Расчет нефтяных аппаратов методом конечных элементов

– выполняется расчет в первой итерации на заданные условия с определением напряжений, по результатом которого могут быть внесены корректировки в модель (а затем выполняется расчет во второй итерации),

– строится окончательный скорректированный вариант.

Проверочный расчет МКЭ выполняют для скорректированного варианта конструкции аппарата.

После выполнения проверочного расчета оформляется пояснительная записка с результатами расчета и после этого изменения в конструкцию не вносятся.

По результатам расчета МКЭ корректируется 3D-модель аппарата и выполняется разработка и оформление проектной и рабочей конструкторской документации.

В процессе разработки рабочей конструкторской документации могут вноситься небольшие корректировки, связанные с отработкой технологичности конструкции аппарата.

__

4 Сравнение теоретических оснований оценки прочности по нормам и МКЭ

Для обоснования применения МКЭ и его приоритета над нормативными методиками расчета необходимо рассмотреть вопросы прочности и оценки напряженного состояния стенки сосуда.

В настоящей главе рассмотрим корректность положений теорий и оценки напряжений и по результатам сделаем заключение.

Нормативный расчет сосудов до 21МПа строится на теории тонких оболочек, расчет сосудов высокого давления до 130 МПа строится на осесимметричной теории упругости, называемой в литературе по расчету и конструированию аппаратов теорией толстых оболочек.

Теория расчета оболочек сосудов и аппаратов рассмотрена в современной монографии Ефанова К.В. [16]. В этой работе совместно рассмотрены проблемы построения теорий толстых оболочек и тонких оболочек. Проанализирована корректность физической модели построения задачи Ламе и теории толстых оболочек на её основе.

4.1 Оценка прочности по МКЭ

Напряженное состояние в точке описывается тензором напряжений (кубическим) с 12 компонентами:

Используя соотношения Коши для равновесия тетраэдра, можно получить напряжение на любой площадке внутри кубического элемента. Для главных напряжений, действующих по граням тертраэдра равнодействующая является эквивалентным напряжением, по которому оценивают прочностное состояние, оно не должно превышать нормальное напряжение при линейном растяжении образца (для случая расчета аппаратов не первышать допускаемое нормальное напряжение, приведенное в нормах по результатам механических испытаний материала).

Напряжения, рассчитанные по МКЭ строго обоснованы по теории упругости.

4.2 Осесимметричная задача теории упругости (теория расчета толстостенных сосудов)

В теории упругости существуют подходы к расчету толстых оболочек в рамках решения пространственной задачи теории и в рамках решения осесимметричной задачи. Подходы имеют отличия.

В методе конечных элементов пространственная задача реализуется использованием трехмерных конечных элементов и оболочки корпуса аппарата рассматриваются как трехмерное тело. Осесимметричная задача реализуется в методе конечных элементов другим способом.

__

В работе Тимошенко по истории науки о сопротивлении материалов (сопромата) [5,с.142] указывается, что Г. Ламе изложив общую теорию выполнил во второй части своей работы применение теории к случаю полого кругового цилиндра. В этом решении, называемом задачей Ламе, находятся напряжения в цилиндре от внутреннего и внешнего давлений. Тимошенко отмечает, что Г.Ламе для цилиндра рассматривает случай плоского напряженного состояния и пользуются теорией наибольшего напряжения.

Теория толстых оболочек на основании решений задачи Ламе подробно изложена в работах академика Ильюшина А.А. [23,с.176].

Построение теории толстых оболочек производится для цилиндрической обечайки под действием одновременно внутреннего и внешнего давлений. Из стенки выделяется сегмент:

Почему-то принята расчетная модель сегмента с отсутствием касательных напряжений по боковым граням.

Разделяем понятия твердого тела и математического понятия тензора, которое используют в теории упругости для описания напряжения в точке.

Для осесимметричной оболочки в сферических координатах принято, что тензор напряжений выглядит в виде трапеции с криволинейными основаниями.

Отсутствие касательных напряжений по боковым граням объясняют симметрией такого тензора. Такое обоснование не справедливо, так как эти напряжения удерживают сегмент от вырова из параллельного круга. А на перпендикулярных гранях учитываемые касательные напряжения удерживают параллельные круги от взаимного смещения.

При переходе от прямоугольной системы координат к сферической системе координат меняется математическое описание тензора, но число сил и напряжений остается тем же в количестве 12.

Как видно, в тензоре в сферических координатах не учитывают касательные напряжения по боковым граням. Кроме того, для сравнения укажем, что эти напряжения присутствуют в расчетной модели теории тонких оболочек.

За счет этого расчетная модель, на которой строится осесимметричная задача теории упругости, являющаяся теорией толстых оболочек является некорректной.

__

Для плоской задачи теории упругости происходит такое же некорректное отбрасывание касательных напряжений за счет симметрии, как указано в работе Безухова [36,с. 138]: «Если распределение напряжений симметрично относительно оси… Из условий симметрии вытекает, что касательное напряжение τ_rθ =0».

Это ошибка. Условия симметрии не названы.

Наличие напряжений не препятствует никаким условиям симметрии. Напряжения удерживают сегмент от вырова из кольца. Почему-то считается, что касательные напряжения по нижним граням в наличии и удерживают параллельные круги обечайки от смещения, а касательные напряжения по боковым граням, обеспечивающие сохранение этого параллельного круга от вырова из него сегментов должны отсутствовать.

Напряжения должны быть как в случае общего вида плоской задачи теории упругости. Если смотреть на сегмент сверху в плане:

__

Отдельно поднимается проблема направления главных напряжений.

Например, в работе Шапиро и Даркова [36.с.596] указывается: «…в связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки, нормальные напряжения являются главными напряжениями…».

Приведенное утверждение Шапиро в корне некорректно.

В теории тонких оболочек отсутствующие касательные напряжения присутствуют.

__

Ильюшин [23,с.177] пишет: «Изменение прямого угла между гранями ВА и AD при деформации не происходит» и далее отсюда следует, что и удлинение равно нулю.

Это неверно. Между гранями не прямой угол, грань ВА криволинейная, является дугой. При деформации радиус дуги увеличивается. А следовательно и удлинение не равно нулю.

Далее Ильюшин пишет [23,с.177]: «Рассмотрим случай… Обобщенный закон Гука был ранее записан нами в декартовых координатах. Но так как мы рассматриваем деформированное и напряженное состояние в точке, то этот закон имеет тот же вид в любой криволинейной ортогональной системе координат…». Закон Гука должен быть записан в сферических координатах для твердого тела, но не для точки.

__

4.3 Оценка прочности тонкостенных сосудов

Напряженное состояние металла стенки тонкостенного сосуда (сосуда на внутреннее давление до 21МПа) оценивается по третьей теории прочности, как указывается в работе [17] (в этой работе в предисловии отмечена Зусмановская С.И.). Также в этой работе указано о получении расчетных формул для тонкостенных сосудов из безмоментной теории тонких оболочек.

Приведем данные по третьей теории прочности по работе Н.М. Беляева [18,с.136]. Эта теория также обозначается как теорией наибольших касательных напряжений, теория вязкого разрушения. Теория применяется для пластических материалов, к которым относятся стали, применяемые для изготовления сосудов и аппаратов стальных сварных.

Критерием прочности по третьей теории являются касательные напряжения, которые действуют по площадкам среза при растяжении и разрушении материала из-за пластических деформаций. Текучесть или разрушение (опасное состояние материала) наступает когда наибольшее касательное напряжение станет равным некоторой константе. Причем, Н.М. Беляев отмечает о независимости от вида напряженного состояния, то есть плоского или трехмерного. К недостаткам теории относится не учет среднего главного напряжения, так как по данным Беляева опыты подтверждают влияние этого напряжения.

Условие прочности по третьей теории прочности по общеизвестной формуле:

В эту формулу надо подставлять главные напряжения, как указывается во всей литературе.

Понятие главных напряжений относится к теории упругости. А вот понятие кольцевых и меридиональных напряжений уже относится к теории тонких оболочек. Это разные виды напряжений, из нельзя путать одно с другим и подставлять одни вместо других. Правильно по кольцевым и меридиональным напряжениям найти главные напряжения и затем по ним проводить проверку выполнения условия прочности.

Теория упругости и теория оболочек не являются одной общей теорией. Теория упругости является более глубокой и фундаментальной наукой по сравнению с теорией тонких оболочек. Приведем по этой проблеме мнение академика В.В. Новожилова, известного автора по математической теории оболочек. В его работе [19.с.205] указывается, что теория тонких оболочек воспринимается как «гипотетическая надстройкой над теорией упругости» за счет постулирования допущений, сводящий трехмерную задачу к двухмерной. По мнению Новожилова проблемы теории оболочек как тонких так и толстых необходимо решать используя теорию упругости.

В теории упругости при описании напряженного состояния вокруг точки выделяется элемент сплошной среды. Размеры этого элемента должны быть такими, чтобы обеспечивалось условие сплошности [20]. В точку этот элемент не стягивается, как некомпетентно писал один из моих оппонентов. И даже при стягивании в точку, направления кольцевых и главных напряжений не совпадут.

__

В теории тонких оболочек проблема оценки напряженного состояния не затрагивается. И возникновение проблемы подстановки кольцевых и меридиональных напряжений вместо главных напряжения является даже не ошибкой в классической теории, а неверным обращением с расчетными формулами инженерами.

__

Покажем эту ошибку в оценке напряженного состояния стенки тонкостенного сосуда (сосуда до 21 МПа).

Для этого покажем различие в направлениях кольцевых напряжений и главных напряжений, совмещенных в одной области. Аналогично тому, как при изгибе балки показывается отличие в направлениях главных напряжений от изгибающих [18].

В теории оболочек из стенки выделяется сегмент в виде трапеции с криволинейными основаниями, по граням которого действуют напряжения.

Совместим этот выделенный сегмент с кубическим элементом и покажем для упрощения только вид в плане (сверху):

На рисунке: Q – равнодействующая сил внутреннего давления, уравновешивается касательными напряжениями по граням кубического элемента. По этим же граням действуют нормальные напряжения, не совпадающие с кольцевыми напряжениями по направлению.

Касательные напряжения по противоположным граням заменим на равнодействующую силу, приложенную напротив силы Q (т.е. точка приложения выбрана посередине между векторами сил):

Теперь найдем ориентацию кубического элемента, по граням которого действуют только главные напряжения. То есть найдем площадки главных напряжений по методике [18], [21]. Для этого используем круг Мора. В результате получим: