Помоги проекту - поделись книгой:
По мнению Кронекера, основу математики составляют целые числа, которые «даны нам природой» и существуют независимо от человеческого разума. Все остальные математические объекты должны быть точно определены исходя из натуральных чисел, миновав конечное количество этапов. Основополагающее значение здесь имеет понятие конечности; Кронекер был твердо убежден, что актуальная бесконечность — это абсурд, и принимал (и то с оговорками) только идею потенциальной бесконечности.
Трансцендентное число Лиувилля для Кронекера не существовало. Он мог бы признать существование потенциально бесконечной последовательности, которая начинается с 0,1, продолжается с 0,11, потом с 0,110001 и так далее, но сказал бы, что выражение 0,1100010000000000000000001000..., в котором, как предполагается, содержится бесконечное количество цифр после запятой, не обозначает никакого существующего математического объекта.
Когда в 1882 году Линдеманн доказал, что π — трансцендентное число (см. предыдущую главу), Кронекер выразил восхищение элегантностью его рассуждений, но добавил, что на самом деле они ничего не доказывают, поскольку трансцендентных чисел не существует. Рациональное число 0,333..., по Кронекеру, существует, но только потому, что его можно определить через выражение, в котором используются натуральные числа: 1 /3; причем правильной он считал именно эту запись, а не 0,333..., в которой должно быть бесконечное количество цифр после запятой. Кронекер одним из первых подверг сомнению правильность доказательств простого существования математических объектов, не показывавших, как найти хотя бы один конкретный пример. В предыдущей главе мы убедились, что Кантор доказывал таким образом существование бесконечного множества трансцендентных чисел. Итак, теперь нам понятно, что Кронекер полностью отвергал исследования Кантора в области бесконечности не потому, что считал их ошибочными. Более того, он расценивал их как абсолютно лишенные смысла. По его мнению, говоря о бесконечных множествах или множествах разной степени бесконечности, Кантор рассуждал о несуществующих объектах. Поэтому Кронекер и использовал все возможные рычаги давления, чтобы помешать публикации работ Кантора. В частности, он пытался остановить публикацию статьи в «Журнале Крелле» в 1877 году.
Георг Кантор в письме Гёсте Миттаг-Леффлеру, август 1884 года
Позднее Кронекер публично называл Кантора «отступником», «развратителем молодежи» и «шарлатаном». На нем частично лежит ответственность за то, что Кантору так и не довелось поработать в Берлинском или Геттингенском университетах, о чем он всегда мечтал.
Кантор был очень чувствительной натурой, подверженной депрессиям, поэтому тяжело переживал подобные нападки и разочарования. Со временем они сказались на его душевном здоровье.
Почему Кантор решил заняться изучением бесконечности? Какие научные исследования логически подтолкнули его к рассмотрению актуально бесконечных множеств? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны обратиться к истории вычисления.
Обычно говорят, что вычисление — это область математики, которая занимается бесконечно большими и бесконечно малыми математическими объектами, и хотя она действительно с ними связана, надо признать, что данное определение несколько неточное. На самом деле неточность неизбежна, когда мы хотим охарактеризовать то, что в действительности является одной из самых широких и сложных областей математики. А одним из способов приблизиться к лучшему описанию было бы изложение одной из задач, которую она решает, и используемых ею методов.
Хотя сегодня вычисление применяется в самых разных областях науки — в биологии, геологии, экономике,— изначально оно было тесно связано с физикой и геометрией. В частности, оно использовалось для нахождения площади фигур, ограниченных кривой. Мы рассмотрим именно этот случай.
Как можно вычислить площадь окружности? Возьмем окружность с радиусом, в полтора раза превосходящим диагональ квадрата со стороной 1 см, который мы примем за единицу измерения площади (см. рисунок 5).
Вопрос будет звучать так: сколько раз эта единица измерения впишется в окружность? Прежде всего, как показано на рисунке 6, можно легко установить, что окружность содержит девять квадратов со стороной 1 см, хотя и видно, что они не заполняют ее целиком. Мы должны заполнить оставшиеся белые области, а поскольку квадраты целиком туда не вписываются, то можем использовать прямоугольники, равные половине квадрата.
Но и после того как мы разместим их, останутся еще пустые области, которые мы снова заполним прямоугольниками меньшего размера. Чтобы полностью заполнить окружность, нам потребуется бесконечное количество прямоугольников, большая часть которых будет микроскопических размеров (см. рисунок 7). Таким образом, задача о площади окружности тут же привела нас к бесконечно большим величинам (количество прямоугольников) и бесконечно малым. Однако, если мы будем располагать прямоугольники как придется, то не узнаем, сколько квадратов вписывается в окружность. Чтобы заполнить ее, нужен систематический метод, который позволит нам контролировать, какая часть окружности заполняется на каждом этапе. Такой метод был разработан древнегреческим геометром Евдоксом Книдским (408- 355 годы до н. э.). В VI веке до н. э. Евдокс представил правильные многоугольники с возрастающим количеством сторон, углы которых находятся на окружности (в правильном многоугольнике все стороны равны и образуют равные углы). Каждый многоугольник занимает часть окружности, и по мере того как увеличивается количество сторон, незаполненная часть уменьшается (см. рисунок 8).
Немецкий математик Феликс Хаусдорф, 1914 год
Основываясь на этой идее и исходя из свойств правильных многоугольников, уже известных в то время, Евдокс доказал, что площадь любой окружности пропорциональна площади квадрата, построенного на ее радиусе. Это означает, что если радиус окружности равен r, то его площадь высчитывается при умножении r2 на число, одинаковое для всех окружностей. В XVIII веке великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) обозначил это число греческой буквой π, и сегодня мы говорим, что площадь окружности равна π ∙ r2.
Через 100 лет после Евдокса Архимед использовал похожий подход для того, чтобы рассчитать объем сферы, а также площадь и центр тяжести различных фигур, ограниченных кривыми. Ему также удалось получить наиболее точное значение числа π в истории Античности.
Тем не менее методы древнегреческих ученых были недостаточно обобщенными: для каждого вычисления требовалось отдельное построение, которое работало только для конкретного случая. Так, например, способ Евдокса вычислить площадь окружности не мог быть применен к эллипсу, все рассуждения грека относились только к окружности и ни к какой другой фигуре.
С XVI века европейские математики принялись искать общий способ решения вопроса о площади фигур, ограниченных кривыми. Самых выдающихся результатов добились четверо математиков: Иоганн Кеплер (1571-1630), Бонавентура Кавальєри (1598-1647), Рене Декарт (1596-1650) и Пьер де Ферма (1601-1665). В конце XVII века Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Лейбниц (1646-1716), опираясь на достижения своих предшественников, независимо друг от друга нашли наконец общий метод расчета площади любой плоской фигуры. Это один из основных инструментов исчисления, и называется он интегральным.
Суть его в том, что любая фигура, даже если она полностью ограничена кривыми, может быть разделена на два фрагмента или более (их количество всегда конечное), необязательно равные между собой, так, что каждый из них ограничивается отрезком (см. рисунок 9).
Задача вычислить площадь фигуры сводится, таким образом, к вычислению площадей каждого из этих фрагментов. Представим, что отрезок, частично ограничивающий фигуру, который мы для удобства назовем основой, является частью числовой оси, ограниченной числами а и b. Предположим, что мы знаем математическую формулу, которая позволяет нам вычислить длину отрезка, соединяющего точку X с кривой, если на основе задана точках. Назовем эту длину у (см. рисунок 10).
Метод заключается в том, чтобы представить фигуру как образованную бесконечными перпендикулярными отрезками, соединяющими основу с кривой (на каждое число х приходится один отрезок). Таким образом, площадь фигуры равна сумме площадей этих отрезков. И все же эта мысль отсылает нас к парадоксу Аристотеля.
Как математическая точка обладает длиной, равной нулю, так и математический отрезок (у которого есть длина, но нет ширины и глубины) обладает площадью, которая тоже равна нулю. Следовательно, если мы представим площадь фигуры как сумму площадей отрезков, она будет равна 0 + 0 + 0 +... = 0.
Нам не удастся заменить отрезки прямоугольниками (площадь которых больше нуля), потому что в этом случае получится ситуация, похожая на нашу попытку заполнить окружность прямоугольниками: всегда будет оставаться незаполненная прямоугольниками часть (рисунок И).
Мы можем вычислить площадь каждой из двух правых фигур, частично ограниченных отрезком.
Чтобы выйти из этого тупика, Ньютон и Лейбниц ввели понятия бесконечно малых и бесконечно больших, оказывавшие огромное влияние на исчисление до второй половины XIX века. Но они настолько неопределенны, что их очень сложно, если не невозможно, понять. Представим себе каждый перпендикулярный отрезок, проведенный к основанию, не как математический, а как прямоугольник с бесконечно малым основанием dx (см. рисунок 12). Это обозначение использовал Лейбниц, и оно до сих пор применяется в исчислении. Получается, что фигура — это не сумма отрезков, а сумма прямоугольников с бесконечно малым основанием. Замена отрезков на прямоугольники имеет двойную пользу. С одной стороны, поскольку основание каждого прямоугольника — это бесконечно малый отрезок (а не точка), то его площадь больше нуля, а значит, мы избегаем парадокса. С другой — поскольку основание прямоугольника — это бесконечно малая величина, ими можно заполнить всю фигуру так, чтобы не осталось пустых областей. Пусть основание каждого прямоугольника — dx, высота — у, а площадь — ydx. Чтобы вычислить площадь фигуры, теоретически мы должны были бы сложить все ydx для X между а и Ь. Лейбниц записывал это так:
b
∫ydx.
a
Значок слева — деформированная буква S (первая буква латинского слова «сумма»). Этот символ называется интегралом. Он используется при нахождении площади фигуры, ограниченной кривой и отрезком (помимо прочих многочисленных применений в исчислении). Как метод Евдокса позволил вывести формулу вычисления площади окружности, так и этот метод, по которому фигуры представляются как совокупность прямоугольников с бесконечно малым основанием, позволяет найти, например, формулу площади эллипса или любой другой фигуры, ограниченной кривыми.
Тем не менее изложенные выше рассуждения вызывают некоторые сомнения. Что значит: некий отрезок, меньше любого другого, который мы можем себе представить? Разумеется, это значит, что меньшего отрезка просто не существует.
Но если мы разделим его надвое, длина полученного отрезка будет меньше.
Выходит, что понятие бесконечно малых и бесконечно больших противоречит само себе, и необходимо отметить, что и Ньютон, и Лейбниц прекрасно это осознавали. Так, в работе 1680 года «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления» Лейбниц приводит формулы, основанные на бесконечно больших и бесконечно малых величинах, но при этом не упоминает сами понятия. Великие швейцарские математики братья Иоганн и Якоб Бернулли (1667-1748 и 1654-1705) назвали сочинение Лейбница «скорее загадкой, чем объяснением». Ньютон же впоследствии оставил идею бесконечно малых, заменив их не менее запутанным понятием «флюксий».
Как же тогда развивался математический анализ, если в самой его основе было столько лакун? Если отставить недоверие и принять существование бесконечно малых, а также считать правильными рассуждения, основанные на этом понятии, итоговые формулы были абсолютно верными. Интегралы позволяли — и позволяют — подсчитать площади и объемы, которые не могут быть получены при помощи методов древнегреческой геометрии (площадь поверхности седла или объем овальных тел). В XVIII веке, благодаря в том числе братьям Бернулли и Эйлеру, методы и применение дифференциального исчисления были усовершенствованы. Они стали незаменимыми для математической физики — она вообще не могла бы существовать без них.
И все же как раз ввиду этой незаменимости с течением десятилетий необходимость дать ему прочные логические обоснования, ясные и неоспоримые понятия, становилась все более насущной.
В XIX веке эту задачу пытались решить многие математики, среди которых были Карл Вейерштрасс (1815-1897), Рихард Дедекинд и Георг Кантор.
Важнейшим вкладом Вейерштрасса в логическое обоснование исчисления было введение понятия предела, которое окончательно вытеснило бесконечно малые величины (хотя символ dx употребляется до сих пор). На практике предел заменяет идею бесконечно малого отрезка идеей отрезка, бесконечно малого только в потенции. То есть вместо того чтобы представлять прямоугольники с бесконечно малым основанием, мы представляем обычные прямоугольники, которые становятся все уже, пока не достигнут нужного размера. Опираясь на эту идею величин в динамике, то есть таких, которые становятся все меньше (бесконечно маленькими, но только потенциально), можно получить те же самые формулы, что и на основе бесконечно малых, но на более прочной логической основе.
Однако Вейерштрасс не говорил ни об отрезках, ни о прямоугольниках. Все свои идеи он выражал в числах и при помощи формул. Отрезок можно определить как часть числовой оси, ограниченной числами а и Ь. По Вейерштрассу же, отрезок является множеством (потенциально бесконечным) вещественных чисел между а и Ь геометрическое понятие отрезка не фигурировало даже в его рассуждениях. Понятие предела, например, которое мы применяем к отрезкам и прямоугольникам, Вейерштрасс выражал только в символах числовых операций.
Это объясняется тем, что в XIX веке исчисление все больше отдалялось от своей геометрической основы и в итоге окончательно от нее отошло. Это был длинный и трудный процесс, поскольку до этого классическая древнегреческая геометрия была неоспоримой основой любых математических рассуждений. В историю математики он вошел как «арифметизация исчисления» и заключался в том, что рассуждения геометрического типа (в них использовались статические объекты) заменялись на те, которые опирались исключительно на формулы и числа, в частности на вещественные числа (они позволяли рассуждать «в динамике», что было необходимо, например, в случае с понятием предела). Чтобы подвести под исчисление прочную логическую базу, необходимо было дать четкое определение вещественным числам, которые, в свою очередь, не имели никакого геометрического обоснования.
Что такое вещественные числа? Главное свойство вещественных чисел, которое их определяет и характеризует, заключается в том, что они заполняют всю числовую ось, то есть каждая точка на этой оси соответствует вещественному числу, а каждое вещественное число — точке на оси. Однако в конце XIX века это определение не было удовлетворительным, поскольку оно не должно было опираться на геометрические понятия. Но как можно донести мысль, что они заполняют всю числовую ось, не говоря ни о прямой, ни о точке? Этот вопрос был назван «проблемой континуума» (в то время континуумом называли числовую ось), и во второй половине XIX века он стал центральным вопросом исчисления.
В начале 1870-х годов в Галле Кантор, бывший учеником Вейерштрасса и, следовательно, тоже увлеченный проблемой логического обоснования исчисления, занялся поиском четкого определения вещественных чисел. Свои выводы он изложил в статье Ober die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen («Обобщение одной теоремы из теории тригонометрических рядов»), опубликованной в 1872 году в журнале Mathematische Annalen. До него Дедекинд тоже занимался тем же самым вопросом, что привело ученых к спору о первенстве.
Определение Кантора основано на понятии фундаментальной последовательности. Она состоит из вещественных чисел, и в ней по мере продвижения разница между любыми двумя членами, следующими друг за другом или нет, становится все меньше.
Возьмем, например, последовательность, образованную числами 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; 3,14159265; 3,141592653; 3,1415926535,... (в каждом последующем числе добавляется еще один знак числа π после запятой). С пятого числа все они начинаются с 3,14159... Это значит, что с пятого элемента разница между двумя членами последовательности (не важно, идут они один за другим или нет) начинается с пяти нулей после запятой, то есть она меньше 0,00001 (где только четыре нуля после запятой). Аналогично, начиная с шестого числа, разница между двумя членами последовательности меньше 0,000001; начиная с седьмого — меньше 0,0000001 и так далее.
Поделиться книгой: