конце 1882 года десятилетняя переписка и все прочие контакты были полностью прерваны.
Практически в тот же самый период, когда завершились отношения Кантора с Дедекиндом, он завязал переписку со шведским ученым Іестой Миттаг-Леффлером (1846— 1927) — известным математиком, который, как и Дедекинд, интересовался областью бесконечного. Тогда же, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica. И Кантор обрел подходящую платформу для публикации своих работ, не попадая в зону влияния Кронекера. С 1883 по 1885 год в Acta Mathematica были опубликованы три статьи, в которых Кантор рассматривал вопросы, связанные с решением задачи контиуума.
Однако отношения с Миттаг-Леффлером не продлились долго. В 1884 году тот убедил Кантора отозвать одну из статей, будучи уверенным в том, что действует в пользу автора. Миттаг-Леффлер понимал, что статья, озаглавленная «Принципы теории порядковых типов», слишком умозрительна, ей недостает ясных и четких результатов, и она может навредить репутации теории множеств. Он ответил Кантору, что тот написал слишком много, но так и не предъявил конкретных результатов, а это может дискредитировать теорию, и в этом случае потребуется еще сто лет, прежде чем на его идеи вновь обратят внимание. Кантор плохо воспринял совет Миттаг-Леффлера, посчитав, что тот намекает, будто ему надо подождать еще сто лет с публикацией своих идей:
Кантор написал это в 1885 году, прекратил всякое общение с Миттаг-Леффлером и больше не отправил в Acta Mathematica ни одной статьи. «Принципы теории порядковых типов» так и не были опубликованы. Ученый переживал один из самых тяжелых периодов своей жизни. Потеряв Дедекинда, в глазах которого, как считал Кантор, его оклеветали, не имея возможности создать исследовательский центр в Галле или попасть в желанные университеты Берлина или Геттингена, в мае 1884 года он впал в депрессию. Ему потребовалось немало времени, чтобы выйти из нее. Его математическое творчество, так ярко раскрывшееся в «Основах общего учения о многообразиях» 1883 года, угасло вплоть до 1890-х годов. В этот переходный период Кантор опубликовал несколько статей, в которых с переменным успехом исследовал философские последствия и возможные применения в физике своей теории бесконечности. Он также увлекся идеей о том, что произведения Шекспира были на самом деле написаны Фрэнсисом Бэконом. Эта теория появилась во второй половине XVIII века, и хотя большинство ученых считают ее абсурдной, даже сегодня у нее есть сторонники. Кантор потратил много денег на приобретение старинных изданий Шекспира и написал три монографии по этой теме.
Но вернемся к самому блестящему периоду в карьере Кантора, к статье «Основы общего учения о многообразиях» 1883 года. История ее создания началась еще в 1869 году, когда Георг Кантор приехал в Галле и в качестве темы исследования Эдуард Гейне предложил ему задачу, связанную с тригонометрическими рядами Фурье. Что такое тригонометрический ряд? Представим себе закрепленную сверху пружину, к нижнему концу которой подвешен определенный груз. Исходное положение пружины на рисунке 1 обозначено буквой А. Теперь потянем груз вниз, пока не достигнем положения ß, и отпустим его. Пружина расширится и сожмется, пройдя через точки С, Д Е и F, а также через все промежуточные. Предположим, что перед нами идеальная ситуация, и пружина никогда не перестанет двигаться и всегда будет возвращаться в положение максимального сжатия (D на рисунке 1) и максимального растягивания (В и F). Если мы соединим последовательные положения пружины кривой линией, то получим математическое описание ее движения (см. рисунок 2). Заметим, что поскольку груз несколько раз проходит через одни и те же точки, график повторяется.
В таком случае его называют периодическим. В XVIII веке математики обратили внимание на то, что очень многие физические явления — например, связанные с распространением звука или тепла — могут быть описаны при помощи периодических графиков. Они также заметили, что иногда эти графики оказываются прерывистыми, то есть в них наблюдаются резкие скачки. Например, на рисунке 3 представлен график, состоящий из последовательности косых линий. Чтобы изобразить его, мы должны отметить «скачок» от верхнего края каждой линии к нижнему краю следующей. Этот график описывает не физическое движение, а интенсивность звукового сигнала; горизонтальная линия обозначает нулевую интенсивность или тишину. Рассмотрим, как можно интерпретировать график при этих условиях. В начале — тишина, а затем появляется звуковой сигнал, который постепенно увеличивает интенсивность (это видно по тому, как возрастает первая косая линия); звук достигает своей максимальной интенсивности, а затем наступает тишина, но тут же опять начинает увеличиваться интенсивность звука, как в предыдущий раз, и снова достигает максимального уровня (мы видим, что вторая косая линия такая же, как первая). Опять наступает тишина, а затем повторяется та же схема, снова и снова.
В начале XIX века французский математик Жозеф Фурье (1768-1830) разработал метод, который позволил ему записать любой график как сумму особых, при этом очень простых кривых, которые математически выражаются при помощи функций, названных тригонометрическими. Эти суммы, в свою очередь, обычно предполагают бесконечное (потенциально) количество кривых, и, так как в математике бесконечные суммы обычно называют рядами, этот метод сегодня известен как разложение на тригонометрические ряды, или ряды Фурье. Благодаря ему Фурье смог успешно изучить большое количество физических явлений, и он по-прежнему остается важным инструментом во многих областях математики, физики и инженерного дела.
В 1860-е годы в Галле Эдуард Гейне решил проверить, всегда ли будет одинаковым разложение такого периодического графика, как ряд Фурье. Другими словами, Гейне хотел узнать, может ли один периодический график быть записан в виде двух разных тригонометрических рядов.
Ему удалось доказать, что если в графике нет «скачков» или прерывностей, то он в самом деле будет иметь только один возможный вариант разложения. Но Гейне не нашел общего доказательства, которое было бы действительным для всех возможных ситуаций. Так, он не доказал единственность в случае, если в периоде — так называется классический постоянно повторяющийся график — бесконечное (потенциально) количество разрывов. Когда в 1869 году Кантор прибыл в Галле, Гейне предложил ему разобраться, будет ли разложение периодического графика всегда единственным, даже если количество «скачков» продолжит расти до бесконечности.
Кантор занялся этой задачей и в 1870 году получил первый результат: разложение будет единственным только при условии, что скачки распределены определенным образом, то есть отвечают особым требованиям. Точки графика имеют две координаты — абсциссу и ординату. Именно абсциссы должны выполнять эти условия. Однако Кантору было непросто выразить их конкретным, точным и изящным способом. Разумеется, он хорошо понимал, что это за условия, но не находил ясных и понятных слов для их описания.
С 1870 по 1872 год Кантор опубликовал пять статей, в которых окончательно сформулировал свое решение задачи единственного способа разложения ряда Фурье. В процессе помимо прочего он нашел ответ на проблему континуума, и поэтому его определение вещественных чисел через фундаментальные последовательности было опубликовано в рамках работы по тригонометрическим рядам.
Как же он смог сформулировать условие, которому должны соответствовать абсциссы прерывных точек периодического графика, чтобы их разложение на ряд Фурье было единственно возможным? Для этого Кантор разработал понятие производного множества, очень важное для нас, поскольку оно направило его на путь, который в итоге привел его к знаковой статье 1883 года. Рассмотрим, что такое производное множество и как с его помощью ученому удалось решить заданную Гейне задачу.
В нашем случае необходимо рассматривать последовательности, состоящие из бесконечного количества чисел, различных между собой.
Возьмем множество рациональных чисел. Очевидно, что π как иррациональное число не принадлежит к этой группе, и тем не менее его можно представить в виде последовательности рациональных чисел. Мы можем найти такую последовательность, состоящую исключительно из рациональных чисел, что по мере продвижения вперед будем получать числа все ближе к π. В примере из предыдущей главы последовательность 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... получается путем прибавления к каждому последующему числу одного знака после запятой в числе π.
Это справедливо и для любого другого иррационального числа: мы всегда сможем приблизиться к нему через последовательность рациональных чисел. То же распространяется и на рациональные последовательности. Например, если мы возьмем число 0,75, то последовательность 0,751; 0,7501; 0,75001; 0,750001;... будет все ближе подходить к нему. То есть приближение любого вещественного числа возможно через последовательность рациональных чисел (что по сути и является решением Кантора задачи о континууме).
Поделиться книгой: