Расчет нефтяных аппаратов методом конечных элементов

Как видно из рисунка, установлено направление главных напряжений и площадок, по которым они действуют.

Теперь совместим найденные направления главных напряжений с направлениями кольцевых напряжений (аналогично тому, как в сопротивлении материалов это производится при изгибе балки [18]):

Как видно из рисунка, направления главных напряжений не совпадают с направлениями кольцевых напряжений. И кольцевые напряжения не являются главными напряжениями.

__

В теории упругости поднимается вопрос о нахождении напряжений по любым площадкам внутри кубического элемента. Площадку с кольцевым напряжением в качестве такой произвольной площадки под произвольным углом рассматривать нельзя.

Против приведенных данных возражение на основании [22,с.96] не выдерживает критики. В этой работе в рассмотрении условий пластичности для плоского напряженного состояния (а стенка не в плоском напряженном состоянии по третьей теории прочности) написано следующее:

«… главные оси тензора напряжений для плоского напряженного состояния обозначим через ξ и η.» и далее «… напряжения и будут отождествляться с , или .».

Эта запись означает, что оси ξ и η являются главными осями – осями главного тензора напряжений. А для главного тензора напряжений, главные напряжения в теории упругости в зависимости от величины обозначаются , или . И действительно, будет тождество на том основании, что те же самые оси и те же самые напряжения, на с другим обозначением.

__

В точку ни сегмент, ни кубически элемент не стягивается. Так как эти два твердых тела имеют минимальные размеры, но такие, чтобы обеспечивалось условие сплошности среды, то есть надмолекулярные размеры. Оппонировать с введением пределов «lim» и приравниванием главных напряжений к кольцевым является некорректным.

Также отметим, что кубический элемент сплошной среды находится в равновесии так как касательные напряжения по граням создают относительно ребер куба равные крутящие моменты. Равенство моментов происходит за счет равенства площадей граней куба. А у сегмента площади верхних сторон и боковых отличаются. Следовательно, сегмент в отличии от куба не может находится в равновесном состоянии.

Оценка прочности МКЭ имеет большее теоретическое обоснование.

__

Приведенные данные по определению направлений главных напряжений имеют второе значение по сравнению с ошибкой в осесимметричной задачи теории упругости. Эта ошибка будет показана ниже.

4.4 Выводы. Обоснование приоритета МКЭ

1. Теория упругости имеет большее обоснование по сравнению с выведенной из неё теорией тонких оболочек и расчет аппаратов необходимо проводить в рамках теории упругости.

2. Пространственная задача теории упругости на сегодняшний момент времени выглядит обоснованнее осесимметричной задачи теории упругости.

3. Поэтому расчеты МКЭ необходимо выполнять с пространственными конечными элементами с математическим аппаратом трехмерной задачи теории упругости. Корпус аппарата должен рассматриваться как трехмерное тело.

4. МКЭ в сравнении с нормативной методикой позволяет получить более точные и обоснованные результаты для оценки конструкции аппарата.

5. Представление данных результатов по МКЭ в виде цветной диаграммы детализировано показывает напряженное состояние во всех частях конструкции и является в настоящий момент наиболее наглядным инструментом.

6. По МКЭ можно выполнять расчет на прочность, жесткость, колебания аппарата, т.е. на все виды нормативных нагрузок, а также расчет ползучести металла.

5 Расчет МКЭ по теории упругости и теории оболочек, расчет колебаний

Уравнения в решение по методу конечных элементов могут быть заложены на основе теории тонких оболочек и на основе уравнений теории упругости.

Проблема сравнения конечных элементов имеет два аспекта:

1. сравнение самих теорий по точности и адекватности описания,

2. сравнение конечных элементов на основе двух теорий по точности результатов расчета конкретных задач и эффективности вычислений.

__

Для решения первого аспекта сравнение теорий выполнено в главе 4.

Для решения второго аспекта приведем литературные данные по применению конечных элементов по двум теориям.

__

5.1 Решение осесимметричной задачи теории упругости по МКЭ

В работах [32,с.230], [33,с.89] при рассмотрении решения МКЭ осесимметричной задачи теории упругости (т.е. расчета оболочек вращения) приведена классическая для теории упругости схема выделенного из стенки сегмента с отсутствием касательных напряжений по боковым граням:

По данным [32,с.229], [33,с.89] для решения осесимметричной задачи может быть использован подход плоской задачи. В этом случае треугольный симплекс-элемент вращением образует треугольный тор [32,с.229]. Такой тор показан на рисунке в работе О. Зенкевича [33,с.87]:

Объемное тело 3D-модели представляет собой объем, по которому берется интеграл таких треугольных элементов. Отличие осесимметрричной задачи от плоской состоит в том, что при деформации оболочки в радиальном направлении вызывает деформацию в окружном направлении. И в рассмотрение должна быть введена четвертая компонента деформации и напряжения по сравнению со случаем плоской задачи [33,с.88]. В плоской задаче компоненты напряжения в направлении, перпендикулярном к координатной плоскости, равны нулю.

Трехмерный симплекс-элемент рассматривается аналогично двумерному конечному элементу [32,с.226].

Векторы напряжений и деформаций и матрица упругости по данным [32,с.229]:

Вектор начальной деформации от теплового воздействия [32,с.230]:

Напряжения вычисляются по закону Гука [32,с.233]:

или через узловые перемещения после подстановки

([В] – матрица градиента, {U} – перемещение узлов.

__

О. Зенкевич приводит подход [33,с.259] о применении одномерных элементов для осесимметричных оболочек к осесимметричной нагрузкой. В этом случае используется метод перемещений и поверхность оболочки разбивается на ряд усеченных конусов [33,с.259]:

Изгибные и мембранные напряжения в оболочке корпуса аппарата однозначно определяются величинами обобщенными деформациями (искривления и растяжения срединной поверхности) [33,с.259]. Перемещения каждой точки срединной поверхности известны. Так, перемещения срединной поверхности оболочки под действием осесимметричной нагрузки однозначно определяются компонентами u и w по касательной к нормали поверхности.

О. Зенкович [33,с.259] приводит следующую запись матриц перемещений {ε}, напряжений {σ} и упругости [D] в соответствии с четырьмя результирующими напряжениями на рисунке при φ = const (верхняя часть матриц соответствует мембранным усилиям, нижняя часть матриц соответствует изгибным жесткостям, сдвиговые части матриц не показаны):

5.2 Решение пространственной (трехмерной) задачи теории упругости по МКЭ

В решении трехмерной задачи теории упругости оболочка рассматривается как объемное тело и для построения расчетной сетки применяются трехмерные конечные элементы. Самым простым из трехмерных элементов является элемент тетраэдрической формы.

Тетраэдральные конечные элементы приведены в [34,с.309]. Галагер отмечает [34,с.314], что правильное расположение тетраэдров без пустот по объемному телу вызывает затруднения и поэтому программа комбинирует элементы из пяти тетраэдров:

Перемещения тетраэдрического элемента определяется перемещением 12 компонентами перемещений его узлов [33,с.107]: