Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

В этой фразе Лаплас выражает важнейшее качество хорошего шортката: он освобождает разум, позволяя прилагать свои силы к более интересным предприятиям. Но истинную свободу от рутины вычислений ученые обрели лишь с появлением вычислительных машин.

Механические калькуляторы

Одним из первых могущество машин в качестве шортката к вычислениям осознал великий математик XVII века Готфрид Лейбниц: «Недостойно превосходных мужей тратить часы на рабский труд вычислений, который без опаски можно было бы поручить любому другому, если бы использовались машины».

Идея машины, которую Лейбниц в конце концов построил, возникла у него при знакомстве с шагомером. «Когда я увидел прибор, с помощью которого можно подсчитывать шаги, не думая об этом, мне немедленно пришло в голову, что и все арифметические операции могут быть выполнены посредством подобного рода устройства».

Шагомер был основан на чрезвычайно простой идее: когда шестерня с десятью зубьями проходит полный оборот, она поворачивает на одно деление другую, соединенную с ней шестерню, которая отсчитывает десятки шагов. Позиционная система счисления на основе шестеренок. Вычислительная машина Лейбница, которую он назвал «пошаговым арифмометром», умела складывать, умножать и даже делить. Но физическое воплощение его идей оказалось делом трудным. «Если бы только мастер мог исполнить прибор так же, как я задумал его модель», – писал он.

Он привез деревянный прототип своей машины в Лондон, чтобы показать его членам Королевского общества[26]. Роберт Гук, уже прославившийся своей придирчивостью, был совершенно не в восторге. Разобрав машину на части, он заявил, что мог бы создать гораздо более простое и рациональное устройство. Лейбница это не остановило; в конце концов он сумел нанять искусного часовщика, который и построил машину, способную открыть вычислительный шорткат, обещанный Лейбницем.

У Лейбница была и идея еще более грандиозная. Он хотел механизировать не только арифметику, но и все мышление вообще. Он хотел свести философские рассуждения к математическому языку, который можно было бы внедрить в машину. Ему представлялось время, когда два философа, не согласные по поводу какой-нибудь идеи, смогут просто обратиться к машине, которая разберется в их разногласиях и установит, кто из них прав.

Когда я был в Ганновере, в котором жил Лейбниц, мне посчастливилось увидеть одну из его машин. Это великолепная вещь, и нам очень повезло, что она у нас есть. В течение нескольких лет оригинал машины валялся на чердаке в Геттингене – университетском городе, в котором учился и работал Гаусс. Машину вновь обнаружили только в 1879 году, когда рабочие, пытавшиеся починить протекавшую крышу здания, наткнулись на нее в углу чердака.

Машина Лейбница положила начало процессу, который впоследствии привел нас к нынешним калькуляторам и компьютерам. Но это не означает, что возможности компьютеров безграничны. В наше время мы склонны считать, что компьютеры настолько хорошо умеют выполнять быстрые вычисления, что могут сделать практически что угодно. В 1984 году журнал Time утверждал: «Стоит ввести в компьютер правильную программу, и он сделает все, что вам захочется». Но у компьютеров есть ограничения. Даже им иногда требуется программист-человек, способный придумать хитроумный шорткат, чтобы избежать вычислений, выполнение которых на компьютере займет все время существования Вселенной.

Один из самых интересных шорткатов, которые используют компьютеры, связан с применением чисел нового типа, которые, казалось бы, не имеют ничего общего с миром практических вычислений, – мнимых чисел.

Сквозь математическое зеркало

Можете ли вы решить уравнение x2 = 4? Вам, вероятно, не составит труда найти решение x = 2, потому что при возведении 2 в квадрат получается 4. Если немного подумать, вы можете найти и второе решение, потому что x = –2 тоже подходит. Дело в том, что квадрат отрицательного числа – это число положительное. Поэтому –2 в квадрате тоже равно 4.

Это очень простое уравнение. Но что, если я попрошу вас решить вот это:

x2 – 5x + 6 = 0?

Вероятно, при виде этого уравнения у многих читателей пробежали по спине мурашки, потому что это одно из квадратных уравнений – уравнений, содержащих х в квадрате, – решать которые учат в школе. Собственно говоря, общую алгоритмическую процедуру, позволяющую получить решение, придумали еще древние вавилоняне. Хотя у них еще не было алгебраического языка для выражения математических идей, в современных обозначениях для поиска корней обобщенного квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0

применяется следующая формула:

Значит, в случае уравнения x2 – 5x + 6 = 0 нужно подставить в формулу a = 1, b = –5 и c = 6, и мы получим решения x = 2 или x = 3.

Могущество математики по части создания шорткатов для тяжелой работы начало проявляться еще в вавилонскую эпоху. До открытия этой формулы каждое квадратное уравнение приходилось решать вручную. Каждый раз писцы заново изобретали колесо, не сознавая, что снова и снова делают одно и то же, хотя и с разными числами. Но в какой-то момент нашелся писец, который понял, что существует общая алгоритмическая процедура, работающая, к каким бы числам она ни применялась.

В этот момент и началась математика. Это искусство распознавания паттернов, лежащих в основе бесконечного количества таких уравнений. Паттерн показывает, что требуется не потенциально бесконечная работа, а, по сути дела, всего одна операция. Выучивший алгоритм или формулу решения уравнения получает в свое распоряжение шорткат к решению бесконечно многих разных уравнений. Рождение математики в вавилонскую эпоху показывает, почему математику и в самом деле можно назвать искусством шортката.

