Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Математическая грамматика

Объяснение многих из паттернов, которые я показывал вам до этого момента, опирается на поразительный математический шорткат – алгебру. Секрет алгебры заключается в том, что она позволяет перейти от частного к общему. Это означает, что при рассмотрении каждого конкретного случая не требуется прокладывать новый путь. Можно не рассматривать по отдельности каждое число, а взять букву х и объявить, что она обозначает любое число.

Позвольте показать вам маленький фокус: задумайте число. Удвойте его. Прибавьте 14. Разделите результат на 2. Вычтите число, которое вы задумали с самого начала. Я гарантирую, что теперь у вас получилось число 7. Мы использовали этот фокус в начале пьесы «Исчезающее число», авторов которой я консультировал. Пьеса рассказывала о сотрудничестве индийского математика Сринивасы Рамануджана с кембриджским математиком Г. Г. Харди. Меня всегда поражало, в какое изумление этот фокус каждый вечер приводил публику – как будто мы волшебным образом читали мысли зрителей. На самом деле тут, разумеется, работает не волшебство, а математика. Ключ к пониманию того, каким именно математическим трюком вас обманули, заключается в идее алгебры.

Алгебра – это грамматика, лежащая в основе поведения чисел. Она чем-то похожа на программный код: алгебра работает независимо от того, какие числа вы вводите в программу.

Алгебру разработал руководитель багдадского Дома мудрости Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Дом мудрости, основанный в 810 году, был главным интеллектуальным центром своего времени и привлекал со всего мира ученых, изучавших астрономию, медицину, химию, зоологию, географию, алхимию, астрологию и математику. Исламские ученые собрали и перевели множество античных текстов, чем, по сути дела, сохранили их для потомства. Без них мы, возможно, ничего не знали бы о древних культурах Греции, Египта, Вавилона и Индии. Однако ученые, работавшие в Доме мудрости, не удовольствовались одними лишь переводами математических трудов, написанных другими. Они хотели создавать свою собственную математику. Именно это стремление к новым знаниям и привело к созданию языка алгебры.

Вы, вероятно, можете находить алгебраические паттерны и самостоятельно, даже не осознавая, что занимаетесь алгеброй. В детстве, запоминая таблицу умножения, я начал замечать некоторые любопытные паттерны, скрывающиеся за этими расчетами. Например, спросите себя, сколько будет 5 × 5. А потом посмотрите на 6 × 4. Есть ли между этими ответами какая-нибудь связь? Теперь возьмите 6 × 6 и 5 × 7. А потом 7 × 7 и 6 × 8. Надеюсь, вы уже заметили, что второй ответ каждый раз меньше первого на единицу.

Выявление таких паттернов помогало мне превращать скучное заучивание таблицы умножения в нечто чуть более интересное. Эти паттерны открыли мне шорткат в обход зубрежки, часто требуемой в школе. Но действует ли этот паттерн всегда? Если я возведу в квадрат произвольное число, будет ли результат всегда на единицу больше произведения чисел, стоящих по обе стороны от исходного?

Я попытался описать этот паттерн словами, но в IX веке в Ираке был создан новый математический язык – язык алгебры, – позволяющий выразить ее более ясно. Пусть х – произвольное число. Тогда результат возведения х в квадрат будет на 1 больше, чем произведение (х – 1) на (х + 1). Или, если написать алгебраическую формулу,

x2 = (x – 1)(x + 1) + 1.

Такой алгебраический язык также позволил математикам показать, почему этот паттерн остается справедливым, какое бы число вы ни выбрали. Если раскрыть скобки в выражении (х – 1)(х + 1), получится х2 – х + х – 1 = х2 – 1. Прибавим к этому 1 и получим просто х2.

Этот же подход – использование x вместо произвольного числа – позволяет понять и тот простой фокус, в котором вы получили число 7. Нужно всего лишь перевести операции на язык алгебры.

Задумайте число: x.

Удвойте его: 2 x.

Прибавьте 14: 2 x + 14.

Разделите на 2: x + 7.

Вычтите исходно задуманное число: x + 7 – x = 7.

И у вас действительно получается число 7.

Суть в том, что это работает всегда, какое бы число вы ни задумали, – даже если вы решили схитрить и задумали мнимое число! Вот еще один фокус, которому научил меня мой друг, математический фокусник Артур Бенджамин. Ключ к пониманию механизма этого фокуса дает алгебра. Бросьте две игральные кости. Перемножьте два выпавших числа. Перемножьте числа, оказавшиеся на нижних гранях костей. Затем умножьте верхнее число первой кости на нижнее число второй. А потом нижнее число первой кости на верхнее число второй. Наконец, сложите все четыре полученных числа. Результат всегда будет равен 49. Бенджамин использует здесь то удобное обстоятельство, что числа на противоположных гранях игральной кости всегда дают в сумме 7. В сочетании с небольшими алгебраическими выкладками из этого следует, что ответ всегда равен 49, то есть 7 в квадрате.

x × y + (7 – x) × (7 – y) + x × (7 – y) + y × (7 – x) = 7 × 7 = 49

Но алгебра пригодилась не только для фокусов. Она положила начало огромной волне новых открытий. Теперь в распоряжении математиков были не только слова, но и понимание грамматики, позволявшей им соединять эти слова. Алгебра дала нам язык, пригодный для описания устройства Вселенной.

Вот что говорил о могуществе алгебры Лейбниц: «Этот метод избавляет от труда разум и воображение, которые мы прежде всего должны экономить. Он позволяет нам рассуждать ценой небольших усилий, используя буквы вместо сущностей для облегчения бремени, которое ложится на воображение».

Свет в темном лабиринте

Одним из первых осознал значение этого языка для расшифровки тайн природы итальянский ученый XVI века Галилео Галилей. Именно ему принадлежит следующее знаменитое изречение: «Философия написана в той величественной Книге (я имею в виду Вселенную), которая всегда открыта нашему взору, но читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте»[40].

Одной из историй Вселенной, которую он хотел прочитать, было понимание того, как предметы падают на землю. Есть ли какое-нибудь правило, определяющее падение той или иной вещи на землю или продолжение ее полета в воздухе? Сбор данных о предметах, падающих с высокого здания, был делом сложным, так как предметы обычно падают слишком быстро. Галилей придумал удобный способ замедлить этот эксперимент, чтобы успеть собрать нужные данные. Можно было не бросать предметы, а изучать, как шар скатывается по наклонной плоскости. Этот процесс был достаточно медленным и позволял ему отмечать положение катящегося шара каждую секунду.

Наклонная плоскость должна была быть достаточно гладкой, чтобы трение не замедляло движения шара. Галилей хотел получить максимальное приближение к условиям падения того же шара. Когда он изготовил такую гладкую поверхность и начал записывать расстояния, на которые шар перемещался за каждую секунду, он обнаружил очень простой паттерн. Если за первую секунду шар сместился на 1 единицу расстояния, за следующую он проходил уже 3 единицы. За секунду после этого – 5 единиц. С каждой следующей секундой шар набирал все большую скорость и перемещался на все большее расстояние, но длины участков, которые он проходил, попросту соответствовали последовательности нечетных чисел.

Когда Галилей подсчитал суммарное расстояние, пройденное за некоторое время, ему открылась и тайна падения предметов на землю.

Суммарное расстояние, пройденное за 1 секунду, – 1 единица.

Суммарное расстояние, пройденное за 2 секунды, – 1 + 3 = 4 единицы.

Суммарное расстояние, пройденное за 3 секунды, – 1 + 3 + 5 = 9 единиц.

Суммарное расстояние, пройденное за 4 секунды, – 1 + 3 + 5 + 7 = 16 единиц.

Вы уже заметили паттерн? Суммарное расстояние всегда равно полному квадрату. Но какое отношение нечетные числа имеют к числам квадратным? Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем перевести числа на язык геометрии.

Рис. 3.1. Связь квадратных и нечетных чисел

Выкладывая очередное нечетное число по краям предыдущего квадрата, я получаю все бо́льшие и бо́льшие квадраты. Связь между квадратами и нечетными числами внезапно становится очевидной. Это – переход от арифметического рассмотрения к геометрическому – очень полезный шорткат.

Теперь Галилей смог составить формулу суммарного расстояния, которое проходит шар, падающий на землю: расстояние, пройденное через t секунд, пропорционально квадрату t. Так был открыт основополагающий квадратичный закон гравитации. В конечном итоге открытие этого уравнения дало нам возможность вычислять, где приземлится ядро, выпущенное из пушки, и предсказывать траектории планет, обращающихся вокруг Солнца.

В энный день Рождества

Тот же прием, что мы применили для демонстрации связи между нечетными числами и полными квадратами хитрым геометрическим способом, можно использовать и в качестве шортката к решению головоломки этой главы. Чтобы узнать, сколько подарков я получу от своей любви на Рождество, можно пойти длинным путем, последовательно складывая голубок и курочек. Но есть и шорткат – перевести задачу из арифметики в геометрию. Начнем с того, как геометрический подход помогает узнать число подарков, которые я получаю каждый день. Ежедневное количество подарков попросту соответствует треугольным числам, с которыми мы познакомились в главе о паттернах. Я уже рассказывал, как Гаусс разобрался с этими числами, разбив их по парам.

Но есть и другой шорткат, избавляющий от тяжелой работы: взглянуть на задачу с геометрической точки зрения. Разложим подарки треугольником, вершиной которого будет куропатка. Подсчитывать подарки, образующие треугольник, может быть непросто. А что, если составить два треугольника вместе? Тогда получится прямоугольник. Но предметы, образующие прямоугольник, подсчитать легко: нужно всего лишь умножить основание на высоту. А площадь треугольника будет половиной этого результата.

Такой геометрический шорткат к решению – это, по сути дела, тот же прием образования пар чисел, который использовал Гаусс, но слегка замаскированный. Но геометрическая точка зрения позволяет мне создать простую формулу для вычисления любого члена этой последовательности. Если мне нужно n-е треугольное число, я составляю вместе два треугольника и получаю прямоугольник размерами n × (n + 1). Теперь просто делим на 2 и находим число подарков в треугольнике: 1/2  × n × (n + 1).

Каково же суммарное количество подарков, которые я получаю по прошествии каждого дня? Вот как выглядит эта растущая сумма начиная с первого дня:

1, 4, 10, 20, 35, 56 …

Каждое следующее число получается прибавлением очередного треугольного числа. Скажем, чтобы найти седьмое, нужно прибавить к предыдущему числу седьмое треугольное число. Поскольку седьмое треугольное число – 28, седьмой член нашей последовательности равен 56 + 28 = 84. Но нет ли еще более удобного шортката, чтобы добраться до двенадцатого члена, общего числа подарков за все рождественские праздники, без последовательного сложения треугольных чисел?

Здесь нужно еще раз перейти от чисел к геометрии. Представим себе, что все подарки приходят в коробках одинакового размера. Тогда можно составлять из полученных коробок не треугольник, а пирамиду с треугольным основанием. На ее вершине будет одна коробка, в которой находится одна куропатка на грушевом дереве. На один ярус ниже коробок уже три: одна с куропаткой и две с голубками. Каждый день приходят все новые подарки, и я добавляю их к низу пирамиды. Дает ли такой переход от чисел к геометрическим фигурам возможность понять, сколько всего коробок в пирамиде?

Как это ни удивительно, дает. Если из двух треугольников можно сложить прямоугольник, из шести пирамид одного и того же размера можно образовать прямоугольный штабель коробок. (Чтобы это получилось, вам придется слегка сдвинуть подарки, сложенные в каждую из пирамид.) Если в пирамиде n ярусов, то размеры такой прямоугольной конструкции будут n × (n + 1) × (n + 2). Но она составлена из шести пирамид. Значит, формула количества подарков в каждой отдельной пирамиде будет такой:

1/6  × n × (n + 1) × (n + 2).

Сколько же всего подарков я получу от своей любви к двенадцатому дню Рождества? Подставим в формулу n = 12 и получим 1/6  × 12 × 13 × 14 = 364. То есть по подарку на каждый день года, не считая одного![41]

Рис. 3.2. Шесть пирамид составляют прямоугольный параллелепипед

Словарь Декарта

Меня всегда приводило в восторг то, как на картинке может проявиться нечто такое, чего не было видно за цифрами. Но нужно соблюдать осторожность. Иногда глаза обманывают нас. Взять, например, следующую картинку.

Рис. 3.3. При перестановке элементов фигуры в ней появляется лишняя клетка

Казалось бы, я просто поменял составляющие части квадрата местами так, чтобы из них получился аккуратный прямоугольник. Но погодите. Площадь квадрата равна 64 клеткам, а площадь прямоугольника – 65. Откуда же взялся этот довесок? На этой картинке трудно увидеть, что диагональ, пересекающая вторую фигуру, – не вполне прямая линия. Края составных частей не совсем прилегают друг к другу, что и приводит к появлению лишней клетки. Декарт, как известно, говорил: «Чувственное восприятие есть чувственный обман». С тех пор, как я увидел эту картинку, я, по-моему, никогда больше не мог полностью верить собственным глазам. Меня устраивают только строгие доказательства связей или паттернов на языке алгебры. Что, если с нечетными числами, которые я выкладывал по краям квадратов, тоже происходит нечто подобное этому хитрому фокусу?

Для разоблачения таких визуальных фокусов бывает полезно применить тот же шорткат в обратном направлении – превратить геометрические фигуры в числа. Декарт был одним из математиков, предложивших идею словаря для переводов между языком чисел и языком геометрии. Этот словарь был одним из величайших лингвистических изобретений, которые наряду с алгеброй позволяют находить шорткаты к пониманию Вселенной.

Собственно говоря, все мы хорошо знакомы с этим словарем: мы используем его, когда видим карту или навигатор GPS. Сетка, накладываемая на город или страну, позволяет мне идентифицировать любую точку на местности: два числа указывают, где эта точка расположена на сетке. Система GPS использует координатную сетку, горизонтальной осью которой служит экватор, а вертикальной – меридиан, проходящий через Гринвич.

Например, если я хочу посетить дом, в котором родился Декарт, находящийся в городе Декарт (названном так не по удивительному совпадению, а уже после его смерти[42]), попасть туда мне помогут его координаты: широта 46,9726497 и долгота 0,7000201. Любое положение на планете можно выразить при помощи двух таких чисел. Геометрия планеты переведена на язык чисел.

Декарт изложил эту плодотворную идею – применения координат для описания геометрии – в книге «Геометрия» (1637). При помощи этих чисел, называющихся теперь в честь человека, предложившего такой перевод, декартовыми (картезианскими) координатами, можно определить геометрическое положение не только на поверхности планеты, но и на любом изображении. Словарь Декарта открыл возможность перевода между геометрией и алгеброй.

Могущество этого перевода становится особенно ясным, когда нужно описать движение некоего объекта в пространстве. Бросьте мяч – и я смогу описать высоту мяча над землей в момент, когда он находится на заданном расстоянии от бросившего его. Связь между этими двумя величинами выражается математическим уравнением. Пусть х – расстояние, которое мяч пролетел по горизонтали. Пусть v – скорость мяча в вертикальном направлении в момент броска, а u – его горизонтальная скорость. Если обозначить высоту мяча над землей буквой y, то эти ингредиенты дадут формулу для определения этой высоты:

Буква g обозначает величину, которую называют ускорением свободного падения. Она определяет, насколько сильно мяч притягивается к данной планете под действием силы тяжести.

Как бы сильно или высоко вы ни бросили мяч, уравнение остается тем же самым. Нужно только изменить значения u и v, играющие роль регуляторов настройки, которые можно подкрутить, чтобы изменить форму траектории. Понимание этой закономерности, которая определяет, как летят по воздуху любые мячи, позволяет предсказать, где мяч упадет на землю. Ее формула – это квадратное уравнение относительно х. Если вы футболист и хотите узнать, где вам нужно встать, чтобы принять летящий мяч на голову и отправить его в ворота противника, вам нужно решить это уравнение относительно х. Как я рассказывал в предыдущей главе, древние вавилоняне нашли алгоритм для решения этой задачи еще четыре тысячи лет назад.

Но такие квадратные уравнения описывают не только траектории мячей. Если посмотреть на изменения цен на товары с колебаниями спроса и предложения, их зачастую можно описать уравнениями такого же типа. Когда уравнения описывают числа, появляется возможность научиться находить точку экономического равновесия, в которой товар оценивается при равенстве предложения и спроса. Компания, не умеющая использовать язык уравнений для представления своих данных, будет, как сказал Галилей, блуждать в темном лабиринте, пока ее конкуренты будут загребать прибыли.

Если у вас есть набор данных, полезно попытаться найти уравнение, описывающее связь между ними. Его обнаружение открывает поразительный шорткат к предсказанию того, что может случиться в будущем.

Такие паттерны бывают необычайно универсальными. В случае брошенного мяча не важно, кто именно бросил мяч, как его бросили или где его бросили. Даже если заменить один мяч на другой, общий вид уравнения останется неизменным.

Но при подгонке уравнений к данным необходима осторожность. Если взять данные о численности населения Соединенных Штатов за последнее столетие, они довольно хорошо описываются квадратным уравнением, подобным тому, с помощью которого мы описывали траекторию мяча. Однако, если использовать более сложное уравнение, в котором степень х доходит до х10, соответствие данным получается и вовсе точным. Казалось бы, это говорит о том, что более сложная формула должна дать более точные предсказания. Единственный недостаток состоит в том, что на середину октября 2028 года это уравнение предсказывает падение численности населения Соединенных Штатов до нуля. Или же уравнение знает нечто такое, чего не знаем мы.

Эта история служит предостережением тем, кто считает, что для научных исследований достаточно одного лишь использования больших данных. В данных действительно могут проявляться паттерны, но, чтобы понять, почему эти паттерны должны быть основаны на тех или иных уравнениях, мы по-прежнему должны сочетать данные с аналитическим мышлением. Сделанное Галилеем открытие квадратичного закона гравитации было впоследствии объяснено благодаря теоретическому анализу Ньютона, показавшему, почему в данном случае правильно использовать именно квадратные уравнения.

Шорткат в гиперпространство

Идея превращения геометрии в числа не только позволяет лучше ориентироваться в трехмерном пространстве. Она еще и открывает перед нами порталы в миры, которые мы никогда не увидим своими глазами. Одним из самых захватывающих моментов моего математического путешествия по искусству шортката было открытие возможности изучать многомерные пространства. Тот день, когда я впервые прочитал о том, как этот язык позволяет построить куб в четырех измерениях, до сих пор запечатлен в моей памяти.

Это объясняло, как космический корабль может переместиться с одного конца Вселенной на другой по шорткату через четвертое измерение. Это давало ответ на вопрос, как Вселенная может быть конечной, но не иметь границ. Это даже позволяло распутывать узлы, которые невозможно развязать в трех измерениях.

Но этот словарь позволяет не только путешествовать в пространстве. Благодаря отображению данных в многомерные миры проявляются скрытые структуры. Когда вы строите по данным график, вы видите двумерную тень объекта, который следовало бы изображать в многомерном пространстве. Такой шорткат вполне может прояснить нюансы, скрытые этими двумерными тенями. Итак, пристегните ремни: мы отправляемся в путешествие по гиперпространству!

Чтобы попасть в четвертое измерение, нужно начать со второго. Предположим, я хочу описать квадрат в терминах картезианского словаря координат: я могу сказать, что квадрат – это фигура с четырьмя вершинами, расположенными в точках (0,0), (1,0), (0,1) и (1,1). Очевидно, для определения любого положения в плоском двумерном мире нужны всего две координаты, но, если я захочу учесть еще и высоту над уровнем моря, можно добавить третью координату. Третья координата также понадобится, если я захочу описать при помощи координат трехмерный куб. Восемь вершин куба можно описать точками (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) и, наконец, крайней точкой с координатами (1,1,1).

Рис. 3.4. Построение гиперкуба при помощи координат

В одной колонке словаря Декарта содержатся фигуры и геометрические свойства, а в другой – числа и координаты. Проблема заключается в том, что при попытке выйти за пределы трехмерных тел визуальное восприятие отказывает, потому что физического четвертого измерения не существует. Но у словаря Декарта есть одно великолепное свойство, которое осознал великий немецкий математик XIX века Бернхард Риман, учившийся у Гаусса в Геттингене: вторая сторона словаря продолжает действовать даже и в этом случае.

Чтобы описать четырехмерный объект, нужно всего лишь добавить четвертую координату, указывающую величину смещения в этом новом направлении. Хотя я не могу построить четырехмерный куб физически, тем не менее я могу точно описать его при помощи чисел. У него 16 вершин начиная с точки (0,0,0,0), за которой идут вершины в точках (1,0,0,0), (0,1,0,0) и так далее, вплоть до самой удаленной от первой вершины в точке (1,1,1,1). Числа образуют код, описывающий фигуру. При помощи этого кода я могу исследовать эту фигуру, причем мне даже не нужно видеть ее физически.

Этим дело не кончается. Можно перейти к пяти, шести и даже большему числу измерений и построить гиперкубы и в этих мирах. Например, у N-мерного гиперкуба должно быть 2N вершин. От каждой из этих вершин отходят N ребер, каждое из которых мы учитываем дважды. Следовательно, N-мерный куб имеет N × 2N –1 ребер.

Когда я попробовал на зуб четырехмерный куб, это разожгло во мне аппетит к открытию других фигур в этой необычной многомерной вселенной. Построение в ней новых симметричных объектов стало моей страстью. Например, если вы когда-нибудь бывали в великолепном дворце Альгамбра в Гранаде, вас (я надеюсь) привели в восторг те чудесные игры в симметрию, в которые играли на его стенах художники. Но можно ли понять эти симметрии? Мой шорткат к пониманию с первого взгляда того, что кажется очень наглядным, – это превращение симметрии в язык.

Создание нового языка для понимания симметрии, известного под названием «теория групп», относится к началу XIX века. Этот язык был порождением ума одного выдающегося молодого человека – французского революционера Эвариста Галуа. К несчастью, его жизнь оборвалась до того, как он сумел в полной мере реализовать потенциальные возможности своего открытия. В двадцатилетнем возрасте он был застрелен на дуэли, поводом для которой были любовь и политика.

Хотя две разные стены в Альгамбре украшены очень разными узорами, математика симметрии позволяет установить, что симметрии этих двух стен одинаковы. Такова сила нового языка, который создал Галуа.

Симметрию можно определить как те действия, производимые над объектом, после которых он выглядит так же, как и до них. Галуа понял, что важная характеристика симметрии заключается во взаимодействии между отдельными симметриями. Что, если дать симметриям названия? Тогда можно найти своего рода грамматику, на которой основаны все они. Эта грамматика стала шорткатом к пониманию мира симметрий. Изображения исчезли, а на их месте возникла особая алгебра, выражающая, как симметрии взаимодействуют друг с другом.

При помощи теории групп к концу XIX века математики сумели доказать, что существует всего 17 разных типов симметрии орнаментов, которые возможно изобразить на стенах Альгамбры или где бы то ни было еще. Мои собственные исследования продолжают эти изыскания, выводя их в гиперпространство. Я пытаюсь понять, сколькими разными способами можно украсить Альгамбру орнаментами в многомерном пространстве. Речь идет о здании, построенном не из камня, а из языка.

Эти сюрреалистические формы можно увидеть и в нашем обыденном трехмерном мире. Большая арка Дефанс в пригороде Парижа, которую построил датский архитектор Йохан Отто фон Спрекельсен, на самом деле представляет собой трехмерную проекцию четырехмерного куба, или куба, заключенного в кубе. На картине Сальвадора Дали «Распятие, или Гиперкубическое тело» Христос изображен распятым на трехмерной развертке четырехмерного гиперкуба.

Есть даже компьютерная игра, которая должна позволить игрокам получить опыт существования в четырехмерном пространстве. Ее придумал разработчик компьютерных игр Марк тен Бош, который работает над созданием этой гиперигры уже более десятилетия. Игрок, перед которым на экране оказалась стена, не позволяющая ему пройти дальше в трехмерном мире, может включить четвертое измерение и, переместившись в новом направлении, найти параллельный мир, в котором есть шорткат за эту стену. Судя по всему, игра должна получиться потрясающей, и я с нетерпением жду ее выпуска. Однако я подозреваю, что ее разработка так сильно затянулась отчасти из-за того, насколько разработчику с трехмерным разумом трудно создавать и объединять все эти четырехмерные миры.

Победа в играх

Я вообще очень люблю игры, и не только безумные четырехмерные. Мне нравится коллекционировать новые игры в поездках по всему миру. Но меня не перестает поражать тот факт, что игры из разных уголков света, хотя они и выглядят совершенно не похоже друг на друга, часто бывают, по сути дела, одной и той же игрой в разных нарядах. Это навело меня на мысль, что во многие игры гораздо проще играть, если удастся превратить их в другие, непохожие с виду, игры.

Многие из задач, которые нам приходится решать в жизни, – это, по сути дела, замаскированные игры. Потенциальное сотрудничество между двумя конкурирующими компаниями часто оказывается примером игры под названием «дилемма заключенного». В соперничестве трех сторон может скрываться игра камень-ножницы-бумага. Если вы видели фильм «Игры разума», вы, возможно, помните тот момент, когда один из создателей теории игр, Джон Нэш, которого играет Рассел Кроу, превращает в игру попытку познакомиться в баре с красивой женщиной. Но у игр есть правила, которые очень хорошо умеет описывать математика. Один из величайших шорткатов к победе в игре, открытых математикой, – это превращение игры в нечто совершенно иное, при котором победная стратегия становится гораздо более ясной.

Один из моих любимых примеров такого рода связан с игрой под названием «15». Каждый из участников игры по очереди выбирает числа от 1 до 9, стремясь получить три числа, дающие в сумме 15. Нужно, чтобы пятнадцати была равна именно сумма трех чисел. Например, 1 + 9 + 5. Выбрать 6 + 9 нельзя. Играть в эту игру довольно сложно, потому что нужно не только держать в голове разные способы получить 15 из имеющихся у вас чисел, но и стараться не дать сопернику получить 15 раньше вас. Чтобы почувствовать, как трудно бывает учесть все возможные варианты, имеет смысл сыграть пробную партию с другом.

Шорткат для этой игры заключается в преобразовании ее в другую игру, играть в которую гораздо легче, – в крестики-нолики. Только играть нужно на магическом квадрате.

Магический квадрат замечателен тем, что сумма чисел в любой его строке, любом столбце и любой диагонали равна 15. Если вы играете в крестики-нолики на таком квадрате, вы на самом деле играете в 15. Но держать в голове геометрию игры в крестики-нолики гораздо легче, чем арифметические возможности получения суммы чисел, равной 15.

На следующей странице показана еще одна игра, играть в которую становится легко, если взглянуть на нее с правильной точки зрения. На чертеже показана карта городов, соединенных дорогами. Все дороги представляют собой прямые линии, и на каждой из них может быть 2, 3 или 4 города.

Рис. 3.5. Сеть дорог

Участники игры по очереди «забирают себе» дороги. Выигрывает тот, кто первым скопит три дороги, проходящие через один и тот же город. Чтобы понять, какие стратегии возможны в этой игре, в нее тоже полезно сыграть пробную партию. Но на самом деле это опять замаскированные крестики-нолики. Если обозначить дороги цифрами, как показано на рис. 3.6, окажется, что вы снова играете в крестики-нолики на магическом квадрате.