Но позволяет ли этот шорткат решить все квадратные уравнения?

Как насчет решения уравнения x2 = –4? На протяжении многих столетий считалось, что у этого уравнения нет решений. Числа, которые мы используем для подсчета предметов, обладают тем свойством, что их возведение в квадрат всегда дает число положительное. Вавилонский алгоритм – или вавилонская формула – не помогает решить это уравнение, потому что для этого требовалось бы понять, что такое квадратный корень из –4.

Но в середине XVI века произошло одно довольно странное событие. В 1551 году итальянский математик Рафаэль Бомбелли работал над проектом осушения болот в долине Кьяна, относившейся тогда к Папской области. Все шло хорошо, пока работы внезапно не пришлось приостановить. Поскольку Бомбелли было нечем заняться, он решил написать книгу по алгебре. Его увлекли новые интересные формулы для решения уравнений, о которых он прочитал в книге другого итальянского математика, Джироламо Кардано.

Вавилоняне придумали формулу для решения квадратных уравнений. Но как быть с уравнениями кубическими, например, x3 – 15x – 4 = 0? Несколькими десятилетиями раньше многие математики заявляли, что нашли формулы для их решения. В то время математики не публиковали статьи в научных журналах, а сходились друг с другом в математических поединках – публичных диспутах. Я так и вижу эту великолепную картину: как субботним утром на городской площади собираются шумные фанаты местного математика, чтобы поддержать его в очередной схватке ученых. Формула одного из математиков явно превосходила своими достоинствами все то, что предлагали остальные. Этого единоборца от математики звали Никколо Фонтана, но более известно было его прозвище – Тарталья[27]. Ему, понятно, не хотелось раскрывать секрет своего успеха, но в конце концов Кардано уговорил его поделиться формулой при условии, что Кардано не будет ее разглашать.

Кардано держался несколько лет, но в конце концов не смог удержаться от искушения. Он напечатал формулу Тартальи во всей ее славе в своей знаменитой книге Ars Magna[28], вышедшей в свет в 1545 году. Когда Бомбелли прочитал книгу Кардано и применил пресловутую формулу к уравнению x3 – 15x – 4 = 0, произошло нечто довольно странное. В некоторый момент формула требовала извлечения квадратного корня из –121. Бомбелли мог извлечь квадратный корень из 121. В этом не было ничего сложного – он равен 11. Но что такое квадратный корень из –121?

У математиков и раньше возникала эта странная потребность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, но обычно, дойдя до этого места, они отступали. Кардано столкнулся с той же проблемой и бросил вычисления. Считалось, что таких чисел не бывает. Но Бомбелли оказался не робкого десятка. Он продолжил работу с формулой, приведенной в книге Кардано, просто оставив в ней это странное несуществующее, мнимое число. Затем числа как бы по волшебству взаимно сократились, и он получил решение: x = 4. И действительно, когда он подставил это решение в исходное уравнение, оно оказалось верным.

Чтобы добраться до пункта назначения – решения x = 4, – Бомбелли пришлось пересечь мир мнимых чисел. Он как бы прошел сквозь некое волшебное зеркало и обнаружил за ним новую страну, путь через которую вел к другому порталу, позволявшему вернуться в мир нормальных чисел и добраться до желанной цели. Но пути к решению, не проходившего через этот воображаемый мир, не существовало. Бомбелли начал подозревать, что речь идет не просто об искусственном приеме; что, может быть, такие числа, находящиеся по ту сторону зеркала, все же действительно существуют. Просто математикам нужно достаточно смелости, чтобы допустить их в мир чисел.

Работа, которую опубликовал Бомбелли, привела к открытию мнимых чисел. Первое из таких чисел, квадратный корень из –1, в конце концов получило особое обозначение – i. Буква i обозначает слово imaginaire – воображаемый, мнимый; это пренебрежительное название ввел несколько лет спустя французский философ и математик Рене Декарт, не питавший к этим странным неуловимым числам никаких теплых чувств.

И все же Бомбелли открыл их могущество. В его книге был приведен полный анализ способов обращения с мнимыми числами. При решении таких кубических уравнений те, кто был готов пройти сквозь зеркало в мир мнимых чисел, мог воспользоваться шорткатом к ответу. В конце концов математики начали называть такие числа компле́ксными, в отличие от чисел вещественных, известных всем нам с самого детства[29].

Настойчивость Бомбелли произвела большое впечатление на Лейбница, назвавшего его выдающимся мастером аналитического искусства: «Итак, некий инженер, Бомбелли, находит практическое применение комплексным числам – возможно, потому что они позволили ему добиться полезных результатов, – в то время как Кардано считал квадратные корни из отрицательных чисел бесполезными. Бомбелли первым дал описание каких бы то ни было комплексных чисел… Его изложение законов вычисления комплексных чисел отличается замечательной доскональностью».

На протяжении целых столетий математики продолжали относиться к этим числам чрезвычайно подозрительно. Если вам нужен квадратный корень из 2, это число, хотя его представление в виде десятичной дроби и бесконечно, можно найти на линейке. Оно расположено где-то между 1,4 и 1,5. Но где находится квадратный корень из –1? На линейке его не увидишь. В конце концов способ, позволяющий увидеть комплексные числа, придумал мой герой – Карл Фридрих Гаусс.

До Гаусса числа, которые использовали математики, изображали отметками на горизонтальной прямой: отрицательные числа отсчитывались влево, положительные – вправо. Гаусс принял гениальное решение пойти в новом направлении. Новые числа стали отсчитываться по вертикали. В представлении Гаусса числа стали не одно-, а двумерными. Его новая карта чисел оказалась чрезвычайно продуктивной. Ее геометрия отражала алгебраический характер поведения этих чисел. Как я объясню в главе 5, хороший чертеж бывает поразительно действенным шорткатом к объяснению сложных идей.

Гаусс изобрел это графическое представление комплексных чисел в процессе поисков доказательства одного поразительного их свойства. Если взять любое уравнение, каким бы сложным оно ни было, состоящее из разных степеней х, не только кубов, для нахождения его корней всегда можно использовать мнимые числа. Изобретать новые числа не было нужды. Мнимые числа уже были средством, достаточно сильным для решения всех уравнений. Это великое открытие Гаусса называется сейчас основной теоремой алгебры[30].

Карта Гаусса стала фантастически полезным шорткатом к ориентации в этом странном новом мире мнимых чисел. Как ни странно, Гаусс хранил свое двумерное визуальное представление в тайне. Позднее его заново независимо открыли два математика-любителя: сначала датчанин Каспар Вессель, а еще позднее – швейцарец Жан Арган. Сегодня эту карту называют диаграммой Аргана[31]. Слава редко достается по заслугам.

Впоследствии французский математик Поль Пенлеве писал в книге «Анализ научных работ до 1900 года» (Analyse des Travaux Scientifiques Jusqu’en 1900):

Естественное развитие этой работы вскоре привело к тому, что геометры стали учитывать в своих исследованиях наряду с вещественными и мнимые величины. Выяснилось, что самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую.

Пенлеве был не только математиком, но и премьер-министром Франции. Его первое пребывание в этой должности продлилось всего девять недель, но за это время ему пришлось разбираться с последствиями революции в России и вступления США в Первую мировую войну, а также заниматься подавлением мятежа во французской армии[32].

Хотя комплексные числа прямо не используются в моей работе, я часто прибегаю к их философским основам. Такого рода шорткаты в чем-то похожи на кротовые норы, позволяющие попасть из одного конца Вселенной в другой, которые так любят создавать писатели-фантасты. В любой ситуации имеет смысл проверить, не спрятано ли где-нибудь зеркало, сквозь которое можно добраться до цели.

В моих математических исследованиях я пытаюсь понять все симметрии, какие только можно построить. Но, как ни странно, тот путь к решению этой задачи, который я нашел, предполагает создание нового объекта, называемого дзета-функцией, который происходит совершенно из другой области математики. Тем не менее это позволило мне взглянуть на мои собственные исследования с новой точки зрения, которой у меня не могло бы быть, если бы я не выходил за пределы мира симметрии. Как я объясню на нашей следующей технической остановке, на которой мы познакомимся с предпринимателем Брентом Хоберманом, пришествие интернета привело к появлению фантастического зеркала, прохождение через которое позволяет обойтись без посредников в самых разнообразных коммерческих сделках.

Иногда кротовую нору, помогающую найти путь к решению, можно обнаружить, просто сменив ландшафт, по которому мы движемся. Когда я захожу в тупик при работе над какой-нибудь математической задачей, я часто слушаю музыку или упражняюсь на виолончели – это помогает моему разуму отвлечься. А когда я возвращаюсь к письменному столу, часто оказывается, что мой взгляд на задачу странным образом изменился. Слушание музыки, перемещение совершенно в другую среду, может быть подобно получению доступа в мир мнимых чисел, в котором, как писал Пенлеве, обнаруживаешь более короткий путь к цели. Вполне имеет смысл поэкспериментировать с имеющимися альтернативными маршрутами – они могут помочь добраться до тайной дверцы, ведущей к новому образу мыслей.

Сегодня мир мнимых чисел является ключом к пониманию целого ряда концепций, которые было бы почти невозможно понять без этого шортката сквозь зеркало. В квантовой физике – физике предельно малого – можно как следует разобраться, только если она выражена в этих мнимых числах. Управлять переменными токами, используемыми в электронике, легче всего, если они описываются при помощи квадратного корня из –1. Еще один яркий пример шортката, который открывают эти числа, можно найти внутри компьютеров, которые помогают сажать самолеты в аэропортах всего мира.

Борт BA 107… посадку разрешаю

Несколько лет назад мне посчастливилось попасть на диспетчерскую вышку одного из крупных аэропортов Великобритании. Экраны, по которым плясали миниатюрные значки самолетов, создавали ощущение какой-то безумной компьютерной игры. Но я быстро осознал, что в руках операторов находятся жизни многих тысяч людей. Во время посещения диспетчерского пункта мне велели соблюдать полную тишину. Но, когда мне все же удалось поговорить с одним из диспетчеров, отработавшим смену, я был крайне изумлен, узнав, что система, применяемая для посадки самолетов, использует для ускорения вычислений в рамках радарного слежения за прилетающими воздушными судами мнимые числа.

Тот факт, что радиоволны отражаются от металлических объектов, открыл немецкий физик Генрих Герц. Он сделал это открытие в ходе своих опытов, которые проводил в 1877 году, чтобы доказать существование электромагнитных волн. Его имя увековечено в названии единицы измерения частоты вибрации волн.

Но практические возможности, которые давало это открытие, осознал один из соотечественников Герца. Кристиан Хюльсмайер получил в Германии и Британии патенты на электромагнитное устройство[33], которое, по его мнению, могло помочь кораблю обнаруживать наличие других судов в условиях плохой видимости – например, в тумане. Утверждается, что стремление создать такой прибор возникло у него после того, как он увидел мать, скорбевшую о смерти сына, который погиб при столкновении двух морских судов.

Он продемонстрировал свое изобретение в опыте, поставленном на мосту через Рейн 18 мая 1904 года. Прибор обнаруживал присутствие корабля, спускавшегося по реке, как только тот оказывался в радиусе трех километров. Однако это изобретение опередило свое время, в частности потому, что оно не производило математических вычислений, позволяющих определить, на каком расстоянии находится другое судно и в каком направлении оно движется. В течение еще нескольких лет эта идея интересовала только писателей-фантастов вроде Жюля Верна. Для ее практического воплощения потребовались десятилетия и мировая война.

Вопрос о том, кто именно изобрел радар, название которого получилось из сокращения английских слов radio detection and ranging (радиообнаружение и измерение дальности), остается нерешенным. Разработка таких систем в разных странах в преддверии войны велась в условиях строжайшей тайны, потому что любая страна, успешно внедрившая эту идею, получила бы преимущество в области обнаружения вражеских самолетов. Однако не вызывает сомнений, что одним из первопроходцев этой технологии был шотландский физик Роберт Уотсон-Уотт. Его попросили прокомментировать слухи о «лучах смерти», якобы созданных в Германии на основе радиоволн. Он быстро показал абсурдность этой идеи, но она побудила его заняться исследованием реальных возможностей радиоволновых технологий. Он продемонстрировал, что совместное использование расчетов и радиосигналов позволяет отслеживать перемещение приближающихся самолетов, и это привело к созданию системы радиолокационных станций для обнаружения самолетов, подлетающих к Лондону со стороны Северного моря. Принято считать, что именно радарная сеть Уотсона-Уотта дала Королевским ВВС решающее преимущество в Битве за Британию.

При отслеживании подлетающего самолета, будь то на войне или в мирное время, важна скорость. Шорткат к вычислению местоположения самолета по отражающимся от него радиоволнам может иметь жизненно важное значение. Основные вычисления, необходимые для решения этой задачи, относятся к области тригонометрии (об этом шорткате я расскажу в главе 4). Форму передаваемых и регистрируемых после отражения волновых импульсов описывают при помощи тригонометрических функций – синусов и косинусов. Необходимые для этого вычисления оказываются сложными и занимают чрезвычайно много времени. Но тут на помощь приходят мнимые числа.

Великий швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер обнаружил, что подстановка мнимых чисел в показательную функцию – простую функцию возведения числа в степень х, например, 2х – дает довольно любопытные результаты. Получается сочетание волновых функций, очень похожих на те волны, которые впоследствии стали использовать в радарах. Эта связь – ключ к уравнению, которое многие математики считают самым красивым в истории. Дело в том, что один из случаев этой связи между волнами и показательными функциями дает уравнение, связывающее пять важнейших чисел в истории математики – 0, 1, i (квадратный корень из –1), π = 3,14159… и е = 2,71828… (возможно, самое знаменитое число в математике, не считая π; мы поговорим о нем подробнее в главе 7):

eiπ + 1 = 0

Стоит возвести е в степень, равную произведению i и π, и прибавить к результату 1, как все члены этого выражения волшебным (или математическим) образом сокращаются, и в ответе получается 0. И это одно из любопытных проявлений той связи между показательными и волновыми функциями, которую создают мнимые числа.

Поэтому математики поняли, что можно не заниматься сложными вычислениями волновых функций, а упростить и ускорить расчеты, объединив все их элементы при помощи мнимых чисел. Благодаря использованию этих странных чисел вычисления свелись к расчетам показательных функций, которые можно было выполнить быстро и рационально. Даже сегодня авиадиспетчеры, в распоряжении которых имеется необычайная мощь современных компьютеров, используют для обнаружения самолетов и их сопровождения при посадке в аэропортах всего мира тот же самый шорткат через мнимые числа. Не будь его, самолеты падали бы на землю еще до завершения вычислений их местоположения.

Этот пример наглядно иллюстрирует утверждение Поля Пенлеве о том, что «самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую».

Двоичное, и не только

Один из других шорткатов, которые участвуют в рационализации компьютерных вычислений, – это применение чрезвычайно экономичной системы записи чисел. Как мы уже видели, десять символов десятичной системы счисления – не единственный вариант представления чисел. Для выражения чисел можно выбрать степени любого числа, не только десяти, как в десятичной системе. Вавилоняне использовали символы для записи чисел от 0 до 59 и работали с системой счисления на основе 60. У майя были символы для чисел от 0 до 19, а в созданной ими системе счисления использовались степени двадцати. Выбор числа 10 в качестве основы для наших чисел сводится всего лишь к капризу анатомии, снабдившей нас десятью пальцами на руках.

Но с анатомией человека могла быть связана и вавилонская система. На каждом из наших пальцев (кроме большого) по три сустава. Поэтому большим пальцем правой руки можно указывать на ее же суставы, соответствующие числам от 1 до 12. Каждый раз, отсчитав 12 суставов, можно отмечать очередную дюжину на левой руке, а затем заново начинать отсчет до 12 на правой. Поскольку на левой руке 5 пальцев, так можно отсчитать до 5 наборов по 12 суставов, то есть дойти до 60!

Скажем, для обозначения числа 29 нужно поднять два пальца на левой руке и указать большим пальцем правой на пятый сустав (средний сустав среднего пальца).

Но компьютеры могут использовать всего один палец. По сути дела, они работают по принципу выключателя – либо включенного, либо выключенного. Им нужна система на основе всего двух символов – 0 для выключенного состояния и 1 для включенного. Но даже используя только эти два символа, компьютер может выразить любое число. Положения цифр в этой позиционной системе, так называемой двоичной системе счисления, означают не степени десяти, а степени двух. Так, число 11011 соответствует числу

1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 1 = 27.

Поскольку мы научились преобразовывать в цифровой формат разговоры, изображения, музыку и книги, можно сказать, что этот шорткат превратил весь окружающий нас мир в строчки нулей и единиц.

Идея двоичного представления также дает ключ к решению головоломки, с которой начинается эта глава. С каким минимальным количеством гирь бакалейщик сможет взвешивать от 1 до 40 кг? Фокус тут заключается в переходе не в двоичную, но в троичную систему, основанную на степенях числа 3. У весов есть три возможных состояния: гиря в правой чаше (+1), гиря в левой чаше (–1) или отсутствие гирь. Рассуждая в такой троичной системе счисления, можно показать, что для измерения любого веса от 1 до 40 кг бакалейщику нужны всего четыре гири: 1 кг, 3 кг, 9 кг и 27 кг.

Например, чтобы взвесить 16-килограммовый мешок, нужно положить его на одну чашу весов вместе с гирями весом 3 и 9 кг. Весы будут точно уравновешены, когда на вторую чашу положат гири весом 1 и 27 кг. Для представления чисел используются не цифры 0, 1 и 2, а символы –1, 0 и 1. Тогда число 16 записывается в виде 1(–1)(–1)1 то есть 1 минус 3 минус 9 плюс 27, что дает 27 – 9 – 3 + 1 = 16.

Идет ли речь о числах или какой-нибудь другой сложной идее, выбор наилучших обозначений для выражения этой концепции может быть шорткатом, позволяющим прийти к решению. Бакалейщик, мыслящий в троичной системе, может купить всего четыре гири, которых ему хватит на все случаи жизни. Его конкурент, не понимающий этого шортката, будет тратить лишние средства на покупку ненужных гирь.

Шорткат к шорткатам

Создание удобных сокращенных обозначений сложных концепций было важнейшим шорткатом в течение всей истории человечества, и не только в области записи чисел. Если вы ведете конспекты на лекциях или совещаниях, вы, вероятно, уже начали создавать сокращенные обозначения для многократно упоминаемых основных идей. Но нельзя ли найти еще более удобный способ обозначения этих идей, который облегчил бы работу с ними? Бывает так, что в одном виде данные кажутся маловразумительными, но как только мы изменяем способ их записи, они наводят на новое понимание. Графики в логарифмическом масштабе часто говорят о данных больше, чем исходные числа; именно поэтому, например, силу землетрясений измеряют по логарифмической шкале Рихтера. Не стоит забывать и о зеркалах: они, как это было в случае мнимых чисел, могут вывести нас за пределы мира, в котором мы заключены, и открыть шорткат к цели, пролегающий через мир альтернативный.

Пит-стоп: Стартап

«Я говорил своим директорам по маркетингу: можно будет считать, что вы добились настоящего успеха, если вас арестуют. Никому из них не удалось этого сделать».

Об этом рассказал мне во время недавней встречи Брент Хоберман, основатель бизнес-инкубатора Founders Factory[34]. Хоберман (которого, надо сказать, тоже пока что не арестовывали) считает, что именно деятельность на грани закона была причиной успеха самого знаменитого из его предприятий, компании lastminute.com[35], которую он основал в 1998 году вместе с Мартой Лейн Фокс. Нарушение правил игры – часть того, что Хоберман считает «предпринимательским мышлением», и его шорткат к успешным коммерческим предприятиям.

В офисах Founders Factory царит замечательно непринужденная атмосфера. Стены покрыты досками с безумными каракулями, довольно сильно напоминающими доски, которые можно увидеть на математических факультетах всего мира. Благодаря открытой планировке помещения сотрудники разных стартапов все время взаимодействуют друг с другом, обмениваясь идеями. Для стимуляции умственной деятельности есть еда, напитки и игры. Но шорткатом к успеху предприятий, вызревающих на «фабрике» Хобермана, он считает именно нарушение правил игры.

«История знает множество предпринимателей, которые нарушали правила и лишь потом просили прощения, – говорит Хоберман. – Так было с Uber, так было с Airbnb. Обе эти компании нарушали законы. Почему люди не имеют права сдавать свое собственное жилье? А потом общество смотрит и говорит: а ведь действительно, почему? В этом и был их шорткат».

Нарушение законов – это стратегия, оказавшаяся полезной и многим математикам. Законы математики гласили: если число возвести в квадрат, результат должен быть положительным. Но Рафаэлю Бомбелли хватило наглости взяться за число, квадрат которого равен –1. Отступив от правил игры, можно получить доступ к целой массе интересной новой математики. Древнегреческий математик Евклид утверждал, что сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Но, как мы увидим в дальнейшем, другие математики придумали геометрии, в которых треугольники нарушают закон Евклида. Главное в нарушении закона – чтобы выгода от этого нарушения стоила самого нарушения.

Брент Хоберман объяснял мне: «Речь идет почти что о новом определении сути предмета. Правила могут быть устаревшими. Правила могут устанавливаться слишком медленно. Иногда некоторые переопределяют собственные нравственные ориентиры, говоря, что связанная с этим опасность оправданна, потому что результат приносит пользу обществу».

Ключевым элементом успеха lastminute.com было объединение нераспроданных услуг авиакомпаний, компаний проката автомобилей и гостиниц в комплексные пакеты для продажи по ценам более низким, чем при покупке тех же услуг по отдельности. Идея такой модели впервые пришла в голову Хоберману в студенчестве, когда он пытался увезти свою подругу на выходные в какое-нибудь интересное место. Он звонил в гостиницы в последнюю минуту и спрашивал, сколько незанятых номеров у них осталось на ближайшую ночь. Если ему говорили, что их осталось пять или шесть, он понимал, что гостиница вряд ли сумеет сдать их все, и предлагал снять один из них с 70-процентной скидкой. «В одном случае из трех этот фокус удавался».

Ему стало интересно, почему так же не поступают все. «У них был слишком британский характер. Британцы так не поступают», – шутит он. Он вспоминает, как та выгода, которую он извлек из таких операций студентом, навела его на мысль об организации подобной же деятельности в промышленных масштабах. Так и родилась компания lastminute.com. Но поиск нераспроданных услуг в промышленных масштабах требовал действий, граничащих с незаконными. Как признает сам Хоберман, деятельность lastminute.com формально нарушала закон о злоупотреблениях компьютерной информацией (Computer Misuse of Information Act), то есть могла составлять уголовное преступление.

Однако именно деятельность на грани законности или за этой гранью была тем шорткатом, который многие стартапы использовали ради получения преимуществ перед конкурентами. У компании Facebook[36] был знаменитый лозунг Move fast and break things («Двигаться быстро, ломая все вокруг»), а ее генеральный директор Марк Цукерберг как-то сказал: «Если ты ничего не ломаешь, значит, ты движешься недостаточно быстро». Ричард Брэнсон утверждает, что к успеху в бизнесе его привело случившееся в молодости, в 1970-е годы, столкновение с законом; правда, в случае Брэнсона он должен был уплатить 60 000 фунтов штрафа за то, что уклонялся от налогов, когда только начинал торговать грампластинками[37]. Этот штраф побудил Брэнсона обратиться к гораздо более систематическим способам зарабатывания денег. «Стимулы бывают самых разных форм и размеров, – писал он, – но стремление не попасть в тюрьму было самым действенным стимулом, какой у меня когда-либо возникал».

Но, когда стартапы пытаются вносить возмущение в жестко регулируемые отрасли – например, здравоохранение, – двигаться быстро и ломать все вокруг становится труднее. Медицинские учреждения по вполне понятным причинам работают по строгим правилам. Чтобы внушить им доверие к новой идее, необходимо соблюдать эти правила. Этический принцип «не навреди» оказывается важнее, чем стремление к новшествам. Путь к успеху не должен пролегать через причинение вреда пациентам.

Одной из других причин успеха Хобермана было то, что он воспользовался поразительным шорткатом, который в то время, в начале бума доткомов, открывал интернет. Снова и снова появлялась возможность исключить посредников. В случае lastminute.com посредниками были агентства путешествий. Сходный шорткат применило и другое предприятие Хобермана, сайт made.com. Его идеей было предоставить потребителю возможность покупать авторскую мебель, не платя за нее по завышенным ценам. Нину Ли, основавшему это предприятие вместе с Хоберманом, понравился диван, стоивший 3000 фунтов. Однако он случайно узнал, что директором фабрики, выпускавшей эти диваны, стал один из его школьных друзей. Производство дивана обходилось в 250 фунтов. Отсюда и родилась идея связать потребителя напрямую с производителем, исключив дорогостоящих посредников. Как говорит Нин, «в мебельной промышленности распространено высокомерное мнение, что модного, качественно сделанного дивана достоин только тот потребитель, который может выложить за него 3000 фунтов. Но так быть не должно». Интернет позволил компании проложить шорткат в обход цепочки сбыта.

В том, что касается создания компаний, подобных lastminute.com и made.com, Хоберман называет еще один важный шорткат: «Невежество. Я никогда в жизни не взялся бы за lastminute.com, если бы знал, как это будет трудно. Много знать вредно. Невежество помогает мыслить по-другому».

Философия Хобермана напомнила мне о персонаже одной из моих любимых опер. В цикле «Кольцо нибелунгов» Вагнера юному Зигфриду, не ведающему страха, удается убить дракона Фафнира и завладеть кольцом, которое тот охранял. В конце концов он узнает, что такое страх, – когда впервые в жизни встречается с женщиной!

Мне кажется, что незнание страха – одна из главных причин, по которым молодежь добивается порой таких успехов в решении великих нерешенных задач математики. Многие из нас приучаются настолько бояться математических чудовищ – например, гипотезы Римана, одной из величайших нерешенных задач в области простых чисел, – что даже попытки взяться за решение такой трудной задачи кажутся нам безумием. Если многие поколения математиков потерпели неудачу, что могу сделать я? И дракон остается неубитым. Здесь требуется некоторое невежество в сочетании с некоторой самонадеянностью – способность не пугаться истории задачи и верить в собственные силы: в конце концов, почему человеком, который разрешит эту великую загадку, не могу стать именно я?

Хоберман также считает, что еще одним фактором, не позволяющим добиться успеха, может быть перфекционизм. Такова была философия компании Amazon: не нужно строить сверкающий дворец и с гордостью демонстрировать его потребителю; достаточно построить основу замка, и пусть потребитель обживется в ней и скажет, что еще нужно доделать. Если продукт вашей компании готов к выпуску на 70 процентов, выпускайте его и исправляйте недочеты по ходу дела. Если ждать, пока он будет готов на 99 процентов, выпускать его будет слишком поздно. У этого мировоззрения есть свои ограничения. Например, когда другие компании стали использовать платформу Facebook, сбои в ее работе начали обходиться слишком дорого. Если платформа оказывается ненадежной, компании могут отказаться от ее услуг. В 2014 году Цукерберг провозгласил новый принцип: «Двигаться быстро с устойчивой инфраструктурой». «Это, может быть, звучит не так захватывающе, как “Двигаться быстро, ломая все вокруг”, – сказал Цукерберг с ухмылкой. – Но именно так мы теперь работаем».

В математике перфекционизм считается необходимым. Большинство математиков считает, что даже доказательство, законченное на 99 процентов, не имеет смысла публиковать, потому что именно последний 1 процент может оказаться гибельным. Но, возможно, мы, математики, уж слишком одержимы перфекционизмом. Может быть, стоит делиться не доведенными до совершенства идеями, а не держать их в тайне. Исааку Ньютону, а также до некоторой степени Карлу Фридриху Гауссу случалось тормозить прогресс, когда они не решались рассказывать о своих не окончательно разработанных и потенциально еретических идеях.

Изменение этических норм научно-исследовательского сообщества является главной целью организации Chan Zuckerberg Initiative (CZI), которую создали основатель Facebook и его жена доктор Присцилла Чан. Основная задача CZI – совершенствование связей между разными исследовательскими группами, что, по мнению основателей этой организации, позволит решить некоторые медицинские задачи, работа над которыми тормозится сейчас нежеланием делиться информацией о еще не завершенных исследованиях.

Хотя Брент Хоберман стал крупным инвестором в новые стартапы, он по-прежнему считает, что перфекционизм опасен, потому что не позволяет узнать, какие компании имеет смысл поддерживать.

«Как мне кажется, еще один шорткат – это интуиция, – говорит он. – Когда мы инвестируем в компании, мы используем шорткаты. Решения могут приниматься после пяти- или десятиминутного совещания. Компания Иоганнеса Река из GetYourGuide стоит сейчас больше миллиарда. Я познакомился с ним и уже через десять минут сказал своим коллегам: “Вам нужно встретиться с ним сегодня же вечером”. Потому что в нем есть нечто особенное. Так же было с alan.eu, успешной компанией медицинского страхования во Франции. Я сразу понял, что ее основатель – гений. Больше мне ничего и не нужно. Многие из моих лучших друзей, которых я пытался привлечь к работе с этой компанией, слишком долго раздумывали».

Из нашего разговора было ясно, что Хоберман – сторонник любых шорткатов, которые могут привести его к очередному успеху.

«На мой взгляд, шорткаты прекрасны; я ругаю своих детей, когда они не придумывают шорткаты, – говорит он. – Часто можно видеть, как люди стоят в очередях. Скажем, есть три очереди, и все встают в первую. Если перейти в третью, всего на три метра дальше, это сэкономит вам минут десять. Но никто этого не делает. Никто не думает. Как понять, нужно ли дожидаться своей очереди, или можно перейти в другую, или вообще начать еще одну? Вся жизнь состоит из решений такого рода, и в ней всегда надо пытаться найти шорткат».

3

Шорткаты языковые

Одна из песен, которые я больше всего люблю петь на зимних праздниках, – это «Двенадцать дней Рождества». «В первый день Рождества мне шлет моя любовь… куропатку на грушевом дереве». В каждый следующий день подарки предыдущих дней повторяются с добавлением следующих:

1-й день: 1 куропатка

2-й день: 1 куропатка + 2 голубки

3-й день: 1 куропатка + 2 голубки + 3 курочки

…и так далее.

Сколько же всего подарков пошлет мне моя любовь к двенадцатому дню Рождества?

Один из самых действенных шорткатов, которые я открыл, занимаясь математикой, – это подбор правильных слов для разговора о задаче. Суть дела очень часто бывает замаскирована словами, не позволяющими увидеть, о чем на самом деле идет речь. Когда находишь другой способ сформулировать задачу, выражаешь головоломку по-другому, решение внезапно становится гораздо более ясным. Иногда перевод в другие слова помогает увидеть скрывающиеся за числами странные корреляции в статистике продаж какой-нибудь компании. Значительная часть нашей жизни – игра, но преобразование этой игры в другую, в которую вы умеете выигрывать, может дать вам сильнейшее преимущество. Одним из самых волнующих открытий в то время, когда я учился математике, было открытие того, как словарь, переводящий с языка геометрии на язык чисел, способен открыть шорткат в гиперпространство – многомерную вселенную, исследованию которой и посвящена с тех пор моя профессиональная деятельность в математике.

В науке и вне ее есть все больше концепций, которых, как нам кажется, даже не существует, если мы не найдем правильные способы их описания. Один из таких примеров дает концепция эмерджентных явлений – что свойства целого порождаются его составляющими частями. Например, трудно понять, что вода мокрая, если рассматривать отдельные молекулы H₂O. Хотя наука, по-видимому, предполагает, что все что угодно можно свести к поведению таких фундаментальных частиц и уравнениям, определяющим их поведение, этот язык совершенно не подходит для описания явлений. Миграцию стаи птиц невозможно выразить уравнениями, описывающими движение атомов, из которых эти птицы состоят. Макроэкономические явления редко становятся понятны, если использовать только язык микроэкономики. Нельзя понять, как рост учетных ставок влияет на инфляцию, на языке отдельных товаров, хотя причиной макроэкономических явлений и являются микроэкономические изменения. Даже наши концепции свободы воли и сознания невозможно полноценно выразить в терминах нейронов и синапсов.

Переход на другой язык в описании эмоционального состояния человека может радикально изменить его чувства. Вместо слов «я тоскую», которые, как кажется, помещают вас в жесткую формулу, привязывающую вас к грусти, можно сказать «у меня тоска», и внезапно появляется возможность, что тоска вас покинет. Американскому психологу XIX века Уильяму Джеймсу приписывают такие слова: «Величайшее открытие моего поколения состоит в том, что человек может изменить свою жизнь, изменив свой умственный настрой». Но могущественное воздействие языка затрагивает не только личность. Язык играет важнейшую роль в социальном построении реальности. Общество может порождать объекты, называя их. Концепция национального государства основывается на словах в той же мере, что и на географическом положении или человеческом сообществе.

Иногда смена языка приводит к тому, что идеи, трудно поддающиеся выражению на одном языке, вполне могут быть высказаны на другом. Тот факт, что в немецком языке у существительных есть род, позволяет создавать игру слов, невозможную в английском. Поэт Генрих Гейне написал стихотворение о любви покрытой снегом сосны к опаленной зноем пальме Востока. По-немецки сосна (Fichtenbaum) мужского рода, а пальма – женского, но в английском переводе этот нюанс теряется[38]. Иногда что-то теряется и при переводе в обратную сторону. По-английски можно сказать his car and her car (его машина и ее машина), но во французском переводе системы Google Translate начинается путаница – sa voiture et sa voiture, – потому что во французском важнее оказывается род машины, а не ее владельцев. В русском языке есть по особому названию для всех видов снега и дождя, какие только можно вообразить. В некоторых языках всего пять слов для обозначения цветов, а в английском их множество. Я уже говорил, насколько важно для меня понятие паттерна (pattern); однако, когда я пытаюсь перевести это слово на французский, оказывается, что в этом языке нет слова, у которого были бы все те многочисленные смысловые грани, которые есть у английского.

Роль различий между языками чрезвычайно интересовала и моего героя, Карла Фридриха Гаусса. В школе он поражал учителей успехами в латыни и молниеносным пониманием классических литературных трудов. Более того, когда Гаусс начинал учиться на деньги, которые выделил герцог Брауншвейгский, он чуть было не выбрал вместо курса математики курс классической филологии.

Маршрут, по которому пролегал мой собственный путь к математической профессии, был довольно похожим. В детстве я хотел стать разведчиком и считал, что знание языков будет важным навыком, который позволит мне общаться с коллегами – агентами разведки – во всем мире. Я записывался на уроки по всем языкам, которые преподавали в моей общеобразовательной школе, – французскому, немецкому, латыни. Я даже начал изучать русский, благо по Би-би-си передавали уроки русского. Но, в отличие от Гаусса, освоение этих языков давалось мне нелегко. Я не мог продраться сквозь неправильные глаголы и причудливое правописание. Мечты о карьере разведчика казались все менее реалистичными, и это приводило меня в совершеннейшее отчаяние.

Только когда мой учитель мистер Бейлсон дал мне почитать книгу под названием «Язык математики»[39], я начал понимать, что математика – тоже язык. Я думаю, он не только видел, что я жажду найти язык без неправильных глаголов, в котором все правильно и логично, но и понимал, что меня не сможет не увлечь способность этого языка описывать окружающий меня мир. Из этой книги я узнал, что математические уравнения могут рассказывать историю движения планет в ночном небе, что симметрия может объяснить форму пузырьков, пчелиных сот или цветков, что числа позволяют понять гармонию музыки. Для описания Вселенной нужно было учить не русский, не немецкий, не английский, а математику. А еще я узнал из «Языка математики», что математика – это не один язык, а множество языков и прекрасное средство создания словарей, переводящих с одного языка на другой для создания новых языковых шорткатов.

История математики помнит множество великолепных моментов такого рода.